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专题 02 同角三角函数基本关系式及诱导公式
目录
题型一： 简单的求值问题...............................................................................................................3
题型二： 弦化切的求值...................................................................................................................4
题型三： 形如 的求值问题......................................................................................6
题型四： 诱导公式及应用.............................................................................................................10
题型五： 综合应用.........................................................................................................................12
知识点总结
知识点一、同角三角函数的基本关系
si n 2 α ＋ cos 2 α ＝1.
＝tan α.
知识点二、诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
α＋2kπ
角 π＋α －α π－α －α ＋α
(k∈Z)
与α终 关于原 关于x 关于y 关于直线
相同
边关系 点对称 轴对称 轴对称 y＝x对称
正弦 sin α －sin α －sin α si n _α cos α cos_α
余弦 cos α － co s_α cos α －cos α si n _α －sin α正切 tan α t an _α － t a n_α －tan α
函数名改变，
函数名不变，符号看象限
记忆
符号看象限
规律
奇变偶不变，符号看象限
知识点三、同角关系的几种变形
(1)sin2α＝ 1 － cos 2 α ＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝ (1 ＋ si n _ α )(1 － si n _ α ) ．
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝.
(4)cos2α＝＝.
【常用结论与知识拓展】
1．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的关系
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
(4)(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
2．诱导公式可推广归结为要求角k·±α的三角函数值，只需直接求α的三角函数值，其转
化过程及所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别
是指k的奇和偶，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角所在象
限的三角函数值的符号．
例题精讲
题型一：简单的求值问题
【要点讲解】(1)利用 实现角α的正弦、余弦的互化.
(2)利用 实现角α的弦切互化.
【例1】（2023春•海淀区校级期中）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，且 ，
，
，
．
故选： ．
【变式训练1】（2022•西湖区校级模拟）已知 是第二象限角，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 是第二象限角，且 ，
则 ，．
故选： ．
【变式训练2】（2022•广南县校级学业考试）已知 ，且 为第四象限的角，则
的值等于
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， 为第四象限的角，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练3】（2022 春•和平区校级期末）已知 ，且 为第四象限角，则
A． B． C． D．
【解答】解： 为第四象限角， ，
，
．
故选： ．题型二：弦化切的求值
【要点讲解】(1)形如 或 的分式,分子、
分母同时除以cos α或cos2α,将正、余弦转化为正切,从而求值.
(2)形如 asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为 1的分式,再将分母 1变形为
,转化为形如 的式子求值.
【例2】（2023春•上饶期末）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
即 ，
故 ，
整理得 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•砚山县校级期中）已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•顺庆区校级期中）已知 ，则A． B． C． 或1 D． 或1
【解答】解：因为 ，
所以 ，
则解得 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023•山西模拟）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得： ，
整理得 ，
且 ，可得 ，
即 ， ，可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练4】（2023春•海淀区校级期中）已知 ，则
A． B． C． D．2
【解答】解： ， ．
故选： ．【变式训练5】（2023春•萍乡期中）已知 ，则
A．0 B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ．
故选： ．
题型三：形如 的求值问题
【要点讲解】已知sin θ±cos θ求值的问题涉及的三角恒等式
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
【例3】（ 2023 春 • 南 通 月 考 ） 已 知 角 终 边 上 有 一 点 ， 则
．
【解答】解： 是角 终边上的一点， ，
则 ，
．
故答案为： ．【变式训练1】（2023 春•重庆月考）已知 ，且 为第三象限角，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，又因为 为第三象限角，
所以 ，
则 ．
故选： ．
【变式训练2】（ 2023 春 • 南 阳 期 中 ） 若 为 第 三 象 限 角 且 ， 则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 为第三象限角且 ，
则 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•德安县校级期中）已知 ，那么
A． B． C． D．【解答】解：因为 ，
所以 ，
因此， ．
故选： ．
【变式训练4】（ 2023 春 • 德 安 县 校 级 期 中 ） 已 知 ， 则
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：由 ，可得 ，
于是 ．
故选： ．
【变式训练5】（2023•潮州模拟）已知 为第二象限角，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
又 ，
，
解得 ，
又 为第二象限角， ，，
．
故选： ．
【变式训练6】（2023•武侯区校级模拟）如图， 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，
则 ， ，
因 ，则 ，
故 ，
，
故选： ．题型四：诱导公式及应用
【要点讲解】1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正,化大为小,化到锐角为终了.
