文档内容
法
02B-101A 二次根式的概念与性质
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）二次根式的概念
（2）二次根式的性质
2. 考情分析
（1）二次根式的概念与性质是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约
28%。
（2）主要考察二次根式的概念及性质，以选择题、填空题为主，也可以结合新定义、数轴
等知识点考察常规讲解题。
（3）对应教材：八年级上册第十六章二次根式第一节。
（4）本讲知识点二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，主要对二次根式的性质
及运算进行讲解，重点是二次根式的性质，难点是分母有理化的应用．学生已学过平方根
立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础．本
节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用。
3知识加油站1——二次根式的概念
考点一：二次根式定义
知识笔记1
二次根式的概念
代数式 （ ）叫做二次根式，读作“根号 ”，其中 是___________．
例题1:
（1）下列式子中二次根式的个数有
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2）若 为任意实数，下列各式一定是二次根式的是
A． B． C． D．
练习1:
（1）下列各式一定是二次根式的是
A． B． C． D．
（2）下列各式一定是二次根式的是
A． B． C． D．
4考点二：二次根式成立条件
知识笔记2
二次根式 （ ）有意义的条件
（1）_________
（2）_________
例题2:
（1）若 是二次根式，则 的取值范围是
A． B． C． D．
（2） 取何值时， 在实数范围内有意义
A． B． C． D．
（3）式子 有意义的 取值范围是
A． B． C． 且 D． 且
（4）若式子 有意义，则实数 的取值范围是
A． B． ，且 C． D． ，且
练习2:
（1）若 是二次根式，则下列说法正确的是
A． B． 且
C． 、 同号 D． ， 或 ，
（2）要使式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A． 且 B． 且 C． D．
5（3）使式子 在实数范围内有意义的整数 有
A．5个 B．3个 C．4个 D．2个
例题3:
（1）（2022•宝山区期末）如果 ，则 的值为
A． B．1 C． D．0
（2）已知 满足 ，那么 的值为
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
练习3:
（1）已知 、 为实数，且 ，求 的平方根．
（2）已知 ，那么 _________．
6知识加油站2——二次根式的性质
考点三：二次根式的性质
知识笔记3
二次根式的性质
性质1： ； 推 广 性 质 1 可 得 到 ：
√ 2
a a {a a 0 {0 a 0
=||=¿ ( > )¿ ( = )¿¿¿¿
性质2： ；
性质3： （ ， ）；
（ ， ）；
性质4： （ ， ）；
（ ， ）.
例题4:
计算下列各式的值：
（1） = （2） =； （3） =
（4） = （5） （6）
练习4:
（1）算下列各式的值：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
7（2）（2022•杨浦区期中）化简：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
例题5:
（1）（2022•宝山区期中）下列各式中，与化简 所得结果相同的是
A． B． C． D．
（2）与根式 的值相等的是
A． B． C． D．
（3）化简： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
（4）把二次根式（x-1） 中根号外的因式移到根号内，结果是__________．
练习5：
（1）已知 ，化简二次根式 的正确结果（ ）
A． B． C． D．
（2）对式子 作恒等变形，使根号外不含字母 ，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
8（3）（2023•杨浦期中）化简： =_______.
（4）把 中根号外因式适当变形后移至根号内得_______.
例题6:
（1）（2022•闵行区文来中学期中）若化简 的结果是 ，则实数
的取值范围是
A． 为任意实数 B． C． D．
（2）当 时，化简 ________.
（3）已知 ，当 分别取1，2，3， ，2020时，所对应的 值的总
和是________．
（ 4 ） （ 2023 闵 行 区 期 中 ） 、 、 是 的 三 条 边 ， 化 简
___________.
练习6:
（1）若代数式 ＝2成立，求 的取值范围．
（2）化简：
（3）化简：
（4）已知： 、 、 是 的三边长，化简：
．
9例题7:
先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如 的化简，只要我们找到两个正数 、
， 使 ， ， 使 得 ， ， 那 么 便 有 ：
．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，由于 ， ．
即 ， ．
．
（1）填空： _______.， _______.
（2）化简： ．
练习7:
有这样一类题目：化简 ，如果你能找到两个数 、 ，使 ，并且
，那么将 变成 开方，从而将 化简．例如：
化简
因为
所以
仿照上例化简下列各式：
（1） ；
（2） ．
10全真战场
关卡一
练习1:
在式子 ， ， ， ， ， 中，是二次根式的有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
练习2:
（1）如图，在数轴上所表示的 的取值范围中，有意义的二次根式是
A． B． C． D．
（2）若代数式 有意义，则点 在平面直角坐标系中的
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（3）已知 ，化简二次根式 的正确结果是
A． B． C． D．
练习3:
（1）若 ， 为实数，且 ，则 的值为
A．0 B． C．2 D．不能确定
（2） ，则 _______.
练习4:
观察下列各式： ； ； ；
则依次第四个式子是_______；用 的等式表达你所观察得到的规律应是______.
11练习5:
、 、 三个数在数轴上的点如图所示，求 的值．
关卡二
练习6:
若 ，则 的值为_______.
练习7:
已知 ，则 的最小值为_______.
练习8:
已知 、 为实数，且满足 ，则符合条件的实数对 有
__________对
1202A 最简二次根式与同类二次根式
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）最简二次根式
（2）同类二次根式
（3）合并同类二次根式
2. 考情分析
（1）最简二次根式与同类二次根式是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考
分值约28%。
（2）主要考察最简二次根式与同类二次根式的概念，以选择题、填空题为主，同类二次根
式可以考察解答题。
（3）对应教材：八年级上册第十六章二次根式第二节。
（4）最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究
二次根式运算的的知识基础．重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二
次根式的合并及最简二次根式的化简。
13知识加油站1——最简二次根式
考点一：最简二次根式的判断
知识笔记1
最简二次根式满足的条件
（1）被开方数中_____________________；
（2）____________________．
例题1:
（1）（2022•金山区二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是
A． B． C． D．
（2）（2022•黄浦区月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
练习1:
（1）（2022•徐汇区徐汇中学期中）下列根式中，最简二次根式有 个．
， ， ， ， ， ，
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）在 、 、 、 、 中，最简二次根式是________．
考点二：二次根式的化简
例题2:
（1）将式子 化为最简二次根式________．
（2）把下列式子化成最简二次根式： ．
14练习2:
把下列各式化成最简二次根式：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ．
考点三：最简二次根式性质求参数
例题3:
（1）若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 为________．
（2）若 和 都是最简二次根式，则 ________．
（3）已知 和 是相等的最简二次根式．
①求 ， 的值；
②求 的值．
（4）把二次根式 与 分别化成最简二次根式后，被开方数相同．
15①如果 是正整数，那么符合条件的 有哪些？
②如果 是整数，那么符合条件的 有多少个？最大值是什么？有没有最小值？
练习3:
（1）若二次根式 是最简二次根式，则 可取的最小整数是________．
（2）若 和 都是最简二次根式，则 ________．
（3）已知：最简二次根式 与 的被开方数相同，则 ________．
16知识加油站2——同类二次根式
考点四：同类二次根式的判断
知识笔记2
同类二次根式的概念
___________________________，如果被开方数__________，那么这几个二次根式叫做同类
二次根式．
例题4:
（1）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
（2）（2022•杨浦区期末）下列二次根式中，与 属同类二次根式的是
A． B． C． D．
（3）下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
， ， ， ， ， ， ， ， ，
．
练习4:
（1）在根式 、 、 、 、 中与 是同类二次根式的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）（2022•虹口区外国语大学附中月考）在二次根式① ；② ；③ ；④
；⑤ 中，与 是同类二次根式的有________．（填写编号）
1718考点五：同类二次根式求参
例题5:
（1）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 的值为
A． B． C． D．3
（2）（2022•虹口区外国语大学附中期中）若两最简根式 和 是同类
二次根式，则 的值的平方根是________．
（3）已知最简二次根式 与 可以合并，则 的值是________．
（4）如果最简二次根式 与 可以合并，那么使 有意义的 的取值范
围是________．
练习5:
（1）若最简二次根式 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为
A． B． C． D．
（2）如果最简二次根式 与 是同类二次根式．
①求出 的值；
②若 ，化简： ．
（3）两个最简二次根式 与 的被开方数相同，求 的值．
19（4）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，且 ，
求 的值．
（5）已知 ， ， 且 、 、 是可以合并的最
简二次根式，求 、 及 的值．
20知识加油站3——合并同类二次根式
考点六：合并同类二次根式
知识笔记3
合并同类二次根式的步骤：
（1）______________________________________；
（2）_____________________________________________________.
例题6:
（1）合并下列各式中的同类二次根式：
（2）化简： ；
（3）化简合并： ；
（4）化简合并： ．
21（5）合并下列各式中的同类二次根式： ．
（6）解不等式： ．
练习6:
合并下列各式中的同类二次根式．
（1） ．
（2） ．
（3）（2022•徐汇区西南模范中学期末）计算： ．
22（4）计算： ．
（5）合并下列各式中的同类二次根式
① ； ② （ ）．
（6）解方程： ．
23全真战场
关卡一
练习1:
下列二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，能与 合并的是
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
练习2:
（1）下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？把不是最简二次根式的化简成最简二
次根式．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；
⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩ ；⑪ ；⑫ ．
练习3:
（1）下列说法：① 的立方根为 ，② ，③ ，④
与 是同类二次根式，其中正确说法的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）若两个最简二次根式 和 是同类二次根式，则 ________．
24练习4:
（ 1 ） 如 果 与 都 是 最 简 二 次 根 式 ， 又 是 同 类 二 次 根 式 ， 且
，求 、 的值．
（2）若最简二次根式 和 是同类二次根式．
①求 ， 的值；
②求 的值．
练习5:
合并下列二次根式中的同类二次根式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
25关卡二
练习6:
已知 ， 都为正整数，且 ，求 ， 的值．
练习7:
已知 、 是有理数，且 ，求 、 的值．
练习8:
设正整数 、 、 满足 ．则 ________．
262703A 二次根式的运算
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）二次根式的加减法
（2）二次根式的乘除法
（3）分母有理化
2. 考情分析
（1）二次根式的运算是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约30%。
（2）主要考察二次根式的加减法、乘除法以及分母有理化，以分母有理化以填空题为主，
二次根式的运算以填空和解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十六章二次根式第三节。
（4）二次根式的运算是八年级数学上学期第一章第三节内容．重点是能够运用二次根式的
运算法则解决实际计算问题，难点是复杂二次根式的计算。
28知识加油站1——二次根式的加减法
考点一：二次根式加减运算
知识笔记1
二次根式的加法和减法
先把各个二次根式化为______________，再把（化简合并）．
例题1:
（1）（2022•徐汇区期末）计算：
（2）（2022•闵行区上海实验学校西校期中）计算： ．
（3）（2022•静安区期中）计算： ．
练习1:
（1）计算： ．
29（2）计算： ．
（3）（2023•金山区期中）计算： ．
考点二：含参二次根式的加减运算
例题2:
（1）（2022•徐汇南阳模范中学期中）计算： ．
（2）计算：
30（3）计算：
（4）化简： ．
练习2:
（1）计算： .
（2）（2022•宝山区期中）计算： ．
31（3）（2023•浦东新区期中）计算： ．
（4）化简：
例题3:
（1）先化简，再求值： ，其中 ， ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ， ．
练习3:
（1）先化简后求值，当 时，求 的值．
32（2）化简 ．
33知识加油站2——二次根式的乘除法
考点三：二次根式的乘除运算
知识笔记2
二次根式的乘法与除法
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数__________；
（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数__________．
例题4:
（1）（2022•宝山区期中）计算： _______．
（2）计算： =_______．
（3）计算： ；
（4）计算： ；
练习4:
（1）计算： ．
（2）计算： .
34（3）计算： ．
（4）计算： ．
考点四：含参二次根式的乘除运算
例题5:
（1）计算： _______．
（2）计算： ．
（3）计算： ．
35（4）计算
练习5:
（1）计算： _______．
（2）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）化简：
_______．
（3）计算： ；
（4）计算：
36知识加油站3——分母有理化
考点五：分母有理化及有理化因式性质
知识笔记3
1. 分母有理化
（1）把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含_________的运算；
（2）分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
2.有理化因式
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含
有二次根式的非零代数式互为____________．
例题6:
（1）（2022•长宁区第三女子中学期中）在下列各式中，二次根式 的有理化因式
A． B． C． D．
（2）下列各式中，二次根式 的有理化因式是
A． B． C． D．
（3）下列各式，互为有理化因式的是
A． B．
C． D．
（4）已知 ， ，那么 与 的关系为
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D． 是 的平方根
练习6:
（1）（2023•浦东新区期末） 的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023•普陀区期末） 的有理化因式是（ ）
37A． B． C． D．
（3） 的倒数是________．
例题7:
（2022•徐汇区期末）计算：
（1） _______．（2） _______．（3） _______．
（4） _______．
（5） ．
（6）
练习7:
（2023•静安区期末）分母有理化：
（1） _______．（2） _______．（3） _______．
（4） _______．（5） _______．（6） _______．
38例题8：
化简求值：
（1）
令x=√6+√5 y=√6−√5 x+y=2√6， xy =1 x 3 +y 3 =(x+y)(x 2 − xy +y 2 )=2√6( 22 −1)= 42√6
(√6+√5) 6
（2）化简：（ ＋ ）÷（ ＋ － ）（a≠b）．
（3）化简：
（4）（2023•浦东新区期中）化简： ．
39练习8：
化简求值：
（1）
（2）
x+2√xy+y 1 x−y+1
( + )÷
x=2−√3, y=2+√3 √x+√y √x−√y √x
（3）已知 ，化简并求值
（4）化简并求值:
40考点六：分母有理化应用
例题9:
已知 ， ，
（1）求 ， 的值；
（2）求 的值．
练习9:
已知： ，
求：① ，② 的值．
41例题10:
化简下面式子.
（1）化简：
（2）化简：
42练习10:
化简下面式子.
