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初二下数学大作业 1
班级_____________ 姓名_____________ 学号_____________
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，请将你所选的选项填写在下表中）
1. 下列各组数中，不能做为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 1.5，2，3 B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 9，12，15
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理 的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是
直角三角形判定则可．
【详解】解：A、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，故符合题意；
B、72+242=252，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82=102，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，
确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2. 若直角三角形的两条直角边长分别为 、 ，则斜边上的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】像根据勾股定理求出斜边长为5，然后再根据等积法求出斜边上的高即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为 、 ，
∴直角三角形的斜边长为： ，
设斜边上的高为 ，
则 ，
解得： ，
即斜边上的高为 ．
故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形的面积的计算，根据三角形的面积列式求出斜边上的高是常用的
方法之一，需熟练掌握．
3. 下列二次根式中，与 能合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】能与 合并的二次根式，就是与 是同类二次根式．根据同类二次根式的被开方数相同的性质
解答．
【详解】解： 的被开方数是3．
A． ，被开方数是2，故本选项不符合题意；
B． ，被开方数是3,故本选项符合题意；
C． ，被开方数是5，故本选项不符合题意；
D． ，被开方数是6，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二
次根式称为同类二次根式．
4. 下列算式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式性质、二次根式乘方运算法则，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、 ，故A错误；
B、 =3，故B错误；C、 ，故C错误；
D、 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的乘方，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘方运
算法则是解题的关键．
5. 下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 B. 对顶角相等
C. 如果两个角都是 ，那么这两个角相等 D. 等边对等角
【答案】D
【解析】
【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【详解】解：A、逆命题是：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，错误，故A不符合题意；
B、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故B不符合题意；
C、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角都等于 ，错误，故C不符合题意；
D、逆命题 是：等角对等边，正确，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了逆命题，解题的关键是将命题的条件和结论互换，写出各个命题的逆命题．
6. 若 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】将x、y的值直接代入代数式进行计算即可。
【详解】解：把 代入得：
，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法
则，准确计算．
7. 计算 得（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据立方根的定义，二次根式性质，零指数幂运算法则，进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握立方根的定义，二次根式性质，零指数幂
运算法则．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的
负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A. －4和－3之间 B. 3和4之间 C. －5和－4之间 D. 4和5之间
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理求出OP，从而得到OA的长度，问题可解．
【详解】由点P坐标为(－2，3)，
可知OP= ,
又因为OA=OP,所以A的横坐标为- ，介于－4和－3之间，
故选A．
9. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式 的结果是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据数轴判断出a、b和 的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴可知： ， ， ，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的
关键．
10. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小
正方形面积为4，若用 ， 表示直角三角形的两直角边（ ），下列四个说法：① ，② ，③ ，④ .
其中说法正确的是( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【详解】可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49,b2=4；
根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确；
因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正确；
根据三角形面积公式可得 ，而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以
，化简得2xy+4=49，式③正确；
因为x2+y2=49，2xy+4=49，
所以
所以 ，因而式④不正确．
故答案为B．
二、填空题
11. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是
解题的关键．12. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．
【答案】100．
【解析】
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积
A=36+64=100．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方
=36+64．
故答案为：100．
【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．
13. 在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后
以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便
是直角．依据是____．
【答案】如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．
的
【详解】解：设相邻两个结点 距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，
比较简单．
14. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，
去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上
端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳
索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为 尺，木柱AB的长用含 的代数式表示为__尺，根据
题意，可列方程为___．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为 尺，
根据勾股定理可列方程： ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
15. 若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足 ，则该直角三角形的斜边长为
_____．
【答案】5
【解析】
【详解】解：∵ ，∴ =0，b－4=0，解得a=3，b=4．
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长= ．
故答案为：5
16. 如图所示， 的周长为 ，斜边 的长为 ，则 的面积为
_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】先求出直角三角形的两条直角边的和，然后再根据勾股定理求出两条直角边的平方和，再根据完
全平方公式，进行变形计算即可．
【详解】解：∵ 的周长为 ，斜边 的长为 ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，完全平方公式的变形计算，解题的关键是根据完
全平方公式，求出 ．
17. 如图，四边形 中， ， ， ， ，
则 的长为_____________．【答案】
【解析】
【分析】延长 ， ，过点A作 于点E，过点D作 于点F，过点A作
于点 G，则四边形 为矩形， , ，因为 为直角三角形，所以
，根据直角 和直角 即可求 ， ， ， ．
【详解】解：延长 ， ，过点 A 作 于点 E，过点 D 作 于点 F，过点 A 作
于点G，如图所示：
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ， （舍去），
