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第 3 讲 力的合成与分解
目标要求 1.会应用平行四边形定则及三角形定则求合力.2.能利用效果分解法和正交分解
法计算分力.3.知道“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”的区别．
考点一 共点力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个
力的合力，那几个力叫作这个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
2．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边
作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图甲所示，F、F 为
1 2
分力，F为合力．
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的
有向线段为合矢量．如图乙所示，F、F 为分力，F为合力．
1 2
1．合力和分力可以同时作用在一个物体上．( × )
2．两个力的合力一定比其分力大．( × )
3．当一个分力增大时，合力一定增大．( × )1．求合力的方法
作出力的图示，结合平行四边形定则，用刻度尺量出表示合力的线段的长
作图法
度，再结合标度算出合力大小.
根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正
计算法
弦定理等求出合力.
2.合力范围的确定
(1)两个共点力的合力大小的范围：|F－F|≤F≤F＋F.
1 2 1 2
①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．
②当两个力反向时，合力最小，为|F－F|；当两个力同向时，合力最大，为F＋F.
1 2 1 2
(2)三个共点力的合力大小的范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为F ＝F＋F＋F.
max 1 2 3
②最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，
即F ＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，
min
即F ＝F－(F＋F)(F 为三个力中最大的力)．
min 1 2 3 1
考向1 合力大小的范围
例1 (多选)两个共点力F 、F 大小不同，夹角为α(0<α<π)，它们的合力大小为F，则(
1 2
)
A．F、F 同时增加10 N，F也增加10 N
1 2
B．F、F 同时增大一倍，F也增大一倍
1 2
C．F 增加10 N，F 减少10 N，F一定不变
1 2
D．若F、F 都增大，但F不一定增大
1 2
答案 BD
解析 F 、F 同时增加10 N，根据平行四边形定则合成之后，合力的大小增加不一定是10
1 2
N，故A错误；根据平行四边形定则，F 、F 同时增大一倍，F也增大一倍，故B正确；F
1 2 1
增加10 N，F 减少10 N，F可能变大或变小，也可能不变，故C错误；若F 、F 都增大，
2 1 2
根据平行四边形定则可知F不一定增大，故D正确．
考向2 作图法求合力
例2 一物体受到三个共面共点力F 、F 、F 的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边
1 2 3
长相等)，则下列说法正确的是( )A．三力的合力有最大值F＋F＋F，方向不确定
1 2 3
B．三力的合力有唯一值3F，方向与F 同向
3 3
C．三力的合力有唯一值2F，方向与F 同向
3 3
D．由题给条件无法求合力大小
答案 B
解析 先以力F 和F 为邻边作平行四边形，其合力与F 共线，大小F ＝2F ，如图所示，
1 2 3 12 3
F 再与第三个力F 合成求合力F ，可得F ＝3F，故选B.
12 3 合 合 3
考向3 解析法求合力
例3 射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目，中国队有较强的实力．如图甲所示，
射箭时，刚释放的瞬间若弓弦的拉力为 100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力
如图乙中F 和F 所示，对箭产生的作用力如图乙中F所示，则弓弦的夹角α应为(cos 53°＝
1 2
0.6)( )
A．53° B．127° C．143° D．106°
答案 D
解析 弓弦拉力的合成如图所示，由于F ＝F ，由几何关系得2Fcos ＝F，有cos ＝＝＝
1 2 1
0.6，所以＝53°，即α＝106°，故D正确．考点二 力的分解的两种常用方法
1．力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则：平行四边形定则或三角形定则．
2．分解方法
(1)按力产生的效果分解；
(2)正交分解．
如图，将结点O的受力进行分解．
1．合力与它的分力的作用对象为同一个物体．( √ )
2．在进行力的合成与分解时，都能应用平行四边形定则或三角形定则．( √ )
3．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力．( × )
1．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形．
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向．
2．力的正交分解法
(1)建立坐标轴的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在
坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(2)多个力求合力的方法：把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．x轴上的合力F＝F ＋F ＋F ＋…
x x1 x2 x3
y轴上的合力F＝F ＋F ＋F ＋…
y y1 y2 y3
合力大小F＝
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝.