（1）
（2）
43全真战场
关卡一
练习1:
（1）化简： _________．
（2）计算： ．
（3）计算： ．
练习2:
（1）计算： ．
（2）计算： ．
（3）（2022•嘉定区中科院上海实验学校月考）计算： ．
44练习3:
阅读下面的解答过程，然后答题：已知 为实数，化简 ．
解：原式 ①
②
（1）上述解答是否有错误？
（2）若有错误，从第几步开始出现错误？
（3）写出正确的解答过程．
练习4:
已知： ， ，求 的值．
练习5:
（2022•静安区同济大学附属七一中学期中）已知 ，化简
．
45关卡二
练习6:
已知 ， 是实数，且 ，问 ， 之间有怎样的关系．
练习7:
已知 、 为正数，且 ，求 的值．
练习8:
已知 ，且 ， ，其中 、 均为有理数，求
的值．
4604A 二次根式的应用
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）二次根式的混合运算
（2）二次根式的化简求值
（3）二次根式与不等式、方程
2. 考情分析
（1）二次根式的应用是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约15%。
（2）主要考察二次根式的混合运用、化简求值以及与方程、不等式之间的联系，选择题、
填空题和解答题都会出题。
（3）对应教材：八年级上册第十六章二次根式第二节。
（4）二次根式是中考中的重点内容，主要是性质的运用和二次根式的运算，其中掌握二次
根式的运算是重点，理解二次根式的性质是关键．二次根式的综合运算是二次根式的加、
减、乘、除、乘方、开方的混合运算，掌握好方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思
路，提高学生的解题能力。
47知识加油站1——二次根式的混合运算
考点一：二次根式的混合运算
知识笔记1
二次根式的混合运算
（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；
（2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、__________等进行解题．
例题1:
（1）（2022•嘉定区中科院上海实验学校月考）计算：
__________．
（2）计算： __________．
（3）（2023•静安区校级期末）计算： __________．
（4）（2023•松江区期中）已知 ，则 __________．
练习1:
（1）（2022•闵行区上海实验学校西校期中）计算：
__________．
（2）计算： __________．
（3）（2023•浦东新区期末）计算：
① ； ② ．
48例题2:
（1）（2023•奉贤区校级期中）
①计算： ；②计算： ．
③计算： ．
（2）（2023•普陀区校级期中）
①计算：
②计算：
③（2022•杨浦区期末）计算：
练习2:
（1）（2022•普陀区曹杨二中期中）计算： ．
49（2）（2023•崇明区期中）计算： ．
（3）（2022•宝山区期末）计算： ．
（4）（2023•浦东新区校级期末）计算： ．
（5）（2023•松江区期中）计算： ．
考点二：二次根式新定义题型
例题3:
（2023•浦东新区校级期末） 对于任意正数 ， ，定义运算※如下： ※
计算 ※ ※ 的结果为__________．
练习3:
50（2022•黄浦区大同中学月考）符号“ ”表示一种新的运算，规定 ，则
的值为__________．
知识加油站2——二次根式的化简求值
考点三：代数式的化简求值
知识笔记2
二次根式的化简求值
二次根式化简求值就是运用________、分解变形、构造关系等重要的技巧与方法，解题的
关键是需把已知条件化简，或把已知条件变形。
例题4:
（1）当 时，二次根式 的值是__________．
（2）若 ， ，则 的值为__________．
（3）（2023•长宁区校级期中）当 ，化简代数式 ，并求值．
练习4：
（1）若 ，则 的值为__________．
（2）若 ， ，则 的值为__________．
（3）（2023•金山区期中）如果 ，则 __________．
5152例题5:
（1）（2022•宝山区期中）已知 ，求 的值．
（2）已知： ， ，求代数式 的值．
（3）（2023•杨浦区期中）先化简，再求值：已知 ，求
的值．
（4）（2023•浦东新区期中）已知 ， ，求 的值．
53练习5:
（1）（2022•静安区市西中学期中）已知 ，求 的值．
（2）（2022•青浦区东方中学期中）先化简再求值： ，其中
，
（3）（2022•青浦区期中）已知 ，求代数式： 的值．
54例题6:
（1）已知 ，则 __________．
（2）已知 ，则 __________．
练习6:
（1）已知 ，则 的值是__________．
（2）已知 ，求代数式 的值．
55知识加油站3——二次根式与不等式、方程
考点四：解含有二次根式的方程和不等式
知识笔记3
二次根式与不等式、方程
（1）方程的运算、_____________以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；
（2）二次根式的运算中要灵活运用不等式的性质、运算性质等进行解题．
例题7:
（1）（2022•静安区同济大学附属七一中学期中）不等式 的解集是
__________．
（2）（2023•杨浦区期中）解不等式： 的解集是__________．
（3）若 ，化简 __________．
（4）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）解方程： ．
（5）（2022•浦东新区张江集团中学期中）已知方程组 ，那么 的
值是__________．
练习7:
（1）（2022•长宁区上海第三女子中学期中）解不等式： 的解集是
__________．
（2）（2023•普陀区校级期中）不等式 的解集是__________．
（3）求满足 的最大整数解．
56（4） ．
（5）解方程组： ．
考点五：二次根式大小比较
例题8:
（1）比较大小： ______ ．（用 ， 或 填空）
（2）比较大小： ______ ．（用 ， 或 填空）
（3）比较 与 的大小．
（4）比较 与 的大小．
57练习8：
（1）比较大小： ______ ．（用 ， 或 填空）
（2）比较大小： ______ ．（用 ， 或 填空）
（3）比较 与 的大小.
58全真战场
关卡一
练习1:
（1）计算： ______．
（2）（2022•静安区市西中学期中）
计算： ．
练习2:
不等式 的解集是__________________．
练习3:
（1）解方程组： ．
（2）解方程组： ．
59练习4:
（1）化简并求值： ，其中 ， ．
（2）已知 ， ．则代数式 的值为______．
关卡二
练习5:
化简 ________．
练习6:
（2022•宝山区上海市宝山实验学校期中）定义 表示不超过实数 的最大整数，设
，则 ______．
练习7:
（2022•虹口区外国语大学附中月考）已知 ，求
的值．
606105A 一元二次方程的概念及基本解法
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）一元二次方程的概念
（2）一元二次方程的一般式
（3）一元二次方程的解
（4）直接开平方法
2. 考情分析
（1）一元二次方程的概念是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值
约10%。
（2）主要考察一元二次方程的概念、方程的解、直接开平方法，以选择题、填空题为主，
方程的解、直接开平方法考察解答题。
（3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第一节。
（4）一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方
程概念和直接开平方法解一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点
是开平方法解一元二次方程．通过这节课的学习一方面为我们后期学习因式分解法，配方
法，公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习函数奠定基础。
62知识加油站1——一元二次方程的概念
考点一：一元二次方程的判断
知识笔记1
一元二次方程的概念
（1）整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做_____________；
（2）一元二次方程：只含有__________________，且________________是_________的
________________称作一元二次方程．
例题1:
（1）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ；（ 为已知数）；
⑦ ．
（2）判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
① （ 为有理数）；
② ．
练习1:
关于 的方程：① ；② ；③ ；
④ ．其中是一元二次方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
63考点二：一元二次方程的定义求参数
知识笔记2
一元二次方程的满足条件：
（1）__________________________；
（2）__________________________．
例题2
（1）已知方程 是关于 的一元二次方程，求 的值．
（2） 方程
① 为何值时，方程是一元二次方程；
② 为何值时，方程是一元一次方程．
练习2:
（1）（2022•黄浦区大同中学月考）已知关于 的方程 是一元二次方
程，则 的值为_______．
（2） 取何值时，关于 的方程
①是一元一次方程？
②是一元二次方程？
64知识加油站2——一元二次方程的一般式
考点三：一元二次方程系数
知识笔记3
一元二次方程的一般式
任何一个关于 的一元二次方程都可以化成 _________的形式，这种形式简
称为一元二次方程的一般式．其中 叫做_________， 是_________； 叫做
_________， 是一次项系数； 叫做_________．
例题3:
（1）（2022•浦东新区进才实验中学月考）一元二次方程 的一次项系
数为_________．
（2）一元二次方程 化为一般形式后二次项系数是_________，一次项是
_________．
（3）一元二次方程 中，当二次项系数是 时，一次项系数是_________、常数
项是_________．
练习3:
判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的各项系数和常数项：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
例题4:
（1）①若 是关于 的一元二次方程，且不含 的一次项，
则 _______， _______，
②已知关于 的一元二次方程 的常数项是0，则 _______．
65（2）①将一元二次方程 ，化成 的形式，则 ， 的值分别是
A． ，21 B． ，11 C．4，21 D． ，69
②一元二次方程 化为一般形式 ，试求 的
值．
③（2022•徐汇区南洋模范中学月考）若一元二次方程 的各项系数的和为 ，
则 _________．
练习4:
（1）①（2023•杨浦区期中）若关于 的一元二次方程 的常数项为
0，则 _______．
②若关于 的一元二次方程 的常数项为0，则 的值是_______．
（2）①把方程 化成 的形式，则 ， ， 的值分别为
A．3，1，4 B．3， ，4 C．3， ， D．3，4，
②一元二次方程 化为一般形式后为 ，试求 的
值．
③ 设 是 二 次 项 系 数 ， 是 一 次 项 系 数 ， 是 常 数 项 ， 且 满 足
，求满足条件的一元二次方程．
66知识加油站3——一元二次方程的解
考点四：一元二次方程的根
知识笔记4
一元二次方程的解
能够使一元二次方程____________________________叫做方程的解．只含有一个未知数的
方程，它的解又叫做__________．
例题5:
判断方程后面括号里的数是否为方程的根．
（1） ； （2） ．
练习5:
检验 和1是不是方程 的解？检验结果是：__________是这个方程的解．
67考点五：一元二次方程求参
例题6:
（1）（2022•静安区同济大学附属七一中学期中）若关于 的一元二次方程
有一根为0，则 ________．
（2）（2022•闵行区上海实验学校西校期中）关于 的方程 的一个根是
2，则 ________．
练习6:
（1）（2022•宝山区期中）关于 的一元二次方程 的一个根是
0，那么 的值是________．
（2）（2022•普陀区期中）关于 的一元二次方程 有一个根为2，那
么 的值为________．
考点六：整体法求值
例题7：
（1）如果 ，那么一元二次方程 ，必有一个根是________．
（2）（2023•杨浦区期中）已知 为方程 的一个根，则代数式
的值.
（3）已知 是方程 的一个根，则 的值.
68练习:7：
（1）①（2023•静安区校级期中）如果 ，则方程 必有一解为
__________．
②在一元二次方程 中，若 、 、 满足关系式 ，则这个方程
必有一个根为__________．
（2）（ 2022•长宁区校级期中） 是方程 的一个根，则代数式
值是__________．
（3）①（2020•金山区期中）若关于 的方程 满足 ，称此
方程为“月亮”方程．已知方程 是“月亮”方程，求
的值为
A．0 B．2 C．1 D．
②已知 是方程 的一个根，求 的值．
69知识加油站4——直接开平方法
考点七：用开平方解方程
知识笔记5
直接开平方法
如果一元二次方程的一边是，另一边是______________，那么就可以用直接开平方法求解，
这种方法适合形如______________的形式求解．
例题8:
用直接开平方法解下列方程．
（1）（2022•宝山区期末）方程 的解是_______．
（2）（2021•浦东新区新竹园中学月考）方程 的两根为 _______，
_______．
（3）（2022•嘉定区中科院上海实验学校月考）解方程： ．
（4）（2021•徐汇区徐汇中学期中）解方程： ．
练习8：
用直接开平方法解下列方程．
（1） ．
（2） ．
70（3）解关于 的方程： ．
（4）（2021•静安区民立中学月考）解方程： ．
（5）（2022•嘉定区月考）解方程： ．
例题9：
（1）（2021•徐汇区南洋模范中学月考）解方程：
（2）（2023•长宁期中）解方程：
练习9：
（1）解一元二次方程：
（2）（2021•青浦期中）解一元二次方程：
7172考点九：开平方法解含参方程
例题10:
（1）解关于 的方程： ．
（2）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）解方程： ．
练习10:
（2021•闵行区期末）解关于 的方程： ．
73全真战场
关卡一
练习1:
（1）下面关于 的方程中：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．是一元二次方程
个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）关于 的方程 有一个根 ，则 的值等于
A．2 B． C． D．
练习2:
已知关于 的方程 ．
（1）当 为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当 为何值时，该方程为一元一次方程？
练习3:
分别根据下列条件，写出关于 的一元二次方程 的一般形式：
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
练习4:
74（1）解下列方程： ．
（2）解下列方程： ．
（3）解关于 的方程： ．
练习5:
（2020•杨浦区期中）若关于 的一元二次方程 的两根为 ，其中 、
为两数，则 _______， _______．
关卡二
练习5:
若 是关于 的一元二次方程，求 ， 的值．
练习6:
已知 为方程 的一个根，求代数式 的值．
757606A 一元二次方程的解法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）因式分解法
（2）配方法
（3）求根公式法
2. 考情分析
（1）一元二次方程的解法是一元二次方程的重要部分，属于方程与代数式板块，占中考考
分值约20%。
（2）主要考察一元二次方程的三种解题方法，以考察解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第二节一元二次方程的解法。
（4）利用因式分解法、配方法及求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章
第二节内容，主要对一元二次方程因式分解、配方法和求根公式法三种解法进行讲解，重
点是对一元二次方程这三种解法的原理和过程的理解，难点是这三种解法在解一元二次方
程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习根的判别式提供依据，另一方
面也为后面学习一元高次方程奠定基础。
77知识加油站1——因式分解法
考点一：因式分解法解一元二次方程
知识笔记1
1. 因式分解法定义
运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做__________．
2. 因式分解法理论依据
（1）当 时，必有 或 ；当 或 时，必有 ．
（2）通过因式分解，把________________________________________的形式，从而把解一
元二次方程的问题转化为解___________的问题．
3. 解一元二次方程一般步骤
（1）将方程____________________；
（2）将方程左边的二次三项式分解为____________________；
（3）令每一个因式分别为零，得到两个____________；
（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是__________原方程的解．
例题1:
（1）（2022•青浦区东方中学期末）方程 的解是________．
（2）（2022•杨浦区期末）方程 的解是________．
（3）（2023•崇明区期末）方程 的解为________．
（4）用因式分解法解方程：
练习1:
（1）方程 的解是________________．
78（2）方程 的根是________________．
（3）（2021•宝山区期末）方程 的根________________．
（4）（2023•浦东新区校级期末）用因式分解法解方程：
例题2:
（1）用因式分解法解方程： ；
（2）用因式分解法解方程：
练习2:
（1）用因式分解法解方程： =0．
（2）用因式分解法解方程：
例题3:
（1）（2023·奉贤期中）用因式分解法解方程：
① ②
（2）（2022•青浦区东方中学期中）用因式分解法解方程： ．
79（3）（2023•金山区校级月考）用因式分解法解方程：
练习3:
（1）（2023•普陀区期中）用因式分解法解方程：
① ②
（2）①（2023•闵行期末）用因式分解法解方程：
②（2023•宝山区校级月考）用因式分解法解方程： ．
（3）①用因式分解法解方程：3 ．
②用因式分解法解方程： ．
80考点二：因式分解解一元二次方程新定义题型
例题4:
（2022•奉贤区期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这
两个方程为“同伴方程”．例如 和 有且只有一个相同的实数根 ，
所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有________（只填写序号即可）
①
②
③
（2）关于 的一元二次方程 与 为“同伴方程”，求 的值
（3）若关于 的一元二次方程 同时满足 和 ，
且与 互为“同伴方程”，求 的值．
练习4:
如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根
大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是
， 则方程 是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断 是否为“邻根方程”：
（2）已知关于 的方程 是常数）是“邻根方程”，求 的值．
81知识加油站2——配方法
考点三：配方法解一元二次方程
知识笔记2
1. 配方法定义
先把方程中的________，把________，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法
叫__________．
2. 配方法理论依据
配方法的理论依据是完全平方公式：________________．
3. 配方法解一元二次方程步骤
（1）_____________：即方程左右两边同时除以二次项系数；
（2）移项 :___________________；
（3）配方：___________________，把原方程化成______________的形式；
当 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．
例题5:
（1）用配方法解方程：
① ．
② ．
③ ．
82（2）①（2022•徐汇区校级期中）用配方法解： ．
②（2022•徐汇区期末）用配方法解方程： ．
③（2022•黄浦区期中）用配方法解方程： ．
（3）（2023•闵行区期中）解方程：
（4）用配方法解方程： （要求用整体法的思想求解）．
练习5:
（1）①（2022•黄浦区校级期末）用配方法解方程： ．
②用配方法解方程： ．
③（2023•静安区校级期中）用配方法解方程： ．
83（2）用配方法解下列方程：① ．
② ．
③ ．
（3）（2023•闵行区期中）解方程：
（4）用配方法解方程： （要求用整体法的思想求解）．
84考点四：配方法的应用
例题6:
把方程 用配方法化为 的形式，则 的值是________．
练习6:
一元二次方程 配方后得 ，则 的值是________．
85知识加油站3——求根公式法
考点五：求根公式法解一元二次方程
知识笔记3
1. 公式引入
一元二次方程 （ ），可用配方法进行求解：得：__________________．
请利用配方法，解一元二次方程 （ ）.
