25李林《880》数二高数部分做题本_考研_数学_02.李林_25李林《880题》做题本（全）_数二

目录 目 录 高等数学........................................................................ 2 第一章 函数、极限、连续 .................................................... 2 基础题 ................................................................. 2 综合题 ................................................................ 13 拓展题 ................................................................ 29 第二章 一元函数微分学及其应用 ............................................. 32 基础题 ................................................................ 32 综合题 ................................................................ 59 拓展题 ................................................................ 77 第三章 一元函数积分学及其应用 ............................................. 79 基础题 ................................................................ 79 综合题 ................................................................ 98 拓展题 ............................................................... 125 第四章 多元函数微分学及其应用 ............................................ 129 基础题 ............................................................... 129 综合题 ............................................................... 139 拓展题 ............................................................... 149 第五章 二重积分 .......................................................... 151 基础题 ............................................................... 151 综合题 ............................................................... 161 拓展题 ............................................................... 172 第六章 微分方程及其应用 .................................................. 173 基础题 ............................................................... 173 综合题 ............................................................... 180 拓展题 ............................................................... 190 第 1 页，共191页高数 · 1.函数、极限、连续 高等数学 第一章 函数、极限、连续 基础题 一、选择题 (1) 函数 f (x)= xsinxecosx,x(−,+), 是 ( ). A. 单调函数 B. 周期函数 C. 偶函数 D. 有界函数 (2) 设函数 第 2 页，共191页 f ( x ) = c o s ( s in x ) , g ( x ) = s in ( c o s x ) , 则当 x 0 , 2     时, ( ). A. f ( x ) 单调增加, g ( x ) 单调减少 B. f ( x ) 单调减少, g ( x ) 单调增加 C. f ( x ) 与 g ( x ) 都单调增加 D. f ( x ) 与 g ( x ) 都单调减少 (3) 设函数 f ( x ) = 1 + x + x 2 − 1 − x + x 2 , 则 ( ). A. f (x) 为偶函数 B. f (x) 为奇函数 C. f (x) 为无界函数 D. limf (x)=1 x→高数 · 1.函数、极限、连续 (4) 设当 第 3 页，共191页 x  → + 时, f ( x ) , g ( x ) 都是无穷大, 则当 x  → + 时, 下列结论正确的是( ). A. f ( x ) − g ( x ) 是无穷小 B. f (x)+g(x) 是无穷大 g(x) f (x)+g(x) C. →1 D. 是无穷小 f (x) f (x)g(x) (5) 当 x → 0 1 1 时, sin 是( ). x2 x A. 无穷大 B. 无穷小 C. 有界但非无穷小 D. 无界但非无穷大  x2  (6) 已知 lim −ax−b=0, 则 ( ). x→ x+1  A. a=1,b=1 B. a=−1,b=1 C. a=1,b=−1 D. a = − 1 , b = − 1高数 · 1.函数、极限、连续 (7) 设当 第 4 页，共191页 x → 0 时, ( x − s in x ) ta n x 是比 ln ( 1 + x n ) 高阶的无穷小, 而 ln ( 1 + x n ) 是比 x 2 高阶的无穷小, 则 n=( ). A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 (8) 设 f ( x ) = ln 2 x , g ( x ) = x , h ( x ) = e x2 ( x  1 ) , 则当 x 充分大时, ( ). A. f ( x )  g ( x )  h ( x ) B. g ( x )  h ( x )  f ( x ) C. h ( x )  g ( x )  f ( x ) D. g ( x )  f ( x )  h ( x ) (9) 设 lim n a n  → 与 lim n b n  → 均不存在,则下列选项正确的是 ( ). A. 若 lim n ( a n b n )  → + 不存在, 则 lim n ( a n b n )  → − 必不存在 B. 若 lim n ( a n b n )  → + 不存在, 则 lim n ( a n b n )  → − 必存在 C. 若 lim n ( a n b n )  → + 存在, 则 lim n ( a n b n )  → − 必不存在 D. 若 lim(a +b ) 存在, 则 lim(a −b ) 必存在 n n n n n→ n→高数 · 1.函数、极限、连续 (10) 函数 第 5 页，共191页 f ( x ) = 2 1 + + e e 1x 2x + s in x x 在 x = 0 处为 ( ). A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点 二、填空题 (1) 设 f ( x ) =  1 0 , , x x  1 , 1 , 则 f  f  f ( x )   = ________. 1 (2) 当 x→0 时, ( 1+ax2) 3 −1 与 c o s x − 1 是等价无穷小,则 a = ________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 1.函数、极限、连续 (3) 设函数 第 6 页，共191页 f ( x ) =  s a in , 2 x + x e 2 a x − 1 , x x  = 0 0 , 在 x = 0 处连续, 则 a = ________. (4) 设 a  0  1 1  , 知 lim xPax −ax+1 存在, 则   x→+   P 的取值范围为________. x3+x2 +1 (5) lim (sinx+cosx)=________. x→+ ex +x3高数 · 1.函数、极限、连续 (6) 第 7 页，共191页 lim x → 0 e x 2 − e x e 4 2 − − 2 1 co sx = ________. (7) 设 f ( x ) = a + b x + c x 2 + d x 3 − ta n x , 当 x → 0 时, f ( x ) 是比 x 3 高阶的无穷小, 则 a + b + c + d = ________. 三、解答题 (1) 设 f (x) 是定义在 (−a,a) 内的函数,证明: f (x) 可以表示为一个偶函数与一个奇函 数之和.高数 · 1.函数、极限、连续 (2) 设函数 第 8 页，共191页 f ( x ) 满足 a f ( x ) + b f  1 x  = c x , 其中 a , b , c 均为常数, 且 a  b , 求 f ( x ) 的表达式, 并证明 f ( x ) 是奇函数. (3) 设函数 f ( x ) 在区间 ( − a , a ) 内有定义, 其中 a0, 且对任意 x 1 , x 2  ( − a , a ) , 有 f (x )− f (x ) x −x , 证明: 1 2 1 2 F ( x ) = f ( x ) + x 在 ( − a , a ) 内单调增加. (4) 设数列  x n  满足 limx = limx =a, 证明: limx =a. 2k 2k+1 n k→ k→ n→高数 · 1.函数、极限、连续 (5) 求下列极限: (I) 第 9 页，共191页 lim x →  x x 2 2 − + x s in x s in x 1 x x  1 1 1  ax +bx +cx  ; (II) lim (a,b,c为正数);   x→+ 3     (III) lim x → 0 ln ln ( s in ( 2 e 2 x x − + x e 2 x ) ) − − 2 x x ; (IV) lim x → 0 (1 + x ) x 3x − e 3 ; (V) lim x → 0 e tan x x − 3 e x  1 1 ; (Ⅵ) limcotx −  ; x→0 sinx x高数 · 1.函数、极限、连续 (Ⅶ) 第 10 页，共191页 lim x → 0 ( 1 − x 2 ) 1 − 1 1 − x 2 ; (Ⅷ) lim x → 0 + x sin x . (6) 求下列极限: (I) lim n n 2 1 n 1 n 2 2 n 2 n 2 n n n  →  + + + + + + + + +  ; (II) lim 1+2+ +n− 1+2+ +(n−1);   n→公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 1.函数、极限、连续 (III) 第 11 页，共191页 lim n k n 1 4 k 1 2 1  →  = − ; (IV) lim n n 1 1 2 1 3 1 n  → + + + + ; n 1+n3 (V) lim  .   n→ 2 高数 · 1.函数、极限、连续 (7) 求 第 12 页，共191页 f ( x ) (1 x ) tan x x 4  = +  −  在 ( 0 , 2 )  内的间断点, 并指出其类型. (8) 讨论函数 f ( x ) lim n x n x n 2 x x n n  = → + + − − − 的连续性. (9) 设 f (x) 在  a , b  上连续, 且 a  c  d  b , 证明: 在 (a,b) 内必存在一点 , 使得 m f ( c ) n f ( d ) ( m n ) f ( )  + = + , 其中 m,n 为任意给定的自然数.高数 · 1.函数、极限、连续 (10) 设 第 13 页，共191页 x 1 = a ( a  0 ) , x n + 1 = a + x n , 证明: limx 存在, 并求其值. n n→ (11) 设 x 1 = a 0 , y 1 = b 0 , a b , x n + 1 = x n y n , y n + 1 = x n + 2 y n ( n = 1 , 2 , ) ,证明 : lim n x n lim n y n   → = → . 综合题 一、选择题 1 sin e x −1 (1) lim =a0 成立的充要条件是 ( ). x→ 1 k  1 1+  −1+   x  x A. k 1 B. k 1 C. k  0 D. 与 k 无关高数 · 1.函数、极限、连续 (2) 已知 第 14 页，共191页 lim x → 0 2 a r c ta n x x − p ln 1 1 + − x x = c  0 , 则( ). A. p = 3 , c = − 4 3 B. p = − 3 , c = 4 3 C. p = 4 3 , c = 3 D. p = − 4 3 , c = − 3 (3) 设当 x → 0 时, ( x ) ta n x s in x , ( x ) 1 x 2 1 x 2 , ( x ) 1 0 co sxs in td t    = − = + − − =  − 都是无穷小, 将它们关于 x 的阶数从低到高排列, 正确的顺序为 ( ). A. ( x ) , ( x ) , ( x )    B. ( x ) , ( x ) , ( x )    C. (x),(x),(x) D. (x),(x),(x) (4) 设 y= y(x) 是方程 y+2y+y=e3x 的解, 且满足 y(0)= y(0)=0, 则当 x→0时, 与 y(x) 为等价无穷小的是 ( ). A. sinx2 B. s in x C. ln ( 1+x2) D. ln 1 + x 2高数 · 1.函数、极限、连续 (5) 设 第 15 页，共191页 F ( x ) =  f f ( x x( 0 ) ) , , x x  = 0 0 , , 其中 f ( x ) 在 x = 0 处可导, 且 f  ( 0 )  0 , f ( 0 ) = 0 ,则( ). A. x = 0 是 F(x) 的连续点 B. x = 0 是 F ( x ) 的第一类间断点 C. x = 0 是 F(x) 的第二类间断点 D. 以上说法均错误  1  (x+1)arctan , x1, (6) 设 f (x)= x2 −1 则  0, x=1, f ( x ) ( ) . A. 在 x = 1 , x = − 1 处都连续 B. 在 x = 1 , x = − 1 处都间断 C. 在 x = − 1 处间断, x = 1 处连续 D. 在 x = − 1 处连续, x = 1 处间断 (7) 下列结论中错误的是 ( ). A. 设 lim n a n a 1  → =  , 则存在 M 1, 当 n 充分大时, 有 a M n B. 设 a= lima  limb =b, 则当 n 充分大时, 有 a b n n n n n→ n→ C. 设 M a n N ( n = 1 , 2 , ) , 若 lim n a n a  → = , 则 M a N D. 若 lima =a0, 则当 n n→ n 1 充分大时, a a− n n高数 · 1.函数、极限、连续 (8) 设 第 16 页，共191页  x n  与  y n  为两个数列, 则下列说法正确的是 ( ). A. 若  x n  与  y n  无界, 则  x n + y n  无界 B. 若  x n  与  y n  无界, 则  x n y n  无界 C. 若  x n  与  y n  中, 一个有界, 一个无界, 则  x n y n  无界 D. 