π π
(2)角中含有加减 的整数倍时,用诱导公式去掉 的整数倍.
2 2
2.常见的互余和互补的角
π π π π π π
(1)常见的互余的角: -α与 + α ; +α与 - α ; +α与 - α 等.
3 6 3 6 4 4
π 2π π 3π
(2)常见的互补的角: +θ与 - θ ; +θ与 - θ 等.
3 3 4 4
3.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π的性质进行转化.
【例4】（2023春•播州区校级月考）已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半
轴重合，终边过点 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【解答】（1）解：因为角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边过点
，
由三角函数的定义，可得 ．
（2）方法1：由（1）知 ，
则 ．
方法2：由角 终边过点 ，可得 ，则 ， ，
所以 ．
【变式训练1】（ 2023 春 • 朝 阳 区 校 级 月 考 ） 已 知 函 数．
（1）化简函数 的解析式；
（2）若 ， ，求 的值．
【解答】解：（1） ；
（2）由题意 ，
因为 ，所以 ，
由 得 ，
所以 ，
所以 ．
【变式训练2】（2023春•红花岗区期中）已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【解答】解：（1）依题意得， ，
解得 ；（2） ．
【变式训练3】（ 2023 春 • 谯 城 区 校 级 期 中 ） 已 知
．
（1）化简 ；
（2）若 是第三象限角，且 ，求 的值；
【解答】解：（1）
；
（2）因为 ，又 ，
所以 ，又 是第三象限的角，
所以 ，
所以 ．
题型五：综合应用
【要点讲解】利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简的方法
(1)对于含有根号的,常把被开方数(式)化成完全平方数(式),然后去根号达到化简的目的;
(2)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目
的;
(3)化简含高次的三角函数式,常借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到
化简的目的.【例5】（2022秋•花都区校级期末）黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的
黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为 的等腰三角形（另一种是顶角为
的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在
一个黄金三角形 中， ，根据这些信息，可得
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知， ，且 ．
．
则 ．
故选： ．
【变式训练1】（ 2023 春 • 辽 宁 月 考 ） 若 ， ，A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
， ，
．
故选： ．
【变式训练2】（ 2023 春 • 海 安 市 校 级 期 中 ） 设 ， 则
．
【 解 答 】 解 ： 因 为
，
即 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ；令 ，可得 ；
所以 ．
故答案为： ．
【变式训练3】（ 2023• 崇 川 区 校 级 开 学 ） 已 知 函 数
．
（1）化简 ；
（2）若 ，且 ，求 的值；
（3）若 ，求 的值．
【解答】解：（1） ；
（2） ，
因为 ，
所以 ，
可得 ，
结合 ， ，
所以 ．
（3）由（2）得 ，即为 ，联立 ，解得，
所以： ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023•广西模拟） 的值所在的范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
且 ，所以 ，
所以 ，
所以 的值所在的范围是 ， ．
故选： ．
2．（2023春•李沧区校级月考）已知 ，则下列描述中正确的是
A．函数周期是
B． 为锐角，函数最大值是
C．直线 不是函数的一条对称轴
D． 为钝角，函数没有最小值【 解 答 】 解 ：
函数 周期是 ，故 错误；
当 ，所以 ， ，所以函数最大值是 ，
故 正确；
当 时， ，此时函数取到最大值，故直线
是函数的一条对称轴，故 错误；
当 ，所以 ， ，所以函数最小值是 ，
故 错误．
故选： ．
3．（2023春•德阳期末）已知函数 的最小正周期为 ，则下列说
法正确的是
