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2025 届高三 10 月大联考（新课标卷）
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， 或 ，则 （ ）
A. B. R
C. D.
的
2. 数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44 上四分位数为（ ）
A. 30 B. 32 C. 40 D. 42
3. 已知 ， 为非零向量， ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. 5 C. D.
5. 函数 图象的对称中心为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 的展开式中 项的系数为（ ）
A. 10 B. C. D.
7. 榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并
具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，
用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是正方形，
，且 ， 均为正三角形， ，则 与 所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 满足 ，若函数 在 上的零点为 ，
，…， ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设 ， 为复数，则下列说法中正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若 ， ，其中 ， ， ， ，且 ， ，则
B. 若 （ ）为纯虚数，则
的
C. 若关于 方程 ， ， 的一个虚根为 ，则
D. 若 ， ，则复数 在复平面内对应的点位于第三象限
10. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 交于 两点，设A(x ,y )，B(x ,y )， 的中
1 1 2 2
点为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若直线 过焦点 ，则
B. 若直线 过焦点 ，则 的最小值为
C. 若直线 的斜率存在，则其斜率与 无关，与 有关
D. 若 为坐标原点，直线 的方程为 ，则
11. 已知函数 的定义域为 ，其导函数为f′(x)， ， ，且
，则（ ）
A. B. f′(x)为奇函数
C. （ ）是函数 的周期 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若定义在 上的函数 满足 ，且 ，则曲线 在点
处的切线方程为_____.
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知椭圆 （ ）的长轴长为4，离心率为 .若 ， 分别是椭圆的上、下顶点，
， 分别为椭圆的上、下焦点， 为椭圆上任意一点，且 ，则 的面积为_____.
14. 已知不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中 ， 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 且 ，
.
（1）求 ；
（2）若 是边 上一点，且 ， ，求 .
16. 为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为 ，
参加体能训练活动的男生人数为 ，不参加体能训练活动的男生人数为 ，参加体能训练活动的女生
人数为 .
（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的 列联表，并依据小概率值 的 独立性
检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；
参加 不参加 合计
男生
女生
（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14
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学科网（北京）股份有限公司人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
参考公式： ，其中 .
.
01 0.05 0.01 0.001
3.84
2.706 6.635 10.828
1
17. 如图，在正三棱锥 中， ， ， 的中点为 ，过点
作底面 的垂线，垂足为 ， 是线段 上的一个动点.
（1）证明： ；
的
（2）若 是正三棱锥 外接球 球心，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 在平面直角坐标系 中， ， ， 是平面内的动点，且 内切圆的圆心在直
线 上.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作三条不同的直线 ， ， ，且 轴， 与 交于 ， 两点， 与 交于 ，
两点， ， 都在第一象限，直线 ， 与 分别交于点 ， ，证明： 为定值.
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学科网（北京）股份有限公司19. 一般地， 元有序实数组 称为 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实
数对可表示二维向量， ）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于 维向量，也可以定义两个向量
的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如 ，则
.若存在不全为零的 个实数 ， ， ， ，使得 ，
则称向量组 ， ， ， 是线性相关的，否则，称向量组 ， ， ， 是线性无关的.
（1）判断向量组 ， ， 是否线性相关.
（2）已知函数 ， ，且 恒成立.
①求 的值；
②设 ，其中 ，若 ， ，数列 的前 项和为 ；证
明：当 时， .
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