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专题08 函数的周期性
真题再现
一、单选题
1 ． （ 2022 年 全 国 新 高 考 II 卷 数 学 试 题 ） 已 知 函 数 的 定 义 域 为 R ， 且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得 ， ， 即 ， 所 以 函 数 为 偶 函 数 ， 令 得 ，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．
因 为 ， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，所以 ，则，
所以 符合条件，因此 的周期 ， ，
且 ，所以 ，
由于22除以6余4，所以 ．故选：A．
2．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇
函数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.故选：B.
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】[方法一]：因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
，
所以 ．
[方法二]：因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．故选：D．
考点一 周期函数的定义与求解
一、单选题
1．已知定义在 上的函数 满足 当 时 当 时
则 （ ）
A．809 B．811 C．1011 D．1013
【解析】由 可知 周期为5，所以一个周期的和为：
，所以 故选：A.
2．已知 在R上是奇函数，且满足 ，当 时， ，则 等于（
）
A．－2 B．2 C．－98 D．98
【解析】由 ，可得 ，
所以 是以4为周期的周期函数，可得 ，
因为 在R上是奇函数，则 ，
又因为当 时， ，则 .故选：A.
3．设 是定义域为 的奇函数，且 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】 为 上的奇函数， ，
，
是周期为 的周期函数， .故选：C.
4．函数 定义域为 ，且 是（ ）
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
【解析】依题意， ， ，，所以 是偶函数.
，
所以 是周期为 的周期函数.所以A选项正确.故选：A
5．已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数， 为偶函数， ，则下列结论
一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为3 B．
C． D．
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
将 代换为 可得， ，取 可得， ，取 可得， ，
又 ，所以 ，因为 为偶函数，所以 ，
将 代换为 可得， ，又 ，所以 ，
将 代换为 可得， ，所以 ，
所以函数 为周期函数，周期为4，
由 取 可得 ，又 ，所以 ，B错误；
，C 错误；
，D正确；
因为 ， ，所以函数 不是周期为3的函数，A错误；故选：D.
6．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．1
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，则 .故选：D.
7．已知 是定义在 R 上的奇函数，且对任意 都有 ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．
【解析】因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，
又由 可得， ，
所以有 ，则 ，所以 ，
所以 是周期函数，周期 .又 ，所以 ，
又 ， ，所以 .故选：D.
二、多选题
8．已知 是定义在R上的奇函数，若 且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的周期为2
B．
C． ，
D． 的值可能为2【解析】由题得 ，所以函数的周期为4，A选项错误．
是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， ， ， ， ，
，
，B选项正确；
，C选项正确；
，D选项正确.
故选：BCD
9．已知定义在 上的函数 满足： 关于 中心对称， 关于 对称，且 .则
下列选项中说法正确的有（ ）
A． 为奇函数 B． 周期为2
C． D． 是奇函数
【解析】由于 的定义域为 ，且关于 中心对称，可得 是奇函数，故A项正确；
因为 关于直线 对称，即 ，所以 ，
所以函数 的周期 ，故B项错误；
，故C项错误；
，所以 是奇函数，故D项正确.
故选：AD.
三、填空题
10．函数 ， 满足 ，当 ， ，则 ______.【解析】因为 满足 ，所以 的周期为 ， .
11．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 ，则 的值为_____．
【解析】由题得 -f(x), 所以 ，
所以函数的周期为4，所以
因为定义在 上的奇函数 满足 ，所以
所以 =-2+0=-2.故答案为-2
四、解答题
12．设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ．当 时，
．
(1)求证： 是周期函数；
(2)当 时，求 的解析式；
(3)计算 ．
【解析】（1）证明：因为 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ， ，
则 ，所以函数 是周期为 的周期函数.
（2）解：当 时， ，
此时， .
（3）解：因为当 时， ；当 时， ，
所以， ， ， ， ，
因为 ，所以， .
