25李林《880》数三高数部分做题本_考研_数学_02.李林_25李林《880题》做题本（全）_数三

目录 目 录 第一章、函数、极限、连续 ........................................................ 3 基础题 ..................................................................... 3 综合题 .................................................................... 14 拓展题 .................................................................... 29 第二章、一元函数微分学及其应用 ................................................. 30 基础题 .................................................................... 30 综合题 .................................................................... 55 拓展题 .................................................................... 70 第三章、一元函数积分学及其应用 ................................................. 72 基础题 .................................................................... 72 综合题 .................................................................... 90 拓展题 ................................................................... 113 第四章、多元函数微分学及其应用 ................................................ 116 基础题 ................................................................... 116 综合题 ................................................................... 126 拓展题 ................................................................... 134 第五章、微分方程及其应用 ...................................................... 136 基础题 ................................................................... 136 综合题 ................................................................... 142 拓展题 ................................................................... 150 第六章、微积分在经济学中的应用 ................................................ 151 基础题 ................................................................... 151 综合题 ................................................................... 155 第七章、二重积分.............................................................. 160 基础题 ................................................................... 160 综合题 ................................................................... 169 第 1 页，共200页目录 拓展题 ................................................................... 177 第八章、无穷级数.............................................................. 178 基础题 ................................................................... 178 综合题 ................................................................... 188 拓展题 ................................................................... 199 第 2 页，共200页高数 · 1.函数、极限、连续 第一章 函数、极限、连续 基础题 ・一、选择题 1.函数 第 3 页，共200页 f ( x ) x s in x e co sx , x ( , )   =  − + ,是（ ）. A. 单调函数 B. 周期函数 C. 偶函数 D. 有界函数 2.设函数 f ( x ) = c o s ( s in x ) , g ( x ) = s in ( c o s x ) ,则当 x 0 , 2     时,( ). A. f ( x ) 单调增加, g ( x ) 单调减少 B. f ( x ) 单调减少, g ( x ) 单调增加 C. f (x) 与 g(x) 都单调增加 D. f (x) 与 g(x) 都单调减少 3.设函数 f ( x ) = 1 + x + x 2 − 1 − x + x 2 ,则（ ） A. f ( x ) 为偶函数 B. f ( x ) 为奇函数 C. f (x) 为无界函数 D. lim f (x)=1 x→高数 · 1.函数、极限、连续 4.设当 第 4 页，共200页 x  → + 时, f ( x ) , g ( x ) 都是无穷大,则当 x  → + 时,下列结论正确的是 ( ). A. f ( x ) − g ( x ) 是无穷小 B. f ( x ) + g ( x ) 是无穷大 C. g f (( x x )) → 1 D. f ( f x ( ) x + ) g g ( ( x x ) ) 是无穷小 5.当 x→0 时, 1 x 2 s in 1 x 是 ( ). A. 无穷大 B. 无穷小 C. 有界但非无穷小 D. 无界但非无穷大 6.已知 lim x x x 2 1 a x b 0  →  + − −  = ,则 ( ). A. a=1,b=1 B. a=−1,b=1 C. a=1,b=−1 D. a=−1,b=−1高数 · 1.函数、极限、连续 7.设当 第 5 页，共200页 x → 0 时, ( x − s in x ) ta n x 是比 ln ( 1+xn) 高阶的无穷小,而 ln ( 1 + x n ) 是比 x 2 高 阶的无穷小,则 n=( ) . A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8.设 f ( x ) = ln 2 x , g ( x ) = x , h ( x ) = e x2 ( x  1 ) ,则当 x 充分大时,( ) A. f ( x )  g ( x )  h ( x ) B. g ( x )  h ( x )  f ( x ) C. h ( x )  g ( x )  f ( x ) D. g ( x )  f ( x )  h ( x ) 9.设 lima 与 n n→ lim n b n  → 均不存在,则下列选项正确的是（ ）. A. 若 lim(a +b ) 不存在,则 lim(a −b ) 必不存在 n n n n n→ n→ B. 若 lim(a +b ) 不存在,则 lim(a −b ) 必存在 n n n n n→ n→ C. 若 lim(a +b ) 存在,则 lim(a −b ) 必不存在 n n n n n→ n→ D. 若 lim(a +b ) 存在,则 lim(a −b ) 必存在 n n n n n→ n→公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 1.函数、极限、连续 10.[25新增]设正项数列 第 6 页，共200页  x n  , y n  满足 e xn = x n + e y n ( n = 1 , 2 , ) ,且 lim n x n 0  → = ,则当 n→ 时,正确的是 ( ). A. y n 是比 x n 高阶的无穷小 B. x n 是比 y n 高阶的无穷小 C. y n 与 x n 是等价无穷小 D. x n 与 y 是同阶但不等阶无穷小 n 11.函数 f ( x ) = 2 1 + + e e 1x 2x + s in x x 在 x = 0 处为 ( ). A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点 二、填空题 1.设 f ( x ) =  1 0 , , x x   1 1 , , 则 f  f f (x)  =2.当   x → 0 时, ( 1 + a x 2 ) 1 3 − 1 与 cosx−1 是等 价无穷小,则 a= ________ .高数 · 1.函数、极限、连续 3.设函数 第 7 页，共200页 f ( x ) =  s a in , 2 x + x e 2 a x − 1 , x x  = 0 0 , 在 x = 0 处连续,则 a = ________ . 4.设 a  0 ,知 lim x x P a 1x a 1x 1  → +  − +  存在,则 P 的取值范围为 ________ . 5. lim x x 3 e x x 2 x 3 1 ( s in x c o s x )  → + + + + + = _________. 6. lim x → 0 e x 2 − e x e 4 2 − − 2 1 co sx = ________ .高数 · 1.函数、极限、连续 7.设 第 8 页，共200页 f ( x ) = a + b x + c x 2 + d x 3 − ta n x ,当 x → 0 时, f (x) 是比 x 3 高阶的无穷小,则 a + b + c + d = ________ . 三、解答题 1.设 f ( x ) 是定义在 ( − a , a ) 内的函数,证明: f (x) 可以表示为一个偶函数与一个奇函数之 和. 2.设函数 f ( x ) 满足 a f ( x ) + b f  1 x  = c x ,其中 a , b , c 均为常数,且 a  b ,求 f ( x ) 的 表达式,并 证明 f ( x ) 是奇函数.高数 · 1.函数、极限、连续 3.设函数 第 9 页，共200页 f ( x ) 在区间 ( − a , a ) 内有定义,其中 a0 ,且对任意 x 1 , x 2  ( − a , a ) ,有 f ( x 1 ) − f ( x 2 )  x 1 − x 2 , 证明: F(x)= f (x)+x 在 (−a,a) 内单调增加. 4.设数列  x n  满足 limx = limx =a ,证明: 2k 2k+1 k→ k→ lim n x n a  → = . 5.求下列极限: x2 −xsinx (I) lim (II) 1 x→ x2 +xsin x lim x a 1x b 3 1x c 1x x ( a , b , c )  → +  + +  为 正 数 ;高数 · 1.函数、极限、连续 (III) 第 10 页，共200页 lim x → 0 ln ln ( s in ( 2 e 2 x x − + x e 2 x ) ) − − 2 x x ; (IV) lim x → 0 ( 1 + x ) x 3 x − e 3 ; (V) lim x → 0 e tan x x − 3 e x (VI) lim x → 0 c o tx  s 1 in x − 1 x  ; (VII) lim x → 0 ( 1 − x 2 ) 1 − 1 1 − x 2 ; (VIII) lim x → 0 + x sin x .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 1.函数、极限、连续 6.求下列极限: (I) 第 11 页，共200页 lim n n 2 1 n 1 n 2 2 n 2 n 2 n n n  →  + + + + + + + + +  ; (II) lim n 1 2 n 1 2 ( n 1 )  →  + + + − + + + −  ; n 1 (III) lim ; n→ 4k2 −1 k=1高数 · 1.函数、极限、连续 (IV) 第 12 页，共200页 lim n n 1 1 2 1 3 1 n  → + + + + ; (V) lim n 1 2 n 3 n  →  +  7.求 f ( x ) ( 1 x ) tan x x 4  = +  −  在 ( 0 , 2 )  内的间断点,并指出其类型. 8.讨论函数 f ( x ) lim n x n x n 2 x x n n  = → + + − − − 的连续性.高数 · 1.函数、极限、连续 9.设 第 13 页，共200页 f ( x ) 在  a , b  上连续,且 a  c  d  b ,证明: 在 ( a , b ) 内必存在一点  ,使得 m f ( c ) n f ( d ) ( m n ) f ( )  + = + ,其中 m,n 为任意给定的自然数. 10.设 x 1 = a ( a  0 ) , x n + 1 = a + x n ,证明: lim n x n  → 存在,并求其值. 11.设 x 1 = a  0 , y 1 = b  0 , a  b , x n + 1 = x n y n , y n + 1 = x n + 2 y n ( n = 1 , 2 , ) ,证明: lim n x n lim n y n   → = → .高数 · 1.函数、极限、连续 综合题 一、选择题 1. 第 14 页，共200页 lim x 1 e 1 x sin k 1x 1 1 1 x a 0  →  +  − −  +  =  成立的充要条件是（ ）. A. k  1 B. k 1 C. k  0 D. 与 k 无关 2.已知 lim x → 0 2 a r c ta n x x − p ln 1 1 + − x x = c  0 ,则（ ）. A. p = 3 , c = − 4 3 B. p = − 3 , c = 4 3 C. p = 4 3 , c = 3 D. p = − 4 3 , c = − 3 3.设当 x→0 时, ( x ) ta n x s in x , ( x ) 1 x 2 1 x 2 , ( x ) 1 0 co sxs in td t    = − = + − − =  − 都是无穷小, 将它们关于 x 的阶数从低到高排列,正确的顺序为 ( ). A. ( x ) , ( x ) , ( x )    B. ( x ) , ( x ) , ( x )    C. (x),(x),(x) D. (x),(x),(x)高数 · 1.函数、极限、连续 4.设 第 15 页，共200页 y = y ( x ) 是方程 y  + 2 y  + y = e 3 x 的解,且满足 y ( 0 ) = y  ( 0 ) = 0 ,则当 x → 0 时,与 y ( x ) 为 等价无穷小的是 ( ). A. s in x 2 B. s in x C. ln ( 1 + x 2 ) D. ln 1+x2 5.设 F ( x ) =  f f ( x( x 0 ) ) , , x x  = 0 0 , , 其中 f ( x ) 在x=0处可导,且 f  ( 0 )  0 , f ( 0 ) = 0 ,则 ( ) . A. x = 0 是 F(x) 的连续点 B. x = 0 是 F ( x ) 的第一类间断点 C. x = 0 是 F(x) 的第二类间断点 D. 以上说法均错误 6.设 f ( x ) =  ( 0 x , + 1 ) a r c ta n x 2 1 − 1 , x x  =   1 1 , , 则 f (x) ( ). A. 在 x=1,x=−1 处都连续 B. 在 x=1,x=−1 处都间断 C. 在 x=−1 处间断, x = 1 处连续 D. 在 x=−1 处连续, x = 1 处间断高数 · 1.函数、极限、连续 7.下列结论中错误的是 ( ). A. 设 lima =a1 ,则存在 n n→ 第 16 页，共200页 M  1 ,当 n 充分大时,有 a M n B. 设 a lim n a n lim n b n b   = →  → = ,则当 n 充分大时,有 a n  b n C. 设 M  a n  N ( n = 1 , 2 , ) ,若 lim n a n a  → = ,则 M  a  N D. 若 lim n a n a 0  → =  ,则当 n 充分大时, a n  a − 1 n 8.设  x n  与  y n  为两个数列,则下列说法正确的是（ ）. A. 若  x n  与  y n  无界,则  x n + y n  无界 B. 若  x n  与  y n  无界,则  x n y n  无界 C. 若 x  与 n  y n  中,一个有界,一个无界,则  x n y n  无界 D. 若  x n  与  y n  均为无穷大,则  x n y n  一定为无穷大 9.[25新增]设 x  为数列,则下列结论正确的是 ( ) n ① 若  a r c ta n x n  收敛,则 x  收敛; n ② 若 arctanx  单调,则 x  收敛; n n ③ 若 x −1,1 ,且 n  x n  收敛,则 arcsinx  收敛; n ④ 若 x n   − 1 ,1  ,且 x  单调,则 n  a r c s in x n  收敛. A.①② B.③④ C.①③ D. ②④高数 · 1.函数、极限、连续 10.下列极限存在的是 ( ). 1 A. lim B. 1 x→1 1+21−x 第 17 页，共200页 lim x 1 s in x x x  → +  +  C. lim n n ( 1 ) n ( n 1 )  →  + − +  D. lim n 1 2 1 1 2 2 1 n 2 1n  →  + + +  11.设 f ( x ) 在 ( , )   − + 内为连续的奇函数, a 为常数,则必为偶函数的是 ( ). A.  xd0 u  u tf a ( t ) d t x u B.  du f (t)dt a 0 x u x u C.  du f (t)dt D.  du tf (t)dt 0 a a 0 x+2tx 12.设 f (x)= lim ,则 t→+1+2tx F ( x ) =  x − 1 f ( t ) d t 在 x=0 处（ ）. A. 可导 B. 间断点 C. 不可导但连续 D. 无法判定高数 · 1.函数、极限、连续 13.设 第 18 页，共200页 f ( x ) ( 0 x x , 3 ( 1 1 ) s x in x ) 2 , x x 0 0 , , x ( , )   =  − +  =  − + ,则 ( ) A. f ( x ) 在 ( , )   − + 内有界 B. 存在 X  0 ,当 x  X 时, f ( x ) 有界,当 x  X 时, f ( x ) 无界 C. 存在 X 0 ,当 x  X 时, f ( x ) 无界,当 x  X 时, f ( x ) 有界 D. 对任意 X  0 ,当 x  X 时, f ( x ) 有界,但在 ( , )   − + 内无界 二、填空题 1.当 x → 0 时, f (x)=3x−4sinx+sinxcosx 是关于 x 的______阶无穷小. 2.极限 lim x → 0 ( c o 2 x 2 s x + − 1 e − x ) 2 1 s + in x x 2 2 = ________ .高数 · 1.函数、极限、连续 3.设 第 19 页，共200页 f ( x ) 是连续函数, lim x → 0 1 f − ( c x o ) s x = − 1 sin2x ,当 x→0 时,  f (t)dt 是关于 0 x 的 n 阶 无穷小,则 n=________ . 4.设 a n = 3 2  n 0 n+ 1 x n − 1 1 + x n d x ,则 lim n n a n  → = _________. 5.设 k  1 2 n n−2nk+1 ,则 limln  =________ . n→  n(1−2k) 高数 · 1.