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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三三月验收 数学试卷
1．本试卷共6页
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
考生须知
3．在试卷密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号．
4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师．
一、选择题
1. 春节期间，全国各大影院上映多部电影．其中电影《流浪地球2》以计划建造1万座行星发动机的时代
为故事背景，讲述了“太阳危机”即将来袭，世界陷入一片恐慌之中，万座行星发动机正在建造中，人类
将面临末日灾难与生命存续的双重挑战故事．电影获得了巨大的成果，取得了3970000000元的票房成绩，
其中3970000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，
n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 10时，n是正整数；当原数的绝对值小于
1时，n是负整数．
【详解】解：3970000000用科学记数法表示为 ；
故选：C．
2. 如果3x﹣2y＝0，那么代数式（ +1）• 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得 ，再化简代数式求值即可．
【详解】解：∵3x﹣2y＝0
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∴
∴（ +1）• =（ +1）• =（ +1）× =2
故选：B．
【点睛】本题考查分式的化简求值，正确地计算能力是解决问题的关键．
3. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】在Rt ACB中，利用正弦定义，sinα= ，代入AB值即可求解．
△
【详解】解：在Rt ACB中，∠ACB=90°，
△
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
4. 如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D．若 ，则下列式子正确的是
（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了数轴上的有理数，比较有理数的大小，先观察数轴，确定各数的大小，再得出绝
对值的大小，然后进行有理数的运算即可判断．
【
详解】∵ ，
∴b是负数，d是正数，且 ．
观察数轴可知 ，a是负数，c是正数，
∴ ， ， ，
∴ ．
所以A，B，不正确，C正确；
若 ，则 ．
∵ ， ，
∴D不正确．
故选：C．
5. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. -1 C. -5 D. -6
【答案】D
【解析】
【分析】根据根的判别式得到 ，然后解关于m的不等式，即可求
出m的取值范围，并根据选项判断．
【详解】∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5．
故选D ．
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【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0．
6. 如图，在菱形 中，点E在边 上，射线 交 的延长线于点F，若 ， ，
则 的长为（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质
与判定是解题的关键；由题意易证 ，然后问题可求解．
【详解】解：四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
7. 如图1，小长方形纸片的长为2，宽为1，将4张这样的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在大
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长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形Ⅰ和Ⅱ，设长方形Ⅰ和Ⅱ的周长分别为 和 ，则 与
的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查整式加减的应用，熟练掌握整式的加减是解题的关键；设大长方形的长为a，然后
可得长方形Ⅰ的长为 ，宽为2，长方形Ⅱ的长为 ，宽为3，然后问题可求解．
【详解】解：设大长方形的长为a，则有：长方形Ⅰ的长为 ，宽为2，长方形Ⅱ的长为 ，宽为
3，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是 ，点B是函数 图象上的一个动点，
过点B作BC⊥y轴交函数 的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连
接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
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④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点 ，则 ，根据BC=AB，可得
关于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到
点B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，
可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解．
【详解】解：如图，
∵BC⊥ y轴，
∴BC∥AD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点 ，则 ，
①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB，
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∴ ，
∵点A的坐标是 ，
∴ ，
∴ ，解得： ，该方程有解，
∴四边形ABCD可能 是菱形，故①正确；
②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，
∵点A的坐标是 ，
∴点B的横坐标为5，
∵点B是函数 图象上，
∴点B的纵坐标为 ，
∴
∵BC⊥y轴，
∴点C的纵坐标为 ，
∵点C是函数 的图象的一点，
∴点C的横坐标为 ，
∴此时 ，
∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；
③若a=1时，点 ，则 ，
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∴AD=BC=7， ，
∴此时四边形ABCD的周长为 ，