若  x n  与  y n  均为无穷大, 则  x n y n  一定为无穷大 (9) [25新增]设正项数列 x ,y  满足 e xn = x n + e y n ( n = 1 , 2 , ) , 且 lim n x n 0  → = , 则当 n  → 时, 正确的是 ( ) A. y n 是比 x n 高阶的无穷小 B. x n 是比 y n 高阶的无穷小 C. y n 与 x 是等价无穷小 D. n x n 与 y n 是同阶但不等阶无穷小 (10) [25新增]设  x n  为数列,则下列结论正确的是（ ） ① 若  a r c ta n x n  收敛,则  x n  收敛; ② 若  a r c ta n x n  单调,则  x n  收敛; ③ 若 x −1,1, 且 x  收敛,则 arcsinx  收敛; n n n ④ 若 x n   − 1 ,1  , 且  x n  单调,则  a r c s in x n  收敛. A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④高数 · 1.函数、极限、连续 (11) 下列极限存在的是 ( ). A. 第 17 页，共191页 lim x → 11 + 1 2 1 1 − x B. lim x 1 s in x x x  → +  +  C. lim n n ( 1 ) n ( n 1 )  →  + − +  D. lim n 1 2 1 1 2 2 1 n 2 1n  →  + + +  (12) 设 f ( x ) 在 ( , )   − + 内为连续的奇函数, a 为常数,则必为偶函数的是 ( ). A.  x 0 d u  u a tf ( t )d t B.  x a d u  u 0 f ( t )d t C.  x 0 d u  u a f ( t )d t D.  x a d u  u 0 tf ( t )d t高数 · 1.函数、极限、连续 (13) 设 第 18 页，共191页 f ( x ) lim t x 1 2 2 tx tx  = → + + + x , 则 F(x)= f (t)dt 在 −1 x = 0 处 ( ). A. 可导 B. 间断点 C. 不可导但连续 D. 无法判定 (14) 设 f ( x ) ( 0 x x , 3 ( 1 1 ) s in ) 2 x x , x x 0 0 , , x ( , )   =  − +  =  − + , 则 ( ). A. f ( x ) 在 ( , )   − + 内有界 B. 存在 X  0 , 当 x  X 时, f (x) 有界, 当 x  X 时, f ( x ) 无界 C. 存在 X  0 , 当 x  X 时, f (x) 无界,当 x  X 时, f (x) 有界 D. 对任意 X  0 , 当 x X 时, f ( x ) 有界,但在 ( , )   − + 内无界 二、填空题 (1) 当 x → 0 时, f ( x ) = 3 x − 4 s in x + s in x c o s x 是关于 x 的______阶无穷小.高数 · 1.函数、极限、连续 (2) 极限 第 19 页，共191页 lim x → 0 ( c o 2 x 2 s x + − 1 e − x ) 2 1 s + in x x 2 2 = _______. (3) 设 f ( x ) f (x) 是连续函数, lim =−1, 当 x→01−cosx x → 0 时,  sin 0 2 x f ( t )d t 是关于 x 的 n 阶无穷小, 则 n = _______. (4) [25新增]设 lim x → a f ( x x − ) − a b = A ef(x) −eb , 则 lim =_______. x→a x−a高数 · 1.函数、极限、连续 (5) 设 第 20 页，共191页 a n = 3 2  n 0 n+ 1 x n − 1 1 + x n d x , 则 lim n n a n  → = _______. (6) 设 k  1 2 , 则 lim n ln n n ( 2 1 n k 2 k 1) n  →  − − +  = _______. (7) 设 0a a , 则 1 2 lim n ( a 1 n a 2 n ) 1 n  → − + − = _______.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 1.函数、极限、连续 ( ) (8) 设 lim 31−x6 −ax2 −b =0, 则 x→ 第 21 页，共191页 a = _______. b = _______. (9) 设 lim x → 0  a  x  + ln ln   1 1 + + e e 2x 1x    = b , 其中  x  表示不超过 x 的最大整数, 则 a = _______. b= _______. (10) 已知连续函数 y = f ( x ) 关于点 ( a , 0 ) ( a  0 ) 对称, 则对常数 c , I =  c − c f ( a − x )d x = _______.高数 · 1.函数、极限、连续 三、解答题 (1) 设数列 第 22 页，共191页  a n  满足 lim n a na n 1 q  → + = , 且 q  1 , 证明: lima =0. n n→ (2) 设 a k = 2 1k 2 , u n = a 1 a 2 a n ( n = 1 , 2 , ) , 求 limu . n n→ x 1+ a, a0 (3) 设数列 x =(1+a)n +(1−a)n, 证明:lim n+1 = n n→ x n 1, a=0高数 · 1.函数、极限、连续 (4) 证明: limnan +an + +an =maxa ,a , ,a (a 0,i=1,2, ,k). 1 2 k 1 2 k i n→ (5)如下： （I) 设 第 23 页，共191页 x 1 = 1 , x 2 = 2 , x n + 2 = 1 2 ( 3 x n + 1 − x n ) ( n = 1 , 2 , ) , 求 limx . n n→ (II) 设 x 1 = 1 , x 2 = 2 , x n + 2 = 1 2 ( x n + x n + 1 ) , 求 lim n x n  → .高数 · 1.函数、极限、连续 (6) 设 第 24 页，共191页 f n ( x ) = 1 − (1 − c o s x ) n ( n = 1 , 2 , ) . (I) 证明: 方程 f n ( x ) = 1 2 在 0 , 2    内有且仅有一个实根 x n ; (II) 设 x n 0 , 2     1 1   , 满足 f (x )= , 证明: arccos x  , 且 limx = . n n 2 n n 2 n→ n 2 (7) 如下： (I) 证明: 方程 x = 1 + 2 ln x 在 ( e , )  + 内有唯一实根 ; (II) 取 x 0 ( e , )   , 令 x n = 1 + 2 ln x n − 1 ( n = 1 , 2 , ) , 证明: lim n x n   → = .高数 · 1.函数、极限、连续 (8) 设 第 25 页，共191页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续, 且 f ( 0 ) = f ( 1 ) , 证明: (I) 至少存在一点 ( 0 ,1 )   , 使得 f ( ) f 1 2   =  +  ; (II) 至少存在一点 ( 0 ,1 )   , 使得 f ( ) f 1 n ( n 2   =  +  为自然数). (9) 计算极限 lim x → 0  x 0  ( 3 + 2 ta 3 3 x e n t − t ) 1 − 3 t  d t . (10) 设 0 x 1 , x n 1 s in x n    + = . (I) 证明: lim n x n  → 存在, 并求值; 1 x x2 (II) 求 lim n+1  n . n→ x n 高数 · 1.函数、极限、连续 (11) 设 第 26 页，共191页 n 1 + 1  ln  1 + 1 n   1 n , 证明: 极限 lim n 1 1 2 1 n ln n  →  + + + −  存在. (12) 设 x 1  0 , 数列  x n  满足 x n + 1 = ln ( e xn − 1 ) − ln x n , 证明: lim n x n  → 存在, 并求值. (13) 求下列极限: (I) 当 x  1 时, 求 lim(1+x)( 1+x2)( 1+x4) ( 1+x2n) ; n→高数 · 1.函数、极限、连续 (II) 当 第 27 页，共191页 x  0 x x x 时, 求 limcos cos cos ; n→ 2 4 2n (III) lim x 2 ( 1 s in x ) ( 1 (1 3 s s in in x x ) ) n 1 ( 1 n s in x )  → − − − − − . (14) 求下列极限:  f (x) ln1+   sinx  1 f (x) (I) 设 lim = (a0,a1), 求 lim ; x→0 ax −1 2 x→0 x2高数 · 1.函数、极限、连续 (II) 设 第 28 页，共191页 f ( x ) 是三次多项式, 且有 lim x → 2 a x f ( − x 2 ) a = lim x → 4 a x f ( − x 4 ) a = 1 ( a  0 ) ,求 lim x → 3 a x f ( − x 3 ) a . (15) 设 f ( x ) 在 ( a , b ) 内连续,且 lim x a f ( x ) , lim x b f ( x )   → + = − → − = − ,证明: f ( x ) 在 ( a , b ) 内有最大 值. (17) 设 x 1 = 1 2 , x n + 1 = x 2n + x n ( n = 1 , 2 , ) , 求极限 lim n x 1 1 1 x 2 1 1 x n 1 1  →  + + + + + +  .高数 · 1.函数、极限、连续 （18）设 第 29 页，共191页 a n =  1 0 s in x n d x , b n =  1 0 s in n x d x ( n = 1 , 2 , ) , 证明: (I) 0 b a ; n n (II) lima = limb =0. n n n→ n→ 拓展题 三、解答题 (1) 设 f ( x ) 在  a , b  上可导,且 f  ( x )  1 ,当 x   a , b  时,有 a  f ( x )  b , F ( x ) = 1 2  x + f ( x )  , 证明: (I) 存在 x *  ( a , b ) , 使得 F ( x * ) = x * ; (II) 对 x 0   a , b  ,数列  x n  满足 x n + 1 = F ( x n ) ( n = 0 ,1 , 2 , ) ,有 lim n x n x *  → = .高数 · 1.函数、极限、连续 (2) 如下： (I) 设 第 30 页，共191页 f ( x ) 是  0 , )  + k+1 上单调减少且非负的连续函数.证明: f (k+1)  f (x)dx f (k) k ( k = 1 , 2 , ) (II) 证明: ln ( 1 + n ) 1 + 1 2 + + 1 n 1 + ln n , 并求极限 lim n 1 1 2 ln n 1 n  → + + + . (3) [25新增]设 f (x)=xn −cosx(n=1,2, ). n (I) 证明方程 f n ( x ) = 0 在 x  ( 0 ,1 ) 内有唯一实根 x n ; (Ⅱ)求 lim n →  (1 − x n ) 1n ln co s xn .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 1.函数、极限、连续 (4) [25新增]如下： (I) 证明: 第 31 页，共191页 1 n − ln  1 + 1 n   2 1 n 2 ( n 为正整数);  1  2   n  （II）求极限 lim1+ 1+  1+  . n→ n2 n2  n2高数 · 2.一元函数微分学及其应用 第二章 一元函数微分学及其应用 基础题 一、选择题 1−cosx , x0,  (1) 设 f (x)= x 其中  x2(x), x 0,  第 32 页，共191页 ( x )  是有界函数, 则 f ( x ) 在 x = 0 处 ( ). A. 可导 C. 极限存在, 但不连续 B. 连续, 但不可导 D. 极限不存在 (2) 设 f(x) 存在, a,b 为任意实数, 则 lim Δ x → 0 f ( x + a Δ x ) Δ − x f ( x − b Δ x ) = ( ). A. (a+b) f(x) B. (a−b) f(x) C. a f  ( x ) D. bf(x) x (3) 设 f (x)= , 则 1+x+1 f ( x ) 在 x=0 处( ). A. 连续且可导 B. 右连续但右导数不存在 C. 右连续且右导数存在 D. 右极限存在且右导数存在高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (4) 第 33 页，共191页 f ( x ) = ( x 2 + 3 x + 2 ) x 3 − x 不可导点的个数为 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (5) 下列函数中, 在 x = 0 处不可导的是 ( ). A. f ( x ) = x s in x B. f (x)= xsin x C. f ( x ) = c o s x D. f (x)=cos x (6) 设 f (x)可导且 f  ( x 0 ) = 1 2 ,则当 Δ x → 0 时, f (x)在 x 0 处的微分 d y 是 Δ x 的( )无穷小. A. 等价 B. 同阶 C. 低阶 D. 高阶高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (7) 设 第 34 页，共191页 f ( − x ) = − f ( x ) ,且在 ( 0 , )  + 内, f  ( x )  0 , f  ( x )  0 ,则 f ( x ) 在 ( , 0 )  − 内必有( ). A. f(x)0, f(x)0 B. f(x)0, f(x)0 C. f(x)0, f(x)0 D. f(x)0, f(x)0 (8) [25新增]设 f ( x ) 在  − 1 ,1  上二阶可导, 且 f  ( x )  0 ,  1 − 1 f ( x ) = 2 , 则 ( ). A. f ( 0 ) 0 B. f ( 0 )  0 C. f ( 0 ) 1 D. f ( 0 )  1 (9) 设 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内连续, f ( 0 ) = 0 , lim x → 0 1 f − ( c x o ) s x = 2 ,则 f ( x ) 在 x = 0 处( ). A. 不可导 B. 可导且 f(0)0 C. 有极小值 D. 有极大值高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (10) 第 35 页，共191页 y = ( x − 1 ) 2 ( x − 3 ) 2 的 拐 点 个 数 为 ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (11) 设 f  ( x 0 ) = f  ( x 0 ) = 0 , f  ( x 0 )  0 , 则下列选项正确的是 ( ). A. x 0 是 f ( x ) 的极值点 B. f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极大值 C. f (x ) 是 0 f ( x ) 的极小值 D. ( x 0 , f ( x 0 ) ) 是 y = f ( x ) 的拐点 (12) 设 f ( x ) 有一阶连续导数, F ( x ) = f ( x ) ( 1 + s in x ) ,则 f (0)=0是F(x)在 x = 0 处可导的 ( ). A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (13) 设 第 36 页，共191页 f ( x ) 有任意阶导数, 且 f  ( x ) = f 2 ( x ) , 则 f (n ) ( x ) = ( ) ( n  3 ) . A. n ! f n + 1 ( x ) B. n f n + 1 ( x ) C. f 2 n ( x ) D. n ! f 2 n ( x ) (14) 设 y=ln(1−2x), 则 y (1 0 ) = ( ). A. (1 − − 9 2 ! x 1) 0 B. (1 − 9 2 ! x 1) 0 C. − (1 9 − ! 