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第8讲 双曲线(二)
复习要点 1.理解直线与双曲线的位置关系，会求直线被双曲线所截的弦长.2.通过直
线与双曲线的位置关系，进一步体会数形结合的思想．
直线与双曲线位置关系的判断
1．直线与双曲线的位置关系(代数法)
联立
得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0时，①相切：Δ＝0；②相交：Δ>0；③相离：Δ<0.
2．直线与双曲线的位置关系(几何法和渐近线法)
可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系．设此双曲线的渐近线斜率为
±k，当直线过点P且斜率等于±k时，直线与双曲线相交于一点，如直线①③均与双曲线右
支交于一点；当直线过点P且斜率在(－k，k)上时，直线与双曲线左、右两支各交于一点，
如直线②；当直线过点P且斜率在(－∞，－k)∪(k，＋∞)上时，直线可能与双曲线的右支
交于两点，如直线⑥，也可能与双曲线的右支相切，如直线④，还可能与双曲线相离，如
直线⑤.
常/用/结/论
同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的焦点弦中
最短的为实轴，其长为2a.
1．判断下列结论是否正确．
(1)若直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有1个交点．(√)
(2)若直线与双曲线只有1个交点，则直线与双曲线一定相切．()
(3)若直线与双曲线没有交点，则直线与双曲线联立后所得到的方程的Δ<0.()(4)直线与双曲线最多有2个交点．(√)
2．直线y＝与双曲线－y2＝1交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：直线与双曲线的一条渐近线平行，所以有一个交点．
答案：B
3．双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．{1} B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与双曲线x2－y2＝a2
没有公共点，则a≥1.
答案：D
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)，直线y＝k(x－c)与双曲线的右支有
两个交点，则( )
A．|k|> B．|k|<
C．|k|> D．|k|<
解析：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±x，直线 y＝k(x－c)经过焦点
F(c,0)，当k>0时，k>，当k<0时，k<－，故|k|>.故选A．
答案：A
题型 直线与双曲线的位置关系
典例1已知双曲线x2－y2＝4， 直线 l ： y ＝ k ( x － 1) ，在下列条件下，求实数k
的取值范围．方法二：l过定点P(1,0)，因此可采用数形结合法．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
解：消去y并整理，得
(1 － k 2 ) x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
注意讨论二次项系数．当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程
(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，且只有一个公共点．
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
当即－时，方程(*)无实数解，即直线l与双曲线没有公共点．
综上所述，(1)当－时，直线l与双曲线没有公共点．
直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用
判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去 y(或x)，则二次
项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无
公共点)；二次项系数不等于0时，若Δ>0，则直线与双曲线有两个公共点，若Δ＝0，则直
线与双曲线有一个公共点，若Δ<0，则直线与双曲线没有公共点．
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系
确定其位置关系．
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线的斜率与渐近线的斜率的关系来确
定其位置关系.
对点练1 (1)直线y＝x＋3与曲线－＝1( )
A．没有交点 B．只有一个交点
C．有两个交点 D．有三个交点
(2)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，则 k的取值范围是
________．
解析：(1)当x≥0时，方程－＝1可化为－＝1①，将y＝x＋3代入①得，5x2－24x＝0，
解得x＝0或x＝，即此时直线y＝x＋3与曲线－＝1有两个交点；当x<0时，方程－＝1可
化为＋＝1②，将y＝x＋3代入②得，13x2＋24x＝0，解得x＝0(舍去)或x＝－，即此时直
线y＝x＋3与曲线－＝1有一个交点．综上所述，直线y＝x＋3与曲线－＝1有三个交点．
故选D．
(2)由题意知k≠±1，联立消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，
由题意知，此方程有两个不相等的正根，则有
即
所以10，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－
a2＝16，所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝
k(k≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k(k≠0)，由得(16－k)x2－2kx－2－16＝0.
1 1 2 2 1
设A(x ，y )，B(x ，y )，易知16－k≠0，
A A B B
则x x ＝，
A B
x ＋x ＝，
A B
所以|TA|＝
＝，
|TB|＝＝，
则 | TA |· | TB | ＝ (1 ＋ k ) ＝ (1 ＋ k )
用根与系数的关系表示|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，从而得k 与k 的关系式．
1 2
＝(1＋k)＝.