13．已知函数 的定义域为 ，且满足 ．
(1)求证： 是周期函数；
(2)若 为奇函数，且当 时， ，求使 在 上的所有x的个数．
【解析】（1） ，
是周期函数，4为函数 的一个周期．
（2）当 时， ，设 ，则 ，
是奇函数， ， ，即 .故 ．
又设 则 ， ．又 是以4为周期的周期函数
， ．
，令 ，
当 时，可得 ，所以 ，当 时，可得 ，所以 （舍去），
是以4为周期的周期函数， 的解集为 ．
令 ，则 .又 ， ，
∴在 上共有 个 使 .
考点二 利用周期性求函数值(或解析式)
一、单选题
1．已知函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ，则
（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】因为 ，所以 的周期为12，
因为 ，所以 ，因为当 时， ，
故 .故选：D
2．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且 ，则 （ ）
A．2019 B．3 C．－3 D．0
【解析】∵ ，∴ ，
又∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.故选：D.
3．设定义在R上的函数f（x）满足 ，若f（1）=2，则f（99）=（ ）
A． B． C． D．
【解析】依题意 ， ,
所以 ，
所以 是周期为 的周期函数，所以 .故选：D
4．已知定义在 上的偶函数 ，对 ，有 成立，当 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】依题意对 ，有 成立，令 ，则 ，
所以 ，故 ，所以 是周期为 的周期函数，故 .故选：C
5．已知定义在 上的函数 的图像关于 y 轴对称，且周期为 3，又 ，则
的值是（ ）
A．2023 B．2022 C． D．1
【解析】因为 的周期为 ；又 ，则 ；
，则 ；因为函数 在 上的图像关于y轴对称
所以 为偶函数，故 ，则 ；
故 .故选：D.
6．已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 为奇函数，则 ，可得
函数 为偶函数，则 ，可得 ，
所以 ，即 ，即 ，
即 ，故函数 是以4为周期的函数，
由 ，令 ，得 ，知 ，
则 ，故C正确；
其它选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故ABD不一定成立.故选：C.
7 ． 已 知 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 若 为 偶 函 数 且 ， 则
（ ）A． B．0 C．2 D．4
【解析】因为 是定义在R上的奇函数，则 ，且 ，
又 为偶函数，则 ，即 ，
于是 ，则 ，即 是以 为周期的周期函数，
由 ，得 ， ，
， ，
所以 .故选：D
二、填空题
8．已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则
______.
【解析】由 得 ，故 是以2为周期的周期函数，
所以
9．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为 ，则
＋ ＝______.
【解析】由题意得： 函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，
且在[0，2]上的解析式为
10．已知 是定义在 上的周期为 的奇函数，且 ，则 的值为___________
【解析】因为 是定义在 上的周期为 的奇函数，且 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以
11．设 是定义域为R的奇函数，且 ．若 ，则 __________．
【解析】因为 是定义域为R的奇函数，则 ，
所以 ，所以 是周期为4的函数，则 .
12．已知函数 ，则 ________.
【解析】由题意可知 的最小正周期 .
因为 ， ， ， ，
所以 .又 ，
所以 .
13．已知 ，函数 都满足 ，又 ，则 ______．
【解析】根据题意， ，显然 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 的周期为6，所以 .
14．设 是定义在R上以2为周期的奇函数，当 时， ，则函数 在 上
的解析式 ___________．
【解析】因为函数 的周期为2，设 是 时函数图象上的任意一点，则点 在时函数的图象上，而函数是 R 上的奇函数，则点 在 时的图象上，所以
，即 在 上的解析式 .
15．函数 满足是 ，且 ，当 时， ，则当 时，
的最小值为___________.
【解析】由题设， ，若 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴ 上，当 时 的最小值为 .
三、解答题
16．已知函数 是定义在 上的周期函数，周期为 5，函数 是奇函数，又知
在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最小值 ，
(1)求 的值；
(2)求 ， 上的解析式；
(3)求 在 上的解析式，并求函数 的最大值与最小值．
【解析】（1）函数 是定义在 上的周期函数，且 ，所以 ，
而函数 在区间 上是奇函数，所以 ，所以 .
（2）解：由 在 上是二次函数，且在 时函数取得最小值 ，
可设 ，因为 ，即 ，可得 ，所以 .