2 2 x 1 0 1) 0 D. 1 (1 0 − ! 2 2 x 9 1) 0 (15) 设 0 , f ( x )   在 ( , )  − 内有定义, 当 x ( , )   − 时, 有 f ( x ) x 2 , 则 x = 0 是 f ( x ) 的 ( ). A. 间断点 B. 连续但不可导点 C. 可导点且 f(0)=0 D. 可导点且 f(0)0高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (16) 设 第 37 页，共191页 f ( x ) 连续, 且 f  ( x 0 )  0 , 则存在 0   , 使得 ( ). A. 对任意 x(x −,x ), 有 f (x) f (x ) 0 0 0 B. 对任意 x(x ,x +), 有 f (x) f (x ) 0 0 0 C. f ( x ) 在 ( x 0 , x 0 )  − 内单调减少 D. f ( x ) 在 ( x 0 , x 0 )  + 内单调增加 (17) 已知 y = x 3 + a x 2 + b x + c 在 x = − 2 处取得极值, 且与直线 y = − 3 x + 3 相切于点 ( 1 , 0 ) , 则 ( ). A. a = 1 , b = − 8 , c = 6 B. a = − 1 , b = − 8 , c = − 6 C. a = 1 , b = 8 , c = − 6 D. a = − 1 , b = 8 , c = − 6 (18) 设 f  ( x ) = ( x 2 − 1 1 ) + ( x x 2 + 3 ) , 则 f ( x ) ( ). A. 在 x = 1 , x = − 3 处取得极大值, 在 x=−1 处取得极小值 B. 在 x = − 1 处取得极大值, 在 x = 1 , x = − 3 处取得极小值 C. 在 x = − 1 , x = 1 , x = − 3 处都取得极小值 D. 在 x = − 1 , x = − 3 , x = 1 处都取得极大值高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (19) 曲线 第 38 页，共191页 y = 1 1 + − e e − − x x 2 2 渐近线的条数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (20) [25新增]设 f ( x ) 为连续函数, 且 lim x e x 1 x f ( x )  → +  + +  存在, 则曲线 y= f (x) 有斜 渐近线 ( ). A. y = x B. y = − x C. y = x + 1 D. y = − x − 1 (21) 曲线 y = x 2 − a 2 的渐近线的条数为 ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3高数 · 2.一元函数微分学及其应用 二、填空题  1 arctan , x0, (1) f (x)= x 在  ax+b, x 0 第 39 页，共191页 x = 0 处可导, 则 a=_______,b=________. (2) 设 f ( x ) 在 x = 0 处可导, 且 f  ( 0 ) = 2 , f ( 0 ) = 0 , 则 lim x → 0 ( f ln 1( − 1 + c o x s 2 x) ) = ______. (3) 设 y = f ( x ) 由方程 x 1 y x s in 2 4 t d t  =  −   确定, 则 lim n n f 1 n 1  →    −  = ______.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (4) 设函数 第 40 页，共191页 f ( x ) 有连续导数, 且 lim x → 0  s in 2 x x + f ( x x )  = 2 , 则 f ( x ) 的一阶麦克劳林展开式 为 ______. (5) 设函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 内连续, f  ( x ) 的图形如图所示, 则曲线 y = f ( x ) 的拐 点个数为 ______. (6) 设 f  ( 0 ) 存在, f ( 0 ) = 0 1  1−cosf (x)x , 且 lim1+  =e,则 x→0 sinx  f  ( 0 ) = ________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (7) 当 第 41 页，共191页 x → 0 时, x − s in x c o s x 与 a x b 为等价无穷小, 则 a = ________. , b = ________. (8) 当 x → 0 时, e x + ln ( 1 − x ) − 1 与 x n 是同阶无穷小, 则 n = ________.. (9) 曲线 y = e − x 2 的上凸区间是________.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (10) 设 第 42 页，共191页 f ( x ) = n 2 e xn − ( 1 + n ) x 在 x = x n 处有水平切线, 则 lim n e xn  → = ________. (11) 设连续函数 y = f ( x ) 在点 ( 1 , 0 ) 处满足 Δ y = Δ x + o ( Δ x ) , 则极限 lim x → 0 x 2 e  1 + x f ln ( ( 1 t )d + t x 3 ) = ________. (12) 设 f ( x ) = x ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) ( 1 0 0 x − 9 9 ) , 则 f  ( 0 ) = ________.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (13) 设 第 43 页，共191页 d d x  f ( x 3 )  = 1 x , 则 f  ( x ) = ________. . (14) [25新增]设 f (x)=x2sinx, 则 f (1 0 ) ( x ) = _______. (15) 设 f ( x ) 可导, 且 lim x → 0 f ( 1 ) − 2 f x ( 1 − x ) = − 1 , 则曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1, f (1)) 处的切线 斜率为 ________. .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (16) 设 第 44 页，共191页 f ( x ) = c o s x + x 2 x 在 x = 0 处存在的最高阶导数的阶数为________. (17) 曲线 x = a c o s 3 t , y = a s in 3 t ( a  0 ) 在 t 4  = 处的曲率为________. (18) 曲线 y = 2 ( x − 1 ) 2 的最小曲率半径为________.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 三、解答题 (1) 计算下列函数的导数: (I) 第 45 页，共191页 y = 3 x 1  3 x ; (II) y=xaa +axa +aax (a0); (III) y = 2 sin x ; (IV) y = ln ta n x + s e c x . (2) 求下列函数的导数: (I) y= ( 1+x2)sinx ; (II) y=ln 1 . x+ x2 +1高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (3) 求下列函数的微分: (I) 第 46 页，共191页 y a r c ta n 1 x  =   , 其中  可导,求 d y ; (II) 设 y = y ( x ) 由 e x + y − y s in x = 0 确定, 求 dy; (III) 设 y = y ( x ) 由  x y = = 2 5 t t 2 + 1 确定, 求 d y .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (4) 设 第 47 页，共191页 y = y ( x ) 由方程 x 2 + y 2 = e arctan yx 确定, 求 d d 2 x y 2 . (5) 设 y = y ( x ) 由参数方程  x y = = t 1 − − s c in o t s t 确定, 求 d d y x , d d 2 x y 2 . (6) 求心形线 r=1−cos 在对应于 2   = 处的切线方程.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (7) 设 第 48 页，共191页 f ( x ) =  x 0 k , s in 1 x , x x  = 0 0 , . (I) 当 k 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处不可导; (II) 当 k 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处可导, 但导函数不连续; (III) 当 k 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处导函数连续. (8) 设 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 内满足 f (xy)= f (x)+ f (y), 且 f  ( 1 ) = 1 , 证明: f ( x ) 在 ( 0 , )  + 内可导, 并求 f ( x ) .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (9) 设 第 49 页，共191页 f ( x ) =  e 0 − , 12 x , x x  = 0 0 , , 求 f (n ) ( 0 ) . (10) 设气体以 100 立方厘米/秒的速率注入球状气球, 求当半径为 10 厘米时, 气球半径增加 的速率. (设气体压力不变) (11) 一动点 P 在曲线 9y=4x2 上运动, 已知点 P 横坐标变化速率为 30cm/s, 当点 P 经过 ( 3 , 4 ) 时, 从原点到点 P 的距离 S 变化率为多少? (设坐标轴的单位长为 1 c m )高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (12) 设 第 50 页，共191页 f ( x ) 二阶可导, f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 , f  ( 0 ) = 2 , 求 lim x → 0 f ( x x )2 − x . (13) 证明: f ( x ) =  1 1 + − x x 2 2 , , 0 − 1 x x 1 ,  0 满足拉格朗日中值定理, 并求满足定理的  的值. (14) 设 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 ( a , b ) 内可导, 0ab, 且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , 证明: (I) 至少存在一点 ( a , b )   , 使得 2 f ( ) f ( ) 0    +  = ; (II) 至少存在一点 (a,b), 使得 2f ()− f()=0.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (15) 设 第 51 页，共191页 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 ( a , b ) 内可导, 0ab, 且 f ( a ) = 0 , 证明: 至少存 在一点 (a,b), 使得 af ()+(−b) f()=0. (16) 设 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续, 在 ( 0 , )  + 内可导, 且 f ( 0 ) 0 , lim x f ( x ) 0  = → + = , 证明: 至少存在一点 ( 0 , )    + , 使得 f ( ) 0   = . (17) 设 f ( x ) 在 0,+) 上连续, 在 ( 0 , )  + 内可导, 且 0 f ( x ) 1 + x x 2 , 证明: 至少存 在一点 ( 0 , )    + 1−2 , 使得 f()= . ( 1+2)2高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (18) 设 第 52 页，共191页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 (0,1) 内可导, 且 f  ( x ) 0 , f ( 0 ) = 0 , 证明: 对任意 x 0,1, 有 0 f ( x 0 ) 2 f  x 02  . (19) 设 f (x) 在  0 ,1  上可导, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 , 且 f (x) 不恒等于 x, 证明: 存在一 点 ( 0 ,1 )   , 使得 f ( ) 1    .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (20) [25新增]设 第 53 页，共191页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导, 且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 . 证明: (I) 存在 x (0,1), 使得 f (x )=2(1−x ); 0 0 0 (II) 存在  与 (0,1), 且 , 使得 f()1+ f()=2.   (21) 设 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导, f  ( x ) 1 , f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内取得最小值, 证明: f  ( 0 ) + f  ( 1 ) 1 .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (22) 设 第 54 页，共191页 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 ( a , b ) 内可导, f ( a ) = f ( b ) , 且 f ( x ) 在  a , b  上不 恒为常数. 证明: 存在相异的 ,(a,b), 使得 f() f()0. (23) 设 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导, 且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 2  1 1 2 f ( x )d x , 证明: (I) 至少存在一点 ( 0 ,1 )   , 使得 f ( ) 0   = ; (II) 对    R , 至少存在一点 ( 0 ,1 )   , 使得 f()−f()=0.