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专题 24 磁场对运动电荷(带电体)的作用
1.能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小.
2.会分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动.
3.能够分析带电体在匀强磁场中的运动．
考点一 对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力的定义
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛仑兹力的大小
， 为 与B的夹角。
当 时， ，此时，电荷受到的洛仑兹力最大；
当 或 时，f =0，即电荷在磁场中平行于磁场方向运动时，电荷不受洛仑兹力作用；
当v=0时，f =0，说明磁场只对运动的电荷产生力的作用。
3．洛仑兹力的方向
左手定则：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，且处于同一平面内，让磁感线穿入手心，四指指向
为正电荷的运动方向（或负电荷运动的反方向），大拇指所指的方向是正电荷（负电荷）所受的洛仑兹力
的方向。
4．由安培力公式 推导洛仑兹力公式
如图所示，直导线长L，电流为I，导线中运动电荷数为n，截面积为S，电荷的电量为q，运动速度为v，
则
安培力
所以洛仑兹力
因为 ( N为单位体积内的电荷数）
所以 ，式中 ，故 。洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力
的宏观表现。
洛伦兹力与静电力的比较
洛伦兹力 静电力
v≠0且v不与B平行
产生条件 (说明：运动电荷在磁场中不 电荷处在电场中
一定受洛伦兹力作用)
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向与场方
F⊥B(且F⊥v) F∥E
向的关系
做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功
【典例1】（2022·湖北武汉·模拟预测）如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为 区域内
的地磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场，一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨迹恰好与
地面相切。不计粒子重力，则（ ）
A．粒子带正电荷 B．轨迹半径为 C．轨迹半径为 D．轨迹半径为
【典例2】（2022·全国·高三课时练习）如图所示，真空中竖直放置一长直细金属导线MN，电流向上。空
间中做一与导线同轴的半径为R的柱面。光滑绝缘管ab水平放置，端点a、b分别在柱面上。半径略小于
绝缘管内径的带正电小球自a点以速度v 向b点运动过程中，下列说法正确的是（ ）
0A．小球先加速后减速
B．小球受到的洛伦兹力始终为零
C．小球在ab中点受到的洛伦兹力为零
D．小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向向上
考点二 洛伦兹力作用下带电体的运动
带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间弹力随着变
化(若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化)，最后若弹力减小到0，带电体离开接触面．
【典例3】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，足够长粗糙绝缘倾斜木板 与水平面夹角为 ，一个
质量为 的物块刚好可以沿 匀速下滑。让物块带上电荷量为 的正电，整个装置置于垂直纸面向里的
匀强磁场中。 时给物块一个沿木板 向下的初速度，物块运动的 图像可能是（ ）
A． B．
C． D．【典例4】（2021·安徽蚌埠·一模）如图所示，足够长的水平光滑平行导轨通过开关S与电源两极相连，电
源电动势为E，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。闭合开关S，金属杆中自由电子沿杆定向移动的速
度为 ，该速度使得电子受到的洛伦兹力为 ；杆在安培力作用下获得的速度为 ，该速度使得杆中电子
受到的洛伦兹力为 。已知导轨间距为L，电子电荷量为e，只考虑金属杆的电阻，其余电阻均不计，金
属杆运动时与导轨接触良好，则（ ）
A． 方向由a指向b B． 的方向向右， 的方向向左
C．杆在加速运动时， D．杆在匀速运动时，
考点三 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动．
2．带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与
磁场垂直的平面内做匀速圆周运动．
(1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝.
(2)轨迹半径：r＝.
(3)周期：T＝＝，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关．
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝T.