求根公式推导：____________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
对上面这个方程进行讨论：因为 ，所以
（1）________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
（2）_________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
2. 求根公式
一元二次方程 （ ），
当 时，有两个实数根：________________________________
这就是一元二次方程 （ ）的求根公式．
3. 求根公式法解一元二次方程一般步骤
（1）把一元二次方程化成_________________________；
（2）_______________________________；
（3）求出 的值（或代数式）；
（4）若 ，则把 a、b、c 及 的值代入求根公式，求出 、 ；
____________________
86例题7:
（1）公式法解方程：
（2）公式法解方程：
练习7:
（1）（2022•浦东新区期中）公式法解方程：
（2）公式法解方程：
（3）公式法解方程：
例题8:
用公式法解下列方程：
（1）
87（2）
（3）
练习8：
（1）（2021•普陀区培佳双语学校期中）公式法解方程： ．
（2）（2022•嘉定区月考）公式法解方程： ．
（3）公式法解方程： ．
（4）公式法解方程： ．
8889全真战场
关卡一
练习1:
用因式分解法及配方法解下列方程：
（1） （2）
练习2:
用配方法解下列方程：
（1） （2）
练习3:
用公式法解下列方程：
（1） （2）
练习4:
用合适的方法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
90关卡二
练习5:
若 ，那么 ________．
练习6:
用配方法说明：不论 为何值，代数式 的值总大于0．
练习7:
阅读下面材料：方程 是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法
通常是设 ，则 ， 原方程可化为 ，解方程求得 的值，进而
得到原方程的四个根 ， ， ， ．
以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法
解答下列问题．
（1）解方程 ；
（2）已知实数 满足 ，请直接写出 的值．
9107A 根的判别式及其应用
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）根的判别式的概念与形式
（2）判别式的主要应用
（3）判别式的复杂应用
2. 考情分析
（1）根的判别式是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约15%
（2）主要考察根的判别式的概念，以选择题、填空题为主，根的判别式的应用以解答题为
主。
（3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第二节17.3一元二次方程根的判别式。
（4）根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况
下判断出根的个数情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围．
本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字
母系数的取值范围。
92知识加油站1——根的判别式的概念与形式
考点一：根的判别式的值
知识笔记1
根的判别式的概念
一元二次方程根的判别式：我们把 叫做一元二次方程 的根的
判别式，通常用符号“ ”表示，记作_____________．
例题1:
（1） (2022•徐汇区期末）方程 的根的判别式的值为_______．
（2） (2023•青浦区期末）一元二次方程 的根的判别式的值是_______．
练习1:
（1） 一元二次方程 根的判别式的值等于_______．
（2）（2022•宝山期中）方程 的根的判别式的值为_______．
考点二：根据根的判别式的判断根的情况
知识笔记2
根的判别式的形式
一元二次方程 ，
（1）当____________时，方程有两个___________的实数根；
（2）当____________时，方程有两个___________的实数根；
（3）当____________时，方程________________．
例题2:
（1）（2023•普陀期末）在下列关于 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根是
A． B． C． D．
（2）（2022•青浦区期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是
A． B． C． D．
93（3）下列一元二次方程中无实数根的是
A． B． C． D．
练习2:
（1）关于一元二次方程 的根的判定中，正确的是
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
（2）（2020•长宁区期末）下列一元二次方程中无实数根的是
A． B．
C． D．
（3）已知 为实数，则关于 的方程 的实数根情况一定是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
考点三：新定义题型
例题3：
对于实数 ， ，定义一种运算“ ”为： ．若关于 的方程 有
两个相等的实数根，则满足条件的实数 的值是_______．
练习3:
对于实数 ， ，定义一种运算⊕： ⊕ ，若关于 的方程 ⊕ 有两个
相等的实数根，则实数 ________．
94知识加油站2——判别式的主要应用
知识笔记3
判别式的主要应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定_________；
（3）解与根有关的证明题．
考点四：根据根的判别式求参数
例题4:
（1）（2022•奉贤区校级期中）已知关于 的方程 根的判别式的值36，
则 ________．
（2）（2022•崇明区二模）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实
数根，那么 的值为_______．
（3）关于 的一元二次方程 ，其根的判别式的值为1，求 的值及
方程的根．
练习4:
（1）若关于 的一元二次方程 ，其根的判别式值为1，则
_______．
（2）关于 的一元二次方程 的根的判别式是1，则 _______．
95考点五：根据实数根的情况求参数范围
例题5:
（1）已知 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是：_________．
（2）（2022•徐汇区徐汇中学期中）如果关于 的一元二次方程 没有实数根，
那么 的取值范围是：_________．
（3）（2022•静安区市西中学期中）已知关于 的一元二次方程 （m为实
数）．
①如果该方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
②如果该方程有两个相等的实数根，求 的取值范围．
③如果该方程没有实数根，求 的取值范围．
练习5:
（1）（2022•宝山区期中）如果关于 的方程 有两个实数根，那么
的取值范围为：______.
（2）（2022•青浦区模拟）如果关于 的方程 没有实数根，那么 的取值范
围是：______.
96（3）已知：关于 的方程 ．
①试说明无论 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
②若 ，请解此方程．
例题6：
（1）（2023•静安期末）如果方程 有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且
C． D．
(2) 关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围：______.
练习6：
（1）（2022•浦东新区期中）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，则
可取的最大整数是 _________．
（2）关于 的一元二次方程 有实数根，则 满足（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
（3）已知关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是：
________．
（4）已知关于 的方程 ．
① 若 是该方程的根，求 的值；
② 若该方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
97例题7：
关 于 的 方 程 有 实 根 ， 则 关 于 的 方 程
的根的情况如何？
练习7：
（2021•奉贤区期末）已知关于 的方程 没有实数根，试判断关于 的方程
的根的情况．
98知识加油站3——判别式的实际应用
考点六：根的判别式实际应用
知识笔记4
根的判别式的复杂应用
（1）等腰三角形与一元二次方程，考点为已知两腰是方程的两根；
【注意】____________________________
（2）三角形与一元二次方程根的情况有关，已知方程__________判断三角形的形状.
① 当__________时，三角形是______________
② 当__________时，三角形是______________
③ 当__________时，三角形是______________
例题8：
（1）（2022•杨浦区期中）已知关于 的一元二次方程 ．
如果等腰三角形 的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求 的值．
（2）已知：设三角形 的三边a，b，c为方程 有两个相等的实数
根，且a，b，c满足
①求证： 是等边三角形．
②若a，b为方程 的两根，求k的值．
99练习8:
（1）已知 的三边长为 且关于 的方程 有两个相等
的实数根，请判断 的形状并加以说明．
（2）设 是 的三边长，关于 的方程 有两个相等的实数根，
方程 的根为0．
①求证： 为等边三角形；
②若 ， 为方程 的两根，求 的值．
100全真战场
关卡一
练习1
（1）（2022•普陀区期中）一元二次方程 的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
（2）下列方程中，无实数根的方程是
A． B．
C． D．
练习2:
关于 的一元二次方程 ，其根的判别式的值为9，求 的值及这个
方程的根．
练习3:
若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为
_______．
练习4:
已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围；
（2）当 时，求方程的实数根
练习5:
101已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为x 和x 若以x，x，3为三边长的三角形是直角三角形，求
1 2 1 2
k的值．
练习6:
已知关于 的一元二次方程： ．
①求证：这个方程总有两个实数根；
②若等腰 的一边长 ，另两边长 、 恰好是这个方程的两个实数根，求 的
周长．
关卡二
练习7:
已知 、 为实数，且满足 ，求 的最大值和最小值．
练习8:
已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根
102求 的值．
10308A 二次三项式的因式分解及应用
考情链接
1. 本次任务由5个部分构成
（1）二次三项式因式分解
（2）数字问题
（3）握手问题
（4）增长率问题
（5）面积问题
2. 考情分析
（1）二次三项式及一元二次方程的应用是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，
占中考分值约10%。
（2）二次三项式的因式分解，以填空题、解答题为主，一元二次方程的应用考察解答题。
（3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第三节。
（4）二次三项式的因式分解，要借助一元二次方程的知识进行解答。其次，运用方程思想
解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容。
104知识加油站1——二次三项式因式分解
考点一：二次三项式因式分解
知识笔记1
二次三项式因式分解
（1）形如_________________________的多项式称为二次三项式；
（2）如果一元二次方程 的两个根是 和 ,那么二次三项式的分解
公式为：_________________________．
例题1:
（1）一元二次方程 的两根为-1和2，那么二次三项式 可分解
为
A ． B ． C ． D ．
（2）在实数范围内因式分解：
① ____________；
② _____________；
4x2 +2x−3
③ ____________；
−6x2 −2x+1
④ ____________；
⑤ ____________.
练习1:
（1）如果一元二次方程 的两根为2、 ，那么二次三项式 在实
数范围内可以分解为
A． B． C． D．
（2）在实数范围内分解因式：
① ____________；
② ____________；
x2 4x3
③ ____________；
105p2 12p
④ ____________；
⑤ ____________.
考点二：二次三项式因式分解的条件
知识笔记2
二次三项式 可以因式分解的条件：
（1）_____________________；
（2）_____________________.
例题2:
（1）若二次三项式 在实数范围内可以因式分解，那么 的取值范围是
__________．
（2）若二次三项式 在实数范围内可以因式分解，则 的取值范围是__________．
练习2:
（1）（2022•浦东期中）下列关于 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是
A． B． C． D．
（2）如果二次三项式 在实数范围内可以因式分解，求 的取值范围．
106知识加油站2——数字问题
考点三：解决一元二次方程的数字问题
知识笔记3
数字问题
对于数的应用题主要是要知道数的表示．
例如：一个三位数百位、十位、个位分别为 x、y、z，那么这个三位数则可以表示为
___________________．
例题3:
（1）有一个两位数等于它十位上与个位上数的积的3倍，已知十位上的数比个位上的数小
2．设个位数字为 ，则可列方程为____________________（化为一般式）．
（2）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位上的数字与十位上的数
字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ___________．
（3）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为 ，如果把十位数字与个位数字调
换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得 ，求原来的两位数．
练习3:
（1）两个连续偶数的平方和是100，求这两个数．若设最小的数为 ，则可列方程为
____________________．
（2）有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．
（3）一两位数，数字之和是9，如将个位数字，十位数字对调与原数相乘的结果是 1458，
求原来的两位数．
知识加油站3——握手和贺卡问题
107考点四：解决一元二次方程的握手和贺卡问题
知识笔记4
握手问题
人“握手”公式：_____________________.
贺卡问题
人“送祝福”公式：_____________________.
