专题 11 不等式、推理与证明、复数
1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|iz+3z|=( )
A．4√5 B．4√2 C．2√5 D．2√2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】
因为z=1+i，所以iz+3z=i(1+i)+3(1-i)=2-2i，所以|iz+3z|=√4+4=2√2．
故选：D.
z
2．【2022年全国甲卷】若z=-1+√3i，则 = ( )
zz-1
1 √3 1 √3
A．-1+√3i B．-1-√3i C．- + i D．- - i
3 3 3 3
【答案】C
【解析】
【分析】
由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
z=-1-√3i,zz=(-1+√3i)(-1-√3i)=1+3=4.
z -1+√3i 1 √3
= =- + i
zz-1 3 3 3
故选 ：C
3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则( )
A．a=1,b=-1 B．a=1,b=1 C．a=-1,b=1 D．a=-1,b=-1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为a,b∈R，(a+b)+2ai=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=-1．
故选：A.
4．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件¿则z=2x- y的最大值是( )
A．-2 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】
由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数z=2x- y为y=2x-z，
上下平移直线y=2x-z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，
所以z =2×4-0=8.
max
故选：C.
5．【2022年全国乙卷】已知z=1-2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则( )
A．a=1,b=-2 B．a=-1,b=2 C．a=1,b=2 D．a=-1,b=-2
【答案】A
【解析】
【分析】
先算出z,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】z=1+2i
z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i
由z+az+b=0,得¿,即¿
故选:A
6．【2022年新高考1卷】若i(1-z)=1，则z+z=( )
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法可求z，从而可求z+z.
【详解】
1 i
由题设有1-z= = =-i，故z=1+i，故z+z=(1+i)+(1-i)=2，
i i2
故选：D
7．【2022年新高考2卷】(2+2i)(1-2i)=( )
A．-2+4i B．-2-4i C．6+2i D．6-2i
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的乘法可求(2+2i)(1-2i).
【详解】
(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i，
故选：D.
8．【2022年北京】若复数z满足i⋅z=3-4i，则|z|=( )
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．
【详解】
3-4i (3-4i)(-i)
由题意有z= = =-4-3i，故|z|=√(-4) 2+(-3) 2=5．
i i⋅(-i)故选：B．
9．【2022年浙江】已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则( )
A．a=1,b=-3 B．a=-1,b=3 C．a=-1,b=-3 D．a=1,b=3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数相等的条件可求a,b.
【详解】
a+3i=-1+bi，而a,b为实数，故a=-1,b=3，
故选：B.
10．【2022年浙江】若实数x，y满足约束条件¿则z=3x+4 y的最大值是( )
A．20 B．18 C．13 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4 y后可求最大值.
【详解】
不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线3x+4 y-z=0过A时z有最大值.
x=2 x=2
由{ 可得{ ，故A(2,3)，
2x+ y-7=0 y=3
故z =3×2+4×3=18，
max故选：B.
11．【2022年浙江】已知a,b∈R，若对任意x∈R,a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0，
则( )
A．a≤1,b≥3 B．a≤1,b≤3 C．a≥1,b≥3 D．a≥1,b≤3
【答案】D
【解析】
【分析】
将问题转换为a|x-b|≥|2x-5|-|x-4|，再结合画图求解．
【详解】
由题意有：对任意的x∈R，有a|x-b|≥|2x-5|-|x-4|恒成立．
5
1-x,x≤
2
设f(x)=a|x-b|，g(x)=|2x-5|-|x-4|={ 5 ，
3x-9, <x<4
2
x-1,x≥4
即f(x)的图像恒在g(x)的上方(可重合)，如下图所示：
3
由图可知，a≥3，1≤b≤3，或1≤a<3，1≤b≤4- ≤3，
a
故选：D．
12．【2022年新高考2卷】(多选)若x，y满足x2+ y2-xy=1，则( )
A．x+ y≤1 B．x+ y≥-2
C．x2+ y2≤2 D．x2+ y2≥1
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】
(a+b) 2 a2+b2
因为ab≤ ≤ (a,b∈R)，由x2+ y2-xy=1可变形为，
2 2
(x+ y) 2-1=3xy≤3
(x+ y) 2
，解得-2≤x+ y≤2，当且仅当x= y=-1时，x+ y=-2，当
2
且仅当x= y=1时，x+ y=2，所以A错误，B正确；
x2+ y2
由x2+ y2-xy=1可变形为(x2+ y2)-1=xy≤ ，解得x2+ y2≤2，当且仅当x= y=±1
2
时取等号，所以C正确；
因为x2+ y2-xy=1变形可得 ( x- y) 2 + 3 y2=1，设x- y =cosθ, √3 y=sinθ，所以
2 4 2 2
1 2
x=cosθ+ sinθ,y= sinθ，因此
√3 √3
5 2 1 1 1
x2+ y2=cos2θ+ sin2θ+ sinθcosθ=1+ sin2θ- cos2θ+
3 √3 √3 3 3
= 4 + 2 sin ( 2θ- π ) ∈ [2 ,2 ] ，所以当x= √3 ,y=- √3 时满足等式，但是x2+ y2≥1不
3 3 6 3 3 3
成立，所以D错误．
故选：BC．
1．(2022·北京四中三模)在复平面内，复数 对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则求复数 的代数形式，根据复数的几何意义确定对应点的象限.