(5)动能：E＝mv2＝＝.
k
【典例5】（2022·全国·高三课时练习）直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方
存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q
（q>0）。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该
粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的
出射点到两直线交点O的距离为（ ）A． B． C． D．
【典例6】（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，
其边界如图中虚线所示，bc为半径为r的半圆，ab、 cd与直径bc共线，ab间的距离等于半圆的半径。一
束质量为m、电荷量为q （q>0）的粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。
不计粒子之间的相互作用。从abcd边界射出磁场所用时间最短的粒子的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
考点四 带电粒子做匀速圆周运动的分析方法
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法
1．画轨迹：即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹。
2．找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角运动时间相联系，在磁场中运
动的时间与周期相联系。
3．用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式，半径公式。
（一）圆周运动中的应用三步法的方法技巧：
1．圆心的确定：
一般有以下两种情况：
（1）已知粒子运动轨迹上两点的速度方向，如图甲，作这两速度的垂线，交点即为圆心。（2）如图乙所示，P为入射点、M为出射点，已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方
向的垂线，连接入射点和出射点，作它的中垂线，这两条垂线的交点就是圆心。
2．半径的确定和计算。
圆心找到以后，自然就有了半径，半径的计算一般是利用几何知识，常用到解三角形的方法及圆心角等于
弦切角的两倍等知识。如图， ，即偏向角等于圆心角； 即圆心角等于弦切角的两倍。
3．在磁场中运动时间的确定。
利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等于3600计算出圆心角 的大小，由公式 ，
可求出运动时间t。有时也用弧长与线速度的比 。
在上述问题中经常用到以下关系：
（1）速度的偏向角 等于AB所对的圆心角 。
（2）偏向角 与弦切角 的关系： ， ； ， 。
（3）圆周运动中有关对称规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角
相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
（二）圆周运动中的有关对称或临界问题
1．直线边界（进出磁场具有对称性，如图）2．平行边界（存在临界条件，如图）
3．圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图）
（三）两类典型的综合问题
1．带电粒子在有界磁场中运动的极值问题，注意下列结论，再借助数学方法分析
（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
（2）当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
（3）当速率v变化时，圆周角越大的，运动时间越长。
2．洛伦兹力的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般
包含下述几个方面．
（1）带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正负粒子在磁
场中运动轨迹不同，导致形成双解。
（2）磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不
确定而形成的多解。
（3）临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可
能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解。（4）运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场，部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。
【典例7】（2022·山西吕梁·二模）利用磁场可以对带电粒子的运动进行控制，如图所示，空间存在垂直纸
面向外的匀强磁场，P点为纸面内一离子源，可以沿纸面向各方向发射速度大小相同的同种正离子。同一
纸面内距P点为5r的Q点处有一以Q点为圆心、半径为r的圆形挡板。已知正离子在磁场中做圆周运动的