（3）解：函数 是奇函数，又知 在 上是一次函数，
令 ，由（2）得： ，可得 ，所以当 时， ，
因为函数 为奇函数，可得当 时， ，
当 时，可得 ，所以 ；
当 时，可得 ，所以 ，
所以函数 ，
当 或 时，函数 取得最大值 ；
当 时，函数 取得最小值 .
17．设 是定义在 上以 为周期的周期函数，且 是偶函数，在区间 上，
.求 时， 的解析式．
【解析】当 ，即 ，所以 ，
又 为偶函数，所以 ，所以 ，又 是以 为周期的周期函数，
于是当 ，即 时，有 ，
所以 ， ， ， .
18．设 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 ．当 时，
．(1)求证： 是周期函数；
(2)当 时，求 的解析式．
【解析】（1）证明：∵ ，∴ ．
∴ 是周期为4的周期函数．
（2）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
∵ ，即 ．
19．设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 .当 时，
.
(1)当 时，求 的解析式；
(2)计算 .
【解析】(1) ， ， 是周期为4的周期函数.
当 时， ，由已知得 .
又 是奇函数， ， ，
又当 时， ， ，
又 是周期为4的周期函数， ，
从而求得 时， .
(2) ， ， ， ，又 是周期为4的周期函数，
.又 ， .
20．已知f(x)是定义在R上的函数，满足 ．
（1）若 ，求 ；
（2）证明：函数f(x)的周期是2；
（3）当 时，f(x)＝2x，求f(x)在 时的解析式，并写出f(x)在 时的解
析式．
【解析】（1） 所以 ，故 ；
（2）因为 ，令x取x＋1得，所以 ，
所以，2是函数f(x)的周期．
（3）当 时， ，则 ，
又 ，即 ，解得 ．
所以当 时， ，所以 ，
因为f(x)的周期为2，所以当 时，
．
所以 .
考点三 抽象函数周期性
一、单选题1．定义在 R 上的连续函数 满足 ，且 为奇函数.当 时，
，则 （ ）
A． B． C．2 D．0
【解析】因为函数 满足 ，所以 关于 对称，即 ①.
又因为 为奇函数，所以 ，即 ②.
由①②知 ，所以 ，
即 ，所以函数 的周期为 ，所以 ，
,因为 时， ，
所以 ，又 为奇函数，所以当 时， ，
所以 ，故选：B.
2．已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则函数 在
区间 上的零点个数是（ ）
A．253 B．506 C．507 D．759
【解析】由 得 ，
所以 ，即 是以8为周期的周期函数，
当 时， 有两个零点2和4，
当 时， ，令 ，则有 ，
当 时， ， ，所以 无解，
所以当 时， 无零点，又 ，因此在 上函数有 个零点，当 时， 有两个零点2和
4，当 时， 无零点，当 时， 无零点，
因此有 上， 有 个零点．故选：B．
3．定义在 上的函数 的图象关于点 成中心对称，对任意的实数 都有 ，
且 ， ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解析】对函数 任意的实数 都有 ，
则 ，则函数 的周期为3，
则
定义在R上的函数 的图象关于点 成中心对称，
则 ，又 ， ，
则 ， ，
，
则 ， ，
则 ，
则 ，故选：A
二、多选题4 ． 已 知 函 数 ， 的 定 义 域 均 为 ， 且 满 足 ， ，
，则（ ）
A． 为奇函数 B．4为 的周期
C． D．
【解析】对于A：因为 ，所以 的对称中心为 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，则 关于 对称，结合 的对称中心为 ，
所以 关于 轴对称，即 为偶函数，故A错误；
对于B：因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 的周期为4，又 ，
所以 的周期也为4，故B正确；
对于C：由 对称中心为 ，得 ，
又因为 对称轴为 ，所以 ，所以 关于 对称中心，
所以 和 关于点 对称，所以 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D：由C得 ，因为 ，
所以 ， ， ， ，
所以
，又因为 的周期为4，所以 ，故D正确，
故选：BD．
5．已知函数 ， 的定义域均为R，且 ， ．若 的图
象关于直线 对称， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意知函数 ， 的定义域均为R，
∵ 的图象关于直线x＝2对称，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，故 为偶函数，
由 ，得 ，代入 ，得 ，
令 ，则 ，∴ ，则 ，故B正确，C错误；
因为 ，令 ，则 ，即 ，A正确；
由 ，故 ，故由 得 ，
∴ ，故 ．所以 是以4为周期的周期函数，
由 ， ，令 ，则 ，得 ，则 ，
又 ，令 得 ，得 ，又 ，
故 ，D 正
确．故选：ABD．
6．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 的图象关于点 中心对称，则下列说法
正确的是（ ）A． B．
C． ， D． ，
【解析】因为 是偶函数，所以 ，可得 ，
故 关于直线 对称，因为 的图象关于点 中心对称，所以 关于点 成中心对称，
所以 ，又由 可得 ，
所以 ，即 ，所以 ，
两式相减可得 ，即 ，所以 ，故A错误；
由周期 ， ，又 ，所以 ，即 ，故B正确；
由周期 ， ， ，由 可得， ， ，故C
正确；
由上述分析可知 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，
故D正确.