函数、极限、连续 6.设 第 20 页，共200页 0  a 1  a 2 ,则 lim n ( a 1 n a 2 n ) 1 n  → − + − = ________ . 7.设 lim x ( 3 1 x 6 a x 2 b ) 0  → − − − = ,则 a=________ ,b= ________ .   2  ln1+ex       8.设 limax+ =b,其中 x→0  1  ln1+ex        x  表示不超过 x 的最大整数,则 a = ____ ,b=______.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 1.函数、极限、连续 9.已知连续函数 第 21 页，共200页 y = f ( x ) 关于点 ( a , 0 ) ( a  0 ) 对称,则对常数 c , I =  c − c f ( a − x ) d x = ________ . 三、解答题 1.设数列 a  满足 n lim n a na n 1 q  → + = ,且 q  1 ,证明: lima =0 . n n→ 1 2.设 a =22k,u =aa a (n=1,2, ) ,求 k n 1 2 n lim n u n  → .高数 · 1.函数、极限、连续 3.设数列 第 22 页，共200页 x n = ( 1 + a ) n + ( 1 − a ) n ,证明: lim n x nx n 1 1 1 , a , a a 0 0 , .  → + =  +  = 4.证明: lim n n a n1 a n2 a nk m a x  a 1 , a 2 , , a k  ( a i 0 , i 1 , 2 , , k )  → + + + =  = .高数 · 1.函数、极限、连续 5.(I) 设 第 23 页，共200页 x 1 = 1 , x 2 = 2 , x n + 2 = 1 2 ( 3 x n + 1 − x n ) ( n = 1 , 2 , ) ,求 lim n x n  → . (II) 设 x 1 = 1 , x 2 = 2 , x n + 2 = 1 2 ( x n + x n + 1 ) ,求 lim n x n  → . 6.设 f (x)=1−(1−cosx)n(n=1,2, ) . n (I) 证明:方程 f n ( x ) = 1 2 在 0 , 2    内有且仅有一个实根 x n ; (II) 设 x n 0 , 2     ,满足 f n ( x n ) = 1 2 ,证明: a r c c o s 1 n x n 2    ,且 lim n x n 2   → = .高数 · 1.函数、极限、连续 7.(I) 证明:方程 第 24 页，共200页 x = 1 + 2 ln x 在 ( e , )  + 内有唯一实根  ; (II) 取 x 0 ( e , )   ,令 x n = 1 + 2 ln x n − 1 ( n = 1 , 2 , ) ,证明: limx = . n n→ 8.设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) ,证明: (I) 至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) f 1 2   =  +  ;  1 (II) 至少存在一点 (0,1) ,使得 f ()= f  +  (  n n  2 为自然数).高数 · 1.函数、极限、连续 9.[25新增]设 第 25 页，共200页 f n ( x ) = x n − c o s x ( n = 1 , 2 , ) . (I) 证明方程 f n ( x ) = 0 在 x  ( 0 ,1 ) 内有唯一的实根 x n ; 1 (II) 求 lim(1−x ) n lncosx n . n n→ 10.计算极限 lim x → 0  x 0  ( 3 + 2 e ta n 3 3 x t − t ) 1 − 3 t  d t .高数 · 1.函数、极限、连续 11.设 第 26 页，共200页 0 x 1 , x n 1 s in x n    + = . (I) 证明: lim n x n  → 存在,并求值; (II) 求 lim n x nx n 1 12 xn  →  +  . 1  1 1 12.设 ln 1+  ,证明: 极限   n+1  n n lim n 1 1 2 1 n ln n  →  + + + −  存在.高数 · 1.函数、极限、连续 13.设 第 27 页，共200页 x 1  0 ,数列  x n  满足 x n + 1 = ln ( e xn − 1 ) − ln x n ,证明: lim n x n  → 存在,并求值. 14.求下列极限: (I) 当 x  1 时,求 lim n ( 1 x ) ( 1 x 2 ) ( 1 x 4 ) ( 1 x 2 n )  → + + + + ; (II) 当 x 0 时,求 lim n c o s x 2 c o s x 4 c o s x n 2  → ; (III) lim x 2 ( 1 s in x ) ( 1 ( 1 3 s s in in x x ) ) n 1 ( 1 n s in x )  → − − − − − .高数 · 1.函数、极限、连续 15.求下列极限:  f (x) ln1+   sinx  1 f (x) (I) 设 lim = (a0,a1) ,求 lim ; x→0 ax −1 2 x→0 x2 (II) 设 第 28 页，共200页 f ( x ) 是三次多项式,且有 lim x → 2 a x f ( − x 2 ) a = lim x → 4 a x f ( − x 4 ) a = 1 ( a  0 ) ,求 lim x → 3 a x f ( − x 3 ) a . 16.设 f ( x ) 在 ( a , b ) 内连续,且 lim x a f ( x ) , lim x b f ( x )   → + = − → − = − ,证明: f (x) 在 ( a , b ) 内有最大值.高数 · 1.函数、极限、连续 拓展题 1.设 第 29 页，共200页 f ( x ) 在  a , b  上可导,且 f  ( x )  1 ,当 x   a , b  1 时,有a f (x)b,F(x)= x+ f (x),证   2 明: (I) 存在 x *  ( a , b ) ,使得 F ( x * ) = x * ; (II) 对 x 0   a , b  ,数列  x n  满足 x n + 1 = F ( x n ) ( n = 0 ,1 , 2 , ) ,有 lim n x n x *  → = . 2.(I) 设 f ( x ) 是  0 , )  + 上单调减少且非负的连续函数.证明: f ( k + 1 )   k k + 1 f ( x ) d x  f ( k ) ( k = 1 , 2 , ) ; (II) 证明: ln ( 1 + n )  1 + 1 2 + + 1 n  1 + ln n ,并求极限 lim n 1 1 2 ln n 1 n  → + + + .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 第二章 一元函数微分学及其应用 基础题 一、选择题 1−cosx , x0,  1.设 f (x)= x 其中  x2(x), x0,  第 30 页，共200页 ( x )  是有界函数,则 f ( x ) 在 x = 0 处（ ）. A. 可导 B. 连续, 但不可导 C. 极限存在, 但不连续 D. 极限不存在 2.设 f  ( x ) 存在, a , b 为任意实数,则 lim  x → 0 f ( x + a  x ) −  x f ( x − b  x ) = ( ) . A. ( a + b ) f  ( x ) B. ( a − b ) f  ( x ) C. a f  ( x ) D. bf(x) x 3.设 f (x)= ,则 1+x+1 f ( x ) 在 x=0 处( ). A. 连续且可导 B. 右连续但右导数不存在 C. 右连续且右导数存在 D. 右极限存在且右导数存在公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 4. 第 31 页，共200页 f ( x ) = ( x 2 + 3 x + 2 ) x 3 − x 不可导点的个数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.下列函数中,在 x = 0 处不可导的是 ( ). A. f ( x ) = x s in x B. f ( x ) = x s in x C. f ( x ) = c o s x D. f ( x ) = c o s x 1 6.设 f (x)可导且 f(x )= ,则当 0 2  x → 0 时, f (x)在x 处的微分dy是x的（ ）无穷小. 0 A. 等价 B. 同阶 C. 低阶 D. 高阶高数 · 2.一元函数微分学及其应用 7.设 第 32 页，共200页 f ( − x ) = − f ( x ) ,且在 ( 0 , )  + 内, f  ( x )  0 , f  ( x )  0 ,则 f ( x ) 在 ( , 0 )  − 内必有( ) . A. f  ( x )  0 , f  ( x )  0 B. f  ( x )  0 , f  ( x )  0 C. f  ( x )  0 , f  ( x )  0 D. f  ( x )  0 , f  ( x )  0 8.[25新增]设 f ( x ) 在 −1,1 上二阶可导,且 f  ( x )  0 ,  1 − 1 f ( x ) = 2 ,则 ( ) . A. f ( 0 )  0 B. f ( 0 )  0 C. f (0)1 D. f ( 0 )  1 9.设 f ( x ) f (x) 在x=0的某邻域内连续, f (0)=0,lim =2,则 x→01−cosx f ( x ) 在 x=0 处（ ）. A. 不可导 B. 可导且 f  ( 0 )  0 C. 有极小值 D. 有极大值高数 · 2.一元函数微分学及其应用 10. 第 33 页，共200页 y = ( x − 1 ) 2 ( x − 3 ) 2 的拐点个数为 ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11.设 f  ( x 0 ) = f  ( x 0 ) = 0 , f  ( x 0 )  0 ,则下列选项正确的是（ ）. A. x 0 是 f ( x ) 的极值点 B. f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极大值 C. f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极小值 D. ( x 0 , f ( x 0 ) ) 是 y = f ( x ) 的拐点 12.设 f ( x ) 有一阶连续导数, F ( x ) = f ( x ) ( 1 + s in x ) ,则 f ( 0 ) = 0 是 F ( x ) 在 x=0 处 可导的 ( ). A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件高数 · 2.一元函数微分学及其应用 13.设 第 34 页，共200页 f ( x ) 有任意阶导数,且 f  ( x ) = f 2 ( x ) ,则 f (n ) ( x ) = ( ) ( n  3 ) . A. n ! f n + 1 ( x ) B. n f n + 1 ( x ) C. f 2 n ( x ) D. n ! f 2 n ( x ) 14.设 y = ln ( 1 − 2 x ) ,则 y (1 0 ) = ( ) . A. ( 1 − − 9 2 ! x 1) 0 B. ( 1 − 9 2 ! x 1) 0 C. ( − 1 9 − ! 2 2 x 1 0 1) 0 D. ( 1 1 0 − ! 2 2 x 9 1) 0 15.设 0 , f ( x )   在 ( , )  − 内有定义,当 x ( , )   − 时,有 f (x) x2 ,则 x = 0 是 f ( x ) 的 ( ) . A. 间断点 B. 连续但不可导点 C. 可导点且 f(0)=0 D. 可导点且 f(0)0高数 · 2.一元函数微分学及其应用 16.设 第 35 页，共200页 f ( x ) 连续,且 f  ( x 0 )  0 ,则存在 0   ,使得 ( ) A. 对任意 x ( x 0 , x 0 )   − ,有 f ( x )  f ( x 0 ) B. 对任意 x ( x 0 , x 0 )   + ,有 f ( x )  f ( x 0 ) C. f ( x ) 在 ( x 0 , x 0 )  − 内单调减少 D. f (x) 在 (x ,x +) 内单调增加 0 0 17.已知 y = x 3 + a x 2 + b x + c 在 x = − 2 处取得极值,且与直线 y=−3x+3 相切于点 ( 1 , 0 ) , 则 ( ). A. a = 1 , b = − 8 , c = 6 B. a = − 1 , b = − 8 , c = − 6 C. a = 1 , b = 8 , c = − 6 D. a = − 1 , b = 8 , c = − 6 18.设 f  ( x ) = ( x 2 − 1 1 ) + ( x x 2 + 3 ) ,则 f ( x ) ( ) . A. 在 x = 1 , x = − 3 处取得极大值,在 x=−1 处取得极小值 B. 在 x = − 1 处取得极大值,在 x = 1 , x = − 3 处取得极小值 C. 在 x = − 1 , x = 1 , x = − 3 处都取得极小值 D. 在 x=−1,x=−3,x=1 处都取得极大值高数 · 2.一元函数微分学及其应用 19.曲线 第 36 页，共200页 y = 1 1 + − e e − − x x 2 2 渐近线的条数为 ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 20.曲线 y = 1 1 + − e e − − x x 2 2 的渐近线条数为 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 21.曲线 y = x 2 − a 2 的渐近线的条数为 ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3高数 · 2.一元函数微分学及其应用 二、填空题 1. 第 37 页，共200页 f ( x ) =  a a r c x ta + n b 1 x , , x x   0 0 , 在 x = 0 处可导,则 a = ________ . 2.设 f ( x ) 在 x = 0 处可导,且 f  ( 0 ) = 2 , f ( 0 ) = 0 ,则 lim x → 0 ( f ln 1( − 1 + c o x s 2 x) ) = ________ . 3.设 y = f ( x ) y−x t  1  由方程 x= sin2   dt 确定,则 limn  f  −1  =________ . 1  4  n→  n 高数 · 2.一元函数微分学及其应用 4.设函数 第 38 页，共200页 f ( x ) 有连续导数,且 lim x → 0  s in 2 x x + f ( x x )  = 2 ,则 f (x) 的一阶麦克劳林展开式为 ________ . 5.设函数 f (x) 在 ( , )   − + 内连续, f(x) 的图形如图所示,则曲线 y= f (x) 的拐点个 数为________ . 6.设 f  ( 0 ) 存在, f (0)=0 ,且 lim x → 0  1 + 1 − c o s s in f x ( x )  1x = e ,则 f(0)=________ .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 7.当 第 39 页，共200页 x → 0 时, x − s in x c o s x 与 axb 为等价无穷小,则 a = _ _ _ _ _ _ _ , b = _ _ _ _ _ _ _ . 8.当 x → 0 时, e x + ln ( 1 − x ) − 1 与 x n 是同阶无穷小,则 n = ________ . 9.曲线 y = e − x 2 的上凸区间是_________高数 · 2.一元函数微分学及其应用 10.曲线 第 40 页，共200页 y = ( 2 x − 1 ) e 1x 的斜渐近线方程为________ . x 11.设 f (x)=n2en −(1+n)x 在 x = x n 处有水平切线,则 limex n =________ . n→ 12.设连续函数 y = f ( x ) 在点 ( 1 , 0 ) 处满足  y =  x + o (  x ) ex  f (t)dt ,则极限lim 1 = x→0x2 +ln ( 1+x3) ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 13.设 第 41 页，共200页 f ( x ) = x ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) ( 1 0 0 x − 9 9 ) ,则 f  ( 0 ) = ________ . 14.设 d d x  f ( x 3 )  = 1 x ,则 f  ( x ) = ________ . 15.设 f ( x ) = 1 1 x − 0 x ,则 f (10)(x)=________ .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 16.设 第 42 页，共200页 f ( x ) 可导,且 lim x → 0 f ( 1 ) − 2 f x ( 1 − x ) = − 1 ,则曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1, f (1)) 处的切线斜 率为________ . 17.设 f ( x ) = c o s x + x 2 x 在 x = 0 处存在的最高阶导数的阶数为________ . 三、解答题 1.计算下列函数的导数 1 (I) y= (II) y=xaa +axa +aax (a0) ; 3 x3 x高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (III) 第 43 页，共200页 y = 2 sin x ; (IV) y = ln ta n x + s e c x . 2.求下列函数的导数: (I) y = ( 1 + x 2 ) sin x ; (II) y = ln x + 1 x 2 + 1 . 3.求下列函数的微分: (I) y a r c ta n 1 x  =   ,其中  可导,求 d y ;高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (II) 设 第 44 页，共200页 y = y ( x ) 由 ex+y −ysinx=0 确定,求 dy; 4.设 y= y(x) 由方程 x 2 + y 2 = e arctan yx 确定,求 d d 2 x y 2 .  1 xksin , x0, 5.设 f (x)= x  0, x=0. (I) 当 k 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处不可导; (II) 当 k 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处可导,但导函数不连续; (III) 当 k 为何值时, f ( x ) 在 x=0 处导函数连续.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 6.设 第 45 页，共200页 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 内满足 f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) ,且 f(1)=1 ,证明: f ( x ) 在 ( 0 , )  + 内可导,并 求 f ( x ) . 7.设 f ( x ) =  e 0 − , 12 x , x x  = 0 0 , , 求 f (n ) ( 0 ) . 8.设气压以100cm3/s的速率注入球状气球，求当半径为 1 0 c m 时，气球半径增加的速率(设气 体压力不变)高数 · 2.一元函数微分学及其应用 9.一动点 第 46 页，共200页 P 在曲线 9 y = 4 x 2 上运动,已知点 P 横坐标变化速率为 30cm/s ,当点 P 经 过 (3,4) 时,从原点到点 P 的距离 S 变化率为多少? (设坐标轴的单位长为 1cm ) 10.