考向1 按照力的效果分解力
例4 刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图是斧头劈木柴的情景．劈的纵截面是一
个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两
个侧面推压木柴，把木柴劈开．设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，
则劈的侧面推压木柴的力的大小为( )
A.F B.F C.F D.F
答案 B
解析 斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F、F，且F＝F，利用几何三角形与
1 2 1 2
力的三角形相似有 ＝＝，得推压木柴的力F＝F＝F，所以B正确，A、C、D错误．
1 2
考向2 力的正交分解法
例5 (2022·辽宁卷·4)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态．蛛
丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)．用F 、F 分别表示OM、ON的拉力，则(
1 2
)A．F 的竖直分力大于F 的竖直分力
1 2
B．F 的竖直分力等于F 的竖直分力
1 2
C．F 的水平分力大于F 的水平分力
1 2
D．F 的水平分力等于F 的水平分力
1 2
答案 D
解析 对结点O受力分析可得，水平方向有F ＝F ，即F 的水平分力等于F 的水平分力，
1x 2x 1 2
选项C错误，D正确；F ＝，F ＝，因为α>β，故F BO)悬挂一
个中空铁球，当向球内不断注入铁砂时，则( )
A．绳AO先被拉断
B．绳BO先被拉断
C．绳AO、BO同时被拉断
D．条件不足，无法判断
答案 B
解析 依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解如图所示．据图可知F >F，又因为两
B A
绳承受的最大拉力相等，故当向球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项B正确．
考向2 “动杆”与“定杆”模型
例8 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的光滑定滑轮挂住一个质量为m
1
的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细
绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m 的物体，
2
重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．图甲中BC对滑轮的作用力大小为
B．图乙中HG杆受到绳的作用力大小为mg
2
C．细绳AC段的拉力F 与细绳EG段的拉力F 的大小之比为1∶1
AC EGD．细绳AC段的拉力F 与细绳EG段的拉力F 的大小之比为m∶2m
AC EG 1 2
答案 D
解析 题图甲中是一根绳跨过光滑定滑轮，绳中的弹力大小相等，两段绳的拉力大小都是
mg，互成120°角，则合力的大小是mg，方向与竖直方向成60°角斜向左下方，故BC对滑
1 1
轮的作用力大小也是mg，方向与竖直方向成60°角斜向右上方，A选项错误；题图乙中HG
1
杆受到绳的作用力大小为mg，B选项错误；题图乙中F sin 30°＝mg，得F ＝2mg，则
2 EG 2 EG 2
＝，C选项错误，D选项正确．
课时精练
1．三个共点力大小分别是F、F、F，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是( )
1 2 3
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F＋F＋F
1 2 3
B．F至少比F、F、F 中的某一个力大
1 2 3
C．若F∶F∶F＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
1 2 3
D．若F∶F∶F＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
1 2 3
答案 C
解析 三个大小分别是F、F、F 的共点力合成后的最大值一定等于F＋F＋F，但最小值
1 2 3 1 2 3
不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两个力的合力范围内时，这三个力的合力才可
能为零，选项A错误；合力可能比三个力都大，也可能比三个力都小，选项 B错误；合力
能够为零的条件是三个力的矢量箭头能组成首尾相接的三角形，任意两个力的和必须大于第
