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限时跟踪检测(四十八) 两直线的位置关系
一、单项选择题
1．“a＝2”是“直线ax＋3y＋2a＝0和直线2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(
)
A．－12 B．－2
C．0 D．10
3．若直线l：x－2y＋1＝0与直线l：x＋ay－1＝0平行，则l 与l 的距离为( )
1 2 1 2
A. B.
C. D.
4．(2024·上海青浦高级中学月考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直
线x－my－2＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(2024·湖南长沙明德中学月考)已知A(3,0)，B(0，3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴
反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为( )
A．2 B．6
C．3 D.
6．点P(cos θ，sin θ)到直线3x＋4y－12＝0的距离的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7．(2024·江西南昌模拟)直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则k
的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－，)
C．(－1,1) D.
8．(2024·山东、湖北名校联考)过点A(1，)的直线l与x轴的正半轴交于点B，与直线
l′：y＝2x交于点C，且点C在第一象限内，O为坐标原点，设|OB|＝x，若f(x)＝|OB|＋|
OC|，则函数y＝f(x)的图象大致为( )二、多项选择题
9．(2024·山东威海期末)已知直线l：ax－y－a＋3＝0(a∈R)，则( )
A．直线l恒过定点(0,3)
B．当a≥3时，直线l不经过第二象限
C．直线l与直线x＋ay＋1＝0垂直
D．当a＝3时，点(3,2)到直线l的距离最大
10．定义点P(x，y)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P，P
0 0 1 2
到直线l的有向距离分别是d，d，则以下命题正确的是( )
1 2
A．若d＝d＝1，则直线PP 与直线l平行
1 2 1 2
B．若d＝1，d＝－1，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
C．若d＋d＝0，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
D．若d·d<0，则直线PP 与直线l相交
1 2 1 2
三、填空题与解答题
11．(2024·江西吉安模拟)已知直线l 的方程为x＋y＋1＝0，若l⊥l ，则直线l的倾斜
1 1
角为________．
12．(2024·四川凉山模拟)已知直线l ：mx－y＋1＝0，直线l ：4x－my＋2＝0，若
1 2
l∥l，则m＝________.
1 2
13．(2024·山东临沂第一中学校联考模拟预测)已知点A(－1,1)，设动直线x＋ny＝0和
动直线nx－y－4n＋2＝0(n∈R)交于点P，则|PA|的取值范围是____________．
14．光线从点A(－4，－2)射出，射到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上
的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
高分推荐题15．(2024·江苏南通如东中学调研)已知函数f(x)＝，记d(k，m)为函数y＝f(x)图象上的
点到直线y＝kx＋m的距离的最大值，那么d(k，m)的最小值为________．
解析版
一、单项选择题
1．“a＝2”是“直线ax＋3y＋2a＝0和直线2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：直线ax＋3y＋2a＝0和直线2x＋(a＋1)y－2＝0平行的充要条件为得a＝2或a＝
－3.又“a＝2”是“a＝2或a＝－3”的充分不必要条件，所以“a＝2”是“直线ax＋3y＋2a
＝0和直线2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(
)
A．－12 B．－2
C．0 D．10
解析：由2m－20＝0，得m＝10.
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，
得10＋4p－2＝0.∴p＝－2.
由垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，
解得n＝－12.
答案：A
3．若直线l：x－2y＋1＝0与直线l：x＋ay－1＝0平行，则l 与l 的距离为( )
1 2 1 2
A. B.
C. D.
解析：易知a≠0，直线l 的斜率为，所以直线l 的斜率为－＝，解得a＝－2，即直线
1 2
l：x－2y－1＝0，所以l 与l 的距离为＝.
2 1 2
答案：B
4．(2024·上海青浦高级中学月考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直
线x－my－2＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵cos2θ＋sin2θ＝1，∴P为单位圆上一点，而直线x－my－2＝0恒过点A(2,0)，
记坐标原点为O，∴d的最大值为|OA|＋1＝2＋1＝3.故选C.
答案：C
5．(2024·湖南长沙明德中学月考)已知A(3,0)，B(0，3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴
反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为( )A．2 B．6
C．3 D.
解析：直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为 P(0，－2)，设点
1
P(0，－2)关于直线AB的对称点为P(a，b)，如图，
1 2
则解得a＝5，b＝3，∴P(5,3)，
2
∴光线所经过的路程为|PP|＝＝.
2
答案：D
6．点P(cos θ，sin θ)到直线3x＋4y－12＝0的距离的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：由点到直线距离公式得点P到直线的距离为d＝＝，其中sin φ＝，cos φ＝，由
三角函数性质易知，5sin(θ＋φ)－12∈[－17，－7]，故d∈，故选C.
答案：C
7．(2024·江西南昌模拟)直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则k
的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－，)
C．(－1,1) D.