设 f ( x ) 二阶可导, f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 , f  ( 0 ) = 2 ,求 lim x → 0 f ( x x )2 − x .  1+x2, 0x1, 11.证明: f (x)= 满足拉格朗日中值定理,并求满足定理的  的值. 1−x2, −1x0高数 · 2.一元函数微分学及其应用 12.设 第 47 页，共200页 f ( x ) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内可导, 0  a  b ,且 f (a)= f (b)=0 ,证明: (I) 至少存在一点 ( a , b )   ,使得 2 f ( ) f ( ) 0    +  = ; (II) 至少存在一点 ( a , b )   ,使得 2 f ( ) f ( ) 0    −  = . 13.设 f ( x ) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内可导, 0  a  b ,且 f (a)=0 ,证明: 至少存在 一点 ( a , b )   ,使得 af ()+(−b) f()=0 . 14.设 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续,在 ( 0 , )  + 内可导,且 f ( 0 ) 0 , lim x f ( x ) 0  = → + = ,证明: 至 少存在一点 (0,+) ,使得 f()=0 .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 15.设 第 48 页，共200页 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续,在 ( 0 , )  + 内可导,且 0  f ( x )  1 + x x 2 ,证明: 至少存在 一点 ( 0 , )    + ,使得 f ( ) ( 1 1 2 ) 2 2     = − + . 16.设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f  ( x )  0 , f ( 0 ) = 0 ,证明: 对任意 x 0   0 ,1  x  ,有 f (x )2f 0 . 0   2   17.设 f ( x ) 在  0 ,1  上可导, f (0)=0, f (1)=1 ,且 f ( x ) 不恒等于 x ,证明: 存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 1    .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 18.设 第 49 页，共200页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 . 证明; (I) 存在 x 0  ( 0 ,1 ) ,使得 f ( x 0 ) = 2 ( 1 − x 0 ) ; (II) 存在两点 , ( 0 ,1 )   ,且    ,使得 f ( ) 1 f ( ) 2     +   = . 19.设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,已知在 ( 0 ,1 ) 内,对任意 x 1  x 2 ,有 f  x 1 + 2 x 2   f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) ,证明: 在 ( 0 ,1 ) 内存在 1 2    ,使得 f ( 1 ) f ( 2 )      .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 20.设 第 50 页，共200页 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导, f  ( x )  1 , f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内取得最小值,证明: f  ( 0 ) + f  ( 1 )  1 . 21.设 f ( x ) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内可导, f ( a ) = f ( b ) ,且 f (x) 在  a , b  上不恒 为常数. 证明: 存在相异的 , ( a , b )   ,使得 f ( ) f ( ) 0       . 22.设 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 2  1 12 f ( x ) d x ,证明: (I) 至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0   = ; (II) 对    R ,至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) f ( ) 0     −  = .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 23.设 第 51 页，共200页 f ( x ) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内可导, 0  a  b ,证明: 存在 ,(a,b) ,使得 2 f ( ) ( b a ) f ( ) .     = +  24.设 a , b 为正数,证明: 至少存在一点 ( a , b )   aeb −bea ,使得 =e(1−) . a−b 25.证明下列不等式: (I) 当 0x 时,有 s in x 2 x   ;高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (II) 当 第 52 页，共200页 e  a  b 时,有 a b  b a ; (III) 当 x  0 时,有 ( x 2 − 1 ) ln x  ( x − 1 ) 2 ; (IV) 若 lim x → 0 f ( x x ) = 1 ,且 f(x)0 ,有 f (x)x .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 26.求函数 第 53 页，共200页 y ( x 1 ) e 2 arcta n x  = − + 的单调区间与极值,并求其渐近线. 27.设 f ( x ) =  x x 2 x + , 2 , x x   0 0 , , 求 f ( x ) 的单调区间与极值. 28.求曲线 y = 4 x 2 + x ln  2 + 1 x  的全部渐近线.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 29.证明:方程 第 54 页，共200页 2 x − x 2 − 1 = 0 有且仅有三个不同实根. x  30.证明:方程 lnx= − 1−cos2xdx 在 e 0 ( 0 , )  + 内有且仅有两个不同实根. 31.讨论曲线 y = 4 ln x + k 与 y = 4 x + ln 4 x 交点的个数.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 综合题 选择题 1.设 第 55 页，共200页 f ( x ) 在 ( 1 ,1 ) ( 0 )    − +  内存在导数, f  ( x ) 严格单调减少,且 f (1)= f(1)=1 , 则 ( ) . A. 在 ( 1 ,1 )  − 和 ( 1 ,1 )  + 内,均有 f ( x )  x B. 在 (1−,1) 和 (1,1+) 内,均有 f ( x )  x C. 在 ( 1 ,1 )  − 内, f ( x )  x ; 在 ( 1 ,1 )  + 内, f (x)x D. 在 ( 1 ,1 )  − 内, f ( x )  x ; 在 ( 1 ,1 )  + 内, f (x)x 2.设 f ( x ) 在 0,+) 上二阶可导, f ( 0 ) = 0 , f  ( x )  0 ,当 0axb 时,有 ( ) . A. a f ( x )  x f ( a ) B. b f ( x )  x f ( b ) C. x f ( x )  b f ( b ) D. xf (x)af (a) 3.设 f (x)在a,b上可导, f (x)在x=a处取得最小值,在 x = b 处取得最大值,则( ) . A. f'(a)0 且 f'(b)0 B. f'(a)0 且 f'(b)0 + − + − C. f'(a)0 且 f'(b)0 D. f'(a)0 且 f'(b)0 + − + −高数 · 2.一元函数微分学及其应用 4.设 第 56 页，共200页 f ( x ) 在  0 ,1  上有二阶导数,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) , f  ( x )  0 ,则下列选项正确的是 ( ) . A. 至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0  = B. 在 ( 0 ,1 ) 内, f  ( x )  0 C. 存在唯一一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0   = D. 至少存在不同两点 , (0,1) ,使得 f()= f()=0 1 2 1 2 5.设 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内有定义,则 F ( x ) = f ( x ) s in x 在 x=0 处可导的充要条件 是 ( ). A. lim f (x) 存在 x→0 B. lim f (x)= f (0) x→0 C. f ( x ) 在 x = 0 处可导 D. lim f (x) 与 lim f (x) 均存在,且 x→0− x→0+ lim x → 0 − f ( x ) = − lim x → 0 + f ( x ) 6.[25新增]设 f ( x ) 在 ( , )   − + 内是连续的奇函数, F ( x ) =  0 x f ( t )d t , 则正确的是 ( ). A. F(x) 是不可导的奇函数 B. F(x) 是可导的偶函数 C. F(x) 是不可导的偶函数 D. F(x) 是可导的奇函数高数 · 2.一元函数微分学及其应用 7.设 第 57 页，共200页 y = f ( x ) 在 x 0 的某邻域内有四阶连续导数,且 f  ( x 0 ) = f  ( x 0 ) = f  ( x 0 ) = 0 ,且 f (4)(x )0 ,则 ( ). 0 A. f (x) 在 x 0 处取得极小值 B. f (x) 在 x 0 处取得极大值 C. ( x 0 , f ( x 0 ) ) 是 y = f ( x ) 的拐点 D. f ( x ) 在 x 的某邻域内单调减少 0 8.设 f ( x ) 在 x 0 f (x)− f (x ) 的某邻域内连续,且 lim 0 =1 ,则 x→x 0 (x−x 0 )n ( ) . A. 当 n 为奇数时, x 0 是 f ( x ) 的极大值点 B. 当 n 为奇数时, x 0 是 f ( x ) 的极小值点 C. 当 n 为偶数时, x 0 是 f ( x ) 的极小值点 D. 当 n 为偶数时, x 是 0 f ( x ) 的极大值点 9.设 f ( x ) 在 ( , )   − + 内可导,则下列命题正确的是 ( ) . A. 若 lim x f ( x )   → − = − ,则必有 lim x f ( x )   → −  = − B. 若 lim f(x)=− ,则必有 lim f (x)=− x→− x→− C. 若 lim x f ( x )   → + = + ,则必有 lim f(x)=+ x→+ D. 若 lim x f ( x )   → +  = + ,则必有 lim f (x)=+ x→+高数 · 2.一元函数微分学及其应用 10.设 第 58 页，共200页 k  0 ,方程 ln x − x e + k = 0 在 ( 0 , )  + 内不同实根的个数为 ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11.设当 x  0 时,方程 k x + 1 x 2 = 1 有且只有一个实根,则 ( ). A. k  2 9 3 B. k  2 9 3 2 2 C. k = 3 D. k =− 3 9 9 12.设 f ( x ) 在 0,+) 上二阶可导, f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 )  0 , f  ( x )  M  0 ,则方程 f (x)=0 在 ( 0 , )  + 内不同实根的个数为 ( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0高数 · 2.一元函数微分学及其应用 13.设可导函数 f (x),x0,1满足 第 59 页，共200页 f  ( x )  M  0 ,且 f  1 2   0 ,则在区间 ( ) 上,有 f ( x )  1 4 M A.  0 , 1 4  B.  1 4 , 1 2  C.  1 2 , 3 4  3  D. ,1   4  二、填空题 1.设函数 f ( x ) ta n 4 x 1 ta n 4 x 2 2 ta n 4 x 1 0 0 1 0 0    =    −     −     −  ,则 f  ( 1 ) = ________ . 2.设 f ( x ) = 3 x 2 + k x − 3 ,若对任意 x ( 0 , )   + ,都有 f ( x )  2 0 ,则 k 至少为________ .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 3.函数 第 60 页，共200页 y = e − x  1 + x + x 2 2 ! + + x n n !  ( n 为正奇数) 的极大值为________ . 4.已知 f (x)在 ( , )   − + 内可导,且 lim x f ( x ) e , lim x x x k k x lim x f ( x ) f ( x 1 )    →  = →  + −  = →  − −  ,则 k = ________ . 5.设 y = f ( x ) 在 ( , )  − 内连续,且其导函数 f(x) 的图形如图所示,其中 x = 0 和 x = x 5 是 f  ( x ) 的铅直渐近线,则 y= f (x) 极值点的个数为________ ,拐点的个数为 ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 6.设 第 61 页，共200页 f ( x ) 在 x = x 0 处可导,且 f ( x 0 )  0 ,则 lim x f x f 0 ( x 0 1 x) x  →   +   = ________ . 7.设 y = f ( x ) 在 x 0 处有三阶连续导数, f  ( x 0 ) = 1 , f  ( x 0 ) = 2 , f '''' ( x 0 ) = 3 , y = f ( x ) 有反函 数 x = g ( y ) ,且 y 0 = f ( x 0 ) ,则 g  ( y 0 ) = ________ . 三、解答题 1.设 f ( x ) =  a x ln 2 ( 1 + + b s in ) x , x + c , x x   0 0 , , 问 a , b , c 为何值时, f ( x ) 在 x=0 处一阶导数连续, 但二阶导数不存在?高数 · 2.一元函数微分学及其应用 2.设 第 62 页，共200页 z f ( x ) y 2  =  +  ,其中 x , y 满足 y e y x , f ,  + = 均具有二阶导数,求 d d z x , d d 2 x z 2 . 3.已知 f ( x ) 是周期为5的连续函数, f ( x ) 在 x = 1 的某邻域内满足 f ( 1 s in x ) 3 f ( 1 s in x ) 8 x ( x ) ,  + − − = + 其中 ( x )  是当 x → 0 时比 x 高阶的无穷小,且 f ( x ) 在 x = 1 处可导,求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 6 , f ( 6 ) ) 处的切线方程.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 4.设 第 63 页，共200页 f ( x ) =  x 0 , p s in 1 x , x x  = 0 0 , . (I) 当 p 为何值时, f (x) 在 x=0 处连续; (II) 当 p 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处可导; (III) 当 p 为何值时, f  ( x ) 在 x = 0 处连续. 5. 设 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导,且 lim x → 0 + f ( x x ) = lim x → 1 − f x ( − ) x 1 = 1 ,证明: (I) 至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0  = ; (II) 至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f()= f () .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 6.设 第 64 页，共200页 f ( x ) 与 g ( x ) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内可导,且 f ( a ) = g ( b ) = 0 ,证明: 至少 存在一点 (a,b) ,使得 f ( ) b g ( t ) d t g ( ) a f ( t ) d t 0       +   = 7.在 x = 0 的右邻域内,用多项式 e + a x + b x 2 近似表示函数 f ( x ) = ( 1 + x ) 1x ,使其误差是比 x 2 高阶的无穷小 ( x → 0 + ) ,求 a , b 的值. 8.设 f ( x ) 在  a , b  上可导,证明: (I) 若 f'(a)f'(b)0 ,则存在 + − ( a , b )   ,使得 f ( ) 0   = ; (II) 若 f'(a) f'(b) ,则对介于 f'(a) 和 f'(b) 之间的每个实数  ,都存在 + − + − ( a , b )   ,使得 f ( )    = .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 9.设函数 第 65 页，共200页 f ( x ) 在区间  a , b  上有二阶导数,且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , f '+ ( a ) f '− ( b )  0 .证明: 在 ( a , b ) 内存在两点  与  ,使得 f ( ) 0 , f ( ) 0   =  = . 10.设 f ( x ) 在 0,+) 上有二阶导数, f ( 0 ) = 0 , f '+ ( 0 )  0 , f  ( x )  M  0 ( x  0 ) . 证明: f ( x ) = 0 在 ( 0 , )  + 内有唯一实根.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 11.设 第 66 页，共200页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导, f ( x )  0 ,且 lim x → 0 − f ( x x + 1 ) 存在,证明: (I) 存在 ( 0 ,1 )   1−e 1 ,使得 =− ; e 1 f (t)dt ef () 0 (II) 存在 (0,1) ,使得 e 1 0 f ( t ) d t ( e 1 ) e ( 1 ) f ( )     = − −  . 12.设 f ( x ) 在 0,1 上具有二阶导数,且 f ( x )  a , f  ( x )  b ,其中 a , b 都是非负常数, c 是 ( 0 ,1 ) 内任一点. (I) 写出 f (x) 在 x = c 处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式; (II) 证明: f  ( c )  2 a + b 2 .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 13.