例题4:
（1）同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设 人参加聚会，列方程为
A． B． C． D．
（2）某区要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 28
场比赛，则应邀参加比赛的球队支数是________．
练习4:
（1）在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手 190次，设参加这次
同学聚会的有 人，可得方程
A． B． C． D．
（2）某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等
条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请的参赛队数是
A．8 B．7 C．6 D．5
108例题5:
（2022•闵行区梅陇中学期中）2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛．
第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成 8个小组
（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据规则，
小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比赛，请
问：共有多少支队伍参加比赛？
练习5:
在东方绿舟游玩时，新华中学的校女子篮球队的队员们拍照留念，每两位队员合拍一张合
影，这样一共拍了55张照片底片，新华中学的小女子篮球队共有多少名队员？如果每个队
员都要得到自己的照片，每一张照片的冲印费是0.80元，那么一共要花多少元去冲印这些
照片？
109例题6:
过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程
为（ ）
A． B．x（x﹣1）=380
C．2x（x﹣1）=380 D．x（x+1）=380
练习6:
（1）九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了 870
段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝870 B．x（x+1）＝870
C．2x（x+1）＝870 D． ＝870
（2）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡 56张，设这个小组有
人，则（ ）
A． B． C． D．
110知识加油站4——增长率问题
考点五：解决一元二次方程的增长率和降低率问题
知识笔记5
增长率问题
基本公式：_____________________，
表示增长前的数， 表示增长率， 表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出
、 ．如果是降低率，则为______________.
例题7:
（1）（2022•青浦区白鹤中学期末）某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额
下降了 ，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352
万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为 ，那么可列方程______________.
（2）某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加 ，11月份的营
业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率．
练习7:
为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划
以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．
（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；
（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？
例题8:
（2022•青浦区东方中学期末）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相
同．已知原售价是875元，降价两次后的售价是560元，若每次下降的百分率是 ，由题
111意列出关于 的方程：_________________________.
练习8:
（1）（2023•崇明期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到
了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程_________________．
（2）（2022•青浦期中）最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以上海某地
一处小区二手房为例，原价 万元，经过连续两次降价，现价为 万元，则平均降价率
为____________．
112知识加油站5——面积问题
考点六：解决一元二次方程的面积问题
知识笔记6
几何面积问题
对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用 表示出来．
例如要求的某个长方形面积，就必须先把___________表示出来．
例题9:
（2022•黄浦区期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一
百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长 25米）的空旷场地为提前到场的
观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空
出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长方形的相
邻两边长分别是多少米？
练习9:
（2022•奉贤区期中）如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡
场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方
形的宽为 米，则可列出方程为_______________________．
例题10:
（1）某小区为了美化环境，准备在一块长50米，宽42米的长方形场地上修筑两条宽度相
等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分）．若草坪的面积是 1920平方
113米，求道路的宽度．
（2）如图，某小区有一块长为45米，宽为36米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的
矩形草地，它们的面积之和为1080平方米，两块草地之间及周围都是宽度相同的人行通道，
求人行通道的宽度为多少米？
练习10:
如图，在宽为 ，长为 的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分作
为耕地为 ．则道路的宽为？
114全真战场
关卡一
练习1:
（1）在实数范围内分解因式： .
（2）在实数范围内因式分解： ．
练习2:
三个连续奇数的平方和是 251，求这三个数，若设最小的数为 ，则可列方程为
____________________．
练习3:
在一次同学聚会时，每个人都与别人握一次手，有人做了一次统计，共握了 78次手，设共
有 人参加这次聚会，那么可列方程为______．
练习4:
为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场地建成绿化
广场．如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平行，另两条路
与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的 ，小路的
宽应为多少米？
关卡二
练习5:
115一个容器盛满纯酒精63升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样多的升数，
再用水加满，这时容器内剩下的纯酒精是原来的 ，问第一次倒出酒精多少升？
练习6:
世界上最长的跨海大桥 杭州湾跨海大桥通车后，苏南 地到宁波港的路程比原来缩短
了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从 地到宁波港的运输成
本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从 地经杭州湾跨海大桥到宁波
港的运输费用是多少元？
（3） 地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从 地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再
从宁波港运到 地．若有一批货物（不超过10车）从 地按外运路线运到 地的运费需
8320元，其中从 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波
港到 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1
车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
11611709A 正比例函数
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）函数的概念
（2）正比例函数的概念
（3）正比例函数的图像
（4）正比例函数的性质
2. 考情分析
（1）正比例函数是函数的部分，属于函数与分数板块，占中考考分值约20%。
（2）主要考察函数与正比例函数的概念，以选择题、填空题为主，正比例函数的图象与性
质以考察解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第一节。
（4）函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正
比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比
例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性
质。
118知识加油站1——函数的概念
考点一：函数的定义
知识笔记1
函数的概念
（1）在问题研究过程中，_________________叫做变量；________________叫做常量；
（2）在某个变化过程中有两个变量，设为 和 ，如果在变量 允许的取值范围内，变
量 随着 变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 叫做___________，
叫做_____________．函数用记号 表示， 表示___________时的函数值；
注：___________________________________________________.
（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为_______________．
例题1:
（1）圆周长 与圆的半径 之间的关系为 ，其中变量是_________，常量是
_________．
（2）面积是 的正方形地砖边长为 （cm），S 与 之间的函数关系式是
__________， 其中自变量是_______．
练习1:
（1）在正方形的周长公式 中，a是自变量，_______是________的函数，__________
是常量.
（2）在匀速运动中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么式子 ，下列说
法中正确的是（ ）
A．s、v、t三个量都是变量 B．s与v是变量，t是常量
C．v与t是变量，s是常量 D．s与t是变量，v是常量
例题2:
（1）（2022•青浦区东方中学期中）下列各图象中，不能表示 是 的函数的是
119A． B． C． D．
（2）有下面四个关系式：① ；② ；③ ；④ ．其中
是 的函数的是
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
练习2:
（1）下列图象不能反映 是 的函数的是
A． B．
C． D．
（2）在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ 中， 是 的
函数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
120考点二：函数定义域和函数值
知识笔记2
函数的定义域和值域
（1）___________________，叫做这个函数的_________．
（2）___________________，对应的函数值的全体叫做这个函数的_________．
例题3:
（1）（2022•崇明区二模）函数 中自变量 的取值范围是________．
（2）已知函数 ，当 时， ________．
（3）如图所示是关于变量 ， 的程序计算，若开始输入的 值为4，则最后输出因变
量 的值为 ________．
练习3:
（1）在函数 中，自变量 的取值范围是________．
（2）已知 ，那么 ________．
（3）根据如图所示的程序计算函数 的值，若输入 的值是8，则输出 的值是 ；若
输入 的值是 ，则输出 的值是________．
121知识加油站2——正比例函数的概念
考点三：正比例函数概念
知识笔记3
正比例函数的概念
如果_________________________（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，
y
用数学式子表示两个变量 、 成正比例，就是 k ，或表示为___________， 是不等
x k
于零的常数.
例题4:
（1）（2023•黄浦区期中）下列函数（其中 是自变量）中，一定是正比例函数的是
A． B． C． D．
（2）（2023•金山期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径
C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽
练习4:
（1）在下列式子中，表示 是 的正比例函数的是
A． B． C． D．
（2）（2022•青浦期中）下面问题中，两个变量成正比例关系的是（ ）
A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高
B．长方形的长确定，它的面积与宽
C．长方形的长确定，它的周长与宽
D．等边三角形的面积和它的长
122考点四：比例系数
知识笔记4
解析式形如________________________叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数．
正比例函数 ykx 的定义域是___________．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数
的解析式.
例题5:
（1）已知正比例函数 ，则y与x间的比例系数是________．
（2）下列函数中哪些是正比例函数？如果是,请指出比例系数？
① ；② ；③ ；④ ．
练习5:
（1）正比例函数 的比例系数是（ ）
A． B． C． D．3
（2）下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？
① ； ② ； ③ ； ④ ．
（3）下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数
① ；
② ；
③ ；
④ .
123考点五：正比例函数成立条件
知识笔记5
正比例函数成立条件：
（1）_________；
（2）______________；
（3）________________________.
例题6:
（1）如果函数 是正比例函数．则 的值是_________．
（2）如果 是正比例函数，那么 的值是_________．
练习6:
（1）如果函数 是正比例函数，那么 _________．
（2）当 _________．时，函数 是关于 的正比例函数．
（3）若 是关于 的正比例函数，则 _________．
考点六：待定系数法求函数解析式
例题7：
（1）（2023•黄浦期中）已知 是 的正比例函数，且当 时， ；那么 关
于 的函数解析式为_________．
（2）已知 与 成正比例，并且 时， ．
①写出 与 之间的函数关系式；
②当 时，求 的值；
③当 时，求 的值．
练习7
124已知 与 成正比例，当 时，
（1）求 与 的函数表达式；
（2）当 时，求函数值 ；
（3）当 时，求自变量 的值．
知识加油站3——正比例函数的图像
考点七：正比例函数作图
知识笔记6
正比例函数的图像
（1）一般地，正比例函数______________的图象是经过_____________这两点的一条直线，
我们把正比例函数 的图象叫做直线 ；
（2）图像画法：___________________________．
125例题8:
在平面直角坐标系中画出函数 的图象（先填写下表，再描点、连线）
0 1 2 3
练习8:
如图所示的平面直角坐标系中作出一次函数 的图象．
思考：作一次函数 的图象，一般取几个点就可以了？为什么？
126知识加油站4——正比例函数的性质
考点八：正比例函数的性质
知识笔记7
正比例函数的性质
（1）___________，正比例函数的图像经过第________象限；自变量x的值逐渐增大时，y
的值也随着逐渐增大．
（2）___________，正比例函数的图像经过第________象限；自变量x的值逐渐增大时，y
的值则随着逐渐减小．
例题9:
（1）正比例函数 的图象经过第_________象限．
（2）（2022•嘉定区月考）若函数 是正比例函数，那么图象经过
________象限．
（3） 图像经过________象限， 的值随 的值增大而________．
（4）（2024•上海期中）下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
（5）（2024•普陀二模）已知正比例函数 (k是常数， )的图象经过点 ，
那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是( )
A． B． C． D．
练习9:
（1）若函数 是正比例函数，它的图象在第______象限．
（2）已知正比例函数 的图像经过点 ，则函数图像经过______象限．
（3）（2021•静安区二模）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值 随
的增大而_________．
（4）（2023•上海普陀二模）已知正比例函数 的图象经过点 ，那么函
数值 随自变量 的值的增大而_________．填“增大”或“减小”）
127（5）若正比例函数 的图象经过点 ，则以下四个点中，也在其图象上
的是（ ）
A． B． C． D．
例题10:
（1）已知 ， 在正比例函数 的图象上，则 _____ ．（填“
”或“ ”或“ ” ．
（2）点 和点 在正比例函数 的图象上，当 时，则 与 的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
（3）若点 ， 在正比例函数 的图象上，当 时， ，则
的值可以是（ ）
A．2 B．0 C． D．1
练习10:
（1）正比例函数 的图像经过 ，且 ，则 _____ ．
（填“ ”或“ ”或“ ” ．
（2）（2023•青浦期中）已知点 和 都在直线 上，则 与 的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
（3）若函数 的图象上有两点 、 ，当 时， ，则k的值可
以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
考点九：正比例函数的性质求参
例题11:
128（1）已知正比例函数 的图象经过第二、四象限，则 的值为________．
（2）已知正比例函数 的函数值 随 的增大而增大，则 的取值范围为
______．
（3）已知函数 是正比例函数．
①若函数关系式中 随 的增大而减小，求 的值；
②若函数的图象过第一、三象限，求 的值．
练习11：
（1）（2020•金山区期中）若函数 是正比例函数，且图象在一、三象限，
则 ______．
（2）正比例函数 的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是________．
（3）（2023•金山期中）已知正比例函数 ，且y随着x的增大而减小．
①求m的取值范围；
②已知点 在该函数图象上，求出这个正比例函数解析式．
129全真战场
关卡一
练习1:
若函数 是正比例函数，则 的值是______．
练习2:
按如图所示的程序计算函数 的值，若输入的 值为 ，则输出 的结果为______．
练习3:
画出 函数图象，并写出函数性质：
练习4:
已知正比例函数 的函数图象有两点 ， ， ， ，当 时，有
．
（1）求 的取值范围；
（2）当 取最大整数时，画出该函数图象．
130关卡二
练习5:
关于 的新函数定义如下：
（1）当 时，
（2）当 是正整数， 是整数， ，且 ， 不含除1以外的公因数）时，
；
（3）当 为无理数时， ．
例：当 时， ；当 时， ．
以下结论：①当 时， ；
②若 、 是互不相等且不为0的有理数，当 时，函数值记为 ，当 时，函数
值记为 ，当 时，函数值记为 ，则一定有
③若 ，则对应的自变量 有且只有4种不同的取值；
④若 ，则满足 的自变量 的取值共有12个．
正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
131练习6:
规定 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， ．那么函数
的图象为
A． B．
C． D．
练习7:
已知y是x的正比例函数，且当 时， ．
（1）求出这个函数的解析式；
（2）在直角坐标平面内画出这个函数的图像；
（3）如果点P（a，4）在这个函数的图像上，求a的值；
（4）试问点A 关于原点对称的点B是否也在这个图像上？
13213310A 反比例函数
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）反比例函数的概念
（2）反比例函数的图像与性质
（3）反比例与几何问题
2. 考情分析
（1）反比例函数是函数的部分，属于函数与分数板块，占中考考分值约20%。
（2）主要考察反比例函数的概念，以选择题、填空题为主，正比例函数的图象与性质以考
察解答题为主，反比例函数与几何问题以解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第二节。
（4）反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性
质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通
过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据。
134知识加油站1——反比例函数的概念
考点一：反比例函数的定义
知识笔记1
反比例函数的概念
（1）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成
反比例；用数学式子表示两个变量 、 成反比例，就是 ，或表示为 ，其中
____________；
（2）解析式形如 （ 是常数， ）的函数叫做反比例函数，其中 也叫做
_________；
（3）反比例函数 的定义域是__________________．
例题1:
（1）下列关系式中的两个量成反比例的是
A．圆的面积与它的半径
B．正方形的周长与它的边长
C．路程一定时，速度与时间
D．长方形一条边确定时，周长与另一边
（2）给出的六个关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ，其中 是 的反比例函数的是
A．①②③④⑥ B．③⑤⑥ C．①②④ D．④⑥
练习1:
下列函数（其中 是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）y= +7．
考点二：根据反比例函数的解析式求参数
135知识笔记2
反比例函数的三种表述方法：
（1）________；（2）________；（3）________.
