文档内容
第 34 讲 单体机械能守恒问题
1．（2022·江苏）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块 A连接在一起，处于压缩状态．A
由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右侧，A、B由静止开始一
起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始位置时速度为零．A、B与斜
面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度，则（ ）
A．当上滑到最大位移的一半时，A的加速度方向沿斜面向下
B．A上滑时，弹簧的弹力方向不发生变化
C．下滑时，B对A的压力先减小后增大
D．整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功大于B的重力势能减小量
2．（2022·山东）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。如图所示，发
射舱内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭加速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始
运动到点火的过程中（ ）
A．火箭的加速度为零时，动能最大
B．高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C．高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D．高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
一.知识回顾1重力势能
（1）定义：物体由于被举高而具有的能量，叫作重力势能。
（2）表达式：E＝mgh，其中h是相对于参考平面的高度。
p
（3）特点：
①系统性：重力势能是地球与物体所组成的“系统”所共有的。
②相对性：重力势能的数值与所选参考平面有关。
③标量性：重力势能是标量，正负表示大小。
（4）重力做功的特点
①物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
②重力做功不引起物体机械能的变化。
（5）重力做功与重力势能变化的关系
①)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，重力势能增大。
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，
即W＝E － E ＝ － (E － E )＝－ΔE。
G p1 p2 p2 p1 p
③重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关。
2. 弹性势能
（1）定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种
势能叫作弹性势能。
（2）大小：弹簧的弹性势能跟弹簧的形变量及劲度系数有关，形变量越大，劲度系数越大，
弹性势能就越大。
（3）弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－
Δ E 。
p
3. 机械能守恒定律
（1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能
保持不变。
（2）常用的三种表达式
①守恒式： E ＝ E 或E ＋ E ＝ E ＋ E 。E、E分别表示系统初末状态时的总机械能。
1 2 k1 p1 k2 p2 1 2
②转化式：ΔE＝ － Δ E 或ΔE ＝ Δ E 。表示系统势能的减少量等于动能的增加量。
k p k增 p 减
③转移式：ΔE＝ － Δ E 或ΔE ＝ Δ E 。表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于
A B A增 B 减
B减少的机械能。
（3）机械能守恒的条件
①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
③系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
（4）机械能保持不变判断方法
①用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力势能变
