2023届高考数学三轮冲刺卷：绝对值不等式的解法
一、选择题（共20小题；）
1. 不等式 ∣x2−2∣<2 的解集是 ()
A. (−1,1) B. (−2,2)
C. (−1,0)∪(0,1) D. (−2,0)∪(0,2)
2. 不等式 ∣2x+5∣≥7 成立的一个必要不充分条件是 ()
A. x≥1 B. x≤−6
C. x≥1 或 x≤−6 D. x≠0
1
3. " x>1 "是" ∣x∣> "的 ()
x
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
4. “∣x−1∣<2 成立”是“x(x−3)<0 成立”的 ()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知集合 A={x∣∣x−1∣≤a，a>0} ， B={x∣∣x−3∣>4} ，且 A∩B=∅ ，则
a 的取值范围是 ()
A. (0,2] B. (−∞,2] C. (7,+∞) D. (−∞,−1)
{x(x+2)>0,
6. 不等式组 的解集为 ()
∣x∣<1,
A. {x∣−2<x<−1¿¿ B. {x∣−1<x<0¿¿
C. {x∣0<x<1¿¿ D. {x∣x>1¿¿
7. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个
同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设 A，B 为两个同高的几何体，
p：A，B 的体积相等，q：A，B 在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q
的 ()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x+1
8. 不等式 ∣ ∣<1 的解集为 ()
x−1
A. {x∣0<x≤1¿¿ B. {x∣0<x<1¿¿
C. {x∣−1<x<0¿¿ D. {x∣x<0¿¿
ax−1
9. 不等式 ∣ ∣>a （ a 是正实数）的解集是 ()
x
1 1
A. {x∣x> ¿¿ B. {x∣x< ¿¿
a 2a1 1 1
C. {x∣ <x< ¿¿ D. {x∣x<0或0<x< ¿¿
2a a 2a
10. 若不等式 ∣ax+2∣<6 的解集为 (−1,2)，则实数 a 等于 ()
A. 8 B. 2 C. −4 D. −8
11. 不等式 ∣2x2−1∣≤1 的解集为 ()
A. {x∣−1≤x≤1} B. {x∣−2≤x≤2}
C. {x∣0≤x≤2} D. {x∣−2≤x≤0}
12. 不等式 ∣x2−x∣<2 的解集为 ()
A. (−1,2) B. (−1,1) C. (−2,1) D. (−2,2)
13. 不等式 ∣x∣+∣x−2c∣>1 的解集为 R 时，正数 c 满足条件 ()
1 1
A. c<1 B. c< C. c> D. c>1
2 2
14. 不等式 ∣x+1∣(2x−1)≥0 的解集为 ()
{ 1 { 1
A. x∣x≥ ¿¿ B. x∣x≤−1或x≥ ¿¿
2 2
{ 1 { 1
C. x∣x=−1或x≥ ¿¿ D. x∣−1≤x≤ ¿¿
2 2
15. 若 a>1，则不等式 ∣x∣+a>1 的解集是 ()
A. {x∣a−1<x<1−a¿¿ B. {x∣x<a−1或x>1−a¿¿
C. ∅ D. R
16. 不等式 1<∣x+2∣<5 的解集是 ()
A. (−1,3) B. (−3,1) ∪ (3,7)
C. (−7,−3) D. (−7,−3) ∪ (−1,3)
17. 不等式 ∣x+2∣+∣x−1∣<4 的解集为 ()
A. {x∣x≤−2¿¿ B. {x∣x≥1¿¿
5 3
C. {x∣−2≤x≤1¿¿ D. {x∣− <x< ¿¿
2 2
x−2 x−2
18. 不等式 ∣ ∣> 的解集是 ()
x x
A. (0,2) B. (−∞,0)
C. (2,+∞) D. (−∞,0)∪(0,∞)
19. 已知 f (x)=2x+3(x∈R)，若 ∣f (x)−1∣＜a 的必要条件是 ∣x+1∣＜b(a,b＞0)，
则 a，b 之间的关系是 ()
a a b b
A. b≥ B. b< C. a≤ D. a>
2 2 2 220. 已 知 集 合 A={(x,y)∣x2+ y2≤1,x,y∈Z¿¿，
B={(x,y)∣∣¿¿≤2,∣¿¿≤2,x,y∈Z¿¿， 定 义 集 合