例题2:
（1）若 是反比例函数，则 的值是________．
（2）如果 是反比例函数，那么n的值是________．
练习2:
（1）如果 是反比例函数，则 ________．
（2）已知函数 是反比例函数，则 ________．
考点三：待定系数法求反比例函数
例题3:
（1）已知 与 成反比例，当 时， ，则当 时， ________．
（2）近视眼镜的度数 （度 与焦距 成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为
．①试求眼镜度数 与镜片焦距 之间的函数关系式；
②求1000度近视眼镜镜片的焦距．
练习3:
某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量 （吨 与完成生产任务所需要的时间
（天 之间成反比例关系，如果每天生产化肥25吨，那么完成总任务需要7天．
136（1）求 关于 的函数表达式；
（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？
137知识加油站2——反比例函数的图像与性质
考点四：反比例函数作图
知识笔记3
反比例函数的图像
反比例函数 （ 是常数， ）的图像叫做________，它有两支．
例题4:
画出函数 的图象．
（1）完成下列表格：
（2）描点，画图
138练习4:
反比例函数 ．
（1）画出反比例函数的图象；
（2）观察图象，当 时，写出 的取值范围．
139考点五：反比例函数图像性质
知识笔记4
反比例函数的性质
（1）___________，函数图像的两支分别在第___________象限；在每个象限内，当自变量
的值逐渐增大时， 的值随着逐渐减小．
（2）___________，函数图像的两支分别在第___________象限；在每个象限内，当自变量
的值逐渐增大时， 的值随着逐渐增大．
（3）图像的两支都无限接近于 轴和 轴，但不会与 轴和 轴相交．
例题5:
（1）函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
140（2）（2021•浦东新区期末）已知正比例函数 ， 的值随 的值的增大而减
小，那么它和反比例函数 在同一直角坐标平面内的大致图象是 A．
B．
C． D．
练习5:
（1）反比例函数 在平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
141（2）（2022•青浦区期中）已知正比例函数 中， 的值随 的值的增大而增大，那
么它和反比例函数 在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是
A． B．
C． D．
例题6:
（1）（2021•金山区期末）关于反比例函数 ，下列说法中错误的是
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C． 的值随 的值增大而减小
D．若点 在它的图象上，则点 也在它的图象上
（2）（2022•金山区二模）反比例函数 是实数， 的图像在每个象限内 随着
的增大而增大，那么这个反比例函数的图像的两个分支分别在第______象限．
（3）（2023•青浦期中）若点 都在反比例函数的图象上
则用“<”表示 的大小关系是______________________.
（4）（2023•闵行区期末）已知反比例函数 的图像上有两点 ，如
果 ，那么 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
142练习6:
（1）已知反比例函数 ，下列结论不正确的是
A．图象必经过点 B． 随 的增大而增大
C．图象在第二、四象限 D．当 时，
（2）反比例函数 是实数， 的图像在每个象限内 随着 的增大而减少，那
么这个反比例函数的图像的两个分支分别在第______象限．
（3）（2023•浦东新区期末）已知反比例函数 图像上三点的坐标分别是
、 、 ，且 ，试判断 ， ， 的大小关系______.
（4）（2023•普陀期中）已知点 都在反比例函数
的图像上，用“ ”表示 的大小关系是 ______
143考点五：反比例函数图像性质求参
例题7:
（1）（2023•闵行期末）如果反比例函数 在 时，y的值随x的值的增大而增
大，那么m的取值范围是________．
（2）（2023•普陀期中）已知反比例函数 的图像在第二、四象限，那么常数m的
取值范围是________．
（3）（2022•奉贤期中）反比例函数 图像经过 、 ，且 ，那
么 的取值范围是________．
练习7:
（1）（2023•黄浦期末）如果反比例函数 的图像，在 的范围内， 随 们增
大而减小，那么 的取值范围是________．
（2）函数 的图像在一、三象限，那么k的取值范围是________．
（3）（2022•杨浦期中）已知P（x，y），P（x，y）是双曲线y＝ 上的两点，当
1 1 1 2 2 2
x＞0＞x 时，有y＞y，则m的取值范围是________．
1 2 1 2
144知识加油站3——反比例与几何问题
考点六：反比例函数k的几何意义
知识笔记5
反比例函数与几何问题
反比例函数 上任意一点（a,b）向坐标轴作垂线，垂线和坐标轴所围成的矩形
面积为________；这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为_________，注意加绝对值，
有正负两个答案．
例题8:
（1）（2023•杨浦期末）如图，点 在反比例函数 第一象限的图象上， 垂
直 轴，垂足为 ，设 的面积是 ，那么 与 之间的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
145（2）正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，点E在AP上，点P、F在函数
的图像上，已知正方形OAPB的面积是16．
①求k的值和直线OP的函数解析式；
②求正方形ADEF的边长．
y
P
B
F
E
O A D x
练习8:
（1）已知：如图，点 在反比例函数 的图象上，且点 的横坐标为2，作
垂直于 轴，垂足为点 ， ．
①求 的长；
②求 的值；
（2）如图，矩形ABCD的边CD在x轴上，顶点A在双曲线 上，顶点B在双曲线
y
上，求矩形ABCD的面积．
EO DA CB x
146例题9:
（2022•宝山区行知中学期中）如图，已知正方形 的面积为9，点 为坐标原点，点
在 轴上，点 在 轴上，点 在函数 图象上，点 是函数
图象上异于点 的任意一点，过点 分别作 轴、 轴的垂线，垂足
分别为点 、 ．设矩形 和正方形 不重合部分的面积为 ．
（1）点 的坐标是_________， _________；
（2）当 ，求点 的坐标；
（3）求出 关于 的函数关系式．
147练习9:
（2022•青浦区期中）如图， 为反比例函数 的图象上一点， 轴，垂足
为 ．
（1）联结 ，当 时，求反比例函数的解析式；
（2）联结 ，若 ， 轴上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出
的坐标；若不存在，说明理由，
（3）点 在直线 上，且 ，过点 作直线 轴，交反比例函数的图象于
点 ，若 的面积为4，求 的值．
148全真战场
关卡一
练习1:
下列函数中是反比例函数的有_______（填序号）．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
练习2:
（1）如果反比例函数的图象经过点 ，那么函数的图象在第______象限．
（2）已知 与 成反比例，并且当 时， ，当 时， 的值为______.
练习3:
（2022•徐汇区期末）反比例函数在第二象限内的图象上有一点 ，过 作 轴于点
，联结 ，已知 的面积为4．求反比例函数的解析式。
关卡二
练习4:
如图，过 轴上任意一点 ，作 轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图
象交于 点和 点，若点 为 轴上任意一点，连接 、 ，则 的面积为
______．
练习5:
149（2020•杨浦区期中）如图，直线 与函数 的图象相交于点 ，与 轴
交于点 ，且 ，点 是线段 上一点．（1）求 的值；
（2）若 与 的面积比为 ，求点 的坐标；
（3）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 恰好落在函数 的图象上，
求点 的坐标．
15015111A 正反比例函数综合
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）待定系数法求函数解析式
（2）数形结合解决函数问题
2. 考情分析
（1）正反比例函数是函数的部分，属于函数板块，占中考考分值约20%。
（2）主要考察正反比例函数的解析式、正反比例函数的几何综合考察形式以填空题、解答
题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第三节。
（4）正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及
性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的
应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据。
152知识加油站1——待定系数法求函数解析式
考点一：待定系数法求解析式
知识笔记1
1. 正比例函数
（1）一般地，正比例函数___________________的图象经过（0，0），（1，k）这两点的
一条直线，我们把正比例函数 的图象叫做直线 ．
（2）正比例函数图像的性质：
①____________________________________；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增
大．
②____________________________________；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐减
小．
2. 反比例函数
（1）反比例函数的解析式：解析式形如__________________的函数叫做反比例函数，其中
k也叫做比例系数．反比例函数 的定义域是不等于零的一切实数．
（2）反比例函数图像的性质：
①_______________________________________________________
_________________________________________________________
②_______________________________________________________
_________________________________________________________
③图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．
例题1:
（1）已知 与 成反比例，比例系数为 ， 与 成正比例，比例系数为 ， 和
是已知数，且 ，则 关于 成________比例．（填“正”或“反”
（2）已知 与 成反比例， 与 成正比例，则 与 成________比例．（“正”或
“反”
（3）（2022•青浦区东方中学期中）已知： ，并且 与 成正比例， 与
153成反比例，且当 时， ，当 时， ，求：
①求 与 之间的函数解析式；
②求当 时的函数值．
（4）已知 ，且 与 成正比例， 与 成反比例，且 时， ；
时， ，求 与 的关系式．
练习1:
（1）（2022•虹口区期中）已知 和 成正比例， 和 成反比例，则 和 成______
比例．
（2）若 与 成正比例， 与 成反比例，求证： 与 成反比例．
（3）（2022•徐汇区期末）已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当
时， ；当 时， ．
①求 关于 的函数解析式；
②当 时，求 的值．
154（4）已知 ， 与 成正比例， 与 成正比例．
①当 时， ；当 时， ，求 与 之间的函数表达式
②并求当 时 的值．
考点二：正反比例函数交点
例题2:
（1）函数 与 的图像的交点坐标是_______________.
（2）已知直线 与双曲线 的一个交点A的坐标为 ，
则 =________；它们的另一个交点坐标是___________．
（3）若正比例函数和反比例函数的图像经过点A（-2，1）和点B ，则 的
值为 ___________．
（4）已知正比例函数 与反比例函数 交于A、B两点，且点A的横坐
标是-1，点B的纵坐标是2，求这两个函数的解析式．
155（5）给出下列命题；
命题1：直线 与双曲线 有一个交点是
命题2：直线 与双曲线 有一个交点是 ；
命题3：直线 与双曲线 有一个交点是 ；
命题4：直线 与双曲线 有一个交点是 ；
①请你阅读、观察上面命题，猜想出命题 为正整数）；
②请验证你猜想的命题 是正确的．
练习2:
（1）（2022•宝山区行知中学期中）如图，正比例函数 与反比例函数
的图象交于点 和点 ，求 的值和点 的坐标．
（2）（2022•宝山区期末）正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经
过点 ，求点 的坐标和反比例函数的解析式；
156（3）已知反比例函数 和正比例函数 的图像交于点（2，3），
①求这两个函数解析式；
②判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上；
③求两个函数图像的另一个交点．
（4）给出下列命题：
命题1：点 是直线 与双曲线 的一个交点；
命题2：点 是直线 与双曲线 的一个交点；
命题3：点 是直线 与双曲线 的一个交点；
命题4：点 是直线 与双曲线 的一个交点；
①请观察上面命题，写出命题5．
②试写出命题 ．
157考点三：正反比例函数图像综合
例题3:
（1）已知正比例函数y＝kx（k≠0），y的值随x的值的增大而减小，那么它和
反比例函数y＝﹣ （k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
（2）已知正比例函数 和反比例函数 在同一坐标系内的大致图象是
A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．
158练习3:
（1）已知正比例函数y＝ 中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数y＝
在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2022•嘉定区期中）函数 和 且 图象大致是
A． B．
C． D．
159知识加油站2——数形结合解决函数问题
考点四：数形结合解决函数问题
知识笔记2
1.与平行、面积结合
正反比例函数数作为综合题时，多与几何问题结合去考察的题型，常见问题有：距离问题
面积问题（已知面积求点坐标或解析式、已知点坐标求面积）等.
2.与实际问题结合
将实际问题反映到正反比例函数图像上，关键是要读懂函数图像的含义。
例题4:
（1）（2022•长宁区第三女子中学期中）如图，已知正比例函数图象经过点 、
．
①求正比例函数的解析式及 的值；
②分别过点 与点 作 轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支分别交于点 、
（点 、 均在点 、 下方），若 ，求反比例函数的解析式；
③求 的面积．
160（2）（2022•嘉定区期中）如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图
象都经过点 ，点 是正比例函数图象上的一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
交反比例函数的图象于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 交正比例函数的
图象于点 ．
①求正比例函数解析式、反比例函数解析式．
②当点 的纵坐标为9时，求 的面积．
③在②的条件下，若直线 上存在一点 ，点 的横坐标为 ， 的面积为 ，
直接写出 关于 的解析式，并写出定义域．
161练习4:
（1）已知反比例函数 与正比例函数相交于点 ，点 的坐标是 ．①求此正比
例函数解析式；
②若正比例函数 与反比例函数 的图象在第一象限内相交于点 ，过点 和
点 分别作 轴的垂线，分别交 轴于点 和点 ， 和 相交于点 ，求梯形
的面积；
③连接 ，求 的面积．
（2）已知直线 与双曲线 交于 、 两点，且点 的纵坐标为4，第一象限
的双曲线上有一点 ，过点 作 轴交直线 于点 ，点 到 的距离为2．
①直接写出 的值及点 的坐标；
②求线段 的长；
③如果在双曲线 上一点 ，且满足 的面积为9，求点 的坐标．
162考点五：函数的实际应用
例题5:
为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时室内每立
方米空气中的含药量 毫克）与时间 （分钟）成正比例；药物燃烧后， 与 成反比
例（如图所示）．请根据图中提供的信息，常规讲解下列问题：
（1）药物燃烧后 与 的函数关系式为________________________.