若a=2时，点 ，则 ，
∴AD=BC=4， ，
∴此时四边形ABCD的周长为 ，
∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误；
∵ ， ，
∴AD= ，点B到x轴的距离为a，
∴四边形ABCD的面积为 ，
∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确；
∴正确的有①④．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平
行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
二、填空题
9. 若式子 有意义，则实数 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【详解】解：二次根式中被开方数 ，所以 ．
故答案为： ．
10. 因式分解： ______．
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【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式，即可解答．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
11. 已知某函数当 时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是___________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】直接利用一次函数的性质得出答案
【详解】解：∵当自变量 时，函数y随x的增大而增大，
∴可以设一次函数 ， ，一次函数过 ， 点，
代入得： ，解得： ，
∴一次函数解析式为： ，
为
故答案 ： （答案不唯一）
【点睛】此题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的性质是解题的关键．
12. 如图，A、B、C、D是正方形网格的格点， 交于点O，则 的值为__________．
【答案】2
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【解析】
【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；连接 ，由题意易知 ，
，然后问题可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
设正方形网格每个小正方形的边长为1，则有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为2．
13. 用一个a的值说明命题“若 ，则 ”是错误的，这个值可以是 ______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可．
【详解】解：当a= 时，a2= ， ，而 ＜2，
∴命题“若a>0，则a2> ”是假命题，
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故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要
推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
14. 学校用3600元去商场购买消毒液对教室进行消毒．经过还价，每瓶便宜2元，结果比用原价多买了60
瓶．若设原价每瓶x元，则可列出方程为______________________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程， 由原价及还价后每瓶便宜2元，可得出还价后每瓶元，
利用数量 总价 单价，结合结果比用原价多买了60瓶，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原价每瓶x元，还价后每瓶 元，
根据题意有： ，
故答案为： ．
15. 放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 ， ， ， 处连接起来，使得直尺可以绕着这
些点转动， 为固定点， ， ，在点 ， 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 ，画图时固定点 ，控制点 处的笔尖沿图形 的轮廓线移动，此时点 处的画笔
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便画出了将图形 放大后的图形 ．
原理：
连接 ， ，可证得以下结论：
① 和 为等腰三角形，则 ， （180°-∠_____）；
②四边形 为平行四边形（理由是________）；
③ ，于是可得 ， ， 三点在一条直线上；
④当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的______倍得到的．
【答案】① ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④
【解析】
【分析】①由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得结论；
②根据平行四边形的判定定理进行判定即可；
③根据位似图形的性质求解即可．
【详解】解：连接 ， ，如图，
①∵ ，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
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∴∠ ，∠
∴∠ ，∠
②∵ ，
∴四边形 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴ ， ， 三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即： ，
又 ，且
∴
即：当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 倍得到的．
故答案为： ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【点睛】此题考查了平行四边形的判定以及位似图形的性质，掌握位似比等于相似比是解答此题的关键．
16. 张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、
E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样，若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，
砚台2人一方即可，墨汁n瓶（ ）．张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案___
（购买数量写前面商品代码写后面即可，例如： ；n最多买___瓶．
商品 价格
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组合A（1支笔＋1个本＋1方砚台＋1瓶墨汁） 25元
组合B（1支笔＋1个本＋1瓶墨汁） 18元