故选：BCD
三、填空题
7．已知函数 满足： ，则 ______.
【解析】由已知等式联想到三角公式 ，
注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数 ，则 ，故函数 满足题意，而函数 是周期 的函数，
.
8．定义在 上的函数 满足 ，则 ______．
【解析】由 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 是以4为周期的周期函数．
令 ，得 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ．
9．若定义域为 的奇函数 满足 ，且 ，则 ________．
【解析】由 ，得 ，
所以 ，即 ，于是有 ，
所以 ，即 .所以函数 的周期为 .
因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，即 .
令 ，则 ，解得 ，所以 .
10．若函数 的定义域为 ，且 ，则 ______．
【解析】因为 ，所以， ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，又因为函数 的定义域为 ，所以 ．
由 ，可得 ，即 ，
所以， ，所以函数 的周期是 ，所以 ．
11．已知函数 的定义域为 ， 对任意的 恒成立，若 ，
则 __________
【解析】已知 ，令 ，
则 ，即 .
因为 ，即 ，
所以 ，即函数 的周期为6.
令 ， ，又 ，则 ，令 ，
，同理 ， ， ， ，
.
四、解答题
12．设 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 对称，对任意 ， ，都有
，且 ．
(1)求f ；
(2)证明 是周期函数；
(3)记 ，求 ．
【解析】（1）因为对任意的 ，都有 ，
所以 ，又 ，， ，∴ .
（2）设 关于直线 对称，故 ，
即 ，又 是偶函数，所以 ，
∴ ，将上式中 以 代换，得 ，
则 是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
（3）由（1）知 ，
∵ ，
又 ，∴ .∵ 的一个周期是2，∴ ，因此 ．
考点四 函数周期性的应用
一、单选题
1．已知函数 是定义在R上的偶函数，且 ，当 时， ，则函
数 的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】由已知可得， ，所以 周期为2.
又函数 是定义在R上的偶函数，当 时， ，
根据已知，作出函数 的图象，以及 的图象
因为 ， ，由图象可知， 与 交点的个数共有9个，
所以，函数 的零点个数为9.故选：D.2．已知定义域为 R 的偶函数 满足对 ，有 ，并且当 时，
，若函数 在 上至少有三个零点，则实数 a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 得 ，以 代 ，得 ，
由于 为偶函数，所以 ，得出 ，可知 图像以 为对称轴．
在 ，令 ，得出 ，所以 ，函数 周期 ，
时， ，作出 的图像，如图所示，
的图像与 的图像至少有三个交点，即有 且 ，解得
，
故选：A．
3．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 为奇函数， 为偶函数，记
，且当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 为奇函数，所以 ，即 ，
两边同时求导得 ，即 ，所以 的图象关于直线 对称，且 ①；
又 为偶函数，所以 ，即 ，
两边求导得 ，即 ，
所以 的图象关于点 中心对称，且 ②；
由①②得 ，即 ，
所以 ，所以 的一个周期为 ，因为当 时， ，
当 时，则 ，所以 ，
当 时，则 ，所以 ，
作出函数 与 的图象如图所示，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
结合图象可知不等式 的解集为 .故选：C
4．若函数 满足对 都有 ，且 为 上的奇函数，当