化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化。
②用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，
机械能守恒。
③用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能
的转化，则物体或系统机械能守恒。
6.单体机械能守恒问题解题的一般步骤
在处理单个物体机械能守恒问题时，要选取方便的机械能守恒定律方程形式(E ＋E ＝E ＋
k1 p1 k2
E、ΔE＝－ΔE)进行求解。
p2 k p
二.例题精析
例1．如图所示，在水平面上有一固定的粗糙轨道，在轨道的末端连一半径为R的半圆轨道，与水
平轨道相切于B点。一质量为m的小物体在大小为F＝2mg的外力作用下从轨道上的A点由静
止出发，运动至B点时撤掉外力，物体沿圆轨道内侧恰好运动至最高点C，最后回到出发点A。
物体与水平轨道间的动摩擦因数 ＝0.5，物体与半圆轨道间的动摩擦因数未知，当地重力加速
度为g。以下关系式正确的是（ μ ）A．物体在AB间运动时克服摩擦阻力做功W ＝mgR
2
B．外力F做功W ＝2mgR
1
C．物体在C点的动能为零
π
D．物体在AC间运动时产生的热量为Q=(1+ )mgR
2
例2．如图所示，倾角为30°的斜面固定在水平地面上，其底端N与光滑的水平地面平滑连接，N
点右侧有一竖直固定挡板。质量为0.8kg的小物块b静止在地面上，现将质量为0.4kg的小物块a
2√3
由斜面上的M点静止释放。已知MN＝1.5m，a、b与斜面之间的动摩擦因数均 为，a、b碰
15
撞时间极短，碰后黏在一起运动不再分开，a、b整体与挡板碰撞过程中无机械能损失。取g＝
10m/s2，则（ ）
A．物块a第一次运动到N点时的动能为3.6J
B．a、b碰撞过程中系统损失的机械能为0.6J
C．b与挡板第一次碰撞时，挡板对b的冲量大小为1.2N•s
D．整个运动过程中，b在斜面上运动的路程为0.25m
例3．如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率 v 运行，初速度大小为v 的小物块从与传送
1 2
带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送
带上运动的v﹣t图象（以地面为参考系）如图乙所示。已知v ＞v ，物块和传送带间的动摩擦
2 1
因数为 ，物块的质量为m。则（ ）
μ
A．t 时刻，小物块离A处的距离最大
2
B．0﹣t 时间内，小物块的加速度方向先向右后向左
2(v +v t v t
C．0﹣t 时间内，因摩擦产生的热量为 mg[ 1 2) 1+ 1 2]
2
2 2
μ
v +v
D．0﹣t 时间内，物块在传送带上留下的划痕为 2 1 (t +t )
2 2 1 2
三.举一反三，巩固练习
1. 某同学家住一小区18楼。该同学两次乘电梯从1楼到18楼，第一次从1楼直达（中
途未停）18楼，电梯对该同学做功W ；第二次从1楼到18楼过程中，有其他人在6楼上下，
1
全过程电梯对该同学做功W 。该同学两次乘电梯时质量相同，则关于 W 、W 大小关系，下
2 1 2
列说法正确的是（ ）
A．W ＝W B．W ＞W
1 2 1 2
C．W ＜W D．条件不足，无法判断
1 2
2. 如图所示，质量为m的小球静止在竖直放置的轻弹簧上，小球和弹簧拴接在一起。现
1
用大小为 mg的拉力F竖直向上拉动小球，当小球向上运动的速度达到最大时撤去拉力。已
2
知弹簧始终处于弹性限度内，弹簧的劲度系数为 k，重力加速度为g。下列说法正确的是（
）
A．小球运动到最高点时，弹簧处于压缩状态
g
B．小球返回到初始位置时的速度大小为 √mk
k
C．小球由最高点返回到初始位置的过程，小球的动能先增加后减少
D．小球由最高点运动到最低点的过程，小球和弹簧组成的系统势能一直减小
3. 如图，物块以某一初速度于固定斜面底端冲上斜面，一段时间后物块返回出发点。若
物块和斜面间动摩擦系数处处相同。在物块上升、下降过程中，运动时间分别用 t 、t 表示，
1 2
损失的机械能分别用ΔE 、ΔE 表示。则（ ）
1 2A．t ＜t ，ΔE ＝ΔE B．t＜t ，ΔE ＜ΔE
1 2 1 2 l 2 1 2
C．t＝t ，ΔE ＝ΔE D．t＞t ，ΔE ＞ΔE
l 2 1 2 l 2 1 2
4. 质量为m的重物挂在轻质弹性绳上。如果对重物施加一个向下的力，且其大小从 0开
始缓慢增大，当力的大小达到F 时绳恰被拉断；如果从一开始向下施加某一恒力，绳将被拉
1
断的最小值为F ，下列说法正确的是（ ）
2
A．绳被拉断时，弹性绳中的张力为F
1
B．绳被拉断时，弹性绳中的张力为F +mg
