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拓展拔高 5 指对同构
【高考考情】同构思想,在高考中有非常强烈的体现,不管是小题还是大题,都处
在压轴题的位置,备受命题者的青睐,它能够很好地考查学生的数学建模、数学
抽象、数学运算的核心素养.
【同构法】是证明不等式的一种技巧,通过等价变形使得两边的式子结构相同,
从而将两边看成是同一个函数的两个函数值,借助该函数的单调性简化不等式,
使问题得以解决.同构法需要有敏锐的观察能力才能找到函数的模型.
一、五个常见变形
ex x
①xex=ex+ln x ② =ex-ln x ③ =eln x-x
x ex
ex
④x+ln x=ln(xex) ⑤x-ln x=ln
x
二、三种基本类型视角一 bln b与xex同构
[导思]bln b=eln b·ln b,即ln b·eln b对应xex模型,可构造函数f(x)=xex.lnx
[例1]设实数λ>0,若对于任意的 x∈(0,+∞),不等式eλx- ≥0恒成立,则λ的最小值
λ
为( )
1 1 2
A.eB. C. D.
2e e e
lnx
【解析】选C.由eλx- ≥0,得λeλx-ln x≥0,
λ
即λxeλx-xln x≥0,也即λxeλx≥xln x.
由同构xln x=eln x·ln x,
可得(λx)·eλx≥ln x·eln x.
设f(x)=xex,
则f'(x)=(x+1)ex>0对x∈(0,+∞)恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
由(λx)·eλx≥ln x·eln x可得f(λx)≥f(ln x),
即λx≥ln x,也即λ≥lnx,所以λ≥(lnx) .
x x
max
lnx 1-lnx
令g(x)= (x>0),则g'(x)= (x>0).
x x2
所以当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
1 1
因此,g(x) =g(e)= ,故λ≥ .
max
e e
视角二 aea与xln x同构[导思]aea=ea·ln ea,即ea·ln ea对应xln x模型,可构造函数f(x)=xln x.
[例2]已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a,若f(x)≥1,则a的取值范围为________.
【解析】由f(x)≥1,得aex-1-ln x+ln a≥1.
ex 1 ex
变形后可化为aex-1≥ln ex-1≥ ln
a a a
⇔
e ex ex ex ex ex
ex≥ ln xex≥ ln exln ex≥ ln .
a a a a a a
⇔ ⇔ ⇔ 1
令g(x)=xln x(x>0),则g'(x)=1+ln x,可知当x∈(0, )时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
e
1
当x∈( ,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
e
ex
所以原不等式等价于g(ex)≥g( ),且x>0,
a
ex
ex>1, >0.
a
所以g(ex)≥g(ex) ex≥ex a≥(ex) .
a a ex
max
⇔ ⇒
ex e(1-x)
令h(x)= (x>0),则h'(x)= .
ex ex
所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减.
所以h(x) =h(1)=1,
max
故a的取值范围是[1,+∞).
答案:[1,+∞)
a lnx
视角三 与 同构
ea x[导思] a =ln ea,即ln ea对应lnx模型,可构造函数f(x)=lnx.
ea ea ea x x
[例3]已知a>0,且x2+xln a-aexln x>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则实数a的取值范
围为______________.
【解析】因为x2+xln a-aexln x>0,
所以aexln x0,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,
所以x∈(0,1)时,f(x)<0.
因为lnx 恒成立,令 g(x)= ,则 g'(x)= >0,即 g(x)在(0,1)上单调递增,故 a≥g(1)=
ex ex ex
1 1
,实数a的取值范围是[ ,+∞).
e e
1
答案: [ ,+∞)
e视角四 c+ln c与x+ex同构
[导思]c+ln c=eln c+ln c,即ln c+eln c对应x+ex模型,可构造函数f(x)=x+ex.
[例4]已知函数f(x)=ex+2ax(x∈R),
(1)求f(x)的单调性;
【解析】(1)f'(x)=ex+2a.
当a≥0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
当a<0时,f(x)在(-∞,ln (-2a))上单调递减,在(ln (-2a),+∞)上单调递增.
(2)a>0,令g(x)=f(x)-a(x-1)ln (ax-a)+a,若g(x)恒单调递增,求a的取值范围.
【解析】(2)g(x)=ex+2ax-a(x-1)ln (ax-a)+a的定义域为(1,+∞).因为g(x)恒单调递增,
ex
所以 g'(x)=ex-aln (ax-a)+a≥0 在(1,+∞)上恒成立,即 ≥ln a(x-1)-1,也即 ex-ln a-ln
a
a≥ln (x-1)-1,整理得 ex-ln a+(x-ln a)≥eln (x-1)+ln (x-1).令 F(x)=ex+x,显然 F(x)在(1,+∞)
上单调递增,原不等式等价于 F(x-ln a)≥F(ln (x-1)),所以 x-ln a≥ln (x-1),即ln a≤x-
ln (x-1).
1 x-2
令 h(x)=x-ln (x-1)(x>1),则 h'(x)=1- = (x>1).所以 h(x)在(1,2)上单调递减,在
x-1 x-1
(2,+∞)上单调递增,h(x) =h(2)=2.
min
因此,ln a≤2,即a≤e2,a的取值范围是(0,e2].
思维升华指对同构解题的关键点
(1)常用的指对同构:指数和对数混合的导数题,直接使用同构的题目并不多,许
多情况下,需要凑出同构的形式来.因为指数和对数之间可以互相转换,所以尽量
ea b
转换为常见的aea≤bln b, = ,ea±a>b±ln b三种同构形式.
a lnb
(2)复杂式的指对同构:比如aeax≤ln x两边同乘 x可转化为 axeax≤xln x;ax>log x可
a
lnx 1
转化为exln a> ,两边再同时乘 xln a可转化为(xln a)·exln a>xln x;x+ ≥xa-ln xa可
lna ex
1 1
转化为 -ln ≥xa-ln xa等.
ex ex
