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第 31 讲 与摩擦力做功及摩擦热相关的 6 种题型
1．（2021·浙江）如图所示，质量m＝2kg的滑块以v ＝16m/s的初速度沿倾角 ＝37°的斜面上滑，
0
经t＝2s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知sin37°＝0.6，cos37°＝θ0.8，求滑块
（1）最大位移值x；
（2）与斜面间的动摩擦因数；
（3）从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率P。
一.知识回顾
1．摩擦力做功正负情况
运动的物体受到滑动摩擦力或静摩擦力时，若摩擦力的方向与运动方向相反，则摩擦力做负功，
该摩擦力就是阻力；若摩擦力的方向与运动方向相同，则摩擦力做正功，该摩擦力就是动力。总之
摩擦力既可能做负功，也可能做正功，还可能不做功。举例如下：2.两种摩擦力做功与能量转化的情况比较
类别
静摩擦力 滑动摩擦力
比较
在静摩擦力做功的过程中，只 (1)相对运动的物体通过滑动摩擦力
能量
有机械能从一个物体转移到另 做功，将部分机械能从一个物体转移
的转
一个物体(静摩擦力起着传递 到另一个物体
化方
机械能的作用)，而没有机械 (2)部分机械能转化为内能，此部分
不 面
能转化为其他形式的能量 能量就是系统机械能的损失量
同
一对 一对相互作用的滑动摩擦力对物体系
点
摩擦 统所做的总功，等于摩擦力与两个物
一对静摩擦力所做功的代数和
力的 体相对路程的乘积且为负功，即W ＝
Ff
总等于零
总功 －F·x ，表示物体克服摩擦力做
f 相对
方面 功，系统损失的机械能转变成内能Q正功、
相
负功、
同 两种摩擦力对物体都可以做正功、负功，还可以不做功
不做功
点
方面
5．摩擦力做功计算要注意过程中位移的方向是否改变。
(1)物体在粗糙水平面上做单方向的直线运动时，路程与位移大小相等，此时摩擦力做功W＝－
Fl(l指位移，F指摩擦力)。
(2)物体在粗糙水平面上做往复运动或曲线运动时，路程与位移大小不同，此时摩擦力做功W＝
－Fs(s指路程，F指摩擦力)。
6.易错点：
（1）计算摩擦力做功时，物体的位移是指对地的位移。而计算摩擦热时，是该摩擦力的施
力物体与受力物体之间相对运动运动的路程。
2一对静摩擦力的总功为零是因为物体间的静摩擦力总是大小相等、方向相反，而它们运
动时相对地面的位移是相同的，所以物体之间的静摩擦力若做功，则必定对一个物体做正功，对另
一个物体做等量负功。但是滑动摩擦存在相对运动，对地面的位移不同，其正负功不相等。
3摩擦力做功问题，常涉及两个物体的相对运动，要注意两物体的位移关系。
二.摩擦力做功与摩擦热公式推导
质量为M的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至
B点，在木板上前进了L，而木板前进了l，如图所示。若滑块与木板间的动摩擦因数为 μ，重力
加速度为g，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？这一对摩擦力做功的代数和为多大？
[答案] －μmg(l＋L) μmgl －μmgL
思维引导：
(1)滑块的位移多大？所受摩擦力的方向是什么？
提示：滑块的位移是木板前进的距离l再加上它相对木板前进的距离L，表达式为(l＋L)。滑
块受到的摩擦力与运动方向相反。(2)木板所受摩擦力的方向是什么？
提示：木板是被滑块带着向前的，其摩擦力与运动方向相同。
[解析] 滑块所受摩擦力F ＝μmg，位移为(l＋L)，且摩擦力与位移方向相反，故摩擦力对滑
f
块做的功为：W＝－μmg(l＋L)
1
木板所受的摩擦力F′＝μmg，方向与其位移l方向相同，故摩擦力对木板做的功W＝μmgl
f 2
这一对摩擦力做功的代数和W＝W＋W＝－μmgL
1 2
拓展：试根据上题中的模型推导摩擦热公式
解析：设木块质量为m ，木板质量为m ，水平桌面光滑，木块初速度v 大于木板初速度v ，
1 2 10 20
经过时间t时,木块对地位移为x ，速度为v ；木板对地位移为x ，速度为v ；木块相对木板位移
1 1 2 2
为Δx，则根据动能定理有：
二.例题精析
题型一：板块模型中的摩擦热
（多选）例1．如图甲，长木板A放在光滑的水平面上，质量为m＝3kg的另一木块B可看作质点，