证明下列结论: 1 x dt dt (I) 设 f (x)= +x (x0) ,则 01+t2 01+t2 第 67 页，共200页 f ( x ) 2  = ; (II) 当 x  1 1 2x  时, arctanx− arccos = . 2 1+x2 4 14.设函数 f ( x ) 有二阶连续导数,且 ( x − 1 ) f  ( x ) = 1 − e 1 − x + 2 ( x − 1 ) f  ( x ) ,证明: 当 x = x 0 是 f ( x ) 的极值点时, f ( x ) 在 x 0 处取得极小值. 15.设 f (x)=nx(1−x)n( n 为正整数),求 f (x)在0,1上的最大值M(n)及limM(n). n→高数 · 2.一元函数微分学及其应用 16.设曲线 第 68 页，共200页 y = 1 x 的一条切线与 x 轴和 y 轴围成一个平面图形 D ,如图所示. (I) 记切点的横坐标为 a ,求切线方程和图形 D 的面积; (II) 当切点沿曲线趋于无穷远时, 该面积的变化趋势如何? 17.设 f ( x ) = a r c ta n x ,求 f (n)(0) . 18.设 f ( x ) = a 1 s in x + a 2 s in 2 x + + a n s in n x ,其中 a 1 , a 2 , , a n 为实数, n 为正整数. (I) 求 f(0) ; (II) 若 f ( x )  s in x ,证明: a 1 + 2 a 2 + + n a n  1 .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 19.已知 第 69 页，共200页 f ( x ) 可导,证明: 曲线 y = f ( x ) ( f ( x )  0 ) 与曲线 y = f ( x ) s in x 在交点处相切. 20.确定 k 的取值,使方程 x 3 + 2 x 2 + x = k 有 3 个不同实根. 21.设 f ( x ) 有二阶连续导数, f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 , f  ( 0 )  0 , u = u ( x ) 是曲线 y = f ( x ) 在点 ( x , f ( x ) ) 处的切线在 x 轴上的截距,求 lim x → 0 u x( x ) .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 22.设 第 70 页，共200页 f ( x ) 在 x 0 的某邻域内有定义,证明: f ( x ) 在 x 0 处可导的充要条件是存在在 x=x 处连 续的函数 g(x) ,使得 f (x)− f (x )=(x−x )g(x) . 0 0 0 拓展题 解答题 1.已知函数 f ( x ) 在  0 , )  + 上有二阶连续导数, f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 ,且 x  0 , )   + ,有 f  ( x )  0 ,设 F ( x ) 是曲线 y = f ( x ) 上任一点 ( x , f ( x ) ) 处的切线在 x 轴的截距 ( x  0 ) ,求 lim x → 0 +  F ( x ) + F  ( x )  .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 2.设 第 71 页，共200页 f ( x ) 在  a , b  上有二阶连续导数,且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , M = ma  ax x b f  ( x ) . (I) 证明: ma  ax x b f ( x )  1 8 M ( b − a ) 2 ; (II) 证明: ma  ax x b f  ( x )  1 2 M ( b − a ) . 3.[25新增]设 f ( x ) 在 a,b 上有连续的导数,且 f  ( x )  0 ,假设 f f (x) 存在,证明:   存在 ( a , b )   ,使得 f f ( b ) f f ( a ) f ( ) 2 ( b a ) .    −   =    −高数 · 3.一元函数积分学及其应用 第三章 一元函数积分学及其应用 基础题 一、选择题 1.设 第 72 页，共200页 f ( x ) 是连续函数,且 f ( x )  0 ,若  x f ( x ) d x = a r c s in x + C dx ,则  =( ) . f (x) 3 3 A. 1( 1−x2) 2 +C B. 2( 1−x2) 2 +C 3 3 C. − 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 2 + C 3 D. − 2( 1−x2) 2 +C 3 2.设 f ( x ) 是连续函数, F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数,则（ ）. A. 当 f (x) 为奇函数时, F(x) 必为偶函数 B. 当 f ( x ) 为偶函数时, F ( x ) 必为奇函数 C. 当 f ( x ) 为周期函数时, F ( x ) 必为周期函数 D. 当 f ( x ) 为单调函数时, F ( x ) 必为单调函数 3.设 F ( x ) 是 s in x 2 的一个原函数,则 dF ( x2)=( ) .   A. s in x 4 d x B. sinx2d ( x2) C. 2 x s in x 2 d x D. 2xsinx4dx高数 · 3.一元函数积分学及其应用 4.设 第 73 页，共200页 f ( x ) s 2 in , x , 0 x x 2 , , F ( x ) x 0 f ( t ) d t    =      =  ,则 ( ) . A. x= 是 F(x) 的跳跃间断点 B. x= 是 F(x) 的可去间断点 C. F ( x ) 在 x  = 处连续但不可导 D. F ( x ) 在 x  = 处可导 5. [25新增] f ( x ) =  x c 2 o + s x 1 , , x x   0 0 , 的一个原函数为 ( ) A. F ( x ) =  1 3 s x in 3 x + + x , 1 , x x   0 0 B. F ( x ) =  1 3 s x in 3 x + + x 2 + , 1 , x x   0 0 C. F ( x ) =  1 3 s x in 3 x + , x + 1 , x x   0 0 D. F ( x ) =  1 3 s x in 3 x + , x , x x   0 0 6.设 f (x) 在 0,1 上连续, f (x)0, f(x)0,f(x)0 ,记 M =  1 0 f ( x ) d x , N = f ( 1 ) , 1 P= f (0)+ f (1) ,则 ( ).   2 A. M N P B. N M P C. PM N D. PN M高数 · 3.一元函数积分学及其应用 1 x t2 7.设 lim  dt=c ,且 c0 ,则 ( ). x→0sinx−ax b 1+t2 A. 第 74 页，共200页 a = 1 , b = 0 , c = − 2 B. a = 1 , b = − 2 , c = − 2 C. a = 0 , b = 1 , c = − 2 D. a = 1 , b = 1 , c = 1 8.设 f ( x ) 在  0 ,1  上可导,且 f  ( x )  0 ,则 ( ) . A. 当 0  u  1 时,  u 0 f ( x ) d x =  1 u0 f ( x ) d x B. 当 0  u  1 时,  u 0 f ( x ) d x   1 u0 f ( x ) d x C. 当 0  u  1 时,  u 0 f ( x ) d x   1 u0 f ( x ) d x D. 以上结果均不成立 9.下列反常积分收敛的是 ( ). A. 1 x 2 d x 1 x   + + B.  1 0 ln ( d 1 x + x ) C.  1 − 1 s d x in x + x D.  dx − 1+x2高数 · 3.一元函数积分学及其应用 二、填空题 1.设 第 75 页，共200页 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数, F 4 0    = ,当 4 x 2     时, F ( x ) f ( x ) = ( ln ta s in x c n o x s ) x F ( x )  0 , , 则 f (x)=________ . 2.设对任意 x ,有 f (x+4)= f (x),且 f  ( x ) = 1 + x , x   − 2 , 2  , f ( 0 ) = 1 ,则 f (9)=________ . 3.设 f ( x ) 在  a , b  上连续,若 x 0   a , b  , x   a , b  ,则极限 lim  x → 0 1  x  x x0  f ( t +  x ) − f ( t )  d t = ________.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 4. 第 76 页，共200页 f ( x ) = m a x  1 , x 2  在 (−,+) 内满足 F ( 0 ) = 1 的一个原函数为________ . 5.设 f ( x ) =  xs0 in ( x − t ) 2 d t ,则 f  ( x ) = _________ . 6.设 F ( x ) =  xtf 0 ( x 2 − t 2 ) d t , f ( x ) 是连续函数,则 F  ( x ) = ________ . 7.设 F(x)= x tf ( x2 −t2) dt,f (x) 在 0 x = 0 某邻域内可导,且 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 ,则 lim x → 0 F ( x 4 x ) = ________ .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 8.设 第 77 页，共200页 ( x ) 5 0 x s in t t d t , ( x ) sin 0 x ( 1 t ) 1t d t   =  =  + (x) ,则 lim =________ . x→0(x) 9.极限 lim x → 0  1 co tln sx 4 x td t = ________ . 10.极限 lim x → 0  x 0   u 0 2a r x c ta n ( 1 − ( 1 c o + s x t ) ) d t  d u = ________ .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 11.函数 第 78 页，共200页 y = 1 x − 2 x 2 在  1 2 , 2 3  上的平均值为________ . 12.曲线 y = 1 + x x 2 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体,将它在 x = 0 与 x ( 0 )  =  之间部分 的体积记为 V ( )  ,且 V ( a ) 1 2 lim V ( )    = → + ,则 a = ________ . 13.由曲线 y = ln x 与两直线 y = ( e + 1 ) − x 及 y = 0 所围平面图形的面积 S = ________ .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 14.设 第 79 页，共200页 D 是由曲线 y = s in x + 1 与直线 x 0 , x , y 0  = = = 所围平面图形,则 D 绕 x 轴旋 转一周所得旋转体的体积 V = ________ . 15.设 n 为正数, lim x 0 n n x x 2 x 1 x x e 4 x d x  →  − +  =  + − ,则 n = ________ . 三、解答题 1.求下列积分 (I)  2 9 x x  − 3 4 x x d x (II)  x 2 ( d 1 x − x 4 ) ;高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 80 页，共200页  x 4 ( d 1 x + x 2 ) ; (IV)  x a 2 r c( 1 ta + n x 2 x ) d x ; (V)  x + ln x ( 1 2 − x ) d x ; 2.求下列积分: (I)  x ( 1 d + x x ) xex ; (II)  dx ; ex −1公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 81 页，共200页  1 x + 3 x 2 d x ; (IV)  ( 2 x 2 + d 1 x ) 1 + x 2 ; (V)  a r c ta x n x − x 1 − 1 d x ; (VI)  1 − x x x d x . 3.求下列积分: (I)  s in 2 d x x c o s 4 x dx ; (II)  ; 1+sinx高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 82 页，共200页  s in s x in + x c o s x d x ; (IV)  3 s s in in x x + + 2 c c o o s s x x d x ; (V)  s in 2 x d x + 2 s in x ; (VI)  a 2 s in 2 x d + x b 2 c o s 2 x ( a 2 + b 2  0 ) . 4.求下列积分: (I)  a r c ta n x d x ; (II)  ( 1 ln − x x ) 2 d x ;高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 83 页，共200页  ( x x 2 + x e 2 ) 2 d x (IV)  s in ( ln x )d x ; (V)  1 x 2 1 1 − + x x d x ; (VI)  e 2 x ( 1 + ta n x ) 2 d x . 5.求下列积分: (I) 4 4 x 2 ln 1 1 x x c o s x d x    −  + − −  ; (II)  1 − 1 ( 2 + s in x ) 1 − x 2 d x ;高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 84 页，共200页  2 − 2 ( x + x ) e − x d x ; (IV)  1 − 1 2 x 2 1 + + x ( e 1 x − + x e 2 − x ) d x . 6.求下列积分: (I)  2 0 ( x − 1 ) 2 2 x − x 2 d x ; (II) 0 ( e co sx e co sx ) d x   − − . 7.求下列积分: (I)  2 − m3 in  2 , x 2  d x ; (II)  x − 1 ( 1 − t ) d t ( x  − 1 ) ;高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 85 页，共200页  1 − 1 x − y e x d x ( y  1 ) ; (IV) 0 1 s in x d x   − . 8.求下列积分: (I) 2 2 ( x s in 2 x ) c o s 2 x d x    − + ; (II)  1 0 x ( 1 − x 4 ) 3 2 d x ; (III) 0 ts in td t   ; (IV)  1 0  2 x − x 2 + ( 1 − x 2 ) 3  d x高数 · 3.一元函数积分学及其应用 9.设 第 86 页，共200页 f ( x ) 在  0 ,   上有二阶连续导数, f ( 0 ) 2 , f ( ) 1  = = ,计算 I 0 f ( x ) f ( x ) s in x d x  =   +   . 10.计算下列积分: (I) 1 e x 1 d x e 3 x   + + + − ; (II)  3212 x d x − x 2 . 11.设 f ( x ) 在  0 , a  上具有二阶导数 ( a  0 ) ,且 f ( x )  0 , f  ( x )  0 ,证明: a a  f (x)dxaf .   0 2高数 · 3.一元函数积分学及其应用 12.设 第 87 页，共200页 f ( x ) 在  a , b  上连续且单调增加,证明:  b a x f ( x ) d x  a + 2 b  b a f ( x ) d x . 13.设 f ( x ) 在  a , b  上连续,且 y = f ( x ) 的图形关于直线 x = a + 2 b 对称,证明:  b a x f ( x ) d x = a + 2 b  b a f ( x ) d x . 14.设 f (x) 在 0,+) 上连续,且单调增加,证明: 当 0ab 时,有  b a x f ( x ) d x  1 2  b  b 0 f ( x ) d x − a  a 0 f ( x ) d x  .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 15.求 第 88 页，共200页 f ( x ) =  x 0 t 2 2 t − − t 1 + 1 d t 在  − 1 ,1  上的最大值与最小值. 16.设点 A ( a , 0 ) ( a  0 ) ,梯形 OABC 的面积为 S ,曲边梯形 OABC 的面积为 S ,其曲边 1 由 y = 1 2 + x 2 S 3 确定,证明:  . S 2 1   17.设曲线y=sinx  0x  ,直线y=k(0k 1)与x=0所围面积为  2 S 1 ,   y=sinx 0x ,    2 y = k 与 x 2  = 所围面积为 S 2 ,求 S = S 1 + S 2 的最小值.高数 · 3.一元函数积分学及其应用   18.设曲线 y=sinx 0x ,y=1 及 x=0 所围平面图形为    2 第 89 页，共200页 D 1 , y s in x ( 0 x )  =   及 y = 0 所围平面图形为 D 2 . (I) 求 D 1 绕直线 x 2  = 旋转一周所得体积 V 1 ; (II) 求 D 2 绕 y 轴旋转一周所得体积 V 2 . 19.设立体图形的底是介于 y=x2 −1 和 y = 0 之间的平面区域,而它的垂直于 x 轴的任一 截 面是等边三角形,求立体体积 V .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 综合题 一、选择题 1.设 第 90 页，共200页 F ( x ) x x 2 e sin t s in td t  =  +  ,则正确的是（ ）. A. F ( x ) 为正的常数 B. F ( x ) 为负的常数 C. F ( x ) 不是常数 D. F ( x ) 恒为零 2.设 0   ,在 ( , )  − 内有 f ( x ) x 2 , f ( x ) 0 , I f ( x ) d x      =  − ,则 ( ). A. I = 0 B. I  0 C. I  0 D. 不能确定   3.设 I =2sin(sinx)dx,I =2cos(sinx)dx ,则 1 2 0 0 A. I 1I B. I 1I C. 1I I D. I I 1 1 2 2 1 1 2 1 2公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 4.设 第 91 页，共200页 f ( x ) 二阶可导,则下列结论正确的是 ( ). ① 当 f  ( x )  0  时,则  f (x)sinxdx0; − ② 当 f  ( x )  0 时,则 f ( x ) s in x d x 0    −  ; ③ 当 f  ( x )  0 时,则 f ( x ) c o s x d x 0    −  ; ④ 当 f  ( x )  0 时,则 f ( x ) c o s x d x 0    −  . A.② ③ B. ① ② C.② ④ D. ① ④  1  + −cos 5.设反常积分  xke x −e−1dx 收敛,则正确的是（ ）.   1   A. k  − 1 B. k  − 1 C. k  1 D. k 1 6.设连续函数 f (x) 满足 f ( x ) = f ( 2 a − x ) ( a  0 ) , b 为常数,则 I =  b − b f ( a − x ) d x = ( ) . b b A. 2 f (2a−x)dx B. 2 f (2a−x)dx 0 −b b C. 2 f (a−x)dx D. 0 0高数 · 3.一元函数积分学及其应用 7.设 第 92 页，共200页 ( x ) x x 2 1 x 1 f ( t ) d t , f ( x )  = −  为连续函数,则 lim(x)=( ) . x→1 A. 1 B. f (1) C. 0 D. 