C：1支笔 5元
D：1个本 4元
E：一方砚台 10元
F：一瓶墨汁 12元
【答案】 ①. ②. 5
【解析】
【分析】根据题意可得，一共需要12支笔，12个本，6方砚台，组合A是最便宜的，尽量多买A，再根据
砚台2人一方，则组合A最多买6件，剩余的钱不够买6人的笔记本和比，故组合A最多买5件，这样砚
台差一个，最后补全笔和本的数量即可．
【详解】解：根据题意可得，
砚台2人一方，
当够买6件组合A时，剩余的钱为： （元），
还需要6个组合B或单独够买6支笔和6个本，
6个组合B需要： （元），
单独够买6支笔和6个本， 元，
∵ ，
∴最多够买5个组合A，
当够买5件组合A时，剩余的钱为： （元），
再够买一个砚台，剩余的钱为： （元），
单独够买7支笔和7个本，剩余的钱为： （元），
综上：满足条件的购买方案为：够买5个组合A，再单独够买7支笔和7个本和1个砚台；墨汁对多有5瓶．
故答案为： ，5．
【点睛】本题主要考查了根据方案的选择，解题的关键是根据题意，确定组合A是最便宜的，应该尽可能
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多的选择组合A，从而恰当的方案．
三、解答题
17. 计算： ．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解答
本题的关键是明确它们各自的计算方法．
18. 解不等式组： ，并写它的整数解．
【答案】 ，整数解为0、1、2
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键；先求出每个不等式的解
集，然后问题可求解．
【详解】解：
由①可得： ，
由②可得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
∴它的整数解为0、1、2．
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19. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；先去分母，然后再进行
求解方程即可．
【详解】解：去分母得： ，
移项、合并同类项得： ，
为
系数化 1得： ；
经检验： 是原方程的解．
20. 如图，在 中， 是边 的中点， ，垂足为点E．已知
．
（1）求线段 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据三角函数求出 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出
的长即可；
（2）先运用勾股定理求出 ，再由于D为 上的中点可得 ，推出 ，
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利用正弦函数求出 ，据此即可解答．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直角三角形，D是边 的中点，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 为直角三角形，D是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题．
21. 关于x的一元二次方程 有两个实数根
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，求此时方程的根．
【答案】（1）m≥ ；(2) 当m=0时，方程的根为x=1，x=0．
1 2
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式列出不等式并求解即可；
（2）确定一个满足条件且方便计算的m，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）由题意得:△=(2m+1)2-4m2≥0,解得：m≥ ；
（2）当m=0时，原方程为： ，解得x=1，x=0．
1 2
【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①
当△> 0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△< 0时，方程无
实数根．
22. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在
正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．
因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以
说明．
【答案】（1）小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是
（2）正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是 ，用树状图说明见解析
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【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解，即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情
况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是： ；
【小问2详解】
画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是： ．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，将等边三角形 折叠，使点A落在 边上的点D处（不与B、C重合），折痕为 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，直接写出 ， 的周长；
（3）在（2）的条件下，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）14，10
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（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识
点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得 、 即可证
明结论；
（2）有已知条件可得 ，由等边三角形的性质可得 ，再由折叠的性质可得
， ，最后根据三角形周长的定义即可解答；
（3）根据相似三角形的性质列式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵等边三角形
∴
∵三角形 折叠，使点A落在 边上的点D处
∴
∵ ，
∴
∵
∴ ．
【小问2详解】
∵ ，
∴
∵等边三角形
∴
∵三角形 折叠，使点A落在 边上的点D处
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∴ ，
∴ 的周长为：
的周长为： ．
【小问3详解】
∵ ．
又∵ 的周长为：14， 的周长为：10
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