三个力，选项D错误，C正确．
2.用两根等长轻绳将木板挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千．某次维修时将两轻
绳各剪去一小段，但仍保持两绳等长且悬点不变．木板静止时，F 表示木板所受合力的大
1
小，F 表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后( )
2
A．F 不变，F 变大 B．F 不变，F 变小
1 2 1 2
C．F 变大，F 变大 D．F 变小，F 变小
1 2 1 2
答案 A
解析 由于木板始终处于静止状态，因此维修前、后合力F 都是零，保持不变，两轻绳各
1
剪去一段后，长度变短，悬挂木板时，轻绳与竖直方向的夹角变大，根据力的合成知，合力不变，两分力夹角变大时，两分力变大，故A正确，B、C、D错误．
3．(多选)为使舰载机在几秒内迅速停在航母上，需要利用阻拦索将舰载机拦停(如图甲)，此
过程可简化为如图乙所示模型，设航母甲板为一平面，阻拦索两端固定，并始终与航母甲板
平行．舰载机从正中央钩住阻拦索，实现减速．阻拦索为弹性装置，刚刚接触阻拦索就处于
绷紧状态，下列说法正确的是( )
A．舰载机落在航母上钩住阻拦索时，只受重力、阻拦索的弹力和航母甲板的摩擦力三个力
作用
B．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，阻拦索对飞机的弹力在变大
C．当阻拦索被拉至夹角为120°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的弹力大小为
F
D．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，舰载机所受摩擦力一直在变大
答案 BC
解析 舰载机受重力、阻拦索的弹力、航母施加的摩擦力与支持力四个力作用，故 A错误；
阻拦索的长度变长，张力变大，对飞机作用的是阻拦索上两个分力的合力，夹角变小，合力
变大，故B正确；如图，阻拦索的张力夹角为120°时，F ＝F，故C正确；由滑动摩擦力F
合
＝μF ＝μmg，故舰载机所受摩擦力不变，故D错误．
滑 N
4.(2023·江苏镇江市高三检测)如图所示一个“Y”形弹弓，两相同的橡皮条一端固定在弹弓
上，另一端连接轻质裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为
k，发射弹丸时每根橡皮条的伸长量为L，橡皮条之间夹角为60°，则发射瞬间裹片对弹丸的
作用力大小为( )A.kL B．2kL C．kL D．2kL
答案 A
解析 每根橡皮条产生的弹力大小为F＝kL，夹角为60°，则合力大小为F ＝2Fcos 30°＝
合
kL，故选A.
5.如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰好构成一个正六边形的
两邻边和三条对角线，已知F＝10 N，则这5个力的合力大小为( )
1
A．50 N B．30 N
C．20 N D．10 N
答案 B
解析 利用三角形定则可知，F 和F 的合力等于F ，F 和F 的合力也等于F ，所以这5个
2 4 1 5 3 1
力的合力大小为3F＝30 N，故选B.
1
6.(2023·山西吕梁市模拟)如图所示，四根等长的细绳一端分别系于水桶上关于桶面圆心对称
的两点，另一端被两人用同样大小的力F 、F 提起，使桶在空中处于静止状态，其中F 、
1 2 1
F 与细绳之间的夹角均为θ，相邻两细绳之间的夹角均为α，不计绳的质量，下列说法正确
2
的是( )
A．保持θ角不变，逐渐缓慢增大α角，则桶所受合力逐渐增大
B．保持θ角不变，逐渐缓慢增大α角，则细绳上的拉力逐渐增大
C．若仅使细绳变长，则细绳上的拉力变大
D．若仅使细绳变长，则F 变大
1
答案 B
解析 保持θ角不变，逐渐增大α角，由于桶的重力不变，则F 、F 会变大，由F ＝2F cos
1 2 1 T
θ可知，绳上的拉力逐渐增大，但桶处于平衡状态，所受合力为零，选项 A错误，B正确；保持α角不变，则F、F 大小不变，若仅使绳变长，则θ角变小，由F＝2F cos θ可知，绳
1 2 1 T
上的拉力变小，选项C、D错误．
7．(2023·浙江嘉兴市模拟)如图所示，某物体同时受到共面的三个共点力作用，坐标纸小方
格边长的长度对应1 N大小的力．甲、乙、丙、丁四种情况中，关于三共点力的合力大小，
下列说法正确的是( )
A．甲图最小 B．乙图为8 N
C．丙图为5 N D．丁图为1 N
答案 D
解析 由题图可知，F ＝2 N，方向竖直向上；F ＝ N，方向斜向右下；F ＝ N，方向
甲 乙 丙
斜向左上；F ＝1 N，方向竖直向上；则丁图的合力最小，为1 N，故选D.