A． 在 上单调递增
B． 在 上单调递减
C．若 在 上恰有两个极值点，则 的取值范围是
D．若 在 上恰有两个极值点，则 的取值范围是
【解答】解：因为 的最小正周期为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，当 时， ， ，
由正弦函数的性质可知 在 ， 上不单调，所以 ， 错误；
当 时， ， ，
当 在 上恰有两个极值点时，
则有 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，故 正确， 错误．
故选： ．
4．（2023春•西城区校级期中）下列函数中，周期为 且在区间 上单调递增的是
A． B．
C． D．
【解答】解：由 ，各项函数单调性如下：
由 ， ， ，故 在 上递增，且周期为 ；
由 ， ， ，故 在 上不单调；
由 定义域为 ，而 不满足定义域；
由 ， ，则 在 上递增，且周期为 ．
故选： ．
5．（2022秋•宁波期末）已知 ，则A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
6．（2023 春•龙华区校级月考）已知角 的终边过点 ，且
，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
角 的终边过点 ，
，
，
又 ，
．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春•成都期中）下列大小关系正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：对于 ， 在 上单调递减， ，
又 ， ， 正确；对于 ， 在 上单调递减， ， ， 正确；
对于 ，当 时， ；当 时， ； ，
错误；
对于 ， ， ， ， 正确．
故选： ．
8．（2022•江门一模）在平面直角坐标系中，对任意角 ，设 的终边上异于原点的任意
一点 ，它与原点的距离是 ，我们规定：比值 、 、 分别叫做角 的正割、余
割、余切，分别记作 、 、 ，把 、 、 分别叫做正割
函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是
A．
B． 的定义域为 ，
C．
D．
【 解 答 】 解 ： 根 据 、 、 的 定 义 ， 可 得 ，
， ，
可能为负数，故 不一定成立，故排除 ；
的定义域为 ， ，故排除 ；，而 ，故 一定成立，故 正确；
，故 成立，
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．（2023•上海模拟）已知 为角 终边上一点，则 ．
【解答】解：（1） 点 为角 终边上一点， ，
则 ， ，
．
故答案为： ．
10．（2023春•青浦区校级期中）已知 ，则 ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
11．（2023春•运城期中）已知角 的终边上有一点 ， ，则 的值是
．
【解答】解： 角 的终边上有一点 ， ，
， ，
．
故答案为： ．12．（2023春•安徽月考）若函数 的最小正周期为 ，则 1
．
【解答】解： ，
函数 的最小正周期为 ，
，解得 ．
故答案为：1．
四．解答题（共3小题）
13．（2023•长宁区二模）（1）求简谐振动 的振幅、周期和初相位
；
（2）若函数 在区间 上有唯一的极大值点，求实数 的取值范围；
（3）设 ， ，若函数 在区间 上是严格增函数，求实
数 的取值范围．
【解答】解：（1） ，
所以振幅为 ，周期为 ，初相为 ．
（2） ，
设 ，则 ，
当 时， 取得极大值 ，
由题意，方程 在区间 上有唯一解，
所以 ，得 ，
故 的取值范围为 ；（3） ，
当 时，
因为 ，
所以 ，
进而 ， ，
此时， 在区间 上是严格增函数，
当 时， ，不是严格增函数；
当 时，设 ，则 ，进而 ， ，
此时， 在区间 上是严格减函数，
综上，若函数 在区间 上是严格增函数，则 ，
故 的取值范围为 ．
14．（2023春•伊犁州期中）设 是一个任意角，它的终边上任意一点 （不与原点 重
合）的坐标为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的值．
【解答】解：（1）由三角函数的定义可得 ， ，
当 时， ，当 时， ；
（2） ．15．（2023春•安徽期中）已知角 的顶点为坐标原点 ，始边为 轴的非负半轴，终边
与单位圆相交于点 ，若点 位于 轴上方且 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【解答】解：（1） 角 的顶点为坐标原点 ，始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆相
交于点 ，
， ，
点 位于 轴上方且 ，
，且 ，
， ，
，故 是第二象限角．
．
（2） ．