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构
造矩形 ．
18. 在 中， ，点D是边 的中点，点E是边 上的动点，点
F是边 上的动点，则 的最小值是_____________，取到最小值时 长为_____________．
【答案】 ①. 3 ②. ##
【解析】【分析】如图：作点D关于直线 的对称点G，连接 交 于点H，过点G作 ，交
于点E，此时，G、E、F三点共线，且是垂线段，可得 取得最小值，由平行线的判定和性质可
得 ，依据等角对等边及含有 角的直角三角形的特殊性质可得
、 ，利用勾股定理可得 ，在 中， ，设 ，则
，运用勾股定理可得 ，在 中，继续利用勾股定理及含有 角的直角三角形
的特殊性质即可解答．
【详解】解：∵D为 的中点，
∴ ，
如图：作点D关于直线 的对称点G，连接 交 于点H，过点G作 ，交 于点E，
此时，G、E、F三点共线，且是垂线段，可得 取得最小值，
∵点D关于直线 的对称点G，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ 为等腰三角形，且 ，
∴ ，
在 中， ，设 ，则 ，
∴ ，解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ．
故答案为：3， ．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质、平行线的判定和性质、勾股定理及含有 角的直角三角形的特殊
性质、等腰三角形三线合一的性质等知识点，理解题意、作出相应辅助线构造直角三角形是解题关键．
三、解答题
19. 计算：
（1）
（2） ．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算；
（2）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
20. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】将 代入代数式求值即可．
【详解】解：把 代入代数式 得：
原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，
准确计算．
21. 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它
的腰长为 ，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个．
【答案】画图见解析，5
【解析】【分析】根据等腰三角形的定义作图即可求解．
【详解】解：如图， 和 是腰长为 的等腰三角形，作图如下：
可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有 、 、 、 、 共5种．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
22. 如图，在 中， ， ， ．AD平分 交BC于点D．
的
（1）求BC 长；
（2）求CD的长．
【答案】（1） ；（2）3．
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得DE=DC，利用面积法得到关于CD的方程，求解即可．
【详解】解：（1）∵AB=10，AC=6，
∴BC= ；
（2）作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，
∴DE=DC，
∵S +S =S ，
△ABD △ACD △ABC
∴ ×10×DE+ ×6×CD= ×6×8，
∴CD=3．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
附加题：
23. 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充
部分是以8m为直角边的直角三角形，扩充后等腰三角形绿地的周长________．
【答案】32m或（20+4 ）m或 m．
【解析】
【分析】根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：
①如图1，当AB=AD=10时，
∵AC⊥BD，
∴CD=CB=6m，
∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m．
②如图2，当AB=BD=10时，
∵BC=6m，
∴CD=10﹣6=4m，
∴AD= =4 m，
∴△ABD的周长=10+10+4 =（20+4 ）m．③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x﹣6，由勾股定理得：AD= =x
解得，x= ，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB= m．
故答案为32m或（20+4 ）m或 m．
考点：勾股定理的应用；等腰三角形的性质．
24. 小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方
形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，
若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作出辅助线，每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直角三角
形长边直角边长为b，短边直角边长为a，找出等量关系，列二元一次方程组解出a、b，再由勾股定理算
出原图中的小正方形边长．
【详解】解：如图，作辅助线，发现每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直
角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为a，由题意，得，
解得： ，
小正方形的边长为：a2 + b2 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了用勾股定理构造图形解决问题，解题的关键是作出辅助线，找到等量关系求解．
25. 阅读：如图1，在 ABC中，3∠A+∠B=180°，BC=4，AC=5，求AB的长．
小明的思路： △
如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，易得∠A=∠D， ABD为
等腰三角形，由3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°，易得∠BCA=2∠A， BCD为等腰三△角形，
依据已知条件可得AE和AB的长． △
解决下列问题：
（1）图2中，AE= ，AB= ；
（2）在 ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．
①如图3△，当3∠A+2∠B=180°时，用含a，c式子表示b；（要求写解答过程）
②当3∠A+4∠B=180°，b=2，c=3时，可得a= ．
【答案】（1）4.5；6；（2）①b= ；② ．
【解析】【分析】（1）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，易得∠A=∠D，
△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°，易得∠BCA=2∠A，△BCD为等腰
三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
（2）①解题思路同（1）；
②如图3，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得AB=AD，连接BD，故AB=AD=3，
∠ABD=∠D．由于3∠A+4∠ABC=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°，于是得到
2∠A+3∠ABC=∠ACB=∠D+∠CBD=∠ABC+∠CBD+∠CBD，推出∠A+∠ABC=∠CBD=∠BCD，得到
BD=CD=AD-AC=1，在直角△BDE和直角△AEB中，利用勾股定理得到：BD2-DE2=AB2-AE2，即12-（1-
CE）2=32-（2+CE）2，求得CE和BE，进而求解．
【详解】解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，则BE
是中垂线，
故AB=BD，∠A=∠D．
∵3∠A+∠ABC=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°，
∴∠BCA=2∠A，
又∵∠BCA=∠D+∠CBD，
∴∠BCA=∠A+∠CBD=2∠A，则∠CBD=∠A，
∴DC=BC=4，
∴AD=DC+AC=4+5=9，
∴AE= AD=4.5，
∴EC= AD-CD=4.5-4=0.5．
在
∴ 直角 BCE和直角 AEB中，利用勾股定理得到：
△ △
BC2-CE2=AB2-AE2，即42-0.52=AB2-4.52，
解得 AB=6．
故答案是：4.5；6；
（2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，则BE是边AD的中垂线，
故AB=BD，∠A=∠D．①∵3∠A+2∠ABC =180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠A+∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠D+∠DBC，
∴2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC，
∵∠A=∠D，
∴∠A+∠ABC=∠DBC，BD=AB=c，
即∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC=c，
设EC=x，
∴DE=AE=
∴EC=AE-AC= -b= ，
∵BE2=BC2-EC2，BE2=AB2-AE2，
∴a2-（ ）2=c2-（ ）2，
解得，b= ；
②如图3，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得AB=AD，连接BD，
故AB=AD=3，∠ABD=∠D．
∵3∠A+4∠ABC=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠A+3∠ABC=∠ACB=∠D+∠CBD=∠ABC+∠CBD+∠CBD，
∴2∠A+2∠ABC=2∠CBD，
∴∠A+∠ABC=∠CBD=∠BCD，
∴BD=CD=AD-AC=1，
∴在直角△BDE和直角△AEB中，利用勾股定理得到：
BD2-DE2=AB2-AE2，即12-（1-CE）2=32-（2+CE）2，解得 CE= ，
∴BE= = = ，
∴a= ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解题过程中注意等腰三角形“三线合一”性质的利用．解
题的难点是通过作辅助线“作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD”构建等
腰三角形和直角三角形，便于利用勾股定理求相关线段的长度．