轨道半径为3r，离子打到挡板上时被挡板吸收。则挡板上被离子打中的长度与挡板总长度的比值为
（ ）
A．210 ∶ 360 B．217 ∶ 360 C．233 ∶ 360 D．240 ∶ 360
【典例8】（2022·广东·模拟预测）如图所示，在直角坐标系 中有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，
一质量为m、电荷量为q的粒子（不计粒子受到的重力）从原点O以大小为v的初速度沿x轴正方向射入
磁场，粒子恰好能通过坐标为 的P点。磁场的磁感应强度大小为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2021·甘肃·民勤县第一中学高三阶段练习）如图所示，平行金属板间存在正交的匀强电场和匀强磁场，
其中匀强电场的方向竖直向上，匀强磁场的方向垂直纸面向里。一带电小球从光滑绝缘轨道上的A点自由滑下，经P点进入金属板间后恰好沿水平方向做直线运动。现使小球从较低的C点自由滑下，经P点进入
金属板间，则小球在金属板间运动的初始阶段（ ）
A．动能将会增大
B．电势能将会减小
C．所受的静电力将会增大
D．所受的洛伦兹力将不变
2．（2022·四川·乐山市教育科学研究所高三模拟）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，三
个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着 方向射入磁场，其运动轨
迹如图.若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c均带正电
B．a粒子在磁场中运动时间最长
C．a粒子动能最大
D．它们做圆周运动的周期
3．（2022·四川·乐山市教育科学研究所高三模拟）如图，一个边长为a的正方形区域内存在垂直于纸面向
内的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、带电量为 的粒子以某一速度从 的中点平行
于 边射入磁场，粒子恰好从C点射出，不计粒子重力。则粒子入射磁场的速度大小为（ ）A． B． C． D．
4．（2022·青海玉树·高三模拟）下列有关带电粒子与静止磁场的关系的说法中，正确的是（ ）
A．带电粒子在磁场中运动时，其所受的磁场力可能为零
B．在磁场中运动的粒子，速度越大，其所受的磁场力越大
C．在磁场中运动的粒子，速度越大，其所受的磁场力越小
D．静止的带电粒子在磁场中也可能受到磁场的力的作用
5．（2022·江苏盐城·高三一模）如图所示，螺线管中通入正弦交流电，将电子沿轴线方向射入后，电子在
螺线管中的运动情况是（ ）
A．往复运动 B．匀速圆周运动 C．匀速直线运动 D．匀变速直线运动
6．（2022·辽宁·高三期末）如图所示，一内壁光滑、上端开口下端封闭的绝缘玻璃管竖直放置，高为h，
管底有质量为m、电荷量为+q的小球，玻璃管以速度v沿垂直于磁场方向进入磁感应强度为B、方向垂直
纸面向里的匀强磁场中。在外力作用下，玻璃管在磁场中运动速度保持不变，小球最终从上端管口飞出，
在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．洛伦兹力对小球做正功
B．小球机械能的增加量等于qvBhC．小球相对于地面做加速度不断变化的曲线运动
D．小球在玻璃管中的运动时间与玻璃管的速度成反比
7．（四川省成都市模拟）如图，竖直面（纸面）内，一层够长的粗糙绝缘直杆与水平方向成 角固定，
所在空间有方向垂直纸面向里的匀强磁场和方向水平向左的匀强电场，一质量为m且可视为质点的带正电
小球套在杆上，现给球一个沿杆向下的初速度v，球恰能做匀速运动，且杆对球恰好无弹力。下列判定正
确的是（ ）
A．电场强度与磁感应强度的大小关系为
B．若在球运动的过程中仅撤去磁场，球仍将保持速度v做匀速运动
C．若仅将球的初速度大小变为 ，球将做加速度不断减小的减速运动直至静止
D．若仅将球的初速度大小变为2v，球沿杆运动的过程中，克服摩擦力做的功为
8．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）如图所示，在x轴上方有磁感应强度为B的匀强磁场，一个带
电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴负方向成60°角，
不计粒子所受的重力，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中运动，到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷及
所带电荷的正负是（ ）
A． ，正电荷 B． ，负电荷
C． ，正电荷 D． ，负电荷
9．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高三阶段练习）一质量为m、电荷量为 的粒子，经电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，宽度为d的匀强磁场区域，如图所示。在磁
场中偏转后从磁场右边界射出，射出点与入射点的竖直距离为 ，不计粒子重力，则入射粒子的速度大小
为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·山东淄博·高三二模）如图为地球赤道剖面图，地球半径为R，把地面上高度为 区域内的地
磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场，在赤道平面内一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨
迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（ ）。
A．轨迹半径为 B．轨迹半径为
C．轨迹半径为 D．轨迹半径为
二、填空题
11．（2022·天津市红桥区教师发展中心高三一模）如图所示，将截面为正方形的真空腔abcd放置在一匀
强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。若有一束具有不同速率的电子由小孔a沿ab方向射入磁场，打在腔壁
上被吸收，则由小孔c和d射出的电子的速率之比_______。12．（2021·湖南·金海学校高三阶段练习）（1）洛伦兹力的方向用左手定则判定：伸开左手，使拇指与其
余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内，让________从掌心进入，并使四指指向________运动的
方向，这时_________所指的方向就是运动的正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。负电荷受力的方向与
正电荷受力的方向___________。
（2）洛伦兹力方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于________所决定的平面。
13．（2022·福建省宁化第六中学高三一模）如图所示，有一对平行金属板相距d=10cm，两板间有匀强磁
场，磁感应强度的大小B=0.1T，方向垂直纸面向里。左板A处有一粒子源，以速度v=1×106m/s不断地在
纸面内向各个方向发射比荷 =1×108C/kg的带负电粒子，不计粒子的重力，能打在右侧金属板上且经历时
间最短的粒子的偏转角为_______，最短时间为_______s。
14．（2020·湖南·高三一模）放射源中有三种不同的粒子，其中一种不带电，另两种分别带正负电荷，置
于磁场中，形成如图三条轨迹，则不带电的粒子的轨迹是____________，带负电的粒子的轨迹是
____________．
三、解答题
15．（2022·云南省楚雄天人中学高三阶段练习）如图，在xOy平面第一象限有一匀强电场，电场方向平行
y轴向下。在第四象限内存在一有界匀强磁场，左边界为y轴，右边界为x＝3L的直线（边界上均有磁场）。
磁场方向垂直纸面向外。一质量为m、带电量为q的正粒子从y轴上P点以初速度 垂直y轴射入匀强电场，在电场力作用下从x轴上Q点以与x轴正方向45°角进入匀强磁场。已知OP＝L，不计粒子重力。求：
（1）粒子进入磁场时的速度v；
（2）Q与O点的距离x；
（3）要使粒子能再进入电场，磁感应强度B的范围。
16．（广东省云浮市高三一模）如图所示，边长为 的等边三角形 区域内存在方向垂直纸面向外的有
界匀强磁场，磁感应强度大小为 ，一质量为 、电荷量为 的粒子由 点沿角平分线方向进入磁场区
域，从 点离开磁场区域。不计粒子受到的重力，求：
（1）粒子的速度大小 ；
（2）粒子在磁场中的运动时间 。
17．（2022·海南·东方市东方中学预测）如图，磁感应强度为 的匀强磁场，垂直穿过平面直角坐标系的
第Ⅰ象限。一质量为 ，带电量为 的粒子 不计重力 以速度 从 点沿着与 轴夹角为 方向进入磁
场，运动到A点时的速度方向平行于 轴，求：
(1)判断粒子的电性；（填“正电”还是“负电”）
(2)带电粒子进入磁场做匀速圆周运动的半径 为多少？
(3)粒子从 点运动到A点的时间 和A与 轴的距离为d。18．（2021·湖南岳阳·高三阶段练习）如图所示，质量 的小物块，带有 的电荷，放
在倾角为 的光滑绝缘斜面上，整个斜面置于 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，物块由
静止开始下滑，滑到某一位置时开始离开斜面， 。求：
（1）物块带什么电？
（2）物块离开斜面时速度多大？
（3）斜面至少有多长？
19．（2022·湖北·襄阳五中二模）如图所示，在xOy平面内，有一个圆形区域的直径AB与x轴重合，圆心
的坐标为（2a，0），其半径为a，该区域内无磁场。 在y轴和直线 之间的其他区域内存在垂直
纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上某点射入
磁场。不计粒子重力。
（1）若粒子的初速度方向与 轴负向夹角为60°，且粒子不经过圆形区域就能到达B点，求粒子的初速度
大小v；
1
（2）若粒子的初速度方向与y轴正向夹角为60°，在磁场中运动的时间为 ，且粒子也能到达B点，
求粒子的初速度大小v。
220．（2022·广东·模拟预测）如图所示，在直角边长为L的等腰直角三角形ABC内有垂直于三角形平面向
里的匀强磁场，∠B=90°。在顶点A有一粒子源，可以在垂直磁场的平面内，在AC和AB之间向各个方向
均匀射入质量为m、电荷量为q、速度大小均为v 的带正电的粒子，结果有 的粒子从AC边射出，不计粒
0
子的重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间及BC边有粒子射出的区域长度。