（2）当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少
需要经过几分钟后，学生才能回到教室；
（3）当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀
灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
练习5:
驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得：成
人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度 （微克 毫升）与饮酒时间 （小时）之间函
数关系如图所示（当 时， 与 成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段 与 之间的函数表达式．
（2）问血液中酒精浓度不低于200微克 毫升的持续时间是多少小时？
163全真战场
关卡一
练习1:
函数 的图象与直线 没有交点，那么 的取值范围是_________．
练习2:
正比例函数 和反比例函数 的图像都经过横坐标为2的点P，求这两个
函数的解析式和点P的坐标．
练习3:
已知反比例函数 的图像过点A（2，n）．
（1）求过点A的正比例函数的解析式；
（2）画出正比例函数图像；
（3）求过点A关于y轴对称的点B的反比例函数的解析式．
164练习4:
（2022•普陀区期中）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与正
比例函数 的图象的交点 在第一象限，点 的纵坐标比横坐标大1．
（1）求点 的坐标和反比例函数的解析式；
（2）点 在射线 上，过点 作 轴的垂线交双曲线于点 ．如果点 的纵坐标为
1，求 的面积．
关卡二
练习5:
如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，若 取1，2，
，对应的 的面积分别为 ， ， ， ，则 _____．
练习6:
165在平面直角坐标系 中，直线 绕点 顺时针旋转 得到直线 ，直线 与反比例
函数 的图象的一个交点为 ，试确定反比例函数的解析式．
166练习7:
已知在直角坐标平面内有双曲线 ，另有 ，其中点 、 、 的坐标分别是
， ， ， ， ．
（1）如果将 沿 轴翻折后得到对应的△ （其中点 、 、 的对应点分别
是点 、 、 ，问：△ 的三个顶点中，有无在双曲线 上的点？若有，
写出这个点的坐标．
（2）如果将 沿 轴正方向平移 个单位后，使 的一个顶点落在双曲线
上，请直接写出 的值．
（3）如果 关于原点 的对称的三角形△ （其中点 、 、 的对应点分别
是点 、 、 ，请写出经过点 、 的直线所表示的函数解析式．
16712A 函数的表示法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）解析法
（2）列表法
（3）图像法
2. 考情分析
（1）函数表示法是函数的部分，属于函数与分析板块，占中考考分值约20%
（2）主要考察函数的表示法的解析法、列表法、图像法以填空题、解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十八章函数第三节函数的表示法。
（4）函数的表示法是八年级数学上学期第十八章内容，主要对函数的三个表示法进行讲解，
重点是实际问题的函数表示法，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学
习为我们后期学习函数的应用提供依据。
168知识加油站1——解析法
考点一：函数解析式与实际问题的结合应用
知识笔记1
解析法
1．用等式来___________________________________，这个等式称为__________（或函数
关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研
究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．
2．对函数的关系式（即解析式）的理解：
（1）函数关系式是_______．例如 y4x 就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：
y 2x4中x是自变量，y是x的函数．
（3）函数关系式________________________．
1 y
例如： y3x1是表示y是
x
的函数，若写成
x
3
就表示
x
是y的函数．求y与
x
的
函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示 y ，得到的等式右边只含x的代数式．
例题1:
（1）（2022•杨浦区期末）已知某等腰三角形的周长为36，腰长为 ，底边长为 ，那么
关于 的函数关系式及定义域是
A． B．
C． D．
（2）（2022•徐汇区期末）反比例函数在第二象限内的图象上有一点 ，过 作
轴 于 点 ， 联 结 ， 已 知 的 面 积 为 4 ． 则 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为
_________________________.
练习1:
（1）若等腰三角形的周长为 ，则底边长 与腰长 间的函数关系式及自变量
的取值范围正确的是
169A B．
C． D．
（2）在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点
向 轴、 轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022．”乙同学说：“这个反
比例函数在同一个象限内， 的值随着 的值增大而增大．”根据这两位同学所描述，此
反比例函数的解析式是_________________________.
例题2:
（1）若点P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，则用变量x来表示变量y的函数解析
式为_______________．
（2）人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态
的，车速增加，视野变窄，当车速为 时，视野为80度．如果视野 （单位：度）
是车速 （单位： 的反比例函数．
①求 ， 之间的关系式；
②计算当车速为 时视野的度数．
③若在某弯道行车时，由于环境的影响，视野的度数至少是 100度，车速最多是多少
？请给出直观解释．
170练习2:
一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米／小时的平均速度用6小时到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米／小时）与时间t（小时）之间的函数
关系式；
（2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回的速度．
171考点二：函数解析式
例题3:
（1）将关系式 改写成 的形式：_________.
（2）（2022•浦东新区校级期中）已知 与 的关系是 ．
①把它改写成 的形式；
②求 ．
③当 时，求 的值．
练习3:
（1）已知 与 有如下关系 ．
①把它改成 的形式；
②求 的值．
（2）已知函数 ．
①写成 的形式；
②写出函数的定义域；
③求 的值．
172知识加油站2——列表法
考点二：列表法表示函数关系
知识笔记2
列表法
用______________来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到
自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难
以看出规律．
例题4:
（1）一位学生在乘坐磁悬浮列车从龙阳路站到上海浦东国际机场途中，记录了列车运行速
度的变化情况，如下表：
时间t（分） 0 1 1.5 2 3 4 5 5.5 6 7 8
速度v（千米/时） 0 146 217 300 300 300 300 300 281 121 0
根据表中提供的信息回答下列问题：
①在哪一段时间内列车的速度逐渐加快？
②在哪一段时间内列车是匀速行驶的？在这一段时间内列车走了多少路程？
③在哪一段时间内列车的速度逐渐减慢？
173（2）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这
段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过 ，
对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速
0 10 20 30 40 50
0 2.5 5 7.5 10 12.5
刹车距离
①自变量是____________________，因变量是____________________．
②当刹车时车速为 时，刹车距离是____________ ．
③该种型号汽车的刹车距离用 表示，刹车时车速用 表示，根据上表反映的规
律写出 与 之间的关系式．
④你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为 的行驶过程中，前面有一汽车遇紧
急情况急刹并停在距该车 的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你
说明理由．
（3）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶
光富、翟志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮．八
（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
0 5 10 15 20
气温
声音在空气中
的传播速度 331 334 337 340 343
①在这个变化过程中，____________________是自变量，____________________是因变量．
②从表中数据可知，气温每升高 ，声音在空气中传播的速度就提高___________ ．
③ 声 音 在 空 气 中 的 传 播 速 度 与 气 温 的 关 系 式 可 以 表 示 为
____________________．
④某日的气温为 ，小乐看到烟花燃放 后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大
约相距多远？
练习4:
（1）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据
温度 0 10 20 30
174声速 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是
A．这个问题中，空气温度和声速都是变量
B．空气温度每降低 ，声速减少
C．当空气温度为 时，声音 可以传播
D．由数据可以推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快
（2）一种豆子每千克售2元，豆子的总售价 （元 与所售豆子的质量 （千克）之间的
关系如下表：
售出豆子质量 （千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5
0 1 2 3 4 5 6 10
总售价 （元
①在这个表格中反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
②当豆子售出5千克时，总售价是多少？
③按表中给出的关系，用一个式子把 与 之间的关系表示出来．
④当豆子售出20千克时，总售价是多少？
175（3）蜡烛厂为了解某批次蜡烛燃烧情况，进行了实验．点燃一根该批次蜡烛，蜡烛的高度
与燃烧的时间 之间的关系如下表：
燃烧的时间
0 2 4 6
蜡烛的高度
20 19 18 17
①上表反映了哪两个变量之间的关系？自变量、因变量各是社么？
②蜡烛的高度 与燃烧的时间 之间的关系式是什么？
③若一根该批次蜡烛燃烧了26分钟，则此时这根蜡烛的高度是多少？
④若一根该批次蜡烛的高度为8厘米，则此时这根蜡烛已经燃烧的时间是多少？
176知识加油站3——图像法
考点三：函数图像表示变量关系
知识笔记3
图像法
图像法：用_______来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对
应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对
应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．
例题5:
某工厂购买的原材料的单价从今年开始进行了调整，如图， 、 分别表示该工厂去年和
今年采购原材料的价格 （万元）与数量 （吨 之间的关系， 与 成正比例，请根据
图象提供的信息回答下列问题：
（1）该厂去年采购原材料的价格 关于数量 的函数解析式是______________________.
（2）如果今年该工厂购买100吨的原材料，那么要花费_______元；
（3）今年该工厂预计用600万元购买原材料，那么今年所采购的原材料的数量比去年少
_______吨．
177练习5:
（2021•普陀区期末）甲、乙两车分别从 地将一批物资运往 地，两车离 地的距离
（千米）与其相关的时间 （小时）变化的图象如图所示．读图后填空：
（1） 地与 地之间的距离是_______千米；
（2）甲车由 地前往 地时所对应的 与 的函数解析式是_____________________.
（3）甲车出发_______小时后被乙车追上；
（4）甲车由 地前往 地比乙车由 地前往 地多用了_______小时．
例题6:
（1）（2022•徐汇区期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定
剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量 （微克）与服用的时间
成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量 （微克）与服用的时间 成反比例，
根据图中所提供的信息，回答下列问题：
①抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有_______微克；
②根据图象求出药物浓度达到最高值之后， 与 之间的函数解析式及定义域；
③求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量 ．
178（2）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程 （千米），随时间 （小时）变化的
图象（全程）如图所示．
①甲选手跑到8千米时，用了_______小时．起跑_______小时后，甲乙两人相遇；
②乙选手在 的时段内， 与 之间的函数关系式是_______.
③甲选手经过1.5小时后，距离起点的有_______千米．
练习6:
（1）（2022•青浦区世界外国语学校期末）接种疫苗是预防控制传染病最有效的手段．甲、
乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成5万人员接种后，甲、乙
两地同时以相同速度接种．甲地经过 天接种后，由于情况变化，接种速度放缓．图中的
折线 和线段 分别反映了甲、乙两地的接种人数 （万人）与接种时间 （天 之间
的函数关系．根据图象所提供的信息回答下列问题：
①乙地比甲地提前了_______天完成疫苗接种工作；
②试写出乙地接种人数 （万人）与接种时间 （天 之间的函数解析式______________.
③当甲地放缓接种速度后，每天可接种_______万人．
（2）（2022•杨浦区期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的
行程 （千米）随时间 （小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程 （千米）随
时间 （小时）的函数解析式为 ．
①在图中画出乙的行程 （千米）随时间 （小时）的函数图象；
179②环城越野赛的全程是_______千米；
③甲前0.5小时的速度是_______千米 小时；
④甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是_______千米 小时．
180全真战场
关卡一
练习1:
研究发现，学生对概念的接受能力 与提出概念所用的时间 （分钟）之间有如下关系：
提出概念所用的
2 5 7 10 12 13 14 17 20
时间 （分钟）
对概念的接受能
47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
力
根据以上信息，回答下列问题：
（1）当提出概念所用的时间为10分钟时，学生的接受能力约是多少？
（2）当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）当 时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而怎么样发生变化？当
时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而怎么样发生变化？
练习2:
收割机的油箱里盛油 ，使用时，平均每小时耗油
（1）如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？
（2）如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？
（3）写出油箱里剩下的油 与使用收割机时间 之间的函数关系式？
（4）在此函数关系式中，求函数定义域．
181练习3:
（2021•浦东新区期末）初二年级小王同学坚持环保理念，每天骑自行车上学，学校离家
3000米．某天，小王上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是
按时赶到了学校、如图描述的是他离家的距离和离家的时间 之间的函数图象，根据图象
解决下列问题：
（1）修车时间为_______分钟；
（2）到达学校时共用时间_______分钟；
（3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离 和离家的时间 之间的函数关系式
为_____________________，定义域为______________；
（4）自行车故障排除后他的平均速度是每分钟___________米．
练习4:
（2021•奉贤区钱桥学校期末）甲和乙上山游玩，甲步行，乙乘坐缆车，相约在山顶缆车的
终点会合．已知甲步行的路程是缆车所经线路长的 2.5倍，乙在甲出发后50分钟才坐上缆
车，缆车的平均速度为每分钟 120米．图中的折线反映了甲行走的路程 （米 与时间
（分钟）之间的函数关系．
（1）甲行走的总路程是_______，他途中休息了_______分钟；
（2）当 时， 与 的函数关系式是____________________________；
（3）甲休息之后行走的速度是每分钟_______；
（4）当乙到达缆车终点时，甲离缆车终点的路程_______米．
关卡二
练习5:
如图，在正方形 中， 厘米，点 是 的中点，动点 自点 出发沿折线
以每秒3厘米的速度运动．设 的面积为 （厘米 ，运动时间为
182（秒 ，则下列图象中能大致反映 与 之间的函数关系的是
A． B．
C． D．
练习6:
如 图 ， 在 直 角 梯 形 中 ， ， ， ， ，
，点 从点 出发，以 的速度向点 运动，点 从点 同时出发，以
的速度向点 运动．当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，
两动点运动的时间 ．
（1）当 为何值时，四边形 是平行四边形；
（2）写出四边形 的面积 与 的函数关系式，并画出函数的图象．
183A13 阶段复习
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）阶段真题选填练习
（2）阶段真题简答题练习
（3）阶段真题综合题练习
2. 考情分析
（1）《二次根式》、《一元二次方程》、《正反比例函数》章节在真题试卷中的考察形式；
（2）系统性复习二次根式、一元二次方程的概念和解法、根的判别式及其应用、二次三项
式的因式分解及其应用、正比例函数、反比例函数等知识点，结合真题试卷巩固。
184知识加油站1——阶段真题选填练习
考点一：阶段真题选填练习
例题1:
一、选择题
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列代数式中，二次根式 的有理化因式可以是（ ）
A. B. ； C. D. ．
3. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根 的是（ ）
A. x2﹣8＝0 B. 2x2﹣4x+3＝0 C. x2﹣2x+1＝0 D. 5x+2＝3x2
4. 反比例函数 的图像与正比例函数 的图像没有交点，若点 、
在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
5. 计算： _____________.
6. 计算： _________________
7. 方程 的根是_____________.
8. 函数 ，则 _________________
9. 函数 的定义域为_____________
10. 已知正比例函数 ，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是
_________________
11. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值为_____________.
12. 不等式 的解集是_________________
18513. 已知关于 一的元二次方程 有实数根，则 的取值范围是
__________．
14. 当x≤0时，化简|1-x|- 的结果是_____________.
15. 某木器厂今年一月份生产了课桌500张，后因管理不善，二月份的产量减少了 .
从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张. 如果三、四月份的月增长
率相同，设这个增长率为 ，则根据题意可列方程为_____________________________．
16. 若a是方程 的解，计算： =_____________.
17. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是
“差1方程”． 已知关于 的方程 （ 是常数）是“差1方程”，
则 的值为_____________
18. 函数 和 在第一象限内 图像如图，点 P 是 的图像上一动点，
的
轴于点C，交 的图像于点A， 轴于点D，交 的图像于点B．
给出如下结论：① 与 的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB
的面积大小不会发生变化；④ ．其中所有正确结论的序号是__________.
186练习1:
一、选择题
1．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．兰州某制造厂七月份生产零件20万个，第三季度生产零件2880万个，如果每月的增长
率x相同，则可列方程是（ ）
A．20（1+x）2＝2880 B．20+20（1+x）2＝2880
C．20+20（1+x）+20（1+x）2＝2880 D．20+20（1+x）+20（1+2x）＝2880
3．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4． 的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
5．如果 关于 的函数 是正比例函数，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C．不能确定 D．一切实数
6．如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范
围是（ ）
A． B． 且 C． 且 D ． 且
二、填空题
7．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是__________.
