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2023届高考数学三轮冲刺卷：绝对值不等式的解法
一、选择题（共20小题；）
1. 不等式 ∣x2−2∣<2 的解集是 ()
A. (−1,1) B. (−2,2)
C. (−1,0)∪(0,1) D. (−2,0)∪(0,2)
2. 不等式 ∣2x+5∣≥7 成立的一个必要不充分条件是 ()
A. x≥1 B. x≤−6
C. x≥1 或 x≤−6 D. x≠0
1
3. " x>1 "是" ∣x∣> "的 ()
x
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
4. “∣x−1∣<2 成立”是“x(x−3)<0 成立”的 ()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知集合 A={x∣∣x−1∣≤a，a>0} ， B={x∣∣x−3∣>4} ，且 A∩B=∅ ，则
a 的取值范围是 ()
A. (0,2] B. (−∞,2] C. (7,+∞) D. (−∞,−1)
{x(x+2)>0,
6. 不等式组 的解集为 ()
∣x∣<1,
A. {x∣−21¿¿
7. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个
同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设 A，B 为两个同高的几何体，
p：A，B 的体积相等，q：A，B 在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q
的 ()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x+1
8. 不等式 ∣ ∣<1 的解集为 ()
x−1
A. {x∣0a （ a 是正实数）的解集是 ()
x
1 1
A. {x∣x> ¿¿ B. {x∣x< ¿¿
a 2a1 1 1
C. {x∣ 1 的解集为 R 时，正数 c 满足条件 ()
1 1
A. c<1 B. c< C. c> D. c>1
2 2
14. 不等式 ∣x+1∣(2x−1)≥0 的解集为 ()
{ 1 { 1
A. x∣x≥ ¿¿ B. x∣x≤−1或x≥ ¿¿
2 2
{ 1 { 1
C. x∣x=−1或x≥ ¿¿ D. x∣−1≤x≤ ¿¿
2 2
15. 若 a>1，则不等式 ∣x∣+a>1 的解集是 ()
A. {x∣a−11−a¿¿
C. ∅ D. R
16. 不等式 1<∣x+2∣<5 的解集是 ()
A. (−1,3) B. (−3,1) ∪ (3,7)
C. (−7,−3) D. (−7,−3) ∪ (−1,3)
17. 不等式 ∣x+2∣+∣x−1∣<4 的解集为 ()
A. {x∣x≤−2¿¿ B. {x∣x≥1¿¿
5 3
C. {x∣−2≤x≤1¿¿ D. {x∣− 的解集是 ()
x x
A. (0,2) B. (−∞,0)
C. (2,+∞) D. (−∞,0)∪(0,∞)
19. 已知 f (x)=2x+3(x∈R)，若 ∣f (x)−1∣＜a 的必要条件是 ∣x+1∣＜b(a,b＞0)，
则 a，b 之间的关系是 ()
a a b b
A. b≥ B. b< C. a≤ D. a>
2 2 2 220. 已 知 集 合 A={(x,y)∣x2+ y2≤1,x,y∈Z¿¿，
B={(x,y)∣∣¿¿≤2,∣¿¿≤2,x,y∈Z¿¿， 定 义 集 合
A⊕B={(x +x ,y + y )∣(x ,y )∈A,(x ,y )∈B¿¿，则 A⊕B 中元素的个数为 ()
1 2 1 2 1 1 2 2
A. 77 B. 49 C. 45 D. 30
二、填空题（共5小题；）
21. 设 a,b∈R ， ∣a−b∣>2 ，则关于实数 x 的不等式 ∣x−a∣+∣x−b∣>2 的解集
是 ．
22. 不等式 ∣x+2∣−∣x∣≤1 的解集为 ．
23. 全 集 U=R， A={x∣x<−3或x≥2¿¿， B={x∣−11 的解集为 ．
x+a
25. 不等式 ∣¿¿≥1 的解集是 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 解不等式：x+∣2x−1∣<3．
27. 解关于 x 的不等式 ∣x−a∣0)．
1 1
28. 已知函数 f (x)=∣x− ∣+∣x+ ∣，M 为不等式 f (x)<2 的解集．
2 2
（1）求 M；
（2）证明：当 a,b∈M 时，∣a+b∣<∣1+ab∣．
29. 已知函数 f (x)=∣x+1∣−∣2x−3∣．
（1）画出 y=f (x) 的图象；
（2）求不等式 ∣f (x)∣>1 的解集．
30. 已知函数 f (x)=∣x+a∣．
（1）当 a=−1 时，求不等式 f (x)≥∣x+1∣+1 的解集；
（2）若不等式 f (x)+f (−x)<2 存在实数解，求实数 a 的取值范围．答案
1. D
2. D 【解析】提示：∣2x+5∣≥7⇔ x≥1 或 x≤−6．
3. B
4. B 【解析】由 ∣x−1∣<2，
解得：−2+1a，即 −a>a 或 −a<−a．所以 >2a 或
x x x x
1 1
<0，也就是 x<0 或 00 时，有 − 1，即 c> 时，解集为 R．
2
14. C
15. D
【解析】由 ∣x∣+a>1，得 ∣x∣>1−a．因为 a>1，所以 1−a<0, 故该不等式的解集为 R．16. D
{−2x−1, x≤−2
17. D 【解析】∣x+2∣+∣x−1∣= 3, −22 ，其几何意义是：数轴上表示数 a,b 两点间的距离大
于 2 ； ∣x−a∣+∣x−b∣ 的几何意义是：数轴上任意一点到 a,b 两点的距离之和．
当 x 处于 a,b 之间时， ∣x−a∣+∣x−b∣ 取最小值，且恰为 a,b 两点间的距离．
由 ∣a−b∣>2 知，不等式解集为 R ．
1
22. {x∣x≤− ¿¿
2
23. B∩(∁ A)
U
【解析】如图所示，由图可知 C⊆∁ A，且 C⊆B，
U
所以 C=B∩(∁ A)．
U
24. {x∣2a0,
{ x>0,
27. ∣x−a∣0) 等价于 即 (1−a)xa.
x>0,
{
a
x> , a
① a>1 时， 1−a 解得 x> ；
1+a
a
x> ,
1+a
1
② a=1 时，解得 x> ；
2
x>0
{
a
x< a a
③ 0
1+a
[ a ) ( a a )
综上，a≥1 时，解集为 ,+∞ ；0−1，
2 2 21
所以 −1 时，不等式 f (x)<2 可化为 − +x+x+ <2，解得 x<1，
2 2 2
1
所以 0，
即 a2b2+1>a2+b2，
即 a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab，
即 (ab+1) 2>(a+b) 2，
即 ∣a+b∣<∣1+ab∣．
x−4, x≤−1
{
3
3x−2, −1
2
y=f (x) 的图象如图所示．
（2） 由 f (x) 的表达式及图象，
当 f (x)=1 时，可得 x=1 或 x=3；
1
当 f (x)=−1 时，可得 x= 或 x=5，
3
故 f (x)>1 的解集为 {x∣15¿¿．
31
所以 ∣f (x)∣>1 的解集为 {x∣x< 或15¿¿．
3
30. （1） 当 a=−1 时，f (x)≥∣x+1∣+1 可化为 ∣x−1∣−∣x+1∣≥1，
化简得
{x≤−1, {−11,
或 或
2≥1 −2x≥1 −2≥1,
1 1
解得 x≤−1 或 −12∣a∣，即 −1