以水平速度v ＝2m/s滑上原来静止的长木板A的表面。由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度
0
随时间变化情况如图乙所示，则下列说法正确的是（g取10m/s2）（ ）A．木板的质量为M＝3kg
B．木块减小的动能为1.5J
C．系统损失的机械能为3J
D．A、B间的动摩擦因数为0.2
题型二：斜面模型中静摩擦力做功
例2．如图所示，质量为m的物体置于倾角为 的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为 ，在外
力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向θ左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相μ对静止，
则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中正确的是（ ）
A．支持力做功为0
B．摩擦力做功可能为0
C．斜面对物体做功为0
D．物体所受合外力做功为0
题型三：斜面模型中滑动摩擦力做功
例3．如图所示，一小物块由静止开始沿斜面向下滑动，最后停在水平地面上。斜面和地面平滑连
接，且物块与斜面、物块与地面间的动摩擦因数均为常数。该过程中，物块的动能 E 与水平位
k
移x关系的图象是（ ）A． B．
C． D．
（多选）例4．如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自
轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。
质点自P滑到Q的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．重力、弹力做正功，摩擦力做负功
B．质点通过Q点的速度大小为√gR
C．重力对质点做功的功率一直变大
D．重力对质点做功的功率先变大后减小
题型五：往复运动中摩擦力做功
例5．如图所示装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中
轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度s＝5m，轨道CD足够长且倾角 ＝37°，A、D
两点离轨道BC的高度分别为h ＝4.30m、h ＝1.35m．现让质量为m的小滑块自θA点由静止释
1 2
放．已知小滑块与轨道 BC间的动摩擦因数 ＝0.5，重力加速度 g取10m/s2，sin37°＝0.6，
cos37°＝0.8，则小滑块第一次到达D点时的速度μ大小为 m/s；小滑块最终停止的位置距B
点的距离为 m。题型六：传送带中摩擦力做功与摩擦热
（多选）例6．如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始
终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为 ，物体过一会儿能保持与传送带相
对静止，对于物体从静止释放到相对静止这一过程，下列说法μ正确的是（ ）
mv2
A．电动机多做的功为
2
mv2
B．物体在传送带上摩擦生热为
2
mv2
C．传送带克服摩擦力做的功为
2
D．电动机增加的功率为 mgv
μ
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，若物体与接触面之间的动摩擦因数处处相同，DO是水平面，AB是斜面．
初速度为10m/s的物体从D点出发沿路面DBA恰好可以达到顶点A，如果斜面改为AC，再让
该物体从D点出发沿DCA恰好也能达到A点，则物体第二次运动具有的初速度（ ）
A．可能大于12 m/s
B．可能等于8 m/s
C．一定等于10 m/s
D．可能等于10 m/s，具体数值与斜面的倾角有关
2. 如图所示，质量为m的小车在与竖直方向成 角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向
α左运动一段距离L，车与地面之间的动摩擦因数为 。下列说法正确的是（ ）
μ
A．拉力对小车做功FL
B．拉力对小车做功为FLsin
C．摩擦力对小车做功为﹣ αmgL
D．重力对小车做功为mgLμ
3. 如图所示一半径为R、圆心为O的圆弧轨道在竖直平面内；绕竖直轴 O O 以角速度
1 2
