文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
重难点 04 几何大综合
题型01 角度从特殊到一般
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1， ▱ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、BF交
于点G，∠AGF=∠D=α．
问题探究
AE BF
（1）先将问题特殊化，如图2，当α=90°时，求证： = ；
BE CF
（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中结论仍然成立；
问题拓展
AB 2
（3）如图3，当α=120°时， = ，F为DC中点，直接写出tan∠AEB的值（用含n的式子表示）．
BC n
2．（2024·山东枣庄·一模）【问题提出】
在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时
针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC．判断PA与DC的数量关系；∠PCD与α的关系．
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【问题特殊化】
（1）如图1所示，当α=60°时，PA与DC的数量关系为______；∠PCD=______°；
（2）如图2所示，当α=120°时，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
【拓展应用】
（3）当α=90°时，若AB=6，BP=3√5，请求出线段AD的长．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特
殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知△ABC，CA=CB， ⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙ O上（AD>BD），连接AD、BD、
CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若∠ACB=60°，点D在AO延长线上，则AD−BD与CD的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若∠ACB=60°，点C、D在AB同侧，判断AD−BD与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若∠ACB=α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示）
4．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角
形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α(a≥90°),AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展：
DG 1 BE
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°时，若 = ，求 的值．
CG 2 CE
题型02 线段比从特殊到一般
CB DE
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）问题提出：如图，∠ACB=∠CDE=90°， = =k，点A在DE上，
CA DC
EF
连接BE交CD于F点，探究 的值；
FB
问题探究：
EF
（1）先将问题特殊化，如图2，当k=1时，直接写出 的值；
FB
（2）再探究一般情况，如图1，证明（1）中的结论依然成立；
拓展创新：
CG
（3）如图3，BE交AC于点G，若BE=2BC，直接用含k的式子表示 的值．
AG
6．（2023·湖北武汉·模拟预测）问题提出如图（1），在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB,连接DE，探
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
DE
究 ．
AC
问题探究
DE
（1）先将问题特殊化．如图（2），当AD=BD时，求 的值．
AC
DE
（2）再探究一般情形．如图（1），当AD=nBD时，求 的值；
AC
问题拓展
如图（3），在△ADC中，AD⊥CD，AD=CD=2，P是△ADC内一点，DP=1，CE交AD于F，当
的面积最大时，求S 的值．
△CDE ΔDEE
S
ΔACF
7．（2023·云南昆明·模拟预测）已知等腰三角形ABC，∠F=2∠ABC，CD=kBD，∠FGC=α．
(1)如图1，当k=1时，
①探究DG与CE之间的数量关系；
②探究BE，CG与CE之间的关系（用含α的式子表示）．
(2)如图2，当k≠1时，探究BE，CG与CE之间的数量关系（用含k，α的式子表示）．
8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交BA延
长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
(1)求证：AD=AF；
DF AD
(2)探究 与 的关系；
DE DC
AD 1 DF 2 AD 4 DF 8
某小组探究发现，当 = 时， = ；当 = 时， = ．
DC 3 DE 3 DC 5 DE 5
请你继续探究：
AD 7 DF
①当 = 时，直接写出 的值；
DC 6 DE
AD m DF
②当 = 时，猜想 的值（用含m，n的式子表示），并证明；
DC n DE
(3)拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使
AD m AP
∠ACF=∠ACB时，若 = ，直接写出 的值（用含m，n的式子表示）．
DC n AD
题型03 新定义型从特殊到一般
9．（2025·河南周口·一模）综合与实践
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结
合已有经验，对下列特殊四边形进行研究．
定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成
的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
【初步探究】
AD
（1）如图1，在“双垂四边形ABCD”中，若∠A=60°，则∠CBD=_____， 的值为_____．
BD
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【问题解决】
（2）如图2，在“双垂四边形ABCD”中，∠ADB=∠ABC=90°，∠A=45°，E为线段AB上一点，
AE
且CD⊥DE，求 的值．
BC
【拓展应用】
（3）如图3，在“双垂四边形ABCD”中，∠A=45°，AD=6，E为线段AB上一动点，且CD⊥DE，
连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CFE，连接BF，若BF=2，请直接写出△BDE的面积．
10．（2025·江西·模拟预测）定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，
能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：①如图1，△ABC，△ADE都是等边三角形，则△ABC △ADE的“旋转位似图形”（填
“是”或“不是”）；
②如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，∠B=100°，∠E=30°，则∠DAE= °；
③如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，若AB=4，AD=6，AE=15，则AC= ，若连
BD
接BD,CE，则 = ．
CE
(2)知识运用：
如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AE⊥BD于E，∠DAC=∠DBC，求证：△ACD和
△ABE互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图4，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC的中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC=6,AD=2√2，求DE和BD的长．
11．（2024·辽宁·一模）【问题初探】
定义：过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足
三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”．
如图 . ， ，垂足分别为 、 ，则 为“点足三角形”， 为“垂角”．
1OA⊥l❑ OB⊥l❑ A B △OAB ∠AOB
1 2
【性质探究】
（1）两条直线相交且所夹锐角为α度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______