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (24) 设 第 55 页，共191页 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 ( a , b ) 内可导, 0ab, 证明: 存在 , ( a , b )   , 使 得 2f()=(b+a) f(). (25) 设 a , b 为正数, 证明: 至少存在一点 ( a , b )   , 使得 a e b a b b e a e ( 1 )   − − = − . (26) 证明下列不等式: (I) 当 0 x    时, 有 s in x 2 x   ;高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (II) 当 第 56 页，共191页 e  a  b 时,有 a b  b a ; (Ⅲ)当 x  0 时,有 ( x 2 − 1 ) ln x ( x − 1 ) 2 ; (V) 若 lim x → 0 f ( x x ) = 1 , 且 f  ( x )  0 , 有 f ( x ) x .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (27) 求函数 第 57 页，共191页 y ( x 1 ) e 2 arcta n x  = − + 的单调区间与极值, 并求其渐近线. (28) 设 f ( x ) =  x x 2 x + , 2 , x x  0 0 , , 求 f ( x ) 的单调区间与极值. (29) 设函数 y = y ( x ) 由参数方程  x y = = tln t 1 ln t , t ( t 1 ) 确定, 求 y = y ( x ) 的单调区间、凹凸 区间、极值和拐点.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (30) 对数曲线 第 58 页，共191页 y = ln x 上哪一点的曲率半径最小? 求出该点的曲率半径. (31) 证明: 方程 2 x − x 2 − 1 = 0 有且仅有三个不同实根. x (32) 证明: 方程 lnx= − 1−cos2x?dx 在 (0,+) 内有且仅有两个不同实根. e 0高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (33) 讨论曲线 第 59 页，共191页 y = 4 ln x + k 与 y = 4 x + ln 4 x 交点的个数. 综合题 一、选择题 (1) 设 f ( x ) 在 ( 1 ,1 ) ( 0 )    − +  内存在导数, f  ( x ) 严格单调减少,且 f (1)= f  ( 1 ) = 1 ,则( ). A. 在 ( 1 ,1 )  − 和 ( 1 ,1 )  + 内, 均有 f ( x )  x B. 在 ( 1 ,1 )  − 和 ( 1 ,1 )  + 内, 均有 f (x)x C. 在 (1−,1) 内, f ( x )  x ; 在 (1,1+) 内, f ( x )  x D. 在 ( 1 ,1 )  − 内, f ( x )  x ; 在 ( 1 ,1 )  + 内, f ( x )  x (2) 设 f (x) 在  0 , )  + 上二阶可导, f (0)=0, f(x)0, 当 0axb 时,有( ). A. a f ( x )  x f ( a ) B. b f ( x )  x f ( b ) C. x f ( x )  b f ( b ) D. xf (x)af (a)高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (3) 设 第 60 页，共191页 f ( x ) 在  a , b  上可导, f ( x ) 在 x = a 处取得最小值,在 x = b 处取得最大值,则 ( ). A. f '+ ( a )  0 且 f '− ( b )  0 B. f '+ ( a )  0 且 f '− ( b )  0 C. f'(a) 0 且 f'(b) 0 D. f'(a)0 且 f'(b)0 + − + − (4) 设 f ( x ) 在  0 ,1  上有二阶导数, 且 f ( 0 ) = f ( 1 ) , f  ( x )  0 , 则下列选项正确的是( ). A. 至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0  = B. 在 ( 0 ,1 ) 内, f  ( x )  0 C. 存在唯一一点 ( 0 ,1 )   , 使得 f()=0 D. 至少存在不同两点 1 , 2 ( 0 ,1 )    , 使得 f ( 1 ) f ( 2 ) 0    =  = (5) 设 f ( x ) 在 x=0 的某邻域内有定义, 则 F ( x ) = f ( x ) s in x 在 x=0 处可导的充要条 件是 ( ). A. lim x → 0 f ( x ) 存在 B. lim f (x)= f (0) x→0 C. f (x) 在 x = 0 处可导 D. lim f (x) 与 x→0− lim x → 0 + f ( x ) 均存在, 且 lim x → 0 − f ( x ) = − lim x → 0 + f ( x )公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (6) [25新增]设 第 61 页，共191页 f ( x ) 在(−,+)内是连续的奇函数, F ( x ) =  0 x f ( t )d t ,则正确的是( ). A. F ( x ) 是不可导的奇函数 B. F ( x ) 是可导的偶函数 C. F ( x ) 是不可导的偶函数 D. F ( x ) 是可导的奇函数 (7) 设 y = f ( x ) 在 x 0 的某邻域内有四阶连续导数, 且 f  ( x 0 ) = f  ( x 0 ) = f  ( x 0 ) = 0 ,且 f (4 ) ( x 0 )  0 , 则 ( ). A. f ( x ) 在 x 0 处取得极小值 B. f ( x ) 在 x 0 处取得极大值 C. ( x 0 , f ( x 0 ) ) 是 y = f ( x ) 的拐点 D. f ( x ) 在 x 0 的某邻域内单调减少 (8) 设 f (x) 在 x 0 f (x)− f (x ) 的某邻域内连续, 且 lim 0 =1, 则 ( ). x→x 0 (x−x 0 )n A. 当 n 为奇数时, x 0 是 f ( x ) 的极大值点 B. 当 n 为奇数时, x 0 是 f (x) 的极小值点 C. 当 n 为偶数时, x 是 0 f ( x ) 的极小值点 D. 当 n 为偶数时, x 是 0 f ( x ) 的极大值点高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (9) 设 第 62 页，共191页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内可导, 则下列命题正确的是 ( ). A. 若 lim x f ( x )   → − = − , 则必有 lim x f ( x )   → −  = − B. 若 lim x f ( x )   → −  = − , 则必有 lim x f ( x )   → − = − C. 若 lim x f ( x )   → + = + , 则必有 lim x f ( x )   → +  = + D. 若 lim x f ( x )   → +  = + , 则必有 lim x f ( x )   → + = + x (10) 设 k 0, 方程 lnx− +k=0 在 e ( 0 , )  + 内不同实根的个数为 ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (11) 设当 x  0 时, 方程 k x + 1 x 2 = 1 有且只有一个实根, 则( ). 2 2 2 2 A. k  3 B. k  3 C. k = 3 D. k =− 3 9 9 9 9高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (12) 设 第 63 页，共191页 f ( x ) 在  0 , )  + 上二阶可导, f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 )  0 , f  ( x ) M  0 , 则方程 f ( x ) = 0 在 (0,+) 内不同实根的个数为 ( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 1 (13) 设可导函数 f (x),x0,1满足 f(x) M 0,且 f   0,则在区间( )上,有 2 f ( x ) 1 4 M . A.  0 , 1 4  B.  1 4 , 1 2  C.  1 2 , 3 4  D.  3 4 ,1  (14) 设函数 f1 ( x ) , f 2 ( x ) 有二阶连续导数, 且 '' f1 ( x )  0 , f ''2 ( x )  0 , 若曲线 y = f1 ( x ) 与 y= f (x) 在点 2 ( x 0 , y 0 ) 处有公切线 y=g(x), 且在该点处曲线 y= f (x) 的曲率半径 1 小于 y= f (x) 的曲率半径, 则在点 x 的某邻域内有 ( ). 2 0 A. g ( x ) f 2 ( x ) f1 ( x ) B. g(x) f (x) f (x) 1 2 C. f1 ( x ) f 2 ( x ) g ( x ) D. f1 ( x ) g ( x ) f 2 ( x )高数 · 2.一元函数微分学及其应用 二、填空题            (1) 设函数 f (x)=  tan x−1  tan x −2   tan x −100  ,则  4   4    4   第 64 页，共191页 f  ( 1 ) = _____. (2) 设 f ( x ) = 3 x 2 + k x − 3 , 若对任意 x ( 0 , )   + , 都有 f ( x ) 2 0 , 则 k 至少为 ________. (3) 函数 y = e − x  1 + x + x 2 2 ! + + x n n !  ( n 为正奇数) 的极大值为 ________. .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (4) 已知 第 65 页，共191页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内可导, 且 lim x f ( x ) e , lim x x x k k x lim x f ( x ) f ( x 1 )    →  = →  + −  = →  − −  则 k = ________. . (5) 设 y = f ( x ) 在 ( , )  − 内连续, 且其导函数 f  ( x ) 的图形如图所示, 其中 x=0 和 x = x 5 是 f  ( x ) 的铅直渐近线, 则 y = f ( x ) 极值点的个数为 ________. ,拐点的个数 为 ________. (6) 设 f ( x ) 在 x = x 0 处可导, 且 f ( x 0 )  0 , 则 lim x →   f  x f 0 ( + x 0 1 x)   x = _____.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (7) 设 第 66 页，共191页 y = f ( x ) 在 x 0 处有三阶连续导数, f  ( x 0 ) = 1 , f  ( x 0 ) = 2 , f  ( x 0 ) = 3 , y = f ( x ) 有反函 数 x=g(y), 且 y = f (x ), 则 g(y )= ________. 0 0 0 (8) 设函数 y = f ( x ) 由参数方程  x y = = 2 t 4 t + − 1 , 2 t ( t 0 )  2n+1  确定,则极限limn  f  −3  = n→   n   _____. 三、解答题 (1) 设 f ( x ) =  a x ln 2 ( 1 + + b s in ) x , x + c , x x  0 , 0 , 问 a , b , c 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处一阶导数连 续, 但二阶导数不存在?高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (2) 设 第 67 页，共191页 z f ( x ) y 2  =  +  , 其中 x , y 满足 y e y x , f ,  + = 均具有二阶导数, 求 d d z x , d d 2 x z 2 . (3) 已知 f ( x ) 是周期为 5 的连续函数, f ( x ) 在 x = 1 的某邻域内满足 f ( 1 s in x ) 3 f ( 1 s in x ) 8 x ( x )  + − − = + 其中 ( x )  是当 x → 0 时比 x 高阶的无穷小, 且 f ( x ) 在 x = 1 处可导, 求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 6 , f ( 6 ) ) 处的切线方程. (4) 设 f ( x ) = n x (1 − x ) n ( n 为正整数),求 f (x)在  0 ,1  上的最大值 M ( n ) 及 lim n →  M ( n ) .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (5) 设 第 68 页，共191页 f ( x ) =  | 0 x , p| s in 1 x , x x  = 0 0 , . (I) 当 p 为何值时, f ( x ) 在 x=0 处连续; (II) 当 p 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处可导; (III) 当 p 为何值时, f  ( x ) 在 x = 0 处连续. (6) 设 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导, 且 lim x → 0 + f ( x x ) = lim x → 1 − f x ( − ) x 1 = 1 , 证明: (I) 至少存在一点 ( 0 ,1 )   , 使得 f ( ) 0  = ; (II) 至少存在一点 (0,1), 使得 f ( ) f ( )    = .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (7) 设 第 69 页，共191页 f ( x ) 与 g ( x ) 在  a , b  上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f ( a ) = g ( b ) = 0 , 证明: 至少存在一点 (a,b), 使得 f ( ) b g ( t )d t g ( ) a f ( t )d t 0       +   = . (8) 在 x = 0 的右邻域内, 用多项式 e + a x + b x 2 近似表示函数 f ( x ) = (1 + x ) 1x , 使其误差 是比 x 2 高阶的无穷小 ( x→0+) , 求 a,b 的值.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (9) 设 第 70 页，共191页 f ( x ) 在  a , b  上可导, 证明: (I) 若 f '+ ( a ) f '− ( b )  0 , 则存在 ( a , b )   , 使得 f ( ) 0   = ; (II) 若 f'(a) f'(b), 则对介于 f'(a) 和 f'(b) 之间的每个实数 , 都存在 + − + − ( a , b )   ,使得 f ( )    = . (10) 设函数 f ( x ) 在区间  a , b  上有二阶导数, 且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , f '+ ( a ) f '− ( b )  0 . 证明: 在 ( a , b ) 内存在两点  与 , 使得 f ()=0, f()=0.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (11) 设 第 71 页，共191页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,已知在(0,1)内,  x 1  x 2 ,有 f  x 1 + 2 x 2  f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) ,证明:在 ( 0 ,1 ) 内存在 1 , 2 ,且,使得 1 2 f ( 1 ) f ( 2 )     . (12) 设 f ( x ) 在  0 , )  + 上有二阶导数, f ( 0 ) = 0 , f '+ ( 0 )  0 , f  ( x ) M  0 ( x  0 ) .