【详解】，
所以复数 在复平面上的对应点为 ，该点在第三象限.
故选：C.
2．(2022·湖南·长沙一中模拟预测)已知复数 ， 是 的共轭复数，则
( )
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法可求 ，进而可求 .
【详解】
∵ ，
所以 .
故选：B．
3．(2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模(文))复数 满足 ，则 的虚部为
( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
化简方程求出复数 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以复数 的虚部为 ，
故选：A.
4．(2022·黑龙江·哈九中模拟预测(文))观察下列等式， ， ， ，
，根据上述规律， ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ， ， ， ，观察其规律，可得
.
【详解】
，
，
，
，
根据上述规律，得.
故选：B.
5．(2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)若复数 满足 ，则 ( )
A． B．
C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算求得复数z，继而可得其共轭复数.
【详解】
由题意 ，得 ，
故 ，
故选：A
6．(2022·四川眉山·三模(文))由若干个完全一样的小正方体无空隙地堆砌(每相邻两层堆砌的
规律都相同)成一个几何体，几何体部分如图所示.用下面公式不能计算出该几何体三视图中
所看到的小正方体或全部小正方体个数的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
计算正视图或左视图看到的小正方形的个数是相同的，再计算俯视图中看到的小正方形的
个数和几何体的全部小正方体个数即可.
【详解】
从正视图或左视图可以看出小正方形的个数为
从俯视图可以看到小正方形的个数为
几何体的全部小正方体个数为
故选：D.
7．(2022·北京·北大附中三模)已知 ，下列不等式中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.
【详解】
解：对于选项A，因为 ，而 的正负不确定，故A错误；
对于选项B，因为 ，所以 ，故B错误；
对于选项C，依题意 ，所以 ，所以
，故C正确；
对于选项D，因为 与 正负不确定，故大小不确定，故D错误；
故选：C.
8．(2022·山东泰安·模拟预测)已知 ，则 的最小值是( )
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
对原式因式分解得 ，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】
由 ，得 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，
等号成立，所以 的最小值是2.
故选：A.
9．(2022·辽宁实验中学模拟预测)已知实数 ， 满足 ，则
的最小值为( )
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设条件可得 ，从而利用换底公式的推论可得 ，代入要求最
小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值
【详解】又 ，则
当且仅当 即 时取等号
故选：A
10．(2022·全国·模拟预测)已知正实数 ， 满足 ，则
的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将已知的式子 ，然后判断函数
， ，的单调性，从而可得 ，即 ，再利用基本不等式可求
得结果
【详解】
因为 ，
所以 ．
设 ， ，易知 在 上单调递增，
故 ，即 ，又 ， ，所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为2．故选：B．
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知
等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得 ，再
利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题
11．(2022·北京·101中学三模)设m为实数，复数 (这里i为虚数单位)，
若 为纯虚数，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据 为纯虚数计算出 的值，再计算 ，最后计算 的值
【详解】
，
为纯虚数
故答案为：
12．(2022·全国·模拟预测)已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为______．
【答案】 ##
【解析】【分析】
根据题意得 ，再化简整理利用基本不等式求解即可.
【详解】
，当且仅当 ，
即 ， 时取得等号．
故答案为： .
13．(2022·浙江·杭师大附中模拟预测)已知正数 ，则 的最大值为
_________．
【答案】
【解析】
【分析】
将分母变为 ，分别利用基本不等式即可求得最大值.
【详解】
(当且仅当
， 时取等号)，的最大值为 .
故答案为： .
14．(2022·宁夏·吴忠中学三模(理))在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在
国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：
图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中
的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以
下一系列图形，记第 个图形(图1为第一个图形)中的所有外围线段长的和为 ，则满足
的最小正整数 的值为______.(参考数据： ，
)
【答案】9
【解析】
【分析】
根据图形变化规律分析出 的通项公式，然后求和确定.
【详解】
由图形变化规律可得 ，
，则有，所以最小正整数 的值为9.
故答案为：9.
15．(2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测)若 为虚数单位，复数 满足 ，
则 的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义知复数 对应的点 到点 的距离 满足 ， 表
示复数 对应的点 到点 的距离，数形结合可求得结果.
【详解】
复数 满足 ，即
即复数 对应的点 到点 的距离 满足
设 ， 表示复数 对应的点 到点 的距离
数形结合可知 的最大值
故答案为：