2
C．F 与F 的大小关系为F ＝2F
2 1 1 2
D．F 作用下，弹性绳与重物组成系统的机械能先增大后减小
2
5. 简易儿童蹦极装置如图所示。活动开始前，先给小朋友绑上安全带，然后将弹性绳拉
长后固定在小朋友身上，并通过其它力作用使小朋友停留在蹦床上。当撤去其它力后，小朋友
被“发射”出去冲向高空，小朋友到达最高点然后下落到B点时，弹性绳恰好为原长，然后继
续下落至最低点A。若小朋友可视为质点，并始终沿竖直方向运动，忽略弹性绳质量与空气阻
力，则小朋友（ ）
A．在C点时的加速度大小为0
B．在A点时处于平衡状态C．在B点时处于失重状态
D．在下落过程中机械能守恒
6. 如图甲所示，一质量为2kg的物体静止在水平地面上，水平推力F随位移x变化的关
系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数为 0.1，取g＝10m/s2，下列说法正确的是（
）
A．物体运动的最大速度为√3m/s
B．在运动中由于摩擦产生的热量为6J
C．物体在水平地面上运动的最大位移是4.5m
D．物体先做加速运动，推力撤去时开始做减速运动
7. 如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉
子A，小球从一定高度自由摆下，当细绳与钉子相碰后继续向右做摆长更小的摆动。不计空气
阻力，假设小球碰钉子前后无机械能损失，有关摆球在整个摆动过程中，下列说法正确的是（
）
A．小球碰钉子之后，绳上拉力减小
B．碰后小球向心加速度大小不变
C．碰后小球仍能摆到碰前释放摆球时高度
D．碰后小球最大摆角小于碰前释放摆球的摆角
8. 如图所示，一物块置于足够长的水平传送带上，弹簧左端固定在竖直墙壁上，弹簧右
端与物块接触但不栓接，墙壁与物块间系不可伸长的轻绳使水平方向的弹簧处于压缩状态，压
缩量为0.2m（弹性限度内）。已知物块质量为0.5kg。物块与传送带间的动摩擦因数 ＝0.5、
μ重力加速度g＝10m/s2。若传送带不动，剪断轻绳，当弹簧刚好恢复原长时物块的速度为零；
若传送带以v＝3m/s的速度顺时针匀速转动，则剪断轻绳后（ ）
A．在弹簧恢复原长的过程中，物块向右先做加速运动，后做减速运动
B．弹簧恢复原长时，物块速度大小为2m/s
C．物块在传送带上运动的过程中，摩擦力对物块做功为2.5J
D．弹簧恢复原长后，物块与传送带之间由于摩擦而产生的热量为2.75J
9. 如图所示，表面粗糙的半圆形轨道MN竖直放置，MN两点等高，一个小滑块m从M
h
点正上方高h处自由下落，恰好进入半圆轨道，从N点竖直上升的高度为 ，空气阻力不计。
2
当小球再次进入轨道后（ ）
A．滑块回到M点后竖直上升一段距离
B．滑块恰好能达到M点后回落
C．滑块未能到达M点即开始回落
D．滑块最后一定静止在半圆轨道的最低点
10. 如图所示，用完全相同的轻质弹簧P、Q拴接小球A，固定在竖直平面内处于静止状
态，此时两弹簧的总长度恰好等于两弹簧的原长之和。已知弹簧的劲度系数为 k，小球的质量
为m，重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）mg
A．弹簧P的伸长量为
k
B．剪断弹簧Q的瞬间，小球A的加速度大小为g
C．剪断弹簧Q后，小球A的机械能守恒
mg
D．剪断弹簧Q后，小球A做简谐运动的振幅为
2k
11. 14．如图（a），轨道ABC固定于竖直平面内，其中AB段水平，BC段足够长且与
水平方向夹角 ＝30°，两轨道间平滑连接，一质量m＝1kg的小物块静置于B端。现对小物块
施加一平行于斜α 面的拉力F＝12N，当物块沿BC向上运动2m时撤去F。取AB所在水平面为
零势能面，物块沿BC向上运动2m的过程中，其机械能E随位移大小x的变化情况如图（b）
所示，g取10m/s2，物块与轨道间的动摩擦因数处处相等，且最大静摩擦力与同等压力下的滑
动摩擦力大小相等。求：
（1）撤去拉力瞬间，物块的速度大小v；
（2）物块与轨道之间的动摩擦因数 ；
（3）若从小物块开始运动的时刻计时μ，请在图（c）画出0～3s的过程中，小物块的机械能E随
时间t的变化关系图线（仅要求正确画出图线）。
12. 如图所示，光滑钉子M、N相距2L，处于同一高度。带有光滑小孔的小球A穿过轻
绳，轻绳的一端固定在钉子M上，另一端绕过钉子N与小球B相连，B球质量为m。用手将
A球托住静止在M、N连线的中点P处，B球也处于静止状态。放手后，A球下落的最大距离
为L。已知重力加速度为g。
（1）求A球的质量m ；
A
（2）求A球下落到最低点时绳中张力T；
（3）用质量为m的C球替换A球，C球从P点由静止释放后，求C球下落距离为L时的速度大
小v 。
C