度（用α表示）．
（ ）如图 ，点 为平面内一点， ， ，垂足分别为 、 ，将“垂角”绕着点 旋转一个
2 2 O OA⊥l❑ OB⊥l❑ A B O
1 2
角度．分别与 、 相交于 、 .连接 ．求证： ．
l❑ l❑ C D CD △OAB∽△OCD
1 2
【迁移运用】
3
（3）如图3，∠MPN=α，点A在射线PM上，点B是射线PN上的点，且tanα= ，PA=4，则∠MPN
4
24
的外部是否存在一点O使得“点足三角形OAB”的面积为 ，若存在，求出此时PB的长；着不存在，请
25
说明理由．
12．（2024·山东日照·二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相
重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为
“友好三角形”．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图①，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点（不与点B重合），AB=AC，
AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，连接CE，则CE________BD（填“<”或“=”或“>”），∠BCE=
________°；
(2)如图②，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=120°，M、N分别是底边BC、DE的中点，请探究MN与CE的数量关系，并说明理
由；
(3)如图③，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一动点，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=α，M、N分别是底边BC、DE的中点，请直接写出MN与CE的数量关系（用含α的
式子表示）
题型04 旋转模型的运用
13．（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3．
(1)问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是
______，AD与BE的位置关系是______；
(2)类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置
关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
14．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3，
CE=4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接ED'．
由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠CAD'，
∴∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°．
∴∠DAE=∠D' AE．
在△DAE和△D' AE中，
AD=AD'，∠DAE=∠D' AE，AE=AE，
∴___①___．
∴DE=D'E．
又∵∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°，
∴在Rt△ECD'中，___②___．
∵CD'=BD=3，CE=4，
∴DE=D'E=___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长
的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究
BE、EF、DF的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D、E在边AC上，且∠DBE=45°．设
AD=x，CE= y，求y与x的函数关系式．
15．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中
心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．
（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S ，在旋转过程中S 与S的关系为______．
1 1
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方
形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=√2OC，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，
当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM=BN时，请求出重叠部分的面积．
√6−√2 √6+√2
（参考数据：sin15°= ，cos15°= ，tan15°=2−√3）
4 4
16．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若P为△ABC所在平面上一点，且
∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．如图，在△ABC中，如果三角形内部有
一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC的值最小．理由如下：
将△APC绕点A逆时针旋转60°至△AP'C'，连接PP'
∴∠APC=∠AP'C'=120°
∴AP=AP'，PC=P'C'，∠PAP'=60°
∴△APP'是等边三角形
∴AP=PP'，∠APP'=∠AP'P=60°
∴PA+PB+PC=PB+PP'+P'C'
∵∠APB=∠APC=∠AP'C'=120°,∠APP'=∠AP'P=60°
∴点B,P,P',C'四点在同一条直线上．此时，PA+PB+PC的值最小．
【应用】
（1）如图（一）所示，点P是△ABC内一点，且点P是△ABC的费马点，已知∠ABC=60°，
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
PA=4，PC=3，求PB的长；
（2）如图（二）所示，分别以锐角△ABC的边AB，AC向三角形外部作等边△ABD，等边△ACE，连
接BE,CD交于点P，求证：点P为△ABC的费马点；
【拓展】
（3）如图（三），⊙O圆内接矩形ABCD内有一点P，PE⊥BC于点E，已知A´D=2A´B，且
PA+PD+PE的最小值是5√2，求⊙O的半径．
题型05 一线三等角模型的运用
17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解
《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角
模型”．如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB
交AB的延长线于点E．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面积；
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
BN
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则 =______；
BC
2
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP= ，请直接写出线段AP的长度．
3
18．（2023·山东泰安·三模）【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图1，点C在AB的延长线上，
且∠A=∠DBE=∠C，若求证：△DAB∽△BCE；请用你所学的知识进行证明．
【拓展训练】
3 CE
如图2，点C在AB的延长线上，且∠DAB=∠DBE，若CE∥AD，∠C=60°，AD= AB，则 的值
2 BC
为______；（直接写出）
【知识迁移】
将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一
点.若∠≝=∠B.求证：AB⋅FE=BE⋅DE．
19．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现
（1）如图1，点A在直线l上，∠BAD=90°,AB=AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，
由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠DEA=90°，可以推理得到△ABC≌DAE，
进而得到AC=_______，BC=_______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验
（2）如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF=3,∠A=∠EDF=∠B，四边形CEDF的周长
为10，△ABC的周长为18．小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到
