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专题 11 不等式、推理与证明、复数
1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|iz+3z|=( )
A．4√5 B．4√2 C．2√5 D．2√2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】
因为z=1+i，所以iz+3z=i(1+i)+3(1-i)=2-2i，所以|iz+3z|=√4+4=2√2．
故选：D.
z
2．【2022年全国甲卷】若z=-1+√3i，则 = ( )
zz-1
1 √3 1 √3
A．-1+√3i B．-1-√3i C．- + i D．- - i
3 3 3 3
【答案】C
【解析】
【分析】
由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
z=-1-√3i,zz=(-1+√3i)(-1-√3i)=1+3=4.
z -1+√3i 1 √3
= =- + i
zz-1 3 3 3
故选 ：C
3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则( )
A．a=1,b=-1 B．a=1,b=1 C．a=-1,b=1 D．a=-1,b=-1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为a,b∈R，(a+b)+2ai=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=-1．
故选：A.
4．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件¿则z=2x- y的最大值是( )
A．-2 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】
由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数z=2x- y为y=2x-z，
上下平移直线y=2x-z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，
所以z =2×4-0=8.
max
故选：C.
5．【2022年全国乙卷】已知z=1-2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则( )
A．a=1,b=-2 B．a=-1,b=2 C．a=1,b=2 D．a=-1,b=-2
【答案】A
【解析】
【分析】
先算出z,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】z=1+2i
z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i
由z+az+b=0,得¿,即¿
故选:A
6．【2022年新高考1卷】若i(1-z)=1，则z+z=( )
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法可求z，从而可求z+z.
【详解】
1 i
由题设有1-z= = =-i，故z=1+i，故z+z=(1+i)+(1-i)=2，
i i2
故选：D
7．【2022年新高考2卷】(2+2i)(1-2i)=( )
A．-2+4i B．-2-4i C．6+2i D．6-2i
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的乘法可求(2+2i)(1-2i).
【详解】
(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i，
故选：D.
8．【2022年北京】若复数z满足i⋅z=3-4i，则|z|=( )
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．
【详解】
3-4i (3-4i)(-i)
由题意有z= = =-4-3i，故|z|=√(-4) 2+(-3) 2=5．
i i⋅(-i)故选：B．
9．【2022年浙江】已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则( )
A．a=1,b=-3 B．a=-1,b=3 C．a=-1,b=-3 D．a=1,b=3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数相等的条件可求a,b.
【详解】
a+3i=-1+bi，而a,b为实数，故a=-1,b=3，
故选：B.
10．【2022年浙江】若实数x，y满足约束条件¿则z=3x+4 y的最大值是( )
A．20 B．18 C．13 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4 y后可求最大值.
【详解】
不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线3x+4 y-z=0过A时z有最大值.
x=2 x=2
由{ 可得{ ，故A(2,3)，
2x+ y-7=0 y=3
故z =3×2+4×3=18，
max故选：B.
11．【2022年浙江】已知a,b∈R，若对任意x∈R,a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0，
则( )
A．a≤1,b≥3 B．a≤1,b≤3 C．a≥1,b≥3 D．a≥1,b≤3
【答案】D
【解析】
【分析】
将问题转换为a|x-b|≥|2x-5|-|x-4|，再结合画图求解．
【详解】
由题意有：对任意的x∈R，有a|x-b|≥|2x-5|-|x-4|恒成立．
5
1-x,x≤
2
设f(x)=a|x-b|，g(x)=|2x-5|-|x-4|={ 5 ，
3x-9,