8．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 __________.
9．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了 66次手，则
这次会议到会人数是__________人．
10．在实数范围内分解因式： __________.
11．计算： ＝__________.
12．在实数范围内分解因式: ____________________.
13．若 与 成反比例关系， 与 成正比例关系，则 与 成__________关系.
14．如果 ，那么 __________.
18715．当 化简： ＝__________.
16．已知 ，其中 与x成反比例，且比例系数为 ， 与 成正比例，且比例
系数为 ，当 时， ，那么 与 之间的数量关系是__________.
17．如果 是正比例函数，那么a的值是__________.
知识加油站2——阶段真题简答题练习
考点二：阶段真题简答题练习
例题2:
1. 计算： ．
2 计算：
3. 用配方法解一元二次方程： ．
4. 解方程：
1885. 已知 ，求代数式 的值．
6. 已知 与 成正比例， 与 成反比例． 并且当 时，
；当 ， 求 与 之间的函数关系式．
7. 第十五届中国上海国际艺术节期间，瑞士日内瓦大歌剧院芭蕾舞团芭蕾舞剧《吉赛尔》
在市内的城市剧院演出，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙 26米）的空旷场地为提前
到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在
两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方
形的相邻两边长分别是多少米？
189练习2:
1．计算：
2．在实数范围内因式分解：
3．用配方法解方程：3x2﹣8x+3＝0．
4．解方程.
5．已知关于 的一元二次方程 有实数根，求 的取值范围．
1906. 已知点A（a，3），B（b，6），C（5，c），AC⊥x轴，BC⊥y轴，且点B在第二象限
的角平分线上．
（1）求出A，B，C三点的坐标．
（2）求△ABC的面积．
7. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价
为a元，则可以卖出（350﹣10a）件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的 20%，
如果商店计划要赚400元，那么每件商品售价是多少元？
191知识加油站3——阶段真题综合题练习
考点三：阶段真题综合题练习
例题3:
如图，在平面直角坐标系中，点 、点 ，直线 的解析式为： ，
过原点的直线 交直线 于点P．
（1）当直线 的解析式为 时，求点P的坐标和 的面积；
（2）当 时，求直线 的解析式；
（3）当 （n为正整数）时，那么直线 的解析式是_____________．
192练习3:
已知正比例函数 的图象与反比例函
数 的图象都经过点 ，点
是正比例函数图象上的一点，过点 作
轴的垂线，垂足为 ， 交反比例函
数的图象于点 ，过点 作 轴的垂线， 垂
足为 交正比例函数的图于点 ．
（1）求正比例函数解析式、反比例函数解
析式．
（2）当点 的纵坐标为6时，求 的面积．
（3）在第（2）小题的条件下，若直线 上存在一点 ，且点 的横坐标为 ，
的面积为 ，直接写出 关于 的解析式，并写出定义域．
193全真战场
关卡一
练习1:
一、单选题
1．在式子 、 、 、 中，是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．一元二次方程 在用配方法配成 时，下面的说法正确的是
（ ）
A．m是p的 B．m是p的一半的平方
C．m是p的2倍 D．m是p的 的相反数
3. 反比例函数 的图象与函数 的图象没有交点，若点 、 、
在这个反比例函数 的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A．. B． C． D．
4. 如图，将边长 的正方形 沿其对角线 剪开，再把 沿着 方向
平移，得到 ，若两个三角形重叠部分的面积为 ，则它移动的距离 等于（
）
A. B. C. D.
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
194二、填空题
1. 化简： ___________．
2. 当 __________时， 在实数范围内有意义．
3. 方程 的根是________．
4. 若关于x的方程 的一个根是-1，则m的值是______．
5. 如果正比例函数 的图像经过第二、四象限，那么 的取值范围是
__________.
6. 已知点 在正比例函数的图像上，则这个函数的解析式为________．
7. 若 是一个完全平方式，则为 的值___________.
8. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴
方程”．例如 和 有且仅有一个相同的实数根 ，所以这两个方程
为“同伴方程”．若关于 x 的方程 的参数同时满足 和
，且该方程与 互为“同伴方程”，则 __________.
三、计算题
1. 计算： .
2. 计算：
1953. 用配方法解方程：
4. 解方程：
5. 已知 ， ，求 的值．
四、解答题
1. 已知正比例函数 的图像经过第一、三象限，且过点 ，求这个
正比例函数的解析式．
2. 已知关于x的方程 中，根的判别式的值是1，求k的值并解这个
方程．
3. 某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条
互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的的四块小草坪，每块小草坪的面积为
135平方米，问道路的宽是多少米？
196关卡二
练习1:
计算： __________.
练习2:
数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对
给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅．
（1）用 表示一元二次方程的两个实根，填写表格．
一元二次方程
0 ①
② ③
（2）数学家韦达对规律进行归纳；对于 ，若 ，则
__________； __________．（用含 的代数式表示）．
（3）设 是方程 的两个实根，利用上述结论求 的值．
（ 4 ） 类 比 探 索 ， 若 一 元 三 次 方 程 可 以 转 化 为
，则 __________； __________（用含
的代数式表示）．
练习3:
在平面直角坐标系中，点 为直线 和双曲线 的一个交点，
点B在 轴负半轴上，且点B到 轴的距离为3，如果在直线 上有一点 ，
197使得 ，那么点 的坐标是__________．
19814A 证明举例
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）命题、公理、定理
（2）证明举例
（3）证明举例动点问题
2. 考情分析
（1）添加辅助线是几何证明部分，属于图形与几何板块，占期末考分值约20%；
（2）主要考察命题、定理、公理的概念，以选择题、填空为主，证明举例会结合全等三角
形的判定与性质考察，以解答题为主；
（3）对应教材：八年级上册，第十九章：几何证明；
（4）命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、
定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题和举例
证明．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依
据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础。
199知识加油站1——命题、公理、定理
考点一：判断命题、公理、定理
知识笔记1
1. 命题
（1）______________________________叫作定义；______________________________叫作
命题；其判断为正确的命题叫作__________；其判断为错误的命题叫作__________；
数学命题通常由题设、结论两部分组成，可以写成“________________________”的形式；
（2）互逆命题：在两个命题中，如果第一个名义的题设是第二个命题的结论，而第一个命
题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题
则另一个命题叫做它的____________
2. 公理
人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．
3. 定理
（1）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他
命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理；
（2）逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，
其中一个叫做另一个的_____________；
注意：_______________________________________________________________．
200例题1:
（1）（2023•浦东新区校级期末）下列命题中，真命题是
A．“把两个图形叠合”是命题
B．每一个命题一定有逆命题
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．每一个定理一定有逆定理
（2）（2023•普陀区期末）下列命题的逆命题是假命题的是
A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形
B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等
C．如果一个三角形的两个锐角的和为 ，那么这个三角形是直角三角形
D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形
（3）（2023•黄浦区期末）下列命题中，原命题与其逆命题均为真命题的有 个．
①全等三角形对应边相等；
②全等三角形对应角相等；
③等腰三角形两条腰上的高相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．
A．2 B．3 C．4 D．5
（4）将下列命题改写成“如果 那么 ”的形式
①（2022•浦东新区期中）“两个全等三角形的周长相等”
__________________________________________.
② “对顶角相等”
__________________________________________.
③ “等腰三角形的两个底角相等”
__________________________________________.
④ “等角对等边”
__________________________________________.
练习1:
（1）（2023•普陀区期中）下列命题中，属于假命题的是
A．三角形的内角和等于
B．对顶角相等
201C．同位角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
（2）（2023•金山区期末）下列命题的逆命题是假命题的是
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行
（3）（2023•普陀区校级期中）下面四个命题中，真命题的个数是
①腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等；
②有两角及一边对应相等的两个三角形全等；
③有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（4）将下列命题改写成“如果 那么 ”的形式
①（2021•浦东新区期中）“全等三角形对应边的高相等”
__________________________________________.
②（2021•奉贤区期中）“同角的补角相等”
__________________________________________.
③“关于某条直线对称的两个三角形全等”
__________________________________________.
④ “两个全等三角形的面积相等”
__________________________________________.
例题2:
（1）下列定理中有逆定理的是
A．直角三角形中没有钝角； B．互为相反数的数的绝对值相等；
C．同旁内角互补，两直线平行； D．若 ．
（2）以下说法中，正确的个数是
①每个命题总有逆命题；
202②每个定理总有逆定理；
③假命题的逆命题是假命题；
④命题“等边三角形是中心对称图形”是真命题．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（3）把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果 那么 ”的形式：
练习2:
（1）下列定理中，没有逆定理的是
A．两直线平行，同旁内角互补
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
（2）以下说法中正确的有（ ）个．
①逆定理一定是真命题；
②一个定理一定有逆定理；
③互逆命题一定是互逆定理；
④互逆定理一定是互逆命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
（3）定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：
___________________________________________________________________.
例题3:
“两点之间线段最短”是__________．（填“定义”“公理”或“定理”
练习3:
下列命题中，属于公理的有（ ）．
A．三角形的内角和为180° B．两条直线被第三条直线所截，内错角相
等
C．等腰三角形两个底角相等 D．在所有联结两点的线中，线段最短
例题4:
（2022•黄浦区月考）我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定
理的逆命题也是真命题．
（1）请你写出这个定理的逆命题是_______________________________________________；
203（2）下面我们来证明这个逆命题：
已知：如图， 是 的中线， ．
求证： 为直角三角形．请你写出证明过程：
204练习4:
（1）如图在 和 中，点 ， ， ， 在同一条直线上，有下面四个论断：
① ，② ，③ ，④ ．请你从中选三个作为题设，余下的
一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
（2）已知线段AC与BD相交于点O，联结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，
联结EF（如图所示）．
①添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC．
②分别将“∠A=∠D”记为a，“∠OEF=∠OFE”记为b，“AB=DC”记为c，添加条件a、c，
以b为结论构成命题1，添加条件b、c，以①为结论构成命题2．命题1是
__________命题，命题2是__________命题（选择“真”或“假”填入空格）．
A D
E O F
B C
205知识加油站2——证明举例
考点二：证明举例方法
知识笔记2
证明举例的一般方法
（1）________________________________________；
（2）________________________________________；
（3）________________________________________.
例题5:
（1）如图，在 中， ， ， 、 的平分线相交于点 ，
过点 ，且 ，分别交 、 于点 、 ．则 的周长_______．
（2）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一
起， 、 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．
（3）（2023•浦东新区期中）如图，点 ， 在直线 上， ，
．
206①求证： ．
② 的角平分线 交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．若
，再求 的度数．
练习5:
（1）如图，在 中， ， ， 分别是 和 的角平分线，且
， ，则 的周长是_______ ．
（2）已知：如图， ， ．
①判断 与 的位置关系，并说明理由．
②若 平分 ，若 ，求 的度数．
例题6:
（2022•徐汇区西南模范中学期末）如图， 中， 为 边上一点， ，交
207的延长线于点 ， 于 ， ．
（1）求证：点 为 的中点；
（2）若 ，求证： ．
练习6:
如图，在 与 中， ， ， 与 交于点 ，且
，
求证：（1） ；
（2） ．
208例题7:
（2022•嘉定区上海外国语实验学校期末）在 中， ，点 在 边上，
（如图 ．
（1）若 在 的 边上，且 ，求 的度数；
（2）若 ， 在 的 边上， 是等腰三角形，求 的度数；
（简写主要常规讲解过程即可）；
（3）若 将 分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求 的度数．（直接
写出答案）．
209练习7:
如图，在 中， ， 分别是 ， 边上的点（不与端点重合），连接 ，
， 平分 交射线 于点 ，连接 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ．
①求证： ；
②延长 至点 ，连接 ，若 ， ，求 与 之间
的数量关系．
210知识加油站3——证明举例动点问题
考点三：证明举例动点问题
知识笔记3
动点问题
“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段上运动的一类开放性题目
解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
例题8:
（2022•杨浦区期中）已知 ， ， ， 是射线 上一点，联
结 ，将 绕点 逆时针旋转 ，点 落在点 处，联结 交射线 于点 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时，求 的长；
（2）如图2，当点 在线段 上时，联结 ，在点 的运动过程中，请问 的面
积是否会发生变化？如果不会，求出它的面积；如果会，请说明理由；
（3）当 时，求 的长．
211练习8:
如图，在等边 中， 为 边上的中线，动点 在直线 上时，以 为边在
的下方作等边 ，联结 ．
（1） __________度；
（2）当点 在线段 上时，求证： ；
（3）当动点 在直线 上时，设直线 与直线 的交点为 ，试判断 的度
数是否会发生变化？请说明理由．
212全真战场
关卡一
练习1:
（1）（2022•黄浦区月考）下列命题中，逆命题是假命题的是
A．等边三角形的三个内角都等于
B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等
C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
D．相等的两个角是对顶角
（2）下列说法中，正确的有
①两边及一内角相等的两个三角形全等；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③等腰三角形两腰上的高相等；
④等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习2:
下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果 那么
”的形式，再指出命题的条件和结论．
①同号两数的和一定不是负数；
②若 ，则 ；
③延长线段 至 ，使 是 的中点；
④互为倒数的两个数的积为1．
213练习3:
如图， 的内角 的平分线与外角 的平分线交于点 ，过点 作 的
平行线交 于 ，交 于 ．试判断 与 ， 之间的关系，并说明理由．
练习4:
判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）
（1）若 ，则 ；
（2）如图，已知 ， ，垂足分别为点 ， ，且 ．则 是
的中线．
关卡二
练习5:
如图，在 中， ， ， 分别平分 ， ， ， ，
下列结论：① ；② ；③ ；
④ ，其中正确的为
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
练习6:
（2021•普陀区期末）已知：如图，在 中， ， ，点 是边
上一动点（与点 、 不重合），点 在边 的延长线上，且 ，连接 交
214边 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若设 ， ，求 与 之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当 是等腰三角形时，求 的长．
215216【初二 01A】
入门测
1．下列说法正确的是
A．8的平方根是 B．
C． 的立方根是 D．16的四次方根是2
2．已知第二象限内点 到 轴距离为2，到 轴距离为3，那点 的坐标是
A． B． C． D．
3．如图，已知 ， ，垂足为点 ，那么 、 、 之间的数量关
系是
A． B．
C． D．
4．计算 的结果是
A．3 B． C． D．
入门测Plus
1．将方根 写成幂的形式： ________．
2．方程 的根是 ________．
3．如图，在 中， ， ， 、 的平分线相交于点 ， 过
217点 ，且 ，分别交 、 于点 、 ．则 的周长：________．
出门测
1. 在式子 ， ， ， 中，二次根式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若式子 有意义，则 的取值范围是
A． B． C． 且 D． 且
3. 若 ，则 _______．
4．若 ，则 的取值范围是_______.