时， ，则集合 中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】由 为R上的奇函数, ①，
又 ②，由②－① 为周期为2的周期函数,
而又 ，
当 时 当 时, ．
又当 时， 单调递增，且 ．
故可作出函数 的大致图象如图：
而集合A中的元素个数为函数 与 图象交点的个数，
由以上分析结合函数 性质可知，1为集合A中的一个元素，
且y=f（x）与 在（2，3），（4，5）上各有一个交点，
∴集合 中的元素个数为3．故选：A．
二、多选题
5．已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ， ．若 的图象关
于直线 对称， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意知函数 ， 的定义域均为 ，
的图象关于直线 对称，则 ，
， ， ，故 为偶函数，由 ，得 ，代入 ，得 ，
令 ，则 ， ，则 ，故B正确，C错误；
，令 ，则 ，即 ，A正确；
由 ，故 ，故由 得 ，
，故 ， 是以4为周期的周期函数，
由 ， ，令 ，则 ，得 ，
则 ，又 ，令 得 ，得 ，
又 ，故
，D错误．
故选：AB．
6．已知 是定义在 上的函数，且对于任意实数 恒有 ．当 时，
．则（ ）
A． 为奇函数 B． 在 上的解析式为
C． 的值域为 D．
【解析】根据题意， 时， ，因为 时， ，
所以 ，又由 ，则 ，
即 ， ，
若 ，则 ， ，
若 ，则 ， ，故在区间 上 ，所以 关于原点对称，
又由 ，则 ，即函数 是周期为 的周期函数，
故 的图象关于原点对称，由此分析选项：
对于A， 的图象关于原点对称， 为奇函数，故A正确；
对于B，当 时，则 ，则 ，
函数 是周期为 的周期函数，则 ，故B正确；
对于C，在区间 上， ，则 ， ，
所以 ，故 的值域一定不是 ，故C错误；
对于D，因为 时， ，所以 ， ，
又 ，则 ，
则有 ， ，故 ，
所以
，故D正确；
故选：ABD．
7．已知 和 都是定义在 上的函数， 是偶函数， 关于 对称； 是奇函
数， 关于 对称，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．
C．函数 关于点 对称 D．
【解析】由 是偶函数知 关于 对称，所以 ，又 关于 对称，
所以 ，则 ，即 ，所以 的周期为 ，故A错误；无法求出 的值，故B错误；
由 是奇函数知 关于 对称，故C正确；
关于 的对称点为 ，所以 ，故D正确.
故选：CD．
三、填空题
8．已知定义在R上的函数 是周期为3的奇函数.当 时， ，则函数 在区间
上的零点个数是______.
【解析】由于定义在R上的函数 是周期为3的奇函数，
当 时， ，由于当 时， ，
则有 ，又 ，即有 ，
由于 ，则有 ，令 ，解得 或 ，
所以在 时， ， ，即一个周期内有3个零点.
在区间 上， ， ， ， ，
， ， ，
，又 ，可得 ， ，
则 在 内共有8个零点；由 的图象关于原点对称，可得 在 内也有8个零点，
所以 在 上共有8+8+1＝17个零点.
9．已知函数 满足 ，且 是偶函数，当 时， ，若在区间 内，函数 有2个零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】当 时， ， ；故 时， ，
当 时， ，即 .
，即 ， ，画出函数图像，如图所示：
当 时， 最多有一个交点，不满足；
当 时， 有两个交点，则 ，即 ， .
综上所述： .
四、解答题
10．已知函数 的定义域为 ，且满足 ．
(1)求证： 是周期函数；
(2)若 为奇函数，且当 时， ，求使 在 上的所有x的个数．
【解析】（1） ，
是周期函数，4为函数 的一个周期．
（2）当 时， ，设 ，则 ，
是奇函数， ， ，即 .故 ．
又设 则 ， ．又 是以4为周期的周期函数，
， ．令 ，当 时，可得 ，所以 ，
当 时，可得 ，所以 （舍去），
是以4为周期的周期函数， 的解集为 ．
令 ，则 .又 ， ，
∴在 上共有 个 使 .