证明: f ( x ) = 0 在 ( 0 , )  + 内有唯一实根.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (13) 设 第 72 页，共191页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导, f ( x )  0 ,且 lim x → 0 − f ( x x + 1 ) 存在, 证明: (I) 存在 (0,1), 使得 e 1 1 0 f e ( t )d t e 1 f ( )    − = − ; (II) 存在 ( 0 ,1 )   1 , 使得 e f (t)dt=(e−1)e(−1) f(). 0 (14) 设 f ( x ) 在  0 ,1  上具有二阶导数, 且 f (x) a, f(x) b, 其中 a , b 都是非负常数, c 是 ( 0 ,1 ) 内任一点. (I) 写出 f ( x ) 在 x = c 处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式; b (II) 证明: f(c) 2a+ . 2高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (15) 证明下列结论: 1 x dt dt (I) 设 f (x)= +x (x0), 则 01+t2 0 1+t2 第 73 页，共191页 f ( x ) 2  = ; (II) 当 x 1 时, a r c ta n x 1 2 a r c c o s 1 2 x x 2 4  − + = . (16) 设函数 f ( x ) 有二阶连续导数, 且 ( x − 1 ) f  ( x ) = 1 − e 1 − x + 2 ( x − 1 ) f  ( x ) , 证明:当 x = x 0 是 f ( x ) 的极值点时, f ( x ) 在 x 0 处取得极小值.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (17) 求椭圆 第 74 页，共191页 x 2 − x y + y 2 = 3 上纵坐标最大和最小的点. (18) 设曲线 y = 1 x 的一条切线与 x 轴和 y 轴围成一个平面图形 D ,如图所示. (I) 记切点的横坐标为 a , 求切线方程和图形 D ; (Ⅱ)当切点沿曲线趋于无穷远时,该面积的变化趋势如何? (19) 设 f (x)=arctanx, 求 f (n)(0).高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (20) 设 第 75 页，共191页 f ( x ) = a 1 s in x + a 2 s in 2 x + + a n s in n x , 其中 a 1 , a 2 , , a n 为实数, n 为正整数. (I) 求 f(0); (II) 若 f ( x ) s in x , 证明: a +2a + +na 1. 1 2 n (21) 已知 f ( x ) 可导, 证明: 曲线 y = f ( x ) ( f ( x )  0 ) 与曲线 y = f ( x ) s in x 在交点处相 切. (22) 确定 k 的取值,使方程 x 3 + 2 x 2 + x = k 有 3 个不同实根.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (23) 设 第 76 页，共191页 R = R ( x ) 是抛物线 y = x 上任一点 M ( x , y ) ( x 1 ) 处的曲率半径, s = s ( x ) 是该抛 物线上介于点 A ( 1 ,1 ) 与 M d2R dR 2 之间的弧长, 计算 3R − 的值.   ds2  ds (24) 设 f ( x ) 有二阶连续导数, f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 , f  ( 0 )  0 , u = u ( x ) 是曲线 y = f ( x ) 在点 ( x,f (x)) 处的切线在 x 轴上的截距, 求 lim x → 0 u x( x ) . (25) 设 f ( x ) 在 x 0 的某邻域内有定义, 证明: f ( x ) 在 x 0 处可导的充要条件是存在在 x = x 0 处连续的函数 g ( x ) , 使得 f (x)− f (x )=(x−x )g(x). 0 0高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (26) 证明: 方程 第 77 页，共191页 2 n + 1 k = 0 x k k ! = 0 ( n 为正整数) 有且仅有一个实根. 拓展题 三、解答题 (1) 已知函数 f ( x ) 在  0 , )  + 上有二阶连续导数, f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 , 且 x   0 , )  + , 有 f  ( x )  0 , 设 F ( x ) 是曲线 y = f ( x ) 上任一点 ( x,f (x)) 处的切线在 x 轴的截距 ( x  0 ) , 求 lim x → 0 +  F ( x ) + F  ( x )  .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (2) 设 第 78 页，共191页 f ( x ) 在  a , b  上有二阶连续导数, 且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , M = ma ax xb f  ( x ) . (I) 证明: ma ax xb f ( x ) 1 8 M ( b − a ) 2 ; 1 (II) 证明: max f(x) M(b−a). a x b 2 (3) [25新增]设 f (x) 在  a , b  上有连续的导数, 且 f  ( x )  0 , 假设 f  f ( x )  存在, 证 明: 存在 ( a , b )   , 使得 f f (b)− f f (a)=f() 2(b−a).      高数 · 3.一元函数积分学及其应用 第三章 一元函数积分学及其应用 基础题 一、选择题 (1) 设 第 79 页，共191页 f ( x ) 是连续函数, 且 f ( x )  0 , 若  x f ( x )d x = a r c s in x + C dx , 则  =( ). f (x) A. 1 3 ( 1 − x 2 ) 32 + C B. 2 3 ( 1 − x 2 ) 32 + C C. − 1 3 ( 1 − x 2 ) 32 + C D. − 2 3 ( 1 − x 2 ) 32 + C (2) 设 f ( x ) 是连续函数, F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数, 则 ( ). A. 当 f ( x ) 为奇函数时, F ( x ) 必为偶函数 B. 当 f ( x ) 为偶函数时, F ( x ) 必为奇函数 C. 当 f ( x ) 为周期函数时, F ( x ) 必为周期函数 D. 当 f ( x ) 为单调函数时, F ( x ) 必为单调函数 (3) (3) 设 F(x) 是 sinx2 的一个原函数,则 dF ( x2)=( ).   A. sinx4dx B. sinx2d ( x2) C. 2 x s in x 2 d x D. 2 x s in x 4 d x高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (4) 设 第 80 页，共191页 f ( x ) s 2 in , x , 0 x x 2 , , , F ( x ) x 0 f ( t )d t    =   =  , 则( ). A. x  = 是 F ( x ) 的跳跃间断点 B. x  = 是 F ( x ) 的可去间断点 C. F ( x ) 在 x  = 处连续但不可导 D. F ( x ) 在 x  = 处可导 (5) [25新增] f ( x ) =  x c 2 o + s x 1 , , x x  0 , 0 的一个原函数为( ). 1 1  x3+x, x 0  x3+x+1, x 0 A. F(x)=3 B. F(x)=3  sinx+1, x0  sinx+2, x0 C. F ( x ) =  1 3 s x in 3 x + , x + 1 , x x  0 0 1  x3+x, x 0 D. F(x)=3  sinx, x0 (6) 设 f ( x ) 在  0 ,1  1 上连续, f (x)0, f(x)0,f(x)0, 记 M = f (x)dx, 0 N = f ( 1 ) , P = 1 2  f ( 0 ) + f ( 1 )  , 则( ). A. M N P B. N M P C. P M N D. PN M公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (7) 设 第 81 页，共191页 lim x → 0 s in x 1 − a x  x b 1 2 t + t 2 d t = c , 且 c  0 , 则( ). A. a = 1 , b = 0 , c = − 2 B. a = 1 , b = − 2 , c = − 2 C. a = 0 , b = 1 , c = − 2 D. a = 1 , b = 1 , c = 1 (8) 下列反常积分收敛的是 ( ). A. 1 x 2 d x 1 x   + + B.  1 0 ln ( d 1 x + x ) C.  1 − 1 s d x in x + x D.  dx − 1+x2 二、填空题 (1) 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数, F 4 0    = ,当 4 x 2     时,F(x)0,F(x) f (x)= ln(tanx) ,则 sinxcosx f ( x ) = _______.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (2) 设对任意 第 82 页，共191页 x ,有 f ( x + 4 ) = f ( x ) ,且 f  ( x ) = 1 + x , x   − 2 , 2  , f ( 0 ) = 1 ,则 f ( 9 ) = ________. (3) 设 f ( x ) =  x 0 s in ( x − t ) 2 d t , 则 f  ( x ) = ________. (4) 设 F ( x ) =  x 0 tf ( x 2 − t 2 )d t , f ( x ) 是连续函数, 则 F  ( x ) = ________.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (5) 设 第 83 页，共191页 F ( x ) =  x 0 tf ( x 2 − t 2 )d t , f ( x ) 在 x = 0 某邻域内可导, 且 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 ,则 lim x → 0 F ( x 4 x ) = ________. (6) 设 ( x ) 5 0 x s in t t d t , ( x ) sin 0 x (1 t ) 1 t d t   =  =  + , 则 lim x 0 (( x x ))   → = ________. 1  tlntdt (7) 极限 lim cosx = ________. x→0 x4高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (8) 极限 第 84 页，共191页 lim x → 0  x 0   u0 2 a r c ta ( x 1 − n ( 1 c o + s x t ) ) d t  d u = ________. (9) 函数 y = 1 x − 2 x 2 在  1 2 , 2 3  上的平均值为_______. (10) 曲线 y = 1 + x x 2 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体, 将它在 x = 0 与 x=(0) 之间部 分的体积记为 V ( )  , 且 V ( a ) 1 2 lim V ( )    = → + , 则 a = _______.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (11) 曲线 第 85 页，共191页 r a s in 3 3 ( a 0 , 0 3 )    =  的弧长 s=______. (12) 曲线 y x 2 c o s t d t  =  − 的全长 s = _______. (13) 由曲线 y=lnx 与两直线 y = ( e + 1 ) − x 及 y = 0 所围平面图形的面积 S = ______.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (14) 设 第 86 页，共191页 D 是由曲线 y = s in x + 1 与直线 x 0 , x , y 0  = = = 所围平面图形, 则 D 绕 x 轴旋 转一周所得旋转体的体积 V = ________. . (15) 设 n 为正数, lim x 0 n n x x 2x 1n x e 4 x d x  →  − +  =  + − , 则 n = ________. (16) 设在 x 轴的区间  0 ,1  上有一根长度为 1 的细棒, 若其线密度 ( x ) 2 x 1  = + , 则该细 棒的质心坐标 x = ________.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (17) [25新增] 第 87 页，共191页 lim n k n 1 1 n ln n 3 n 2 2 k k  →  = + − = ______. 三、解答题 (1) 求下列积分: (I)  2 9 x x  − 3 4 x x d x ; (II)  x 2 ( d 1 x − x 4 ) ; (III)  x 4 ( d 1 x + x 2 ) arctanx ; (IV)  dx; x2( 1+x2)高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (V) 第 88 页，共191页  x + ln x ( 1 2 − x ) d x ; (2) 求下列积分: (I)  x ( 1 d + x x ) ; (II)  x e e x x − 1 d x ; (III)  1 x + 3 x 2 d x ; (IV)  ( 2 x 2 + d 1 x ) 1 + x 2 ;高数 · 3.一元函数积分学及其应用 arctan x−1 x (V)  dx; (V)  dx x x−1 1−x x (3) 求下列积分: (I) 第 89 页，共191页  s in 2 d x x c o s 4 x ; (II)  1 + d x s in x ; (III)  s in s x in + x c o s x d x 3sinx+cosx ; (IV)  dx; sinx+2cosx高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (V) 第 90 页，共191页  s in 2 x d x + 2 s in x ; (V)  a 2 s in 2 x d + x b 2 c o s 2 x ( a 2 + b 2  0 ) . (4) 求下列积分: (I)  a r c ta n x d x ; (II)  (1 ln − x x ) 2 d x ; (III)  ( x x 2 + x e 2 ) 2 d x ; (IV)  s in ( ln x )d x ;公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (V) 第 91 页，共191页  1 x 2 1 1 − + x x d x ; (VI)  e 2 x (1 + ta n x ) 2 d x . (5) 求下列积分: (I) 4 4 x 2 ln 1 1 x x c o s x d x    −  + − −  ; (II)  1 − 1 ( 2 + s in x ) 1 − x 2 d x ; (III)  2 − 2 ( x + x ) e − x d x ; (IV)  1 − 1 2 x 2 1 + + x ( e 1 x − + x e 2 − x ) d x .