解析：直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则原点到直线的距离
小于1，所以<1，解得－时，设C(a,2a)，∵A，B，C三点共线，∴＝，
解得a＝，故|OC|＝，故f(x)＝x＋＝2＋，其图象是由对勾函数y＝x＋在y轴右侧的图
象经过平移变换得到的，故选B.
答案：B
二、多项选择题
9．(2024·山东威海期末)已知直线l：ax－y－a＋3＝0(a∈R)，则( )
A．直线l恒过定点(0,3)
B．当a≥3时，直线l不经过第二象限
C．直线l与直线x＋ay＋1＝0垂直
D．当a＝3时，点(3,2)到直线l的距离最大
解析：将直线l：ax－y－a＋3＝0(a∈R)整理得l：y－3＝a(x－1)(a∈R)．
对于A，由点斜式方程得直线l过定点P(1,3)，故A错误．
对于B，当a≥3时，直线l与x轴的交点横坐标1－∈[0,1)，又直线l过定点(1,3)，所以
直线l不经过第二象限，故B正确．
对于C，由于a×1＋(－1)×a＝0恒成立，所以直线l与直线x＋ay＋1＝0垂直，故C正
确．对于D，当直线l与同时过点Q(3,2)和P(1，3)的直线垂直时，点(3,2)到l的距离最大．
k ＝－，直线l的斜率k＝a，故当a＝2时，点Q(3,2)到直线l的距离最大，故D错误．故
PQ l
选BC.
答案：BC
10．定义点P(x，y)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P，P
0 0 1 2
到直线l的有向距离分别是d，d，则以下命题正确的是( )
1 2
A．若d＝d＝1，则直线PP 与直线l平行
1 2 1 2
B．若d＝1，d＝－1，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
C．若d＋d＝0，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
D．若d·d<0，则直线PP 与直线l相交
1 2 1 2
解析：设P(x ，y)，P(x ，y)，对于A，若d ＝d ＝1，则ax ＋by ＋c＝ax ＋by ＋c
1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2
＝，直线PP 与直线l平行，正确；对于B，点P ，P 在直线l的两侧且到直线l的距离相
1 2 1 2
等，直线PP 不一定与l垂直，错误；对于C，若d ＝d ＝0，满足d ＋d ＝0，即ax ＋by
1 2 1 2 1 2 1 1
＋c＝ax＋by＋c＝0，则点P，P 都在直线l上，所以此时直线PP 与直线l重合，错误；
2 2 1 2 1 2
对于D，若d·d<0，即(ax ＋by ＋c)(ax ＋by ＋c)<0，所以点P ，P 分别位于直线l的两侧，
1 2 1 1 2 2 1 2
所以直线PP 与直线l相交，正确．
1 2
答案：AD
三、填空题与解答题
11．(2024·江西吉安模拟)已知直线l 的方程为x＋y＋1＝0，若l⊥l ，则直线l的倾斜
1 1
角为________．
解析：直线l 的方程为x＋y＋1＝0，斜率为－，又l⊥l ，则直线l的斜率为，倾斜角
1 1
的范围为[0，π)，故直线l的倾斜角为.
答案：
12．(2024·四川凉山模拟)已知直线l ：mx－y＋1＝0，直线l ：4x－my＋2＝0，若
1 2
l∥l，则m＝________.
1 2
解析：因为l∥l，所以解得m＝－2.
1 2
答案：－2
13．(2024·山东临沂第一中学校联考模拟预测)已知点A(－1,1)，设动直线x＋ny＝0和
动直线nx－y－4n＋2＝0(n∈R)交于点P，则|PA|的取值范围是____________．
解析：如图所示，由条件可知两动直线x＋ny＝0，nx－y－4n＋2＝0(n∈R)分别过原点
O和E(4,2)，且两直线互相垂直．所以动点P的轨迹为以OE为直径的圆，OE＝2，设圆心
为D，则D(2,1)，显然当A，P，D三点共线时取得最值，故AB≤PA≤AC，即PA∈[3－，3
＋]．答案：[3－，3＋]
14．光线从点A(－4，－2)射出，射到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上
的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为
D′，
则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由反射角等于入射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为＝，
即10x－3y＋8＝0.
高分推荐题
15．(2024·江苏南通如东中学调研)已知函数f(x)＝，记d(k，m)为函数y＝f(x)图象上的
点到直线y＝kx＋m的距离的最大值，那么d(k，m)的最小值为________．
解析：显然函数f(x)的图象可放在两条平行直线l 与l 之间，f(x)图象上的个别点在直
1 2
线上．
设两条平行直线l 与l 之间的距离为d′.
1 2
如图所示，只有l 经过点A，B，l 与f(x)图象相切于点P时，d′取得最小值，d(k，m)
1 2
的最小值为d′.
设P，对f(x)求导得f′(x)＝－，∵k ＝－1，∴－＝－1，解得x＝1，
AB 0
∴P(1,1)．由点A，B的坐标可得直线AB的方程为y＝－x＋.∴d′＝＝(点P到直线AB
的距离)，∴d(k，m)的最小值为d′＝.
答案：