AE=BD,AD=BF，那么AB=AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB=_______；
（三）模型拓展
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=2BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，
BE⊥MN于点E．请猜想线段DE,AD,BE之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用
（4）如图4，已知在矩形ABCD中，AB=14,BC=7，点E在CD边上，且DE=4．P是对角线AC上一
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2
动点，Q是边AD上一动点，且满足sin∠EPQ= √5，当P在AC上运动时，请求线段AQ的最大值，并
5
求出此时线段AP的长度．
20．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践
感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线BC上，且∠ABM=∠AMN=∠NCM=α（
α可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为
“一线三等角”模型．
应用：
(1)如图1，在矩形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，∠AMN=90°，且AM=MN，则
AB，CN，BC的数量关系是_____；
(2)如图2，在△ABC中，BC=6，∠C=60°，M是AC上的点（AC>BC），且∠ABM=60°，AM=7，
求BM的长；
(3)如图3，在四边形ABMC中，∠BAC=∠ABM=90°，∠AMC=45°，AB=3，AC=4，求
tan∠CAM的值．
【模拟预测】
1．（2025·广西·一模）【经典回顾】
（1）如图1，△ABC，△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：△ABD≌△ACE；
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【类比迁移】
（2）如图2，△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE相交于点Q，
BD与AC相交于点P，类比（1）有△ABD≌△ACE．点M，N，F分别为BC，DE，CD的中点，连接
MF，NF，MF与CE相交于点T．请判断MF，NF的关系，并证明；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接MN，如图3，△ADE绕点A旋转，若AB=6，AE=4．求旋转过程中，
△MNF面积的最大值．
2．（2025·河南濮阳·一模）综合与探究
如图，∠AOB=120°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
(1)【操作判断】
如图1，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意，在图1中画出PC，并直接写出∠APC的度数：
_______________．
(2)【问题探究】
如图2，点M在线段AO上，连接PM，作∠MPN=60°，PN交射线OB于点N，探究OM，ON与PA之
间的数量关系，并给出证明．
(3)【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，作∠MPN=60°，PN交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点E．
OP
若ON=3OM，请直接写出 的值．
OE
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2024·湖北武汉·二模）问题提出
如图（1）， ▱ABCD的四边上依次有E，G，F，H四点，连接EF，GH交于点P，∠EPH=∠ABC，
EF
AB=n⋅BC，试用含n的式子表示 ．
GH
问题探究
EF
（1）先将问题特殊化，如图（2），当n=1时，且∠ABC=90∘时，直接写出 的值；
GH
EF
（2）再探究一般情形．如图（1），求 的值（用n表示）．
GH
问题拓展
（3）如图（3），在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，点E，F分别在AB，BC的延长线上，连接
AB 3
AF，DE交于点G，且∠DGF=∠B，若 = ，AF=DE，直接写出cos∠B的值．
BC 2
4．（2024·湖南邵阳·二模）问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，
直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，易证△ACD≌△BCE（SAS），请利用全等探究
AF，BF，CF之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
（3）如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC（k是常数），
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系．
5．（23-24九年级上·广东茂名·期末）问题提出：如图1，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三
角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=β(β≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF与β的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图2，当β=90°时，求∠GCF的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求∠GCF与β的数量关系；
问题拓展：
DG 1
将图1特殊化，如图3，当AB=3，β=120°，且 = 时，求CF的值．
CG 2
6．（2024·湖北恩施·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=α，AC=kAB，点D、A、E都在直线l上，且
∠BDA=∠AEC=α (a≥90°)，探究线段DE、BD、EC之间的数量关系．
(1)特例发现
先将问题特殊化．如图1，当k=1，α=90°时，求证：DE=BD+EC．
(2)类比探究
再探究一般情形，如图2，当k≠1，α>90°时，探究线段DE、BD、EC之间的数量关系（用含有k的
式子表示）．
(3)拓展运用
3
如图3，当k= ，α=120°时，做BF⊥直线l，CG⊥直线l，垂足分别为F、G．已知AF=3，AG=6，
2
请直接写出CG，BF的长．
7．（2024·广东深圳·模拟预测）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的正对
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
底边 MN
(sad)．在△OMN中，OM=ON，顶角O的正对记作sad∠O= = ．由此可知一个角的大小与
腰 ON
这个角的正对也是相互唯一确定的，所以我们可按上述方式定义的正对，例如，sad60°=1,sad90°=√2，
请根据材料，完成以下问题：如图1，P是线段AB上的一动点（不与点A,B重合），点C,D分别是线段
AP,BP的中点，以AC,CD，DB为边分别在AB的同侧作等边三角形△ACE,△CDF,△DBG，连接PE
和PG．
(1)【阅读应用】①若等边三角形△ACE,△CDF,△DBG的边长分别为a,b,c，则a,b,c三者之间的关系
为______；
②sad∠EPG=______；
(2)【猜想证明】如图2，连接EF,FG，猜想sad∠EFG的值是多少，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，连接EF,EG，若AB=12,EF=2√7，则△EPG的周长是多少？此时AP的长为
多少？（直接写出上述两个结果）
8．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β=90°，那我们称这个三角
形为“近直角三角形”．
(1)若△ABC是“近直角三角形”，∠B>90°，∠C=50°，则∠A=______度；
(2)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．若BD是∠ABC的平分线，在边AC上是否
存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理
由．
(3)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连接
AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB=5，AF=3，求tan∠C的值．
18