24. 在平面直角坐标系xOy中，直线L：y=kx+2k(k>0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数
(x>0)的图象的交点P位于第一象限．
(1)若点P的坐标为(1，6)，
①求m的值及点A的坐标；
② =_________；
(2)直线h：y=2kx-2与y轴交于点C，与直线L 交于点Q，若点P的横坐标为1，
1
①写出点P的坐标(用含k的式子表示)；
②当PQ≤PA时，求m的取值范围．
【答案】（1）①6；（−2，0）② ；（2）①P（1，3k）②m≥3
【解析】
【分析】（1）①把P（1，6）代入函数 （x＞0）即可求得m的值，直线l1：y＝kx＋2k（k＞0）中，
令y＝0，即可求得x的值，从而求得A的坐标；
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②把P的坐标代入y＝kx＋2k即可求得k的值，进而求得B的坐标，然后根据勾股定理求得PB和PA，即
可求得 的值；
（2）①把x＝1代入y＝kx＋2k，求得y＝3k，即可求得P（1，3k）；
②分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2＋ ，若PQ＝PA，则
＝1，根据平行线分线段成比例定理则 ＝ ＝1，得出MN＝MA＝3，即可得到2＋ −1＝3，
解得k＝1，根据题意即可得到当 ＝ ≤1时，k≥1，则m＝3k≥3．
【详解】（1）①令y＝0，则kx＋2k＝0，
∵k＞0，解得x＝−2，
∴点A的坐标为（−2，0），
∵点P的坐标为（1，6），
∴m＝1×6＝6；
②∵直线l：y＝kx＋2k（k＞0）函数 （x＞0）的图象的交点P，且P（1，6），
1
∴6＝k＋2k，解得k＝2，
∴y＝2x＋4，
令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
∵点A的坐标为（−2，0），
∴PA＝ ，PB＝ ，
∴ = ，
故答案为 ；
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（2）①把x＝1代入y＝kx＋2k得y＝3k，
∴P（1，3k）；
②由题意得，kx＋2k＝2kx−2，
解得x＝2＋ ，
∴点Q的横坐标为2＋ ，
∵2＋ ＞1（k＞0），
∴点Q在点P的右侧，
如图，分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标为1，2＋ ，
若PQ＝PA，则 ＝1，
∴ ＝ ＝1，
∴MN＝MA，
∴2＋ −1＝3，解得k＝1，
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∵MA＝3，
∴当 ＝ ≤1时，k≥1，
∴m＝3k≥3，
∴当PQ≤PA时，m≥3．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，勾股定理的应用，利用函
数图象解决问题是本题的关键．
25. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形
状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离
为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d
0.50 1.00 1.5 2.00 2.50 3.00
（米）
h
3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 0
（米）
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，
从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人
想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
【答案】（1）图见解析；
（2）4米 （3）h=-d2+2d+3
（4）水枪高度调节到5米以上
【解析】
【分析】（1）建立坐标系，描点，用平滑的曲线连线即可；
（2）结合图象，得出最高点坐标为（1，4），进而得出结论；
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（3）利用顶点式h=a(d-1)2+4和点（3，0）即可求出h关于d的函数表达式；
（4）设平移后的解析式为h=-d2+2d+3+m，根据题意求解即可.
1
【小问1详解】
解：如图所示
【小问2详解】
解：由图象得，
最高点坐标为（1，4），
∴水柱最高点距离湖面的高度为4米；
【小问3详解】
解：由题意，得
设顶点式为h=a(d-1)2+4，
又图象过点（3，0），
∴a(3-1)2+4=0，
解得a=-1，
∴函数解析式h=-(d-1)2+4=-d2+2d+3；
【小问4详解】
解：设水枪高度向上调整m米时，游船恰好能从喷泉拱门下穿过，
则平移后的解析式为h=-d2+2d+3+m，
1
当横坐标为1+2=3时，纵坐标的值大于等于1+1=2，
∴-32+6+3+m≥2，
解得m≥2，
∴水枪高度至少向上调整2米，
∴水枪高度调节到5米以上.
【点睛】本题考查二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于熟练掌
握二次函数的图象建立二次函数模型．
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26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，设抛物线的对称轴为
（1）当 时，求抛物线与y轴交点的坐标及 的值；
（2）点 在抛物线上，若 求 的取值范围及 的取值范围．
【答案】（1）（0，2）；2
（2） 的取值范围为 ， 的取值范围为
【解析】
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点 关于对称轴
为 对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴 的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当
时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点 ，点
，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点 在对称轴的左侧，点 ，（2t，c）均在对称轴
的右侧时，即可求解．
【小问1详解】
解：当 时， ，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵ ，
∴点 关于对称轴 对称，
∴ ；
【小问2详解】
解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
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∴抛物线与y轴交点关于对称轴 的对称点坐标为（2t，c），
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