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (6) 求下列积分: (I)  2 (x−1)2 2x−x2dx;? (II)  ( e−cosx −ecosx) dx. 0 0 (7) 求下列积分: (I)  2 min  2,x2 dx; (II)  x ( 1− t ) dt(x −1); −3 −1 1  (III)  x−y exdx ( y 1 ); (IV)  1−sinxdx. −1 0 第 92 页，共191页高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (8) 求下列积分: (I) 第 93 页，共191页 2 2 ( x s in 2 x ) c o s 2 x d x    − + ; (II)  1 0 x ( 1 − x 4 ) 3 2 d x ; (III) 0 ts in t d t   ; (IV)  1 2x−x2 + ( 1−x2)3 dx.   0  (9) 计算下列积分: (I) 1 e x 1 d x e 3 x   + + + − 3 dx ; (II) 2 . 1 x−x2 2高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (10) 设 第 94 页，共191页 f ( x ) 在  0 ,   上有二阶连续导数, f ( 0 ) 2 , f ( ) 1  = = , 计算 I 0 f ( x ) f ( x ) s in x d x  =   +   (11) 设 f ( x ) 在  0 , a  上具有二阶导数 ( a  0 ) , 且 f ( x )  0 , f  ( x )  0 , 证明:  a 0 f ( x ) d x  a f  a 2  b a+b b (12) 设 f (x) 在 a,b 上连续且单调增加, 证明:  xf (x)dx  f (x)dx. a 2 a高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (13) 设 第 95 页，共191页 f ( x ) 在  a , b  上连续, 且 y = f ( x ) 的图形关于直线 x = a + 2 b 对称, 证明: b a+b b  xf (x)dx=  f (x)dx a 2 a (14) 设 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续, 且单调增加, 证明: 当 0  a  b 时, 有  b a x f ( x ) d x 1 2  b  b 0 f ( x ) d x − a  a 0 f ( x ) d x  (15) 求 f ( x ) =  x 0 t 2 2 t − − t 1 + 1 d t 在  − 1 ,1  上的最大值与最小值.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (16) 设点 第 96 页，共191页 A ( a , 0 ) ( a  0 ) , 梯形 O A B C 的面积为 S , 曲边梯形 O A B C 的面积为 S 1 , 其 曲边由 y = 1 2 + x 2 确定, 证明: S S 1  3 2 .   (17) 设曲线 y=sinx0 x  , 直线  2 y = k ( 0 k 1 ) 与 x = 0 所围面积为 S 1 , y s in x 0 x 2 , y k  =   = 与 x 2  = 所围面积为 S 2 , 求 S = S 1 + S 2 的最小值.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (18) 设曲线 第 97 页，共191页 y s in x 0 x 2 , y 1  =   = 及 x = 0 所围平面图形为 D 1 , y = s in x (0 x )及 y=0 所围平面图形为 D . 2 (I) 求 D 1 绕直线 x 2  = 旋转一周所得体积 V 1 ; (II) 求 D 2 绕 y 轴旋转一周所得体积 V 2 . (19) 设星形线 x y a a c s o s in 3 t 3 t ( 0 t 2 , a 0 )   = =  . (I) 求所围面积 A ; (II) 求弧长 L ; (III) 求绕 x 轴旋转一周所得体积 V 和表面积 S .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (20) 设立体图形的底是介于 第 98 页，共191页 y = x 2 − 1 和 y = 0 之间的平面区域, 而它的垂直于 x 轴的 任一截面是等边三角形,求立体体积 V . (21) [25新增]求曲线 x = 1 4 y 2 − 1 2 ln y 在 y  1 , e  上的弧长 s . 综合题 一、选择题 x+2 (1) 设 F(x)= esint sintdt, 则正确的是 ( ). x A. F ( x ) 为正的常数 B. F ( x ) 为负的常数 C. F(x) 不是常数 D. F(x) 恒为零高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (2) 设 第 99 页，共191页 0   , 在 ( , )  − 内有 f ( x ) x 2 , f ( x ) 0 , I f ( x )d x     =  − , 则 ( ). A. I =0 B. I 0 C. I 0 D. 不能确定 (3) 设 I 1 2 0 s in ( s in x )d x , I 2 x2 0 c o s ( s in x )d x  =  =  , 则 ( ). A. I 1  1  I 2 B. I 2  1  I 1 C. 1  I 1  I 2 D. I 1  I 2  1 (4) 设 f ( x ) 二阶可导, 则下列结论正确的是 ( ). ① 当 f  ( x )  0 时, 则 f ( x ) s in x d x 0    −  ;  ② 当 f(x)0 时, 则  f (x)sinxdx0; − ③ 当 f(x)0 时, 则 f ( x ) c o s x d x 0    −  ; ④ 当 f(x)0 时, 则  f (x)cosxdx0. − A. ② ③ B. ① ② C. ② ④ D. ① ④高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (5) 设反常积分 第 100 页，共191页 1 x k e co s 1x e 1 d x   +  − − −  收敛,则正确的是( ). A. k  − 1 B. k  − 1 C. k  1 D. k  1 (6) 设连续函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = f ( 2 a − x ) ( a  0 ) , b 为常数, 则 I =  b − b f ( a − x )d x = ( ) A. 2  b 0 f ( 2 a − x )d x B. 2  b − b f ( 2 a − x )d x C. 2  b 0 f ( a − x )d x D. 0 (7) [25新增]设螺线 r=(0  2) 与极轴所围区域的面积为 A, 则 A = ( ). A. lim n n i 1 4 n 3 3 i 2   →  = B. lim n n i 1 4 n 3 2 i 2   →  = n 83i2 C. lim D. n→ n3 i=1 lim n n i 1 2 n 3 2 i 2   →  =公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (8) 设 第 101 页，共191页 f ( x ) 有连续导数, f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 6 , ( x ) x 0 3 f ( t )d t , ( x ) x 0 f ( t )d t 3   =  = =  =    ,则当 x → 0 时, ( x )  与 ( x )  是 ( ). A. 同阶无穷小 B. 等价无穷小 C. 高阶无穷小 D. 低阶无穷小 (9) 设 I = 1 s  x 0 f  t + x s  d x , s  0 , t  0 , 则正确的是( ). A. I 仅依赖于 s B. I 仅依赖于 t C. I 依赖于 s , t D. I 依赖于 s , t , x + dx (10) 设积分 I = (p0,q0) 收敛, 则( ). 1 xplnqx A. p  1 且 q  1 . B. p  1 且 q1 C. p1 且 q1 D. p1 且 q1高数 · 3.一元函数积分学及其应用 二、填空题 (1) f (x)=max  1,x2 在 第 102 页，共191页 ( , )   − + 内满足 F ( 0 ) = 1 的一个原函数为_______. (2) 设 f ( x ) 在  a , b  上连续,若 x 0   a , b  , x   a , b  1 x ,则极限 lim  f (t+Δx)− f (t)dt=   Δx→0Δx x 0 _______. (3) 由曲线 y = x ( x − 1 ) ( 2 − x ) 与 x 轴围成的平面图形的面积 A=_______.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (4) 双纽线 第 103 页，共191页 ( x 2 + y 2 ) 2 = x 2 − y 2 围成的平面图形的面积为_______. (5) 已知 f  ( e x ) = x e − x , 且 f ( 1 ) = 0 , 则 f ( x ) = _______. (6) 已知 f ( x ) 1 c o s 2 x , x 2 , 2 , f ( 0 ) 0    = −   −  = , 则 f (x)=_______.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (7) [25新增]已知曲线 y= y(x) 上任一点 第 104 页，共191页 ( x , y ) 1 处的切线的斜率为 , 且曲线通 x x2 −1 过点 ( − 2 , 0 ) , 则该曲线方程为 y = _______. (8) [25新增]设 f (x) 连续, g ( x ) =  x 0 2 x f ( t )d t , 且 g ( 1 ) = 1 , g  ( 1 ) = 5 , 则 f ( 1 ) = _______. 1 2 (9) 设 f (2)= ,f(2)=0, 且  f (x)dx=1, 则 2 0 I =  1 0 x 2 f  ( 2 x )d x = _______.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (10) 设 第 105 页，共191页 f ( x ) =  x 0 e co std t , 则 I 0 f ( x ) c o s x d x  =  = _______. (11) 设 0 s in x x d x 2    + = , 则 I 0 s in x 2 2 x d x  =  + = _______. (12) 0 ( 1 x ln x x 2 ) 2 d x   + + = _______.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (13) 已知 第 106 页，共191页 0 e 2t d t 2    + − = , 则曲线 y=(5x+9) −x e−t2 dt+(7x−3) x e−t2 dt 的斜渐近线方程为 0 0 _______. 三、解答题 (1) 求下列积分: (I) 设 f ( x ) =  x 1 1 d + t t 4 , 求 I =  1 0 x 2 f ( x )d x ; (II) 设 f ( x ) =  x 1 2 e − 2t d t , 求 I =  1 0 x f ( x )d x .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (2) 设 第 107 页，共191页 f ( s in 2 x ) = s x in x x , 求 I = f (x)dx. 1−x (3) 计算积分 I =  e sin x  x c o s c 3 o x s − 2 x s in x d x . (4) 计算 I e s in sin 4 x 4 s in 2 x 2 x d x  =  −   −  .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (5) 设 第 108 页，共191页 f ( ln x ) = ln ( 1 + x x ) , 求 I =  f ( x )d x . (6) 设 f  ( x ) = a r c ta n ( x − 1 ) 2 , f ( 0 ) = 0 , 求 I =  1 0 f ( x )d x . (7) 求极限 lim x → 0 1 2  2 0 x 4 1 − + x 2 2 x u 3 2 − d u 1 − 2 x .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (8) 设 第 109 页，共191页 f ( x ) 连续, lim x → 0 f ( x x ) = 2 , 求 lim x → 0  x 0 ( f x x  tf 0 ) ( f x ( − x t − )d t t )d t . (9) 设 f ( x ) 在 ( , 0   − 上连续, 且满足  xtf 0 ( t 2 − x 2 ) d t = 1 x + 2 x 2 − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) 求函数 f ( x ) 及其极值. (10) 设 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 内一阶可导, g ( x ) 为 f ( x ) 的反函数, 且 g(x) 连续, 若  f 1 ( x )g ( t ) d t = x 2 e x − 4 e 2 −  x 1 − 1 f ( t + 1 ) d t , f ( 2 ) = 1 求 f ( x ) 的表达式.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (11) 设 第 110 页，共191页 f ( x ) 在 1 , 2  上可导, 且  x 0 tf ( 2 x − t )d t = 1 2 a r c ta n x 2 , f (1 ) = 1 2 , 证明: 至少存在一 点 ( 1 , 2 )   , 使得 f ( ) 0   = . (12) 设 f ( x ) 满足 e − x − 2 x 2 = 1 +  x 0 f ( t − x )d t , 求 f ( x ) 在 ( , )   − + 内的最值. (13) 求 f ( x ) =  x 0 2 ( 2 − t ) e − td t 的最大值和最小值.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (14) 证明: 第 111 页，共191页 lim n 1 0 1 x n x d x 0  →  + = . (15) 求极限 lim n n 2 1n 1 n 2 2n 1 2 n 2 nn 1 n  →  + + + + + +  . (16) 求极限 lim n 1 n n n ( n 1 ) ( n 2 ) ( 2 n 1 )  → + + − .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (17) 设 第 112 页，共191页 0 f ( x )d x   + 收敛, 且 f ( x ) 1 1 x 2 1 e x e x 0 f ( x )d x  = + − + −  + , 求 0 f ( x )d x   + . (18) 设 a n 4 0 ta n n x d x  =  , 证明: 2 ( n 1 + 1 )  a n  2 ( n 1 − 1 ) ( n 2 ) . 