不存在 8.设 f ( x ) 有连续导数, f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 6 , ( x ) x 0 3 f ( t ) d t , ( x ) x 0 f ( t ) d t 3   =  = =  =    ,则当 x → 0 时, ( x )  与 ( x )  是 ( ). A. 同阶无穷小 B. 等价无穷小 C. 高阶无穷小 D. 低阶无穷小 9.设 I = 1 s  st 0 f  t + x s  d x , s  0 , t  0 ,则正确的是（ ）. A. I 仅依赖于 s B. I 仅依赖于 t C. I 依赖于 s , t D. I 依赖于 s , t , x高数 · 3.一元函数积分学及其应用 10.设积分 第 93 页，共200页 I 1 x d x p ln q x ( p 0 , q 0 )  =  +   收敛,则 ( ) A. p1 且 q1 . B. p1 且 q1 C. p  1 且 q  1 D. p  1 且 q  1 二、填空题 1.由曲线 y=x(x−1)(2−x) 与 x 轴围成的平面图形的面积 A=________. 2.已知 f ( ex) =xe−x ,且 f ( 1 ) = 0 ,则 f (x)=________ .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 3.已知 第 94 页，共200页 f ( x ) 1 c o s 2 x , x 2 , 2 , f ( 0 ) 0    = −   −  = ,则 f ( x ) = ________ . 4.设 f ( x ) 连续, g ( x ) =  x 0 2 x f ( t ) d t ,且 g ( 1 ) = 1 , g  ( 1 ) = 5 ,则 f (1)=________ . 5.设 f ( 2 ) = 1 2 , f  ( 2 ) = 0 2 ,且  f (x)dx=1 ,则 0 I =  1 0 x 2 f  ( 2 x ) d x = ________ .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 6.设 第 95 页，共200页 f ( x ) =  xe0 co std t ,则 I 0 f ( x ) c o s x d x  =  = ________ . 7.设 0 s in x x d x 2    + = ,则 I 0 s in x 2 2 x d x  =  + = ________ . 8.反常积分 I 1 1 x ln x x 1 d x _ _ _ _ _ _ _ _ .  =  + + =高数 · 3.一元函数积分学及其应用 9. 第 96 页，共200页 0 ( 1 x ln x x 2 ) 2 d x   + + = ________ . 10.[25新增] lim n k n 1 1 n ln n 3 n 2 2 k k  →  = + − = ________ . 11.[25新增]已知曲线 y = y ( x ) 上任一点 ( x , y ) 处的切线斜率为 x 1 2 x − 1 ,且曲线通过点 ( − 2 , 0 ) ,则该曲 线方程为 y = ________ .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 三、解答题 1.求下列积分: (I) 设 第 97 页，共200页 f ( x ) =  x 1 1 d + t t 4 ,求 I =  1 0 x 2 f ( x ) d x ; (II) 设 f (x)= x2 e−t2 dt ,求 I = 1 xf (x)dx . 1 0 2.设 f ( s in 2 x ) = s x in x x ,求 I = f (x)dx . 1−x高数 · 3.一元函数积分学及其应用 3.计算积分 第 98 页，共200页 I =  e sin x  x c o s c 3 o x s − 2 x s in x d x . 4.计算 I e s in sin 4 x 4 s in 2 x 2 x d x  =  −   −  . ln(1+x) 5.设 f (lnx)= ,求 x I =  f ( x )d x .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 6.设 f(x)=arctan(x−1)2 ,f (0)=0 ,求 第 99 页，共200页 I =  1 0 f ( x ) d x . 7.设 f ( x ) 为连续的非负函数,满足 f ( x )  x 0 f ( x − t ) d t = c o s 4 x + x − 1 ,求 2 0 f ( x ) d x   . 8.求极限 lim x → 0 1 2  2 0 x 4 1 − + x 2 2 x u 3 2 − d u 1 − 2 x .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 9.设 第 100 页，共200页 f ( x ) 连续, lim x → 0 f ( x x ) = 2 ,求 lim x → 0  x 0 f  ( x xtf 0 ) ( f x ( − x t − ) ) t d t d t . 10.已知 0 e 2t d t 2    + − = ,求曲线 y=(5x+9) −x e−t2 dt+(7x−3) x e−t2 dt 的斜渐近线方程. 0 0 11.设 f ( x ) 在 ( , 0   − 上连续,且满足  xtf 0 ( t 2 − x 2 ) d t = 1 x + 2 x 2 − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) ,求函数 f ( x ) 及其极值.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 12.设 第 101 页，共200页 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 内一阶可导, g ( x ) 为 f ( x ) 的反函数,且 g ( x ) 连续,若 f(x) x−1  g(t)dt=x2ex −4e2 − f (t+1)dt, f (2)=1,求 1 1 f ( x ) 的表达式. 13.设 f ( x ) 在 1 , 2  上可导,且  xtf 0 ( 2 x − t ) d t = 1 2 a r c ta n x 2 , f (1 ) = 1 2 ,证明: 至少存在一点 ( 1 , 2 )   ,使得 f()=0 . 14.设 f ( x ) 满足 e − x − 2 x 2 = 1 +  x 0 f ( t − x ) d t ,求 f ( x ) 在 ( , )   − + 内的最值高数 · 3.一元函数积分学及其应用 15.求 第 102 页，共200页 f ( x ) =  x 0 2 ( 2 − t ) e − td t 的最大值和最小值. 16.证明: lim n 1 0 1 x n x d x 0  →  + = .  1 2 n   2n 2n 2n  17.求极限 lim + + +  . n→  n+1 n+ 1 n+ 1    2 n 18.求极限 lim n 1 n n n ( n 1 ) ( n 2 ) ( 2 n 1 )  → + + − .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 + 1 e−x + + 19.设  f (x)dx 收敛,且 f (x)= −  f (x)dx ,求  f (x)dx . 0 1+x2 1+ex 0 0 20.设 第 103 页，共200页 a n 4 0 ta n n x d x  =  ,证明: 2 ( n 1 + 1 )  a n  2 ( n 1 − 1 ) ( n  2 ) . 21.求积分 I n =  1 0 x ln n x d x （ n  0 且为整数）的递推关系,并计算 I . n高数 · 3.一元函数积分学及其应用 1 22.(I) 求积分 I = dx(n1,a0) 的递推关系; n ( x2 +a2)n (II) 计算 第 104 页，共200页 I =  ( x 2 3 + x 2 + x 4 + 2 ) 2 d x . 23.证明: f ( x ) =  x 0 ( t − t 2 ) s in 2 n td t ( x  0 ) 的最大值为 f ( 1 ) ,且 f ( 1 )  ( 2 n + 2 1) ( 2 n + 3 ) 24.设 f ( x ) 在  a , b  上有二阶连续导数,且 f (b)= f(b)=0,证明: b 1 b  f (x)dx=  f(x)(x−a)2 dx. a 2 a高数 · 3.一元函数积分学及其应用 25.设 第 105 页，共200页 f ( x ) 在  a , b  上二阶可导,且 f  ( x )  0 ,证明: f  a + 2 b   b 1 − a  b a f ( x ) d x  f ( a ) + 2 f ( b ) . 26.设 f ( x ) 在  a , b  ( a  b ) 上连续,且  b a f ( x ) d x =  b a x f ( x ) d x = 0 . 证明: 至少存在不同 的 1 , 2 ( a , b )    ,使得 f ( 1 ) f ( 2 ) 0   = = .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 27.设 第 106 页，共200页 f ( x ) 在 ( − a , a ) ( a  0 ) 内连续,且 f  ( 0 ) = A  0 . (I) 证明: 对 x  ( 0 , a ) ,存在 ( 0 ,1 )   x −x ,使得  f (t)dt+ f (t)dt=xf (x)− f (−x);   0 0 (II) 证明: lim x 0 1 2  → + = . 28.设 y = f ( x ) 在  0 ,1  上是非负连续函数. (I) 证明: 存在 x 0  ( 0 ,1 ) ,使得在  0 , x 0  上以 f (x ) 为高的矩形面积,等于在 0  x 0 ,1  上以 y= f (x) 为曲边的曲边梯形面积; (II) 又设 f (x)在(0,1)内可导,且 f  ( x )  − 2 f ( x x ) ,证明:(I)中的 x 0 是唯一的.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 29.设曲线 第 107 页，共200页 y = f ( x ) 上任一点 ( x , f ( x ) ) 处的切线斜率为 a 2 x 2 − 4 a x + 3 ,且 y = f ( x ) 在 x=1 处 取得极小值 0 . (I) 求 f ( x ) 及 f ( x ) 的其它极值; (II) 证明: 0   1 0 f ( u t ) d t  2 3 u , u  ( 0 ,1 ) . 30.设 f ( x ) 在 (−,+) 内连续,且满足 f ( x + T ) = f ( x ) , T  0 , f ( − x ) = f ( x ) . (I) 证明:  n 0 T x f ( x ) d x = n 2 2 T  T 0 f ( x ) d x ( n 为正整数); (II) 计算 I n 0 x c o s x d x  =  .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 31.设 第 108 页，共200页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内有连续导数,证明: lim a → 0 + 4 1 a 2  a − a  f ( t + a ) − f ( t − a )  d t = f  ( 0 ) 32.设曲线 y=a x(a0) 与 y = ln x 在点 (x ,y ) 处有公切线. 0 0 (I) 求常数 a 及点 ( x 0 , y 0 ) ; (II) 求两曲线与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 33.设 第 109 页，共200页 f ( x ) 在  a , b  上可导, f (a)0, f(x)0,S (x) 与 1 S 2 ( x ) 为如图所示阴影部分的 S () 面积, 证明: 存在唯一的  ,使得 1 =k ( S () 2 k 为正的常数) 34.设 y = y ( x ) 由 4 y =  2 0 x 1 2 − x 2 u 2 d u ( x  0 ) 所确定,求 y  3 ,并计算I = 1+y'2dx 0高数 · 3.一元函数积分学及其应用 35.设平面图形 第 110 页，共200页 D 由 x 2 + y 2  2 x 与 y  x 确定,求图形 D 绕直线 x = 2 旋转一周所得 旋转体的体积. 36.求曲线 y = e − x s in x ( x  0 ) 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积. 37.设 f ( x ) = x n 1 − x 2 , x   0 ,1  与y=0所围平面区域的面积为 S n , g ( x ) = s in n2 x , x 0 , 2     与 y=0 所围平面区域绕 x 轴旋转一周所得体积为 V n ( n = 1 , 2 , ) S ,求极限 lim n . n→ V n公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 38.求曲线 y=3− x2−1 与 第 111 页，共200页 x 轴围成封闭图形绕直线 y = 3 旋转所得旋转体的体积. 39.设 D 位于曲线 y x ( ln 1 x ) 1 ( 0 , 2 x )    = +    + 下方, x 轴上方的无界区域. (I) 求 D 的面积 S ( )  ; (II) 求 S() 的最小值. 40.设 f (x)在  0 , )  + n n 上连续且单调减少, f (x)0, a =f (k)− f (x)dx(n=1,2, ),证明: n 1 k=1 lim n a n  → 存在.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 41.设 第 112 页，共200页 a n 1 0 x n 1 x 2 d x , b n 2 0 s in n x c o s n x d x  =  − =  ,求 lim n b a n n  → . 42.设 f (x)在  a , b  上连续,在(a,b)内可导, f  ( x )  0 ,证明:存在唯一的(a,b),使得 y = f ( x ) 与两直线 y f ( ) , x a  = = 所围图形的面积 S 1 ,和 y = f ( x ) 与两直线 y f ( ) ,  = x = b 所围 图形的面积 S 2 ,满足 S 1 = 3 S 2 .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 拓展题 1.设 第 113 页，共200页 y = f ( x ) 在  0 , )  + 上非负连续,曲边梯形 D ( t ) =  ( x , y )∣ 0  x  t , 0  y  f ( x ) , D ( t ) 所围 图形的面积 S ( t ) = te t , D ( t ) 绕直线 x = t 旋转一周所得旋转体的体积为 V ( t ) ,求 V ( t ) 的表达式. 2.设曲线族 y = k x 2 ( k  0 ) ,对于每个 k 4 2     ,曲线y=kx2与曲线y=sinx  0x  交于唯一点  2 ( t , s in t ) ,其中 t = t ( k ) .S 1 表示 y = k x 2 与 y = s in x 所围区域的面积, S 2 表示 y = s in x 与 y = s in t 及 x 2  = 所围区域的面积. (I) 写出 S 1 + S 2 关于 t 的函数表达式; (II) 证明: S +S 有最小值. 1 2高数 · 3.一元函数积分学及其应用 3.[25新增]设 第 114 页，共200页 f ( x ) 在 a,b 上有二阶导数,且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , f  ( x )  0 ,证明: 当 2 b x(a,b) 时,有 0 f (x)  f (x)dx. b−a a 4.[25新增]设 f ( x ) 在 a,b 上有连续的二阶导数. (I) 证明:  b a f ( x ) d x = 1 2 ( b − a )  f ( a ) + f ( b )  + 1 2  b a ( x − a ) ( x − b ) f  ( x ) d x ; (II) 记M = max  f(x) ,证明:  b f (x)dx− 1 (b−a)f (a)+ f (b)  (b−a)3 M .   xa,b a 2 12高数 · 3.一元函数积分学及其应用 5.[25新增]设 第 115 页，共200页 f ( x ) 在  0 ,1  上有连续的导数, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 ,证明:  1 1 n k 1 limn f (x)dx− f  =− . n→  0 n k=1 n 2高数 · 4.多元函数微分学及其应用 第四章 多元函数微分学及其应用 基础题 一、选择题 1.设 第 116 页，共200页 f ( x , y ) = a r c s in x 2 + y 4 ,则下列选项正确的是（ ）. A. f 'x ( 0 , 0 ) 存在, f 'y ( 0 , 0 ) 存在 B. f'(0,0) 不存在, x f 'y ( 0 , 0 ) 存在 C. f 'x ( 0 , 0 ) 不存在, f 'y ( 0 , 0 ) 不存在 D. f'(0,0) 存在, x f 'y ( 0 , 0 ) 不存在 2.设 f'(x ,y ), f'(x ,y ) 均存在,则下列选项正确的是（ ）. x 0 0 y 0 0 A. lim x → y → x0y0 f ( x , y ) 存在 B. f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处连续 C. lim x → x0 f ( x , y 0 ) 存在 D. f (x,y) 在 U ( x 0 , y 0 ) 内有定义 3.设方程 x y − z ln y + e xz = 1 ,存在点 ( 0 ,1 ,1 ) 的一个邻域,在此邻域内该方程 ( ) A. 可确定隐函数 y= y(x,z) 和 z = z ( x , y ) B. 可确定隐函数 x=x(y,z) 和 z=z(x,y) C. 可确定隐函数 x = x ( y , z ) 和 y = y ( x , z ) D. 只能确定隐函数 z=z(x,y)高数 · 4.多元函数微分学及其应用 4.设可微函数 第 117 页，共200页 f ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 处取得极大值,则（ ）. A. f (x ,y) 在 0 y = y 0 处导数小于零 B. f (x ,y) 在 y= y 处导数大于零 0 0 C. f (x ,y) 在 0 y = y 0 处导数等于零 D. f (x ,y) 在 y= y 处导数不存在 0 0 5.设 f (x,y)=e2x( x+y2+2y ) ,则 f ( x , y ) 在点 P  1 2 , − 1  处（ ）. A. 取得极小值 − e 2 B. 取得极大值 − e 2 C. 取得极大值 e D. 不取得极值 ex 6.设 f (x,y)= ,则 ( ). x−y A. f' + f' =0 B. f' − f' =0 C. f' − f' = f D. f' + f' = f x y x y x y x y高数 · 4.多元函数微分学及其应用 二、填空题 1. 第 118 页，共200页 lim x → y → 3 0 ln ( x x 2 + + e y y 2 ) = ________ . 2. lim x y x 2 x x y y y 2   → → − + + = _________. 3. lim x y 0 1 1 2 x x x 2 y  → →  −  + = _________.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 4.设 第 119 页，共200页 z = ( 1 + x y ) y ,则 dz =_________ . (1,1) 5.设函数 f ( x , y ) 可微,且 f ( 1 , 2 ) = 2 , f 'x ( 1 , 2 ) = 3 , f 'y ( 1 , 2 ) = 4 , F ( x ) = f  x , f ( x , 2 x )  ,则 F  ( 1 ) = _________. 