当点 ，点 ，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵ 1＜3，
∴2t＞3，即 （不合题意，舍去），
当点 在对称轴的左侧，点 ，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点 在对称轴的右侧，
，
此时点 到对称轴 的距离大于点 到对称轴 的距离，
∴ ，解得： ，
∵ 1＜3，
∴2t＞3，即 ，
∴ ，
∵ ， ，对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ 的取值范围为 ， 的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
27. 在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的异
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侧）点D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．
（1）如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为
；（用含a的式子表示）
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）互相垂直；
（2）① ，证明见解析；② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 与 的位置关系是互相垂直，过点A作 于点
M，根据等腰三角形性质得到 ，利用 证明 ，根据全等三
角形性质即可得出 ；
（2）当点 E 与点 C 不重合时，①过点 A 作 于点 M、 于点 N，利用 证明
，根据全等三角形性质即可得到 ；
②在 上截取 ，连接 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质得到
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， ， 根 据 角 的 和 差 得 到 ， 再 利 用 证 明
，根据全等三角形性质及线段和差即可得到 ．
【小问1详解】
解：当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 的位置关系是互相垂直，
若 ，过点A作 于点M，如图：
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
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∴ ，
即 的长为 ，
故答案为：互相垂直； ；
【小问2详解】
解：①当点E与点C不重合时，用等式表示 与 之间的数量关系是： ，
证明如下：
过点A作 于点M、 于点N，如图：
则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
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∴ ，
∴ ；
②用等式表示线段 ， ， 之间的量关系是： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由①知： ，
即 ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、
垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关
键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于线段AB与直线 ，给出如下定义：若线段AB关于直线l
的对称线段为 ( ， 分别为点A，B的对应点)，则称线段 为线段AB的“ 关联线段”．
已知点 ， ．
（1）线段 为线段AB的“ 关联线段”，点 的坐标为 ，则 的长为______，b的值为
______；
（2）线段 为线段AB的“ 关联线段”，直线 经过点 ，若点 ， 都在直线 上，连接
，求 的度数；
（3）点 ， ，线段 为线段AB的“ 关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k
使得线段 与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．
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【答案】（1）2；-1
（2）15°或105°
（3） 或
【解析】
【分析】(1)由对称性质AB、A′B′关于直线l对称，所以A′B′=AB=2，由题意，得
y=x+b，把AA′的中点( ， )代入y=x+b，求出b即可；
(2)作C关于l的对称点C′，连接O C′，OA，OC′，因为AB的对称点在l 上，所以点C的对称点C′在直线
1
AB上，则可求出点C′的坐标为(1， )，继而可求得∠C′OK=60°，再求出∠AOK=45°，所以
∠C′OA=∠C′OK -∠AOK =60°-45°=15°，然后利用对称的性质得出∠COA′=∠C′OA，即可求解；
(3)求出两种特殊情形 的值，即可得出b的取值范围．
【小问1详解】
解：∵A(1，1)，B(1，-1)，
∴AB=2，
∵AB、A′B′关于直线l对称，
∴A′B′=AB=2,
由题意，得k=1，
∴y=x+b，
∵A、A′关于直线l对称，
∴直线l经过AA′的中点，
∵A(1，1)，A′(2，0)，
∴AA′的中点为( , )，即( ， )，
把( ， )代入y=x+b，得 = +b，
解得：b=-1，
故答案为：2,-1；
【小问2详解】
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解：如图，作C关于l的对称点C′，连接O C′，OA，OC′，
由题意，得直线l解析式为：y=kx，
设C关于l的对称点为C′，
∴OC′=OC=2，
∵AB关于l对称点A′B′在l 上，
1
又l 经过点C，
1
∴点C′在直线AB上，
∵A(1，1)，B(1，-1)，
∴直线AB即是直线x=1，
为
∴C′横坐标 1，
∴C′纵坐标为 ,
∴C′(1， )，
∴tan∠C′OK= = ，
∴∠C′OK=60°，
∵A(1，1)，
∴OA=AK，
∴△AOK是等腰直角三角形，
∴∠AOK=45°，
∴∠C′OA=∠C′OK -∠AOK =60°-45°=15°，
∵A、B、C′关于直线l的对称点是A′、B′、C，
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∴∠COA′=∠C′OA=15°；
当A′B′在y轴的右侧时，同理可求∠COA′=∠COD+∠A′OD=105°，
【小问3详解】
设直线y=kx+b与y轴交于点E，连接EB，EA．
当b>0时，⊙E(r=EB)与PQ相切时， ．
当b<0时，⊙E(r=EA)经过点P时，
∵线段 与线段PQ有公共点，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，本题属一次函数综合题目，熟练掌握一
次函数的图象性质、轴对称性质是解题的关键．
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