A⊕B={(x +x ,y + y )∣(x ,y )∈A,(x ,y )∈B¿¿，则 A⊕B 中元素的个数为 ()
1 2 1 2 1 1 2 2
A. 77 B. 49 C. 45 D. 30
二、填空题（共5小题；）
21. 设 a,b∈R ， ∣a−b∣>2 ，则关于实数 x 的不等式 ∣x−a∣+∣x−b∣>2 的解集
是 ．
22. 不等式 ∣x+2∣−∣x∣≤1 的解集为 ．
23. 全 集 U=R， A={x∣x<−3或x≥2¿¿， B={x∣−1<x<5¿¿， 则 集 合
C={x∣−1<x<2¿¿= （用 A，B 或其补集表示）．
3a
24. 已知 a<0 ，则关于 x 的不等式 ∣ ∣>1 的解集为 ．
x+a
25. 不等式 ∣¿¿≥1 的解集是 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 解不等式：x+∣2x−1∣<3．
27. 解关于 x 的不等式 ∣x−a∣<ax(a>0)．
1 1
28. 已知函数 f (x)=∣x− ∣+∣x+ ∣，M 为不等式 f (x)<2 的解集．
2 2
（1）求 M；
（2）证明：当 a,b∈M 时，∣a+b∣<∣1+ab∣．
29. 已知函数 f (x)=∣x+1∣−∣2x−3∣．
（1）画出 y=f (x) 的图象；
（2）求不等式 ∣f (x)∣>1 的解集．
30. 已知函数 f (x)=∣x+a∣．
（1）当 a=−1 时，求不等式 f (x)≥∣x+1∣+1 的解集；
（2）若不等式 f (x)+f (−x)<2 存在实数解，求实数 a 的取值范围．答案
1. D
2. D 【解析】提示：∣2x+5∣≥7⇔ x≥1 或 x≤−6．
3. B
4. B 【解析】由 ∣x−1∣<2，
解得：−2+1<x<2+1，即 −1<x<3．
由 x(x−3)<0，
解得 0<x<3．
所以“∣x−1∣<2 成立”是“x(x−3)<0 成立”的必要不充分条件．
5. A
6. C
7. B 【解析】由 q⇒p，反之不成立．所以 p 是 q 的必要不充分条件．
x+1
8. D 【解析】∣ ∣<1 ⇔∣x+1∣<∣x−1∣，且 x≠1⇔(x+1) 2<(x−1) 2，则 x<0．
x−1
1 1 1 1
9. D 【解析】原不等式可化为 ∣ −a∣>a，即 −a>a 或 −a<−a．所以 >2a 或
x x x x
1 1
<0，也就是 x<0 或 0<x< ．
x 2a
10. C
8 4
【解析】因为 ∣ax+2∣<6，所以当 a>0 时，有 − <x< ，而已知原不等式的解集为 (−1,2)，
a a
4
{ =2,
a
所以有 此时无解（舍去）；
8
− =−1,
a
8
{− =2,
4 8 a
当 a<0 时，有 <x<− ，所以有
a a 4
=−1,
a
解得 a=−4；
当 a=0 时，原不等式的解集为 R，与题设不符（舍去），故 a=−4．
11. A
12. A
13. C 【解析】根据绝对值的几何意义，∣x∣+∣x−2c∣ 表示 x 轴上一点到 (0,0) 和 (2c,0)
1
之间的距离之和，最小值为 2c，当 2c>1，即 c> 时，解集为 R．
2
14. C
15. D
【解析】由 ∣x∣+a>1，得 ∣x∣>1−a．因为 a>1，所以 1−a<0, 故该不等式的解集为 R．16. D
{−2x−1, x≤−2
17. D 【解析】∣x+2∣+∣x−1∣= 3, −2<x<1，所以不等式
2x+1, x≥1
5 3
∣x+2∣+∣x−1∣<4 的解集为 {x∣− <x< ¿¿．
2 2
x−2
18. A 【解析】由题意 <0，所以 0<x<2．
x
19. A 【解析】∣f (x)−1∣＜a 即 ∣2x+2∣＜a，即 −a＜2x+2＜a，即
−2−a −2+a
＜x＜ ．
2 2
∣x+1∣＜b 即 −b＜x+1＜b 即 −b−1＜x＜b−1．
因为 ∣f (x)−1∣＜a 的必要条件是 ∣x+1∣＜b(a,b＞0)，
(−2−a −2+a)
所以 , ⊆(−b−1,b−1)，
2 2
−2−a −2+a
所以 −b−1≤ ，b−1≥ ，
2 2
a
解得 b≥ ．
2
20. C
【解析】当 x =0 时，y ∈{−1,0,1}，而 x ,y ∈{−2,−1,0,1,2}，此时
1 1 2 2
x +x ∈{−2,−1,0,1,2}，y + y ∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}，则 A⊕B 中元素的个数为 5×7=35；