1 (19) 求积分 I = xlnnxdx ( n 0 n 0 且为整数) 的递推关系, 并计算 I n .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (20) (I) 求积分 第 113 页，共191页 I n =  ( x 2 1 + a 2 ) n d x ( n 1 , a  0 ) 的递推关系; 3x+4 (II) 计算 I = dx. ( x2 +2x+2 )2 (21) 证明: f ( x ) =  x 0 ( t − t 2 ) s in 2 n td t ( x  0 ) 的最大值为 f ( 1 ) ,且 f (1) ( 2 n + 2 1) ( 2 n + 3 ) .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (22) 设 第 114 页，共191页 f ( x ) 在  a , b  上有二阶连续导数, 且 f ( b ) = f  ( b ) = 0 , 证明:  b a f ( x ) d x = 1 2  b a f  ( x ) ( x − a ) 2 d x (23) 设 f ( x ) 在  a , b  上二阶可导, 且 f  ( x )  0 , 证明: f  a + 2 b   b 1 − a  b a f ( x ) d x  f ( a ) + 2 f ( b )高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (24) 设 第 115 页，共191页 f ( x ) 在  a , b  ( a  b ) 上连续, 且  b a f ( x )d x =  b a x f ( x )d x = 0 . 证明: 至少存在不同 的 1 , 2 ( a , b )    , 使得 f ( 1 ) f ( 2 ) 0   = = . (25) 设 f ( x ) 在 ( − a , a ) ( a  0 ) 内连续, 且 f  ( 0 ) = A  0 . (I) 证明:对 x  ( 0 , a ) ,存在(0,1),使得 x 0 f ( t ) d t 0 x f ( t ) d t x f ( x ) f ( x )    +  − =  − −  (II) 证明: lim x 0 1 2  → + = .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (26) 设 第 116 页，共191页 y = f ( x ) 在  0 ,1  上是非负连续函数. (I) 证明: 存在 x (0,1), 使得在 0,x  上以 f (x ) 为高的矩形面积, 等于在 0 0 0 x ,1上以 y= f (x) 为曲边的曲边梯形面积; 0 (II) 又设 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f  ( x )  − 2 f ( x x ) ,证明:(I)中的 x 0 是唯一的. (27) 设曲线 y = f ( x ) 上任一点 ( x , f ( x ) ) 处的切线斜率为 a 2 x 2 − 4 a x + 3 , 且 y = f ( x ) 在 x = 1 处取得极小值 0 . (I) 求 f ( x ) 及 f ( x ) 的其它极值; (II) 证明: 0  1 0 f ( u t ) d t 2 3 u , u  ( 0 ,1 ) .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (28) 设 第 117 页，共191页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内连续, 且满足 f ( x + T ) = f ( x ) , T  0 , f ( − x ) = f ( x ) (Ⅰ) 证明:  n 0 T x f ( x )d x = n 2 2 T  T 0 f ( x )d x ( n 为正整数); (II) 计算 I n 0 x c o s x d x  =  . (29) 设 f ( x ) 在 ( , )   − + 内有连续导数, 证明: lim a → 0 + 4 1 a 2  a − a  f ( t + a ) − f ( t − a )  d t = f  ( 0 )高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (30) 设曲线 第 118 页，共191页 y = a x ( a  0 ) 与 y = ln x 在点 ( x 0 , y 0 ) 处有公切线. (I) 求常数 a 及点 ( x 0 , y 0 ) ; (II) 求两曲线与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (31) 设 f ( x ) 在  a , b  上可导, f ( a )  0 , f  ( x )  0 , S 1 ( x ) 与 S 2 ( x ) 为如图所示阴影部分的 面积, 证明: 存在唯一的 ,使得 S S 1 2 (( )) k   = ( k 为正的常数).高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (32) 求曲线 第 119 页，共191页 4 y =  2 0 x 1 2 − x 2 u 2 d u ( x 0 ) 的全长. (33) 设平面图形 D 由 x 2 + y 2 2 x 与 y x 确定,求图形 D 绕直线 x = 2 旋转一周所得 旋转体的体积. (34) 求曲线 y = e − x s in x ( x 0 ) 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (35) 设摆线 第 120 页，共191页 x y a a (( t 1 s c in o ) t , ) s t ( 0 t 2 , a 0 )   = = − −  与 x 轴所围平面图形为 D . (I) 求 D 绕 x 轴, y 轴各旋转一周所得旋转体的体积; (II) 求 D 绕直线 y = 2 a 旋转一周所得旋转体的体积. (36) 设 f ( x ) = x n 1 − x 2 , x   0 ,1  与 y = 0 所围平面区域的面积为 S n , g ( x ) = n   sin2x,x 0, 与    2 y = 0 所围平面区域绕 x 轴旋转一周所得体积为 V n ( n = 1 , 2 , ) S , 求极限 lim n . n→V n (37) 将半径为R的球沉人水中, 它与水面相切, 设球的密度与水的密度相等, 现将球从水中 取出,问至少需要做功多少?公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (38) 设如左图,右图所示为同一等腰三角形薄板, 已知其底为 第 121 页，共191页 2 b 、高为 h , 将其垂直放人 静水中, 左图是其底与水面相齐, 右图是其顶点与水面相齐, 设左图与右图薄板一侧所受 压力分别为 P 和 P , 求 1 2 P P 2 1 . (39) 已知曲线 L 的极坐标方程为 r 1 c o s 0 2    = +   . (I) 求曲线 L  在 = 对应点处的切线 4 T 的直角坐标方程; (II) 求曲线 L 、切线 T 与 x 轴所围图形的面积.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (40) 求曲线 第 122 页，共191页 y = 3 − x 2 − 1 与 x 轴围成封闭图形绕直线 y = 3 旋转所得旋转体的体积. (41) 设心形线 r 4 ( 1 c o s )  = + 与 0 , 2    = = 所围图形为 D , 求 D 绕极轴旋转一周所得 旋转体的体积. (42) 设 D 位于曲线 y x ( ln 1 x ) 1 ( 0 , 2 x )    = +   + 下方, x 轴上方的无界区域. (I) 求 D 的面积 S(); (II) 求 S ( )  的最小值.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (43) 设 第 123 页，共191页 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续且单调减少, f ( x ) 0 , a n = k n = 1 f ( k ) −  n 1 f ( x )d x ( n = 1 , 2 , ) , 证明: lim n a n  → 存在. (44) 设 a n 1 0 x n 1 x 2 d x , b n 2 0 s in n x c o s n x d x  =  − =  , 求 lim n b a n n  → . (45) 设 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 ( a , b ) 内可导, f  ( x )  0 , 证明: 存在唯一的 ( a , b )   ,使得 y = f ( x ) 与 y= f (),x=a 所围图形的面积 S , 和 1 y = f ( x ) 与 y= f (),x=b 所围图形的面积 S 2 , 满足 S =3S . 1 2高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (46) 求心形线 第 124 页，共191页 r 1 c o s  = + 与 r 3 c o s  = 所围公共部分图形的面积. (47) 设曲线族 y = k x 2 ( k  0 ) ,对于每个 k 4 2 ,曲线  y = k x 2 与曲线 y = s in x 0 x 2     交于唯一 点 ( t , s in t ) , 其中 t = t ( k ) .S 1 表示 y = k x 2 与 y = s in x 所围区域的面积, S 2 表示 y = s in x 与 y = s in t 及 x 2  = 所围区域的面积. (I) 写出 S 1 + S 2 关于 t 的函数表达式; (II) 证明: S 1 + S 2 有最小值.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (48) 设曲线 第 125 页，共191页 L : y ta n x 2 0 x 2  =   . (I) 求由 y = 1 与曲线 L 以及 y 轴围成的图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V ; (II) 设 (I) 中旋转体内盛满水, 问将水抽完至少需要做多少功? 用 W 表示所做的功, 用  表示水的密度, 用 g 表示重力加速度. 拓展题 三、解答题 (1) 设 y = f ( x ) 在  0 , )  + 上非负连续,曲边梯形D(t)= (x,y∣)0 x t,0 y f (x) D ( t ) 所围 图形的面积 S ( t ) = te t , D ( t ) 绕直线 x = t 旋转一周所得旋转体的体积为 V ( t ) , 求 V ( t ) 的表达式.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (2) 如图 3-3(a) 所示, 在水平放置的椭圆底柱形容器内存放液体 (密度为 第 126 页，共191页 k g / m 3  ), 容 器长为 4 m , 椭圆方程为 2 x 4 + y 2 = 1 (单位: m ), 即如图 3-3(b) 所示. (Ⅰ)当液面在过点 (0,y)(−1 y 1) 处的水平线时, 问容器内液体的体积是多少? (II) 当容器内存满了液体后, 平均每分钟从容器顶端抽出 0 .1 6 m 3 的液体, 当液面降至 y = 0 处时,求液体下降的速度; （III）问抽出全部液体需做多少功?高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (3) [25新增]设 第 127 页，共191页 f ( x ) 在  a , b  上有二阶导数, 且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , f  ( x )  0 , 证明: 当 x(a,b) 时, 有 0 f ( x )  b 2 − a  b a f ( x )d x (4) [25新增]设 f (x) 在  a , b  上有连续的二阶导数. (I) 证明:  b a f ( x )d x = 1 2 ( b − a )  f ( a ) + f ( b )  + 1 2  b a ( x − a ) ( x − b ) f  ( x )d x ； (II) 记 M = mx aa x,b  f  ( x )  , 证明:  b a f ( x ) d x − 1 2 ( b − a )  f ( a ) + f ( b )  ( b − 1 a 2 ) 3 M .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (5) [25新增]设 第 128 页，共191页 f ( x ) 在  0 ,1  上有连续的导数, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 , 证明: lim n n 1 0 f ( x ) d x 1 n k n 1 f k n 1 2 .  →   −  =    = −高数 · 4.多元函数微分学及其应用 第四章 多元函数微分学及其应用 基础题 一、选择题 (1) 设 第 129 页，共191页 f ( x , y ) = a r c s in x 2 + y 4 , 则下列选项正确的是 ( ). A. f'(0,0) 存在, x f 'y ( 0 , 0 ) 存在 B. f'(0,0) 不存在, x f 'y ( 0 , 0 ) 存在 C. f 'x ( 0 , 0 ) 不存在, f 'y ( 0 , 0 ) 不存在 D. f 'x ( 0 , 0 ) 存在, f'(0,0) 不存在 y (2) 设 f 'x ( x 0 , y 0 ) , f 'y ( x 0 , y 0 ) 均存在, 则下列选项正确的是 ( ). A. lim f (x,y) 存在 B. f (x,y) 在 (x ,y ) 处连续 0 0 x→x 0 y→y 0 C. lim x → x0 f ( x , y 0 ) 存在 D. f ( x , y ) 在 U ( x 0 , y 0 ) 内有定义 (3) 设方程 xy−zlny+exz =1, 存在点 (0,1,1) 的一个邻域, 在此邻域内该方程 ( ). A. 可确定隐函数 y= y(x,z) 和 z=z(x,y) B. 可确定隐函数 x=x(y,z) 和 z=z(x,y) C. 可确定隐函数 x = x ( y , z ) 和 y= y(x,z) D. 只能确定隐函数 z=z(x,y)高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (4) 设可微函数 第 130 页，共191页 f ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 处取得极大值, 则 ( ). A. f (x ,y) 在 0 y = y 0 处导数小于零 B. f (x ,y) 在 y= y 处导数大于零 0 0 C. f (x ,y) 在 0 y = y 0 处导数等于零 D. f (x ,y) 在 y= y 处导数不存在 0 0 (5) 设 f (x,y)=e2x( x+y2+2y ) , 则 f ( x , y ) 在点 P  1 2 , − 1  处 ( ). A. 取得极小值 − e 2 B. 取得极大值 − e 2 C. 取得极大值 e D. 不取得极值 (6) 设 f ( x , y ) = x e − x y , 则 ( ). A. f 'x + f 'y = 0 B. f 'x − f 'y = 0 C. f' − f' = f D. f' + f' = f x y x y公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 4.