丁
8.有一种多功能“人”字形折叠梯，其顶部用活页连在一起，在两梯中间某相对的位置用一
轻绳系住，如图所示，可以通过调节绳子的长度来改变两梯的夹角θ.一质量为m的人站在
梯子顶部，若梯子的质量及梯子与水平地面间的摩擦不计，整个装置处于静止状态，则(
)
A．θ角越大，梯子对水平地面的作用力越大
B．θ角越大，梯子对水平地面的作用力越小
C．θ角越大，绳子的拉力越大
D．θ角越大，人对梯子的压力越大
答案 C
解析 对人和梯子整体进行分析，有mg＝F ，根据牛顿第三定律可知，梯子对水平地面的
N
作用力与水平地面对梯子的支持力等大，与θ角无关，故A、B错误；对一侧的梯子受力分析，受到人的沿梯子向下的作用力，地面的竖直向上的支持力(不变)，绳子的水平方向的拉
力，如图，F ＝F tan ，F ＝，可知θ角越大，绳子的拉力越大，故C正确；对人受力分
T N 人
析，梯子对人的支持力大小等于人的重力，梯子对人的支持力与人对梯子的压力是相互作用
力，大小与θ角无关，故D错误．
9.(2023·福建省福州第一中学高三月考)如图为一小型起重机，A、B为光滑轻质滑轮，C为
电动机．物体P和A、B、C之间用不可伸长的轻质细绳连接，滑轮A的轴固定在水平伸缩
杆上并可以水平移动，滑轮B固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动．当物体P静止时( )
A．滑轮A的轴所受压力可能沿水平方向
B．滑轮A的轴所受压力一定大于物体P的重力
C．当只将滑轮A向右移动时，A的轴所受压力变大
D．当只将滑轮B向上移动时，A的轴所受压力变大
答案 C
解析 滑轮A的轴所受压力为BA方向的拉力和物体P重力的合力，BA方向的拉力与物体P
的重力大小相等，设两力方向的夹角为θ，其变化范围为90°<θ<180°，根据力的合成法则可
知，滑轮A的轴所受压力不可能沿水平方向，θ的大小不确定，滑轮A的轴所受压力可能大
于物体P的重力，也可能小于或等于物体P的重力，故A、B错误；当只将滑轮A向右移动
时，θ变小，两绳的合力变大，A的轴所受压力变大，故C正确；当只将滑轮B向上移动时，
θ变大，两绳的合力变小，A的轴所受压力变小，故D错误．
10.(多选)(2023·广东省模拟)如图，家用小型起重机拉起重物的绳子一端固定在起重机斜臂顶
端，另一端跨过动滑轮A和定滑轮B之后与电动机相连．起重机正将重为G的重物匀速竖
直上拉，忽略绳子与滑轮的摩擦以及绳子和动滑轮A的重力，∠ABC＝60°，则( )
A．绳子对定滑轮B的作用力方向竖直向下B．绳子对定滑轮B的作用力方向与BA成30°角斜向下
C．绳子对定滑轮B的作用力大小等于G
D．绳子对定滑轮B的作用力大小等于G
答案 BD
解析 绳子对定滑轮B的作用力为BA和BC两段绳子弹力的合力，方向不可能竖直向下，
故A错误；重物匀速运动，则任意段绳子的弹力等于重力的一半，即.由平行四边形定则可
知，合力方向沿∠ABC的角平分线，与BA夹角为30°斜向下，大小为，故B、D正确，C错
误．
11.如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平
力F，B就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400
N，B与左侧竖直墙壁接触，接触面光滑，铰链和杆受到的重力不计，求：
(1)扩张机AB杆的弹力大小(用含α的三角函数表示)；
(2)D受到向上顶的力的大小．
答案 (1) N (2)2 000 N
解析 (1)将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，如图甲所示，且F ＝F ，则有
1 2
2Fcos α＝F，则扩张机AB杆的弹力大小为F＝＝ N
1 1
(2)再将F 按作用效果分解为F 和F ′，如图乙所示，则有F ＝Fsin α，联立得F ＝，根
1 N N N 1 N
据几何知识可知tan α＝＝10，则F ＝5F＝2 000 N.
N
12．一重力为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹
角相等，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，则：(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉
力？
(2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成 37°角，如图乙所示，且保证工件对V
形槽两侧面的压力大小相等，发现工件能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小．
(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案 (1)0.5G (2)0.4G
解析 (1)分析圆柱体工件的受力可知，沿轴线方向受到拉力 F和两个侧面对圆柱体工件的
滑动摩擦力，由题给条件知F＝F，将工件的重力进行分解，如图所示，由平衡条件可得G
f
＝F＝F，由F＝μF＋μF 得F＝0.5G.
1 2 f 1 2
(2)把整个装置倾斜，则重力沿压紧两侧的斜面的分力F′＝F′＝Gcos 37°＝0.8G，此时工
1 2
件所受槽的摩擦力大小F′＝2μF′＝0.4G.
f 1