6.设 z = z ( x , y ) 由方程 x = z e y + z 确定,则 d z (e ,0 ) = _________.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 7.设 第 120 页，共200页  y F = ( x f , ( y x , t ) , t ) = , 0 , f 和 F 有一阶连续偏导数,则 d d y x = _________. 8.设 y = f ( x , t ) , t = t ( x , y ) 由方程 G ( x , y , t ) = 0 确定, f , G 可微,则 d d y x = _________. 9.设 z = f  y x  + g ( e x , s in y ) , f 有二阶连续导数, g 有二阶连续偏导数,则   x 2  z y = _________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 4.多元函数微分学及其应用 10.设 第 121 页，共200页 f ( u , v ) 有二阶连续偏导数, y = f ( e x , c o s x ) ,则 d d 2 x y 2 x = 0 = _________. 11.设 z = z ( x , y ) 由方程 e 2 yz + x + y 2 + z = 7 4 确定,则 dz 1 1 =_________.  ,  2 2 xy sint 12.设 f (x,y)= dt ,则 0 1+t2   2 x f 2 (0 ,2 ) = _________.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 13.设 第 122 页，共200页 z ( x , y ) 的全微分 d z = ( x 2 + 2 x y − y 2 ) d x + ( x 2 − 2 x y − y 2 ) d y ,则 z ( x , y ) = _________. 14.设 z = z ( x , y ) 由方程 z+lnz− x e−t2 dt=0 确定,则 y   x 2  z y = _________. 15.设 z = f  x y , x y  + g  y x  , f 具有二阶连续偏导数, g 2z 具有二阶连续导数,则 =_________. xy高数 · 4.多元函数微分学及其应用 16.设 第 123 页，共200页 ( x + k y ( x ) + d x y + 2 ) y d y 为某二元函数 u ( x , y ) 的全微分,则 k =_________. 三、解答题 1.设 u= f (x,y,z) 有连续偏导数, y= y(x),z=z(x) 分别由方程 e x y − y = 0 和 e z − x z = 0 确定, 求 d d u x . 2.设 y= y(x),z=z(x) 由方程组  x 2 2 x + − y 3 2 y + + z 5 2 z = = 3 4 x , 确定,求 d d y x , d d z x .高数 · 4.多元函数微分学及其应用 3.设曲面 第 124 页，共200页 S : ( x − y ) 2 − z 2 = 1 ,求坐标原点到 S 的最短距离. 4.[25新增]求 f ( x , y ) = ( 1 + e y ) c o s x − y e y 的极值. 5.求函数 z=x3−3x2 −3y2 在闭区域 D : x 2 + y 2  1 6 上的最大值.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 6.求 第 125 页，共200页 u = x 2 + y 2 + z 2 在条件 x + y + z = 4 和 z = x 2 + y 2 下的最大值和最小值. 7.设 u ( x , y ) 有二阶连续偏导数,利用变换 x a y , x b y   = + = + ,将方程 2u 2u 2u +4 +3 =0化为 x2 xy y2 2 u 0     = ,求 a , b 的值. 8.设 f (u) 有二阶连续导数,且 z = f ( e x s in y ) 满足   2 x z 2 +   2 y z 2 = z e 2 x ,求 f (u) .高数 · 4.多元函数微分学及其应用 综合题 一、选择题 1.设 第 126 页，共200页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续,且 lim x → y → 0 0 e f x 2 ( + x y , 2 y − ) 1 = 1 ,则 ( ) . A. f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值 B. f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极大值 C. f ( x , y ) 在点 (0,0) 处不取得极值 D. 不能确定 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极值 2.设 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) f (x,y)− f (0,0) 的某邻域内连续,且 lim =−1 ,则 x→0 x + y4 y→0 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处 ( ). A. 取得极小值 B. 取得极大值 C. 不取得极值 D. 无法确定是否取得极值  1 yarctan , (x,y)(0,0)  3.设 f (x,y)= x2 + y2 则 f (x,y) 在点  0, (x,y)=(0,0)  ( 0 , 0 ) 处（ ）. A. 连续但不可微 B. 偏导数存在但不连续 C. 可微 D. 连续但偏导数不存在高数 · 4.多元函数微分学及其应用 4.设 第 127 页，共200页 f ( x , y ) 可微,对任意的 x , y ,有  f (  x x , y )  0 ,  f (  x y , y )  0 ,则使得 f ( x 1 , y 1 )  f ( x 2 , y 2 ) 成立 的一个充分条件是 ( ). A. x 1  x 2 , y 1  y 2 B. x 1  x 2 , y 1  y 2 C. x x ,y  y D. x x ,y  y 1 2 1 2 1 2 1 2 5.设 F ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内有二阶连续偏导数,且 F(x ,y )=0 , 0 0 F 'x ( x 0 , y 0 ) = 0 , F 'y ( x 0 , y 0 )  0 , F ''xx ( x 0 , y 0 )  0 ,则由方程 F ( x , y ) = 0 确定的隐函数 y = y ( x ) 在 x = x 0 处 ( ) . A. 取得极小值 B. 取得极大值 C. 不取得极值 D. 不能确定是否取得极值 二、填空题 2z 1. 设 z=z(x,y) 满足 =2 ,且 z(x,0)=1,z' (x,0)=x ,则 y2 y z ( x , y ) = _______ .高数 · 4.多元函数微分学及其应用 2.设 第 128 页，共200页 z = z ( x , y ) 有二阶连续偏导数,满足   y 2 z  x = x + y ,且 z ( x , 0 ) = x , z ( 0 , y ) = y 2 ,则 z ( x , y ) = _______ . 2x 3.设 z= ,则 x2 − y2   n y z n (2 ,1 ) = _______ . 三、解答题 1.已知 x + y − z = e z , x e x = ta n t , y = c o s t ,求 d d 2 t z 2 t= 0 .高数 · 4.多元函数微分学及其应用 2.设 第 129 页，共200页 f 有一阶连续导数,证明: z = f  x y  z z 的充要条件是 x + y =0 . x y 3.设 z = z ( x , y ) 是由方程 F  1 x − 1 y − 1 z  = 1 z 确定的隐函数,其中 F 可微,求 x 2   z x + y 2   z y 4.设 y = g ( x , z ) 与 z = z ( x , y ) 是由方程 f ( x − z , x y ) = 0 确定的函数,求 d d y x .高数 · 4.多元函数微分学及其应用 5.求函数 f (x,y)=(1+ y)2 +(1+x)2 在条件 第 130 页，共200页 x 2 + y 2 + x y = 3 下的最大值. 6.设函数 f (x,y)=3x+4y−ax2−2ay2−2bxy ,问 a , b 满足什么条件时, f ( x , y ) 有唯一的 极大值和唯一的极小值? 7.[25新增]设 f (x,y)=x3+y3−ax2−by2(a0,b0) 有极小值-8,求 a , b 的值,使得椭圆 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 所围面积最大.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 4.多元函数微分学及其应用 8.求 第 131 页，共200页 f ( x , y ) = x e − x 2 + 2 y 2 的极值 9.求 u = x y + 2 x z + 2 y z 在条件 x y z = 1 下的最小值. 10.设函数 z = z ( x , y ) 由方程 x2 −6xy+10y2 −2yz−z2 +18=0 确定,求 z = z ( x , y ) 的极值.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 11.设 第 132 页，共200页 f ( x ) 有二阶连续导数,且 f ( x )  0 , f  ( 0 ) = 0 ,证明: z= f (x)lnf (y) 在点 ( 0 , 0 ) 处 取得极小值的充分条件是 f  ( 0 )  0 且 f ( 0 )  1 . 12.已知 z = f ( x , y ) 的全微分 d z = ( y − x 2 ) d x + ( x − 1 ) d y 1 ,且 f (1,1)=− ,求 3 f ( x , y ) 在 D : 0  y  7 − x , 0  x  7 上的最大值. 13.设 f ( x , y ) =  x 0 y , s in x 2 1 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 讨论 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处是否可微? 偏 f f 导数 , 在点 (0,0) 处是否连续? x y高数 · 4.多元函数微分学及其应用 14.设中心在原点的椭圆为 第 133 页，共200页 x 2 − 4 x y + 5 y 2 = 1 ,求该椭圆的长半轴与短半轴的长度。15.设 x = x ( y ) , z = z ( y ) 由方程组  F G (  y x − y , x z y , y  − = 0 z ) = 0 , 确定,求 d d x y , d d z y . 1 1 1 1 16.设 , 为正数,且 + =1 ,求 f (x,y)= x+ y 在条件 xy=1(x0,y0) 下     的最小值.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 17.[25新增]设可微函数 第 134 页，共200页 f ( u , v ) 满足   f u +   f v = ( u + v ) e u − v ,且 f ( 0 , v ) = 0 ,若u=x,v=x+ y,求: (I)  f ( x ,  x x + y ) ; (II) f ( u , v ) 的极值. 拓展题 一、选择题 下列 ( ) 选项条件成立时,能够推出函数 f (x,y)在点(x ,y )处可微,且全微分 0 0 d f ( x , y ) ( x0 ,y 0 ) = 0 . A. f 'x ( x 0 , y 0 ) = f 'y ( x 0 , y 0 ) = 0 xy B. f (x,y) 在点 (x ,y ) 处的全增量 f = 0 0 (x)2 +(y)2 C. f (x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的全增量  f = s in  ( (   x x ) ) 2 2 + + ( (   y y ) ) 2 2  D. f ( x , y ) 在点 (x ,y ) 处的全增量 0 0  f =  (  x ) 2 + (  y ) 2  s in (  x ) 2 1 + (  y ) 2高数 · 4.多元函数微分学及其应用 二、解答题 1.设 第 135 页，共200页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内有定义, f ( 0 , 0 ) = 0 ,且 lim x → y → 0 0 f x ( 2 x , + y y ) 2 = 1 + k ( k 为 常 数 ) . 证 明:(I) f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续; (II) 当 k −1 时, f (x,y) 在点 ( 0 , 0 ) 处不可微; (III) 当 k = − 1 时, f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微.高数 · 5.微分方程及其应用 第五章 微分方程及其应用 基础题 一、选择题 1.下列选项中( 第 136 页，共200页 C 为任意常数),是微分方程 d d y x + x y = 0 的通解的是 ( ). A. x2 + y2 =C2 B. x2 −y2 =C2 C. x 2 + y 2 = C D. x 2 − y 2 = C 2.设 y  + P ( x ) y = 0 的一个特解为 y = c o s 2 x ,则该方程满足 y ( 0 ) = 2 的特解为 ( ). A. 2cosx B. 2cos2x C. cos2x D. c o s 2 x + 1 3.微分方程 y+2y−3y=e−x +x 的一个特解形式为 ( ). A. ae−x +bx+c B. a x e − x + x ( b x + c ) C. a x e − x + b x + c D. a e x + x ( b x + c )高数 · 5.微分方程及其应用 4.设 第 137 页，共200页 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) 是 y+P(x)y=0 的两个不同特解,其中 P ( x ) 在 ( , )   − + 内连续,且 P ( x ) 不恒为 0,则下列结论中错误的是 ( ). A. y 1 ( x ) − y 2 ( x ) = 常数 B. C  y 1 ( x ) − y 2 ( x )  是方程的通解 C. y 1 ( x ) − y 2 ( x ) 在任一点不为 0 D. y y 2 1 (( x x ))  常数 ( y 1 ( x )  0 ) 5.设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , y 3 ( x ) 是微分方程 y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = f ( x ) 的三个线性无关的解, f ( x )  0 , 则该方程的通解为 ( ). A. C y (x)+C y (x)+ y (x) 1 1 2 2 3 B. C 1 y 1 ( x ) + ( 1 − 2 C 1 ) y 2 ( x ) + C 1 y 3 ( x ) C. ( C 1 − C 2 ) y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + y 3 ( x ) D. C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + C 3 y 3 ( x ) ( C 1 + C 2 + C 3 = 1 ) 二、填空题 1.微分方程 (y−xsinx)dx+xdy=0 的通解为_________ .高数 · 5.微分方程及其应用 2. 微分方程 第 138 页，共200页 ( 1 + y 2 ) d x + ( 2 x − 1 ) y d y = 0 的通解为________ . 3. y  = y x + ta n y x 满足 y ( 1 ) 6  = 的特解为________ . 4.微分方程 x y  = x 2 + y 2 + y 的通解为5.方程 y  + 2 y  + y = x e x 满足 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 0 的特解为________ . 6.方程 y−3y+2y=10e−xsinx 满足当 x  → + 时, y ( x ) → 0 的特解为________ .高数 · 5.微分方程及其应用 7.设二阶线性非齐次微分方程 第 139 页，共200页 y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = f ( x ) 有三个特解为 x , e x , e − x ,则该方 程的通解为________ . 8.设二阶常系数线性微分方程 y  + a y  + b y = c e x 有特解 y=e−x( 1+xe2x) ,则该方程的通解 为________ . 三、解答题 1.求 x2y−y'2 =0 过点 P(1,0) ,且在点 P 与 y=x−1 相切的积分曲线.高数 · 5.微分方程及其应用 2.设 第 140 页，共200页 f ( x ) 是连续函数,且 f ( x ) = c o s x −  x 0 ( x − t ) f ( t ) d t ,求 f ( x ) . 3.设 f ( x ) 可导,对任何实数 x , y 满足 f ( x + y ) = e x f ( y ) + e y f ( x ) ,且 f  ( 0 ) = e ,求 f ( x ) . 4.设微分方程 y  + a ( x ) y = x 2 , a ( x ) =  1 , 1 x , x x   1 1 , , 求在 ( , )   − + 内的连续函数 y = y ( x ) ,使其在 ( ,1 )  − 和 ( 1 , )  + 内均满足微分方程,且 y ( 0 ) = 2 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 5.微分方程及其应用 5.求微分方程 第 141 页，共200页 y  − y  = 0 的一条积分曲线,使此积分曲线在原点处有拐点,且以直线 y = 2 x 为 切线. 6.利用变换 u = e x ,求微分方程 y  − ( 2 e x + 1 ) y  + e 2 x y = e 3 x 的通解. 7.设 L 是一条平面曲线,其上任意一点 P ( x , y ) ( x  0 ) 到原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距,且 L 过点  1 2 , 0  . (I) 求曲线 L 的方程; (II) 求 L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与 L 以及两坐标轴所围的面积最小.高数 · 5.微分方程及其应用 8.设 第 142 页，共200页 O A 是连接 O ( 0 , 0 ) 和 A ( 1 ,1 ) 的一段向上凸的曲线弧,P(x,y)为 O A 上任一点,曲线弧 O P 与 有向线段 O P 所围图形的面积为 x 2 ,求曲线弧 O A 的方程. 综合题 一、选择题 1.下列方程中,以 y=Cex +C cosx+Csinx(C,C ,C 为任意常数）为通解的是 ( ) . 1 2 3 1 2 3 A. y−y+ y−y=0 B. y+ y+ y−y=0 C. y  + y  − y  − y = 0 D. y  − y  − y  − y = 0 2.若二阶常系数线性齐次微分方程 y+ py+qy=0 的通解为 y=Cex +C xex ,则非齐次微 1 2 分方程 y+ py+qy=x 满足 y ( 0 ) = 2 , y  ( 0 ) = 0 的特解为 y=( ) . A. xex −x−2 B. xex −x+2 C. − x e x + x + 2 D. − x e x − x + 2高数 · 5.微分方程及其应用 3.设 第 143 页，共200页 C 为任意常数,则以 y = e C x + x 2 为通解的一阶微分方程为 ( ). A. x y  − y ln y = x 2 y B. xy+ ylny=xy2 C. x y  − y ln y 2 = x y D. xy+ ylny=xy 4.