1 2 1 2
当 x =±1 时，y =0，而 x ,y ∈{−2,−1,0,1,2}，此时 x +x ∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}，
1 1 2 2 1 2
y + y ∈{−2,−1,0,1,2}，由于 x +x ∈{−2,−1,0,1,2}，y + y ∈{−2,−1,0,1,2} 时，A⊕B
1 2 1 2 1 2
中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素个数为 2×5=10，
则 A⊕B 中元素的个数为 35+10=45．
21. (−∞,+∞)
【解析】因为 a,b∈R ，且 ∣a−b∣>2 ，其几何意义是：数轴上表示数 a,b 两点间的距离大
于 2 ； ∣x−a∣+∣x−b∣ 的几何意义是：数轴上任意一点到 a,b 两点的距离之和．
当 x 处于 a,b 之间时， ∣x−a∣+∣x−b∣ 取最小值，且恰为 a,b 两点间的距离．
由 ∣a−b∣>2 知，不等式解集为 R ．
1
22. {x∣x≤− ¿¿
2
23. B∩(∁ A)
U
【解析】如图所示，由图可知 C⊆∁ A，且 C⊆B，
U
所以 C=B∩(∁ A)．
U
24. {x∣2a<x<−4a,且x≠−a}
25. {x∣x≥0且x≠1¿¿
{ x≠1, { x≠1,
【解析】原不等式等价于 即 解得 x≥0,且x≠1，故
∣x+1∣≥∣x−1∣, (x+1) 2≥(x−1) 2,
原不等式的解集为 {x∣x≥0且x≠1¿¿．
26. 原不等式等价于：
x−3<2x−1<3−x,
解得
4
−2<x< ,
3
( 4)
故解集为 −2, ．
3
{
x>0,
{ x>0,
27. ∣x−a∣<ax(a>0) 等价于 即 (1−a)x<a,
−ax<x−a<ax,
(1+a)x>a.
x>0,
{
a
x> , a
① a>1 时， 1−a 解得 x> ；
1+a
a
x> ,
1+a
1
② a=1 时，解得 x> ；
2
x>0
{
a
x< a a
③ 0<a<1 时， 1−a 解得 <x< ．
1+a 1−a
a
x>
1+a
[ a ) ( a a )
综上，a≥1 时，解集为 ,+∞ ；0<a<1 时，解集为 , ．
1+a 1+a 1−a
1 1 1
28. （1） 当 x<− 时，不等式 f (x)<2 可化为 −x−x− <2，解得 x>−1，
2 2 21
所以 −1<x<− ；
2
1 1 1 1
当 − ≤x≤ 时，不等式 f (x)<2 可化为 −x+x+ =1<2，此时不等式恒成立，
2 2 2 2
1 1
所以 − ≤x≤ ；
2 2
1 1 1
当 x> 时，不等式 f (x)<2 可化为 − +x+x+ <2，解得 x<1，
2 2 2
1
所以 <x<1．
2
综上可得 M=(−1,1)．
（2） 当 a,b∈M 时，
(a2−1)(b2−1)>0，
即 a2b2+1>a2+b2，
即 a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab，
即 (ab+1) 2>(a+b) 2，
即 ∣a+b∣<∣1+ab∣．
x−4, x≤−1
{
3
3x−2, −1<x≤
29. （1） f (x)= 2．
3
−x+4, x>
2
y=f (x) 的图象如图所示．
（2） 由 f (x) 的表达式及图象，
当 f (x)=1 时，可得 x=1 或 x=3；
1
当 f (x)=−1 时，可得 x= 或 x=5，
3
故 f (x)>1 的解集为 {x∣1<x<3¿¿；
1
f (x)<−1 的解集为 {x∣x< 或x>5¿¿．
31
所以 ∣f (x)∣>1 的解集为 {x∣x< 或1<x<3或x>5¿¿．
3
30. （1） 当 a=−1 时，f (x)≥∣x+1∣+1 可化为 ∣x−1∣−∣x+1∣≥1，
化简得
{x≤−1, {−1<x≤1, { x>1,
或 或
2≥1 −2x≥1 −2≥1,
1 1
解得 x≤−1 或 −1<x≤− ，即所求解集为 {x∣x≤− ¿¿．
2 2
（2） 令 g(x)=f (x)+f (−x)，则
g(x) =∣x+a∣+∣−x+a∣
¿ ≥2∣a∣,
所以 2>2∣a∣，即 −1<a<1．所以实数 a 的取值范围是 (−1,1)．