同理得|TP|·|TQ|＝.
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以＝，
所以k－16＋kk－16k＝k－16＋kk－16k，即k＝k，
又k≠k，所以k＝－k，即k＋k＝0.
1 2 1 2 1 2
求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离
公式求弦长．
(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线 l：y＝
kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A(x ，y)，B(x ，y)两点，则|AB|＝|x －x|＝|
1 1 2 2 1 2
y－y|.\s\up7( )
1 2
对点练2 (1)过双曲线x2－＝1的一个焦点作直线l，交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的
方程为________；过右焦点F 的直线l交双曲线于A，B两点，F 为左焦点，若△FAB的
2 1 1
面积等于6，则直线l的方程为________________．
解析：(1)当直线l与双曲线的左、右两支各有一个交点时，|AB|的最小值为实轴长2a
＝2.当直线l与双曲线的其中一支有两个交点时，|AB|的最小值为通径长＝4.根据双曲线的
对称性可知，若|AB|＝4，则当直线l与双曲线的左、右两支各有一个交点时，这样的直线
有2条；当直线l与双曲线的其中一支有两个交点时，这样的直线有1条．综上，若|AB|＝
4，则这样的直线有且仅有3条．
(2)依题意得b＝，＝2，又b2＝c2－a2，
∴a＝1，c＝2，
∴双曲线的方程为x2－＝1.
若直线l的斜率不存在，经计算得△FAB的面积不为6，
1
∴直线l的斜率存在，设其为k，且k≠0，k≠±.
设A(x，y)，B(x，y)．∵F(2,0)，
1 1 2 2 2
∴直线l的方程为y＝k(x－2)．
由消去y，
并整理得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.
则Δ＝(－4k2)2－4(k2－3)(4k2＋3)＝36(k2＋1)>0，
∴x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
∵F(－2,0)到直线l的距离d＝，
1
∴△FAB的面积S＝d·|AB|＝···
1
＝2|k|·
＝2|k|·
＝12|k|·＝6，
∴k4＋8k2－9＝0，解得k＝±1，
∴直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2.
答案：(1)B (2)x2－＝1 y＝x－2或y＝－x＋2
题型 中点弦问题
典例3 (2024·山东临沂模拟)已知A(－2,0)，B(2,0)，直线AM，BM相交于点
M，且它们的 斜率之积是 3 .双曲线的第三定义．
(1)求点M的轨迹C的方程．
(2)过点N(2,3) 能否作一条直线 m 与轨迹 C 交于两点 P ， Q ，且点 N 是线段 PQ 的中点 ？
数形结合可秒解：如图，双曲线及渐近线将平面区域分成三部分：(1)双曲线内：①，
(2)双曲线与渐近线之间：②，
(3)渐近线之间：③.
其中，弦中点不可能位于区域②，即阴影部分．
若能，求出直线m的方程；若不能，请说明理由．
解：(1)设 M(x，y)，x≠±2，k ＝，k ＝，k ·k ＝3，即·＝3.整理得，3x2－y2＝
AM BM AM BM
12(x≠±2)，即点M的轨迹C的方程为－＝1(x≠±2)．
(2)若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
则 两式相减得 “点差法”，注意前提条件：两个交点．
－＝0，
整理可得＝3×，
∵N是线段PQ的中点，∴＝3×＝2，即k＝2，
故直线m的方程为y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0，
将直线方程代入双曲线方程可得x2－4x＋13＝0，
Δ＝(－4)2－4×13<0，此时直线与双曲线不相交．故不能作出这样的直线．
解决中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元
二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：设出交点的坐标，利用交点在曲线上，将交点坐标代入曲线方程，然后作
差，构造出中点坐标和斜率的关系．
对点练3 已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l
与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：由已知易得l的斜率为k＝k ＝1.设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，A(x ，
FM 1
y)，B(x ，y)，则有两式相减并结合x ＋x ＝－24，y ＋y ＝－30，得＝，从而＝1，即4b2
1 2 2 1 2 1 2
＝5a2.又c＝3，所以a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5.故选B．
答案：B