设 y 1 , y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y  + P ( x ) y = Q ( x ) 的两个解,若常数 ,  ,使得 y 1 y 2   + 是该方程的解, y 1 y 2   − 是对应的齐次微分方程的解,则 ( ) . A. 1 2 , u 1 2  = − = − B. 1 2 , u 1 2  = = C. 1 3 , u 2 3  = = C. 2 3 , u 2 3  = = 二、填空题 y 1.微分方程 y= ( x+(y+1)2 y 不为常函数)的通解为 _________ .高数 · 5.微分方程及其应用 2.微分方程 第 144 页，共200页 y  − y = s in x 满足 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 3 2 的特解为________ . 3.微分方程 y  = 2 y y 2 ( − x + x 1 ) 的通解为________ . 4.微分方程 d d y x = y y − + x x 满足 y ( 1 ) = 0 的特解为________ .高数 · 5.微分方程及其应用 5.微分方程 第 145 页，共200页 y s e c 2 y + 1 + x x 2 ta n y = x 满足 y(0)=0 的特解为________ . 6.微分方程 y  + y = x + c o s x 的通解为________ . 7.微分方程 y  − y = s in 2 x 的通解为________ .高数 · 5.微分方程及其应用 8.设 第 146 页，共200页 f ( x ) 有连续导数,对任意 a 满足 f ( x + a ) =  x x + a t ( 2 t f ( + t 1 ) ) d t + f ( x ) ,且 f ( 1 ) = 2 , 则 f ( x ) = ________ . 9.[25新增]设函数 y ( x ) 满足 y  + 2 a y  + b 2 y = 0 ( a  b  0 ) ,且 y ( 0 ) = 1 , y  ( 0 ) = 1 ,则 0 y ( x ) d x   + = ________ . 三、解答题 f (x)+ f (y) 1.设 f (x) 满足 f (x+ y)= ,且 1− f (x) f (y) f  ( 0 ) 存在,求 f(x) 及 f (x) .高数 · 5.微分方程及其应用 2.利用变量替换 第 147 页，共200页 x s in t , y y ( t ) 0 t 2  = =     化简方程 ( 1 − x 2 ) d d 2 x y 2 − x d d y x + y = 0 ,并求该方程 的通解. 3.设 y+ ( 4x+e2y) y'3 =0 . (I) 若视 x 为因变量, y 为自变量,化简该方程; (II) 求该方程的通解. 4.设二阶常系数非齐次线性微分方程y+ay+by=(cx+d)e2x有特解 y = 2 e x + ( x 2 − 1 ) e 2 x ,求 该方程的通解,并求 a , b , c , d 的值.高数 · 5.微分方程及其应用 5.设 第 148 页，共200页 y ( x ) 在  x 0 , )  + 上有一阶连续导数,且 lim x y ( x ) y ( x ) k  → +   +  = ,求 lim x y ( x )  → + . 6.设 f ( x ) , g ( x ) x 满足 f(x)=g(x),g(x)= 1− f (t)dt+1 ,且   0 f ( 0 ) = 1 ,求 I 2 0 e x g ( x ) f ( x ) d x .  =  −  −  7.设 y = y ( x ) 有一阶连续导数, y ( 0 ) = 1 ,且满足 y  ( x ) + 3  x 0 y  ( t ) d t + 2 x  1 0 y ( x u ) d u + e − x = 0 ,求 y= y(x).高数 · 5.微分方程及其应用 8.如下： (I) 设 第 149 页，共200页 a ( t ) 在  0 , )  + + 上是非负连续函数,证明: 当且仅当  a(t)dt 发散时,微分方程 0 d d x t + a ( t ) x = 0 的每一个解 x(t) 满足 lim x(t)=0 t→+ (II) 设 a  0 , f ( t ) 在 0,+) 上连续有界,证明: 方程 d d x t + a x = f ( t ) ( t  0 ) 的所有解在  0 , )  + 上有界. 9.[25 新增]设上凸曲线 y= y(x)(y0) 上任意一点 M(x,y) 处的切线与 x 轴交于点 N , 且满足 O M = O N , y ( 0 ) = 1 , y  ( x )  0 ,求 y = y ( x ) .高数 · 5.微分方程及其应用 拓展题 1、解答题 1.设 f (x) 有二阶连续导数,且 第 150 页，共200页 f ( x ) =  x 0 f ( 1 − t ) d t + 1 ,求 f (x) . 2.设 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 内有定义, f  ( 1 ) = 1 ,当 x , y ( 0 , )   + 时,满足 f (xy)= yf (x)+xf (y). (I) 证明: f ( x ) f (x) 在 (0,+) 内可导,且 f(x)= +1 ; x (II) 求函数 f (x) 的极值.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 6.微积分在经济学中的应用 第六章 微积分在经济学中的应用 基础题 一、填空题 1.设某商品的需求量 Q 对价格 P 的弹性为 第 151 页，共200页 P ln 3 ,若该商品的市场最大需求量为 1500 件, 则 需求函数为 Q = _ _ _ _ _ _ _ _ . 2.设商品的需求函数为 Q = 1 0 0 − 5 P ,其中 P 为价格,若商品需求对 价格的弹性的绝对值 大于 1,则商品价格 P 的取值范围为________ . 3.设边际成本函数为 MC=3Q2 −118Q+1200 ,其中 Q 为产量,固定成本为 1500,则总成本 函 数为 C(Q)=_________ .高数 · 6.微积分在经济学中的应用 4.差分方程 第 152 页，共200页 2 y t+ 1 − y t = 3   1 2  t 的通解为________ . 5.差分方程 y t+ 1 − 2 3 y t = 2 3 的通解为________ . 6.差分方程 y t+ 1 − 2 y t = 2 t 的通解为________ . 7.差分方程  2 y t − y t = 5 的通解为________ .高数 · 6.微积分在经济学中的应用 二、解答题 1.设某产品生产 第 153 页，共200页 x 单位,边际单位成本函数为  C ( x x )  ' = − 1 0 x 0 2 ,当产量为 1 个单位时,成本 为 102,若边际收益函数为 R  ( x ) = 1 2 − 1 x 0 ,且 R ( 0 ) = 0 ,求利润最大时的产量和平均价格. 2.设某产品的成本函数 C ( Q ) = a Q 2 + b Q + c m−P ,需求函数为 Q= ,其中 n Q 为需求量 (即产量), P 为单价, a , b , c , m , n 均为大于零的常数,且 m  b . (I) 求利润最大时的产量及最大利润; (II) 求需求对价格的弹性 ( 0 )   ; (III) 求当 =1 时的产量.高数 · 6.微积分在经济学中的应用 3.某公司通过电视和网络两种形式作广告,设销售收入为 第 154 页，共200页 R (万元),电视广告费为 x 1 (万元), 网络广告费为 x 2 (万元),它们之间有如下关系: R ( x 1 , x 2 ) = 1 5 + 1 4 x 1 + 3 2 x 2 − 8 x 1 x 2 − 2 x 21 − 1 0 x 22 . (I) 在广告费用不限的条件下, 求最佳广告方案; (II) 若广告费用为 1.5 万元,求相应的广告方案. 4.设某公司的总成本函数为 C = C ( Q ) = 1 2 Q 2 + 3 6 Q + 9 8 0 0 ,求平均成本最低时的最低平均成 本.高数 · 6.微积分在经济学中的应用 综合题 一、填空题 [从这道题开始，后面的题目应该和24版相比变动较大，目前由于本本未购买纸质版书籍，所以从此题开始 直至本章结束这部分的答案更新会放到答案册出现后更新，届时会在公众号内发送消息告知大家。] 1. 设某公司在 t 时刻的收入为 R(t),R(t) 为连续函数,且 R(0)=0 ,从 0 时刻到 t 时刻 的平均收人为 第 155 页，共200页 − 1 2 t + R ( t t ) ,则 R ( t ) = ________ . 2.已知某产品的生产函数为 Q A K L   = ,其中 Q 表示产量, K 表示资金, L 表示劳动力, Q Q A,, 均为正常数,且 +=1 ,则 K +L =________ . K L高数 · 6.微积分在经济学中的应用 二、解答题 1.设生产商的总收益函数和总成本函数分别为 第 156 页，共200页 R = R ( Q ) = 3 0 Q − 3 Q 2 , C = C ( Q ) = 2 + 2 Q + Q 2 , 生产商以获取最大利润为目标, 税务机关对产品征税. (I) 求生产商纳税前的最大利润, 及此时的产品和产品价格; (II) 求征税收益的最大值及此时的税率 t . 2.设生产某种产品的固定成本为 C 0 (万元),每生产一件产品,成本增加 a (万元),已知该产 P 品需求对价格的弹性为 = 0,P 为价格,若市场对该产品的最大需求量为 b−P c 件,其中 a , b , c , C 0 均大于零. (I) 为获得最大利润,问如何定价? (II) 若每销售一件产品需纳税 t 万元,问如何定价可使利润最大?高数 · 6.微积分在经济学中的应用 3.设生产某产品的固定成本为 40,边际成本和边际收益分别为 第 157 页，共200页 M C = Q 2 − 1 4 Q + 1 1 1 , M R = 1 0 0 − 2 Q ,求生产商的最大利润. 4.设某商品需求函数为 Q = 1 0 0 − 5 P . (I) 当 P = 3 时,问涨价会使销售收入增加还是减少? 若价格上涨幅度为 8.5% ,对销售收 入影响 幅度为多少? (II) 当 P = 1 2 时,问涨价会使销售收入增加还是减少? 若价格上涨幅度为 5 % ,对销售 收入影响 幅度为多少?高数 · 6.微积分在经济学中的应用 5.为实现利润最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型. 设 第 158 页，共200页 Q 为该商品的需求量, P 为 价格, M C 为边际成本,  为需求弹性 ( 0 )   . MC (I) 证明:定价模型为 P= ; 1 1−  (II) 若该商品的成本函数为 C ( Q ) = 1 6 0 0 + Q 2 ,需求函数为 Q = 4 0 − P ,求由 (I) 中定 价模型确定的此商品价格. 6.如下： (I) 设某商品的需求函数为 Q ( P ) , P  = 表示价格,  为严格单调函数,证明:边际收益与 需求价格弹性 E d dR  1  有如下关系: =P1+ ,P0,R 表示总收益; dQ E  d  (II) 若 Q = 8 0 0 0 − 8 P ,求总收益最大时的需求量 Q 和商品的价格.高数 · 6.微积分在经济学中的应用 7.在同一市场上销售两种性能有差异的同一类手机 第 159 页，共200页 A 与 B ,设 Q A , Q B 分别表示它们的需 求量, P A , P B 分别为其价格,生产这两种手机每部所需平均成本分别为 C B = 2 ( 百 元 件/ ) . C A = 4 .5 ( 百 元 件/ ) , 已知需求函数分别为 Q A = 9 .5 − P A + 2 P B , Q B = 7 + 2 P A − 5 P B ,试确定其价格, 使其利润最大. 8.求差分方程 y −2y =sint 的通解. t+1 t 1 9.设生产函数为 Q=8L2K4 ,其中 L 为劳动力投入量, K 为资金投入量,产品的价格 P = 4 ,设投入两要素的价格分别为 P =4,P =8 ,求当利润最大时的产出水平和最大利润. L K高数 · 7.二重积分 第七章 二重积分 基础题 一、选择题 1.设 D 为由直线 x+y= 1 ,x+y=1 与两坐标轴所围的区域,I = ln(x+y) 9 dxdy, 1   2 D 第 160 页，共200页 I 2 =   D ( x + y ) 9 d x d y , I 3 =   D  s in ( x + y )  9 d x d y , 则( ). A. I 1  I 2  I 3 B. I I I 1 3 2 C. I 3  I 2  I 1 D. I I I 3 1 2 2.设 D 为由 y = x 2 − 4 和 y = 0 所围区域, I = (kx+ y)dxdy ,则（ ）. D A. I = 0 B. I  0 C. I  0 D. I 的正负与 k 有关 3.设 D 是 x O y 平面上以 A(1,1),B(−1,1),C(−1,−1) 为顶点的三角形区域, D 1 是 D 在第 一象限的部分,则 I =   D ( x y + c o s x s in y ) d x d y = ( ). A. 0 B. 2 xydxdy D 1 C. 2   D 1 c o s x s in y d x d y D. 4 (xy+cosxsiny)dxdy D 1高数 · 7.二重积分 4.积分 第 161 页，共200页 I =  2d0 x  2 x2 0 f ( x , y ) d y +  2 2 2 d x  0 8 − x 2 f ( x , y ) d y = ( ) . 2 8−y2 2 8−y2 A.  dy f (x,y)dx B.  dy f (x,y)dx 0 y 0 2y C.  2d0 y  8 2 − y y 2 f ( x , y ) d x D.  2d0 y  8 − y y 2 f ( x , y ) d x 5.设 D : x 2 + y 2  x ,则   D f ( x , y ) d x d y = ( ) . A. 0 d co 0 s f ( r c o s , r s in ) r d r        B. 0 d sin 0 f ( r c o s , r s in ) r d r        C. 2 2 d co 0 s f ( r c o s , r s in ) r d r        −  D. 2 2 d sin 0 f ( r c o s , r s in ) r d r        −   2sin 6.将二重积分 I =2d f (rcos,rsin)rdr 化为直角坐标系下的二次积分,则  0 4 I = ( ) . 1 x 1 1−x2 A.  dx f (x,y)dy B.  dx f (x,y)dy 0 1− 1−x2 0 x C.  1 d0 y  y 0 f ( x , y ) d x +  2d 1 y  0 2 y − y 2 f ( x , y ) d x D.  1 d0 y  y 2 y − y 2 f ( x , y ) d x高数 · 7.二重积分 二、填空题 1.二重积分 第 162 页，共200页 I =  1 0 x 2 d x  1 ex − y 2 d y = ________ . 2.二重积分 I 2d 1 x x sx in 2 x y d y 4d2 x 2 sx in 2 x y d y   =   +   = ________ . 1 1 3.二重积分 I = dx siny2dy=________ . 0 x高数 · 7.二重积分 4.设 第 163 页，共200页 D : x 2 + y 2  4 , x  0 , y  0 , f ( x ) 在  0 , )  + 上连续且取正值,则 I =   D a f f ( ( x x ) ) + + b f f ( ( y y ) ) d x d y = ________ . 5.设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,且  1 0 f ( x ) d x = A 1 1 ,则 I = dx f (x)f (y)dy=________ . 0 x 6.设 D : x 2 + y 2  1 , x  0 , y  0 ,则 I =   D 1 1 + + x x 2 − + y y 2 d x d y = ________ .高数 · 7.二重积分 7.设 第 164 页，共200页 D : − 1  x  0 ,1 − 1 − x 2  y  − x ,则 I =   D x 2 + y d 2 x d 4 y − x 2 − y 2 = ________ . 8.设 D : 2 x  x 2 + y 2 , 0  y  x  2 ,则 I =   D d x x 2 d + y y 2 = ________ . 9.设 D:x2 + y2 1 ,则 I =   D  2 x 4 + y 9 2  d x d y = ________ .高数 · 7.二重积分 10.设区域 第 165 页，共200页 D 由 x = − 2 y − y 2 , x = − 2 , y = 0 , y = 2 所围,则 I =   D y d x d y = ________ . 11.设 D:x2 +y2 2x ,则 I =   D ( 2 x + 3 y ) d x d y = ________ . 三、解答题 1.计算下列二重积分. (I) 设 D 由 x−y=0,x+ y=0 及 x = 1 所围,求 I =   D x y ( x − y ) d x d y ;高数 · 7.二重积分 (II) 设 第 166 页，共200页 D 由 y = x , y = x 所围,求 I =   D s in y y d x d y ; (III) 设 D 由 y = x 2 ( x  0 ) , y = 1 , x = 0 所围,求 I =   D 1 x + y y 3 d x d y ;  (IV) 设 D:−1xsiny, y  ,求 2 I =   D x ( e x 2 + co sy s in y − 1 )d x d y .高数 · 7.二重积分 2.设 D= (x,y∣) x2+y2 1,x2+y2 2x,y0  ,计算 第 167 页，共200页 I =   D x y d x d y . 3.设 D : x 2 + y 2  2 x , 0  y  x ,计算 I =   D x 2 + y 2 − 1 d x d y . 4.设 D:x2 +y2 9 ,计算 I =   D x 2 + y 2 − 4 d x d y .高数 · 7.二重积分 5.设 第 168 页，共200页 D : 1  x 2 + y 2  2 x , y  0 ,计算 I =   D ( 1 + x 2 + y y 2 ) x 2 + y 2 d x d y . 6.设 D : 0  x  2 , 0  y  2 ,计算 I =   D [1 + x + y ] d x d y ,其中 1 + x + y  表示不超过 1 + x + y 的最大整数. 7.[25新增]设 D =  ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  1  ,计算 I =   D m a x  2 x − x 2 , ( 1 − y ) 2  d x d y .高数 · 7.二重积分 8.计算 第 169 页，共200页 I =   D s g n ( x 2 − y 2 + 2 ) d x d y ,其中 D:x2 +y2 4 .  1 3  1x3, x yx 9.设 f (x,y)=   ( x2 + y2)2 3 D由  0, 其他 x = 3 , x = 1 , y = 0 , y = 3 ,所围,计算 I =   D f ( x , y ) d x d y . 综合题 一、选择题 1.I = cos x2 + y2dxdy,I = cos ( x2 + y2) dxdy,I = cos ( x2 + y2)2 dxdy,其中 1 2 3 D D D D : x 2 + y 2  1 ,则 ( ) A. I I I B. 1 2 3 I 1  I 2  I 3 C. I I I D. I I I 2 1 3 3 1 2高数 · 7.二重积分 2. 第 170 页，共200页 lim n n i 1 n j 1 1 i n 1 ( n 2 j 2 ) ( )  →  =  =  +  + = . A. 4 ln 2  B. 8 ln 2  C. 2 ln 2  D. ln 2  3.积分 I 2 0 d co 0 s f ( r c o s , r s in ) r d r ( )      =   = . A.  1 d0 y  0 y − y 2 f ( x , y ) d x B.  1 d0 y  0 1 − y 2 f ( x , y ) d x C.  1 d0 y  1 0 f ( x , y ) d x 1 x−x2 D.  dx f (x,y)dy 0 0 二、填空题 1.