出门测Plus
1．已知 ，化简得 _______.
2．实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是
_______.
3．观察下列各式：① ；② ；
③ ，根据上面三个等式， 的结果为_______.
218【初二 02A】
入门测
1．下列各式一定是二次根式的是
A． B． C． D．
2．已知二次根式 有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
3．若 ，则 _______.
4．已知 ，则 的取值范围是_______.
入门测Plus
1．已知 ，化简： _______.
2．如图，数轴上点 表示的数为 ，化简： _______.
3．形如 的化简，只要我们找到两个正数 、 ，使得 ， ，即有
， ，那么 ．
例如： ．根据上述材料中例
题的方法，化简： _______.
219出门测
1．下列式子中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
2．如果最简二次根式 和 能合并，则 的值为
A． B． C．2 D．5
3．若二次根式 是最简二次根式，则 可取的最小整数是________．
出门测Plus
1．如果最简根式 和 是同类二次根式，求 ， 的值．
2．计算： ．
3．已知 ， ，求下列代数式的值．
（1） ．
（2） ．
220【初二 03A】
入门测
1．下列式子是最简二次根式的是
A． B． C． D．
2．若 可以合并为一项，则 可以是
A．9 B．18 C．27 D．54
3．若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 ________．
入门测Plus
1．若最简二次根式 和 是同类二次根式．求 的值．
2．计算： ．
3．已知 ， ，求 的值．
221出门测
1．计算： ．
2．计算： ．
3．已知 ，求 的值；
222出门测Plus
观察下列等式：
① ；
② ；
③
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算： ．
223224【初二 04A】
入门测
1. 计算：
2．计算： ．
3．已知 ， ；
（1）求 的值；
（2）求 的值
225入门测Plus
观察下列等式：
① ；
② ；
③ ；
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律：化简： ___________；
（2）计算： ．
出门测
1．先化简，再求值．
，其中 ， ．
2262．先化简，再求值： ，其中 ， ．
出门测Plus
阅读下列解题过程：
；
．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
① __________；② __________；
（2）应用：求 的值；
（3）拓广： __________．
227228【初二 05A】
入门测
1．化简求值 ，其中 ．
2．先化简，再求值 ，其中 ，
入门测Plus
我们知道， ， 如果两个含有二次根式的非零
代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如
与 互为有理化因式， 与 互为有理化因式．
利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过
程称为分母有理化．例如： ，
（1） 分母有理化的结果是__________；
（2） 分母有理化的结果是__________；
（3） 分母有理化的结果是__________；
229（4）利用以上知识计算： ．
出门测
1．下列方程属于一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．若关于 的一元二次方程 有一个根是1，则 的值为
A．4 B．3 C．2 D．
3．已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
出门测Plus
1．解方程 ．
2．解方程： ．
230【初二 06A】
入门测
1．下列方程中是一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．已知一元二次方程 有一个根为1，则 的值为
A． B． C．2 D．4
3．若 是方程 的根，则代数式 的值是_______．
入门测Plus
1．解方程： ．
2．解方程： ．
231出门测
1．用因式分解法解方程： ．
2．用配方法解方程： ．
出门测Plus
1．解方程： （配方法）．
2．用公式法解方程： ．
232【初二 07A】
入门测
1. 用因式分解法解方程： ．
2．用配方法解方程： ．
入门测Plus
1．用配方法解方程： ．
2．用公式法解方程： ．
233出门测
1．关于 的一元二次方程 的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
2．一元二次方程 的根的判别式的值为________．
3．关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是________．
出门测Plus
已知关于 的一元二次方程 ．
（1）如果方程的根的判别式的值为4，求 的值；
（2）如果方程有两个实数根，求 的取值范围．
234【初二 08A】
入门测
1．方程 的根的况是
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
2．一元二次方程 的根的判别式的值是________．
3．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ________．
入门测Plus
已知关于 的一元二次方程 ，求：当方程有两个不相等的实数根
时 的取值范围．
出门测
1．某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是
364万元，若设月平均增长的百分率是 ，那么可列出的方程是
A．
B．
C．
D．
2．若方程 的两个根是 ， ，则在实数范围内分解因
式 ____________；
2353． 如果两个连续奇数的积是 323，如果设其中较小的一个奇数为 ，可得方程
_____________．
4．现要在一个长为 ，宽为 的矩形花园中修建等
宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草
的面积为 ，设小道的宽度应是 ，列方程得：
__________________．
出门测Plus
市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接
“十 一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发
现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．
（1）若每件童装降价3元，那么平均每天就可售出_________件，可以赚_________元．
（2）为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈
利1800元，那么每件童装应降价多少元？
236【初二 09A】
入门测
1．某服装店一月份营业额为10万元，一季度的营业额共48万元，若平均每月营业额的增
长率为 ，则根据题意可列方程为
A． B．
C． D．
2．若二次三项式 在实数范围内可以因式分解，则 的取值范围是_________．
3．一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的 3倍，它的十位数字比个位数字
大2．若设个位数字为 ，列出求该两位数的方程式为_________．
4．如图，小明同学用一张长 ，宽 的矩形纸板
制作一个底面积为 的无盖长方体纸盒，他将纸板
的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折
叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为 ，
则可列出关于 的方程为__________________．
入门测Plus
某商店销售某种产品，平均每天可卖出30件，每件盈利50元．为了扩大销售量，增加盈
利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果这种产品每降价 1元，那么平均每天就可多售
出2件．要想半均每天在销售这种产品上盈利2000元，那么每件产品应降价多少元？
出门测
1．下列图象中表示 是 的函数的有几个
237A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列问题中，两个变量成正比例的是
A．圆的面积 与它的半径
B．三角形面积一定时，某一边 和该边上的高
C．正方形的周长 与它的边长
D．周长不变的长方形的长 与宽
3．已知 ，那么 _________．
4．如果函数 是正比例函数，那么 _________．
出门测Plus
1．如果函数 是正比例函数，且 的值随 的值的增大而增大，那么 的
值_________．
2．已知正比例函数 的图象经过第二、第四象限，则 的值是_________．
238【初二 10A】
入门测
1．下列各曲线中，不表示 是 的函数的是
A． B．
C． D．
2．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有
A．人的身高与年龄
B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长
D．圆的周长与它的半径
3．已知函数 ，那么 （3） _________．
4．如果 是正比例函数，则 _________．
入门测Plus
1．已知正比例函数 ，如果 的值随着 的值增大而减小，则 的取值范围
是_________．
2．正比例函数 的图象经过第_________象限．
239出门测
1．下列问题中，两个变量成反比例的是
A．直角三角形的周长一定时，它的两条直角边
B．直角三角形的一条直角边一定时，它的周长与另一条直角边
C．直角三角形的面积一定时，它的两条直角边
D．直角三角形的一条直角边一定时，它的面积与另一条直角边
2．下列函数中， 是关于 的反比例函数的是
A． B． C． D．
3．关于函数 ，下列说法中正确的是
A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点
C．图象是一条直线 D． 的值随 的值增大而减小
4．函数 与 的图象大致是
A． B．
C． D．
5．若 是反比例函数，则 的值是_________．
240出门测Plus
如图，已知两个反比例函数 和 在第一象限内的图象，设点 在 上，
轴于点 ，交 于点 ， 轴于点 ，交 于点 ，则四边形 的面
积为_________．
241242【初二 11A】
入门测
1．下列关系中，成反比例函数的是
A．圆的面积 与半径 的关系
B．三角形的面积一定，它的底边 与这边上的高 的关系
C．人的年龄与身高的关系
D．小明从家到学校，剩下的路程 与速度 的关系
2．下列函数不是反比例函数的是
A． B． C． D．
3．关于反比例函数 ，下列说法中错误的是
A． 的值随 的值增大而减小
B．它的图象在第一、三象限
C．它的图象是双曲线
D．若点 在它的图象上，则点 也在它的图象上
4．函数 和 ，且 的图象大致是
A． B．
C． D．
5．如果函数 是反比例函数，那么 的值是_________．
入门测Plus
243如图， 为反比例函数 的图象上的点，过 分别向 轴和 轴引垂线，它们与两
条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数解析式为_________．
出门测
已知函数 ，其中 与 成反比例， 与 成正比例，当 时， ，当
时， ．
（1）求 与 的函数关系式；
（2）求 的取值范围；
（3）当 和 时，函数 的值是多少？
出门测Plus
已知正比例函数 的图象经过点 ，点 在第四象限，过点 作 轴，垂足为
点 ，点 的横坐标为3，且 的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在 轴上能否找到一点 ，使 的面积为5？若存在，求点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【初二 12A】
244入门测
已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当 时， ；当
时，
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）当 时，求 的值．
入门测Plus
如图，已知正比例函数 的图象经过点 ，点 在第四象限，过 作 轴，垂
足为 ，点 的横坐标为4，且 的面积为6．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在 轴上是否存在一点 ，使 的面积为9？若存在，求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
245出门测
父亲告诉小明，温度与海拔高度有关系，并给小明出示了下面的表格：
海拔高度
0 1 2 3 4 5
20 14 8 2
温度
下列有关表格的配题说明中，不正确的是
A．表格中的两个变量是海拔高度和温度
B．自变量是海拔高度
C．海拔高度越高，温度就越低
D．海拔高度每增加 ，温度升高
出门测Plus
1. 小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．
已知爸爸步行的路程是缆车所经线路长的 2.5倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，
缆车的平均速度为每分钟180米．图中的折线反映了爸爸行走的路程 （米 与时间 （分
钟）之间的函数关系．
（1）爸爸行走的总路程是_______米，他途中休息了_______分钟；
（2）当 时， 与 之间的函数关系式是_____________________；
（3）爸爸休息之后行走的速度是每分钟_______米；
（4）当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程_______米．
2462. 如图所示，梯形上底的长是 ，下底的长是15，高是8．
①梯形面积 与上底长 之间的表达式是什么？
②用表格表示当 从4变到14时（每次增加 ， 的相应值；
③当 每增加1时， 如何变化？写出你的理由．
247248【初二 13A】
入门测
一个蓄水池有水 ，打开放水闸门，水池里的水量和放水时间的关系如下表，下面说
法不正确的是
放水时间
1 2 3 4
水池里的水量
48 46 44 42
A．水池里的水量是因变量
B．放水10分钟，水池里的水量是
C．每分钟放水
D．放水25分钟，水池里的水恰好全部放完
入门测Plus
1. 甲、乙两人同时从 地前往相距5千米的 地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，
甲行驶的路程 （千米）关于时间 （分钟）的函数图象如图所示；乙慢跑所行的路程
（千米）关于时间 （分钟）的函数解析式为 ．
（1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图象；（不必写结论）
（2）乙慢跑的速度是每分钟_______千米；
（3）甲修车后行驶的速度是每分钟_______千米．
2. 梯形的上底长为 ，下底长为 ，高为4，面积为48．
（1）梯形下底长 与上底长 之间的关系式是什么？
249（2）用表格表示当 从4变到10（每次增加 ， 的相应值；
（3）当 每增加2时， 如何变化？
出门测
1. 当x≤2时，化简： =___________ ．
2. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ________．
3. 在实数范围内因式分解： ________．
4. 函数 的定义域为________．
5. 已知函数 ，若 ，则 ________．
6. 已知正比例函数 ，如果 的值随着 的值增大而减小，则 的取值范围
是_____．
7. 某企业今年4月的工业总产值为450万元，第二季度总产值为1638万元，设4月、5月
平均每月的增长率为x，则可列方程________．
8. 已知 ，则 的值为________．
出门测Plus
2501. 在下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列方程中，不论m取何值，一定有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 甲乙两地相距100千米,某人开车从甲地到乙地,则他的平均速度y(千米/小时)与时间
x(时)之间的关系用图像大致可表示为（ ）
A. B.
C. D.
251252【初二 14A】
入门测
1．函数y= 的定义域是__________．
2. 已知函数 ，那么f（2）＝__________．
3. 若最简二次根式 与 是同类根式，则2a﹣b＝__________．
4. 化简： =__________（ ）．
5. 的倒数__________.
6. 在实数范围内分解因式： __________．
7. 有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是875元，
降价两次后的售价是 560元，若每次下降的百分率是 ，由题意列出关于 的方程：
__________．
8. 已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根，则a的取值范围是________．
入门测Plus
1．关于函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．它是正比例函数 B．图象经过点
C．图象经过一、三象限 D．当 时，
2．下列方程中，无实数解的是（ ）
A． x2﹣3x+9=0 B．3x2﹣5x﹣2=0
C．y2﹣2y+9=0 D． （1﹣y2）=y
2533. 下列图象不能反映 是 的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
出门测
1. 下列命题正确的是
A．
B． 与 是同类二次根式
C． 是分式方程 的增根
D．一元二次方程可能没有实根，可能有一个实根，可能有两个实根
2. 下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有
（1）全等三角形的对应角相等；
（2）对顶角相等；
（3）等角对等边；
（4）两直线平行，同位角相等；
（5）全等三角形的面积相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
254出门测Plus
已知 ，点 为平面内的一点， ．
（1）当点 在如图1的位置时，求 与 的数量关系（写出说理过程）；
（2）当点 在如图2的位置时，则 与 的数量关系是__________________（直
接写出答案）；
（3）在（2）条件下，如图3，过点 作 ，垂足为 ， 与 的角平
分线分别交射线 于点 、 ，回答下列问题（直接写出答案）：图中与 相等的
角是_____________， _____________度．
255