转动，相同的滑块A、B和圆弧轨道一起转动，其中OB处于水平方向，OA与OO 方向成
1
ω37°角，A相对于圆弧轨道刚好没有相对运动趋势，B刚好相对于圆弧轨道静止。已知重力加速
度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法中正确的是（ ）
√4g
A．圆弧轨道转动的角速度ω=
5R
4
B．滑块与圆弧轨道间的动摩擦因数μ=
5
C．A的重力做功的功率小于B的重力做功的功率
D．当圆弧轨道转动的角速度增大时滑块A有沿圆弧切线向下运动的趋势
4. 一质量为m的物体在水平恒力F的作用下沿水平面运动，在t 时刻撤去力F，其v﹣t
0
图像如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为 ，则物体在运动过程中（ ）
μ1
A．摩擦力做功为 mv 2
2 0
B．物体速度变化为零，所以F平均功率为零
3
C．F做功W= mgv t
00
2
μ
D．F＝2 mg
5. μ 如图所示，一物体置于倾角为 的粗糙斜面上，在水平推力F作用下斜面向左做匀加
速直线运动，运动过程中物体与斜面之间α保持相对静止，则下列说法正确的是（ ）
A．斜面对物体的摩擦力可能做正功
B．斜面对物体的支持力可能做负功
C．斜面对物体的作用力可能不做功
D．该物体受到的合外力可能不做功
6. （多选）如图所示，一倾斜角 ＝37°、质量为M＝2kg的斜劈静止放置在水平地面上，
用手支撑将质量为m＝1kg的滑块静置在θ斜劈光滑的斜面上，某时刻松开手的同时给斜劈施加
一个水平向左的恒力F，滑块恰能相对于斜劈静止，已知斜劈与地面间的动摩擦因数 ＝0.4，
重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是（ ） μ
A．松手后滑块的加速度大小为6m/s2
B．恒力F的大小为34.5N
C．松开手后2s内，斜劈克服摩擦力做的功为150J
D．松开手后2s内，恒力F的平均功率为258.75W
7. （多选）疫情防控中，某医院出现了一批人工智能机器人。机器人“小易”在医护人员选择配送目的后，就开始沿着测算的路径出发，在加速启动的过程中，“小易”“发现”正
前方站着一个人，立即制动减速，恰好在距离人30cm处停下。“小易”从静止出发到减速停
止，可视为两段匀变速直线运动，其v﹣t图像如图所示，图中t ＝1.6s，v ＝5m/s。已知减速
0 0
时的加速度大小是加速时加速度大小的3倍，“小易”（含药物）的总质量为60kg，运动过程
中阻力恒为20N。则（ ）
A．“小易”从静止出发到减速停止的总位移为1 m
25
B．“小易”加速过程的加速度大小为 m/s2
6
9
C．启动过程的牵引力与制动过程的制动力大小之比为
25
D．阻力的平均功率为50W
8. 如图，与水平面夹角 ＝37°的斜面和半径R＝0.4m的光滑圆轨道相切于B点，且固
定于竖直平面内。滑块从斜面上θ 的A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过最高点C
时轨道对滑块的弹力为零。已知滑块与斜面间动摩擦因数 ＝0.25．（g取10m/s2，sin37°＝
0.6，cos37°＝0.8）求： μ
（1）滑块在C点的速度大小v ；
C
（2）滑块在B点的速度大小v ；
B
（3）A、B两点间的高度差h。
9. 如图为杂技演员进行摩托车表演的轨道，它由倾斜直线轨道AB、圆弧形轨道BCD、
半圆形轨道DE、水平轨道EF组成，已知轨道AB的倾角 ＝37°，A、B间高度差H＝12m，
轨道BCD的半径R＝4.8m，轨道DE的半径r＝2.4m，轨θ道最低点C距水平地面高度差h＝0.2m，在轨道AB上运动时摩托车（含人）受到的阻力为正压力的0.2倍，其余阻力均不计。
表演者从A点驾驶摩托车由静止开始沿轨道AB运动，接着沿轨道BCDEF运动，然后从F点
离开轨道，最后落到地面上的G点。已知摩托车功率P恒为2×103W，发动机工作时间由表演
者控制，表演者与摩托车总质量m＝100kg，表演者与摩托车可视为质点。（cos37°＝0.8）
（1）某次表演中，通过C点时摩托车对轨道的压力为6000N，求经过C点的速度v ；
C
（2）满足（1）中的条件下，求摩托车发动机的工作时间t；
（3）已知“受力因子k”等于表演者与摩托车整体承受的压力除以整体的重力，在k≤8条件下
表演者是安全的，求能在安全完成完整表演的情况下，表演者落点G点与F点的水平距离的可
能值。