设 D:0x y2 ,则 I =   D s in ( x − y ) d x d y = ________ .高数 · 7.二重积分 2.设 第 171 页，共200页 f ( x ) x 0 , , 0 x , 1 , D : x , y     =  其  他  −   + −   + ,则 I = f (y) f (x+ y)dxdy= D ________ . 3.积分 I =  1 d0 y  y 0 2 y s in ( 1 − x ) 2 d x = ________ . 4.[25新增]设 f ( t ) =  td0 x  t ex − ( x − y 2) d y ( t  0 ) ,则 f  ( 1 ) = ________ .高数 · 7.二重积分 5.积分 第 172 页，共200页 I 2 0 d 2 2 e r 2 d r      =   = ________ . 6.交换积分顺序 I 2 0 d a 0 sin 2 f ( r c o s , r s in ) r d r ( a 0 )      =    为________ . 7.(选做) 设 D : x a 2 2 + y b 2 2  1 ,则 I =   D y 2 d x d y = ________ . 二、解答题 1.设 D : x  1 , 0  y  2 ,计算 I = y−x2 dxdy . D高数 · 7.二重积分 2.计算积分 第 173 页，共200页 I =  1 d0 x  2 − 1 − xe x ( x + y 2) ( s in 2 x + c o s 2 y ) d y +  2d 1 x  2 0 − xe ( x + y 2) ( s in 2 x + c o s 2 y ) d y . 3.求极限 lim t→ 0 + 1 6 t  td0 x  tsx in ( x y ) 2 d y . 4.计算 I 4 arctan 14 d 2 co1 co s s r 2 c o s d r      =   .高数 · 7.二重积分 5.设可导函数 第 174 页，共200页 f ( x ) 满足 lim x → 0 f ( x x ) = 1 ,求极限 lim t→ 0 +  td0 x  − 2t − 2t x − 2 x 2  f ( t 3 x 2 + y 2 ) + 2 y  d y .   F ( x2 + y2 )     6.设 F(t)=    x  1− x2 + y2  dxdy, t0, 求函数 x2+y2t2,x0,y0      0, t=0, F ( t ) 的表达式.[这个公 式无论怎么改都还是丑...] 7.设 f (t) 在 (−,+) 内有连续导数,且 f (t)=2 ( x2 + y2) f ( x2 + y2 ) dxdy+t4, D D : x 2 + y 2  t 2 , 求 f ( t ) .高数 · 7.二重积分 8.设 第 175 页，共200页 f ( x , y ) 在区域: 0  x  1 , 0  y  1 上连续, f ( 0 , 0 ) = 0 ,且 f (x,y) 在点 ( 0 , 0 ) 处可 微, f 'y ( 0 , 0 ) = 1 x2 t  dt f (t,u)du ,求 lim 0 x . x→0+ − x4 1−e 4 9.设 f ( x ) 是连续正值函数,且单调减少,证明: 1  x f 01  x f 0 2 ( ) x d x ( ) x d x  1  f 01  f 0 2 ( ) x d x ( ) x d x . 10.设 f (x) 在 0,1 上是连续正值函数,且 f (x) 单调减少, D:0x1,0 y1 ,证明:  xf (x) f (y)f (x)− f (y)dxdy0.   D高数 · 7.二重积分 11.设 第 176 页，共200页 f ( u ) 在  − 1 ,1  上连续, D : x + y  1 ,证明:   D f ( x + y ) d x d y =  1 − 1 f ( u ) d u . 12.设 D : x 2 + y 2  2 tx , y  0 ( t  0 ) , f ( u ) 在 u = 0 处可导,且 f ( 0 ) = 0 ,求 lim t→ 0 + 1 4 t   D f ( x 2 + y 2 ) y d x d y .高数 · 7.二重积分 拓展题 1.设 第 177 页，共200页 D : x 2 + y 2  4 , x  0 , y  0 , f ( x , y ) 在 D 上连续,且 f (x,y)= ( x2 + y2 −x+ y−1 ) + f (u,v)dudv求 f (x,y) D .2.设 f (t) 在  0 , )  + 上连续,且满足 f ( t ) e 4 2t x 2 y 2 4 2t x 2 y 2 f 1 2 x 2 y 2 d x d y  = + +     − +  +   . (I) 求 f ( t ) ; (II) 求 lim t→ 0 +  f ( t )  12t .高数 · 8.无穷级数 第八章 无穷级数 基础题 一、选择题  1.设级数 u 与 n n=1 第 178 页，共200页 n 1 v n   = 均发散,则 ( ). A. n 1 ( u n v n )   = + 必发散 B. n 1 u n v n   = 必发散 C. n 1 ( u n v n )   = + 必发散 D. n 1 ( u 2n v 2n )   = + 必发散 2.下列结论正确的是 ( ). A. 若 n 1 u n v n   = 收敛,则 n 1 u 2n   = 与 n 1 v 2n   = 都收敛 B. 若 n 1 u 2n   = 和 n 1 v 2n   =  都收敛,则 (u +v )2 收敛 n n n=1   C. 若 v 收敛且 u v ,则 u 收敛 n n n n n=1 n=1  1 D. 若 u 发散 (u 0) ,则 u  n n n n n=1高数 · 8.无穷级数 3.下列结论正确的是 ( ). A. 若 第 179 页，共200页 n 1 u n   = 与 n 1 v n   = 都收敛,则 n 1 u n v n   = 必收敛 B. 若 n 1 u n   = 与 n 1 v n   = 都发散,则 n 1 u n v n   = 必发散    C. 若 u 收敛, v 发散,则 u v 必发散 n n n n n=1 n=1 n=1 D. 若 n 1 u n   = 收敛, n 1 v n ( v n 0 )   =  收敛,则 n 1 u n v n   = 收敛  4.设 u 收敛,则下列级数收敛的是 ( ). n n=1 A. n 1 u 2n   =  B. (u +u ) C. n n+1 n=1 n 1 ( 1 ) n 1 u nn   = − − D. n 1 ( u 2 n 1 u 2 n )   = − −高数 · 8.无穷级数  5.设 u (u 0) 收敛,则下列结论正确的是（ ）. n n n=1 A. 第 180 页，共200页 n 1 u 2n   =  u 收敛 B.  u 收敛 C. lim n+1 1 D. n n→ u n=1 n lim n n u n 1  →  6.下列结论正确的是 ( ). A. 若 n 1 u n ( u n 0 )   =  收敛,则 lim n n 2 u n 0  → =   B. 若 u 收敛,则 (−1)n−1 u 必条件收敛 n n n=1 n=1 C. 若 n 1 ( 1 ) n 1 u n ( u n 0 )   = − −   条件收敛,则 u 发散 n n=1 D. 若 n 1 ( u 2 n 1 u 2 n )   = − +  收敛,则 u 必收敛 n n=1  n+1− n−1 7.级数  sin(n+k) ( k 为常数) ( ). n n=1 A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与 k 有关高数 · 8.无穷级数 8.设幂级数 第 181 页，共200页 n 1 a n ( x 1 ) n   = − 在 x = − 1 处条件收敛,则 n 1 a n ( )   = . A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法确定敛散性 二、填空题 1.设 f ( x ) n 0 x n  =  = ,则 F ( x ) = x f 1 ( − x x ) 展开为 x 的幂级数为________ .  2.设 a (x−1)n 的收敛域为 −1,3 ,则 n n=0 n 0 a n x 2 n   = 的收敛域为________ .高数 · 8.无穷级数 3. 第 182 页，共200页 f ( x ) =  xe 0 − 2t d t 展开为 x 的幂级数为________ . 三、解答题 1.判别下列级数的敛散性: (I) n 1 n n n 1n 1 n n   =  + +  ; (II) n 1 a n n p ( a 0 , p 0 )   =   ;  1   1 1  (III)  ; (IV) an −an+1(a0) ; n   n=1  1+x3dx n=1  0高数 · 8.无穷级数 (V) 第 183 页，共200页 n 1 1 n ln 1 1 n   =  −  +   ; (VI) n 1 n a 1 1 n ( a 0 )   =  − +   . 2.判别下列级数的敛散性, 若收敛,判断是条件收敛还是绝对收敛: (I) 设 n 1 ( 1 ) n 1 a n e n   = − − 收敛,判别 n 1 a n   = 的敛散性; (II) n 1 ( 1 ) n 1 ln ( 1 1 n )   = − − + ;高数 · 8.无穷级数 (III) 第 184 页，共200页 n 1 ( n 1 n ) ln n   = − − ; (IV) n 1 ( 1 ) n 1 ( n 3 1 )   = − − − . 3.求下列级数的收敛域: (I) n 1 ( 2 1 n ) n x n n   = − ; (II) n 1 ( x n 3 3 )n n   = −  ;   x2n−1 (III) (−1)n nnxn ; (IV)  . 3n n=1 n=1高数 · 8.无穷级数 4.求下列级数的收敛域:  xn2  x2n+1 (I)  ; (II)  ; 2n 3n +n2 n=1 n=1 (III) 第 185 页，共200页 n 1 1 1 n n 2 x n   =  +  − ; (IV) n 2 n 1 ln n 1 n 2 x n   =  +  . 5.求下列幂级数的收敛域及和函数: (I) n 1 x n n 2 1 n   = − ; (II) n 0 ( n n ) 1 1 2 x n   = − + ;高数 · 8.无穷级数 (III) 第 186 页，共200页 n 0 n 2 n ! 1 x n   = + ; (IV) n 0 ( 1 ( 2 n ) n ( n 3 ) 1 ! ) x 2 n   = − + + . 6.将下列函数展开为 x 的幂级数,并确定收敛域: (I) f1 ( x ) = x 2 − 1 3 x + 2 ; (II) f 2 ( x ) = ln ( 1 − x − 2 x 2 ) ; (III) f 3 ( x ) = ln ( x + 1 + x 2 ) ; (IV) f 4 ( x ) = x a r c ta n x − ln 1 + x 2 .高数 · 8.无穷级数 7.将 第 187 页，共200页 f ( x ) = x 2 − x 5 x + 6 展开为 x − 5 的幂级数. 8.将 f ( x ) s in 2 x  = 在 x = − 2 处进行幂级数展开. 9.求下列级数的和: (I) n 2 ( n 2 1 1 ) 2 n   = − ; (II) n 0 2 n n ! 1   = + .高数 · 8.无穷级数 10.如下： x3 x6 x9 x3n (I)证明:y(x)=1+ + + + + + (−x+)满足微分方程y+y+y=ex 3! 6! 9! (3n)! (II) 利用 (I) 的结果求 第 188 页，共200页 n 0 ( x 3 3 n n ) !   = . 综合题 一、选择题 1.级数 n 1 ( 1 ) n ln 1 1 n s in k n 2 n ( k )    =  −  +  +  为 常 数 ( ). A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性与 k 有关  ann!  n+2− n−2 2.设 a0, 收敛,  发散,则（ ）. nn na n=1 n=2 A. a  e B. a=e C. 1 2  a  e D. 0  a  1 2高数 · 8.无穷级数 3.设 第 189 页，共200页 u n = a n + 2 a n , v n = a n − 2 a n ,则下列四个级数     ① a , ②  a , ③ u , ④ v n n n n n=1 n=1 n=1 n=1 的收敛性关系是 ( ). A.若 ① 收敛, 则 ③ 和 ④ 都收敛 B. 若 ② 收敛, 则 ①, ③ 和 ④ 都收敛 C. 若 ③ 和 ④ 发散, 则 ① 和 ② 都发散 D. ① ② ③ ④ 的收敛性无确定的关系 4. n 0 ( 1 ) n ( 2 n n 1 1 ) ! ( )   = − + + = . A. 1 2 ( s in 1 + c o s 1 ) B. 2 s in 1 + c o s 1 C. s in 1 + 2 c o s 1 D. s in 1 + c o s 1 5.设有两个数列  a n  与  b n  ,若 limb =0 ,则 ( ). n n→     A. 当 a 收敛时, a b 收敛 B. 当  a 收敛时, a b 收敛 n n n n n n n=1 n=1 n=1 n=1   C. 当 a 发散时, a b 发散 D. 当 n n n n=1 n=1 n 1 a n   =  发散时, a2b2 发散 n n n=1高数 · 8.无穷级数 6.判别级数 第 190 页，共200页 2 1 − 1 − 2 1 + 1 + 3 1 − 1 − 3 1 + 1 + + n 1 − 1 − n 1 + 1 + 的敛散性,正确的结论 是 ( ). A. 由莱布尼茨定理, 可推得该级数收敛 B. 由于添加括号后级数发散, 故原级数发散 C. 由于各项取绝对值后得到的级数发散, 故原级数发散 D. 由 lim n n 1 1 0  → − = ,可知原级数收敛 二、填空题  1.设 a xn 的收敛半径为 3,则 n n=0 n 0 n a n ( x 1 ) n 1   = + + 的收敛区间为 ________ .   a 2.设 a xn 的收敛半径为 R=1 ,则  n xn 的收敛域为________ . n n! n=0 n=0高数 · 8.无穷级数 3. 第 191 页，共200页 lim n 1 n k n 1 1 k 3 1 1 k k 2  →  =  +  = ________ . 4. lim n 1 a 2 a 2 n a n ( a 1 )  →  + + +   = __________ .    5.设 (−1)n−1 u =2,u =5 ,则 u =________ . n 2n−1 n n=1 n=1 n=1高数 · 8.无穷级数  6.设 u (u 0) 发散, n n n=1 第 192 页，共200页 S n = u 1 + u 2 + + u n ,则 n 1 1 S n S 1 n 1   =  − +  = ________ . 三、解答题 1.已知函数 y = y ( x ) 满足方程 y  = x + y ,且 y ( 0 ) = 1   1 1 ,讨论级数   y −1−  的敛  n n n=1 散性. 2.求 n 1 n 3 n x n ( 2 ) n   =  + −  的收敛区间,并讨论在端点处的敛散性.高数 · 8.无穷级数 3.(I) 设 k0,x0 ,证明不等式: 第 193 页，共200页 k x  ( 1 + k 2 x 2 ) a r c ta n k x ; (II) 判别级数 n 1 ( 1 ) n a r n c ta n k n ( k 0 )   = −  是绝对收敛,还是条件收敛. 4.设数列  a n  满足 a n = a 0 + n d , n = 1 , 2 , ,其中 a 0,d 0 为常数. 0 (I) 求 n 0 a n x n   = 的收敛域; (II) 求 n 0 a 2 nn   = .高数 · 8.无穷级数 5.设 第 194 页，共200页 1 1 x x 2 n 0 a n x n  − − =  = . 证明: (I) a 0 = 1 , a 1 = 1 , a n + 2 = a n + 1 + a n ( n = 0 ,1 , 2 , ) ; (II) n 1 a a n na n 1 2   = + + 收敛,并求其和. 6.设 f ( x ) 在  a , b  上可导,且满足 a f (x)b, f(x) k1, u n = f ( u n − 1 ) ( u = 1 , 2 , ) u 0   a , b  , , 证明: (I) n 1 ( u n 1 u n )   = + − 绝对收敛; (II) lim n u n  → 存在.高数 · 8.无穷级数 7.设幂级数 第 195 页，共200页 n 0 a n x n   = 在 x ( , )    − + 上满足: a 0 1 , n 0 2 a n x n 1 n 0 ( n 1 ) a n 1 x n 0   =  = + +  = + + = ,求级 数 n 0 a n   = 的和. 8.设 a = + x2ne−nx2 dx(n=1,2, ) ,证明:级数 n − k 1 a n   = 收敛.高数 · 8.无穷级数 9.设 第 196 页，共200页 a 0 = 0 , a n + 1 = 2 + a n ( n = 0 ,1 , 2 , ) . (I) 证明: lim n a n  → 存在,并求其值; (II) 判别 n 1 ( 1 ) n 1 2 a n   = − − − 是绝对收敛,还是条件收敛. 10.将 f ( x ) = x e x 在 x = 2 处展开为幂级数,并求 f (n ) ( 2 ) . 11.将 f ( x ) = x 3 − − 1 x 在 x=1 处展开为幂级数,并求 f (n)(1) .高数 · 8.无穷级数 12.将 第 197 页，共200页 f ( x ) = s in x + x c o s x 展开为 x 的幂级数,并求 n 0 ( 1 ) n ( 2 n n 1 1 ) !   = − + + 的和. 13.将 f ( x ) = x e x − x e 2 x + 1 展开为 x 的幂级数,并求 n 1 ( n n 1 ) !   = + 的和. 14.求级数 n 0 x e n x   = − 的收敛域及和函数.高数 · 8.无穷级数 15.设 第 198 页，共200页 a 0 = 3 , a 1 = 5 ,且 n a n = 2 3 a n − 1 − ( n − 1 ) a n − 1 ( n  1 ) ,证明: 当 x  1 时, n 0 a n x n   = 收敛, 并求其和函数. 16.设 f ( x ) n 1 x n n 2  =  = ,证明: f ( x ) f ( 1 x ) ln x ln ( 1 x ) n 1 1 n 2  + − + − =  = . 17.设 f ( x ) n 0 a n n! x n  =  = 满足  f f  ( ( 0 x ) ) = − 0 f ,  f ( x (  ) 0 − ) 2 = f 1 , ( x ) = 0 , 求 f ( x ) 及 a n .高数 · 8.无穷级数 18.设 第 199 页，共200页 a n 1 0 x n 1 x 2 d x , b n 2 0 s in n td t ( n 1 , 2 , )  =  − =  = ,求级数 n 1 ( 1 ) n 1 a b n n   = − − 的和. 拓展题 一、解答题  1.设 a =1,a =0,(n+1)a =na +a (n=1,2, ),S(x)=a xn . 0 1 n+1 n n−1 n n=0 (I) 求 lim n a n  → ,并计算级数 n 0 a n x n   = 的收敛半径; (II) 求 S ( x ) 满足的一阶微分方程,并求和函数 S ( x ) .高数 · 8.无穷级数 2.设 第 200 页，共200页 f ( x ) 在  − 1 ,1  上有定义,在 x = 0 的某邻域内有二阶连续导数,且 lim x → 0 f ( x x ) = 0 ,证  1 明:级数 f   绝对收敛. n n=1 3.设 f ( x ) 满足 f  ( x ) + 2 f  ( x ) + f ( x ) = 0 ,且 f ( 0 ) 1 , f ( 0 ) 0 , a n n f ( x ) d x  =  = =  + . (I) 求 f ( x ) 及 a n ; (II) 求级数 n 1 a n   = 的和.