多元函数微分学及其应用 二、填空题 (1) 第 131 页，共191页 lim x → y → 3 0 ln ( x x 2 + + e y y 2 ) = _______. (2) lim x y x 2 x x y y y 2   → → − + + = _______. x2  1 x+y (3) lim 1− =_______.   x→ 2x y→0高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (4) 设 第 132 页，共191页 z = + x y y , 则 d z (1,1 ) = _______. (5) 设函数 f ( x , y ) 可微, 且 f (1,2)=2, f'(1,2)=3, f?(1,2)=4,F(x)= x y f  x , f ( x , 2 x )  , 则 F  ( 1 ) = _______. (6) 设 z = z ( x , y ) 由方程 x = z e y + z 确定, 则 dz =_______. (e,0)高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (7) 设 第 133 页，共191页  y F = ( x f , ( y x , t ) , t ) = , 0 , , F dy 有一阶连续偏导数, 则 =_______. dx (8) 设 y = f ( x , t ) , t = t ( x , y ) 由方程 G ( x , y , t ) = 0 确定, f , G 可微, 则 d d y x = _______. (9) 设 z = f  y x  + g ( e x , s in y ) , f 有二阶连续导数, g 2z 有二阶连续偏导数,则 =_______. xy高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (10) 设 第 134 页，共191页 f ( u , v ) 有二阶连续偏导数, y = f ( e x , c o s x ) d2y , 则 =_______. dx2 x=0 (11) 设 z = z ( x , y ) 由方程 e 2 yz + x + y 2 + z = 7 4 确定, 则 d z  12 1,2  = _______. (12) 设 f ( x , y ) =  xy 0 1 s in + t 2 t d t , 则   2 x f 2 (0 ,2 ) = _______.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (13) 设 第 135 页，共191页 z ( x , y ) 的全微分 d z = ( x 2 + 2 x y − y 2 ) d x + ( x 2 − 2 x y − y 2 ) d y , 则 z ( x , y ) = _______. (14) 设 z = z ( x , y ) 由方程 z + ln z −  x y e − 2t d t = 0 确定, 则   x 2  z y = _______. (15) 设 z = f  x y , x y  + g  y x  , f 具有二阶连续偏导数, g 2z 具有二阶连续导数,则 = xy _______.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (16) 设 第 136 页，共191页 ( x + k y ( x ) + d x y + 2 ) y d y 为某二元函数 u ( x , y ) 的全微分, 则 k = _______. 三、解答题 (1) 设 u = f ( x , y , z ) 有连续偏导数, y = y ( x ) , z = z ( x ) 分别由方程 e x y − y = 0 和 ez −xz=0 确定, 求 d d u x . x2 + y2 +z2 =3x dy dz (2) 设 y= y(x),z=z(x) 由方程组  , 确定, 求 , . 2x−3y+5z=4 dx dx高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (3) [25新增]求 f (x,y)= ( 1+ey) cosx−yey 的极值 (4) 设曲面 第 137 页，共191页 S : ( x − y ) 2 − z 2 = 1 , 求坐标原点到 S 的最短距离. (5) 求双曲线 xy=4 与直线 2 x + y = 1 之间的最短距离.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (6) 求函数 第 138 页，共191页 z = x 3 − 3 x 2 − 3 y 2 在闭区域 D : x 2 + y 2 1 6 上的最大值. (7) 求 u = x 2 + y 2 + z 2 在条件 x + y + z = 4 和 z x 2 y 2 下的最大值和最小值. (8) 设 u ( x , y ) 有二阶连续偏导数, 利用变换 x a y , x b y   = + = + , 将方程   2 x u 2 + 4 2  u  x  y + 3   2 y u 2 = 0 2u 化为 =0, 求 a,b 的值. 高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (9) 设 第 139 页，共191页 f ( u ) 有二阶连续导数, 且 z = f ( e x s in y ) 满足   2 x z 2 +   2 y z 2 = z e 2 x , 求 f ( u ) . 综合题 一、选择题 (1) 设 f ( x , y ) 在点 (0,0) 处连续, 且 lim x → y → 0 0 e f x 2 ( + x y , 2 y − ) 1 = 1 , 则 ( ). A. f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值 B. f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极大值 C. f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不取得极值 D. 不能确定 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极值 (2) 设 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内连续,且 lim x → y → 0 0 f ( x , y x ) − + f 4 y ( 0 , 0 ) = − 1 ,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处( ). A. 取得极小值 B. 取得极大值 C. 不取得极值 D. 无法确定是否取得极值高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (3) 设 第 140 页，共191页 f ( x , y ) =  y 0 a , r c ta n x 2 1 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处( ). A. 连续但不可微 B. 偏导数存在但不连续 C. 可微 D. 连续但偏导数不存在 (4) 设 f ( x , y ) 可微, 对任意的 x,y, 有  f (  x x , y )  0 ,  f (  x y , y )  0 , 则使得 f ( x 2 , y 2 ) f ( x 1 , y 1 )  成立的一个充分条件是 ( ). A. x 1  x 2 , y 1  y 2 B. x 1  x 2 , y 1  y 2 C. x x ,y  y D. x x ,y  y 1 2 1 2 1 2 1 2 (5) 设 F(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内有二阶连续偏导数, 且 F(x ,y )=0, 0 0 F'(x ,y )=0,F'(x ,y )0,F'' (x ,y )0, 则由方程 F(x,y)=0 确定的隐函数 x 0 0 y 0 0 xx 0 0 y = y ( x ) 在 x=x 处 ( ). 0 A. 取得极小值 B. 取得极大值 C. 不取得极值 D. 不能确定是否取得极值公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 4.多元函数微分学及其应用 二、填空题 (1) 设 第 141 页，共191页 z = z ( x , y ) 2z 满足 =2, 且 y2 z ( x , 0 ) = 1 , z 'y ( x , 0 ) = x , 则 z ( x , y ) = ______. (2) 设 z = z ( x , y ) 2z 有二阶连续偏导数, 满足 =x+ y, 且 yx z ( x , 0 ) = x , z ( 0 , y ) = y 2 ,则 z ( x , y ) = ______. 2x nz (3) 设 z= , 则 =______. x2 − y2 yn (2,1)高数 · 4.多元函数微分学及其应用 三、解答题 (1) 已知 第 142 页，共191页 x + y − z = e z , x e x = ta n t , y = c o s t d2z , 求 . dt2 t=0 (2) 设 f 有一阶连续导数, 证明: z = f  x y  z z 的充要条件是 x + y =0. x y高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (3) 设 第 143 页，共191页 z = z ( x , y ) 是由方程 F  1 x − 1 y − 1 z  = 1 z 确定的隐函数, 其中 F 可微, 求 x 2   z x + y 2   z y . (4) 设 y=g(x,z) 与 z=z(x,y) 是由方程 f ( x − z , x y ) = 0 确定的函数, 求 d d y x . (5) 求函数 f ( x , y ) = (1 + y ) 2 + (1 + x ) 2 在条件 x2 +y2 +xy=3 下的最大值.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (6) [25新增]设 第 144 页，共191页 f ( x , y ) = x 3 + y 3 − a x 2 − b y 2 ( a  0 , b  0 ) 有极小值 -8 , 求 a , b 的值. 使 得椭圆 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 所围面积最大. (7) 设 f ( x , y ) = e − x ( a x + b − y 2 ) 在点 ( − 1 , y 0 ) 处取得极大值, 求 a,b 满足的条件. (8) 求 f ( x , y ) = x e − x 2 +2 y 2 的极值.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (9) 求 第 145 页，共191页 u = x y + 2 x z + 2 y z 在条件 x y z = 1 下的最小值. (10) 设函数 z = z ( x , y ) 由方程 x 2 − 6 x y + 1 0 y 2 − 2 y z − z 2 + 1 8 = 0 确定,求 z = z ( x , y ) 的极值. (11) 设 f ( x ) 有三阶连续导数, 且 f ( x )  0 , f  ( 0 ) = 0 , 证明: z = f ( x ) ln f ( y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值的充分条件是 f  ( 0 )  0 且 f ( 0 )  1 .高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (12) 已知 第 146 页，共191页 z = f ( x , y ) 的全微分 d z = ( y − x 2 ) d x + ( x − 1 ) d y , 且 f ( 1 ,1 ) = − 1 3 , 求 f ( x , y ) 在 D:0 y 7−x,0 x 7 上的最大值. (13) 设 f ( x , y ) x 2 y 2 ( x , y ) , ( x , y )   = + 在点 ( 0 , 0 ) 处连续, 且 ( 0 , 0 ) 0  = . (I) 求 f 'x ( 0 , 0 ) , f 'y ( 0 , 0 ) ; (II) 证明: f (x,y) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微, 并求全微分 d f (0 ,0 ) .高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (14) 设 第 147 页，共191页 f ( x , y ) =  x 0 y , s in x 2 1 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) 讨论 f (x,y) 在点 ( 0 , 0 ) 处是否可微? 偏 导数   f x ,   f y 在点 (0,0) 处是否连续? (15) 设中心在原点的椭圆为 x 2 − 4 x y + 5 y 2 = 1 , 求该椭圆的长半轴与短半轴. (16) 设 x = x ( y ) , z = z ( y ) F(y−x,y−z)=0,  dx dz 由方程组   z 确定, 求 , .  Gxy, =0 dy dy   y高数 · 4.多元函数微分学及其应用 (17) 设 第 148 页，共191页 ,  为正数, 且 1 1 1   + = , 求 f ( x , y ) 1 x 1 y     = + 在条件 x y = 1 ( x  0 , y  0 ) 下的最小值. (18) [25新增]设可微函数 f ( u , v ) 满足   f u +   f v = ( u + v ) e u − v , 且 f ( 0 , v ) = 0 , 若 u = x , v = x + y , 求: (I)  f ( x +  x x + y ) (II) f ( u , v ) 的极值.高数 · 4.多元函数微分学及其应用 拓展题 一、选择题 (1) 下列 ( ) 选项条件成立时, 能够推出函数 f (x,y) 在点 第 149 页，共191页 ( x 0 , y 0 ) 处可微, 且全微分 d f ( x , y ) ( x0 ,y0 ) = 0 . A. f 'x ( x 0 , y 0 ) = f 'y ( x 0 , y 0 ) = 0 B. f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的全增量 Δ f = ( Δ x Δ ) x 2 Δ + y ( Δ y ) 2 C. f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的全增量 Δ f = s in  ( ( Δ Δ x x ) ) 2 2 + + ( ( Δ Δ y y ) ) 2 2  D. f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的全增量 Δ f =  ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2  s in ( Δ x ) 2 1 + ( Δ y ) 2高数 · 4.多元函数微分学及其应用 二、解答题 (1) 设 第 150 页，共191页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内有定义, f ( 0 , 0 ) = 0 ,且 lim x → y → 0 0 f x ( 2 x , + y y ) 2 = 1 + k ( k 为 常 数 ) 证明: (I) f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续; (II) 当 k  − 1 时, f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不可微; (Ⅲ) 当 k = − 1 时, f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 5.二重积分 第五章 二重积分 基础题 一、选择题 (1) 设 第 151 页，共191页 D 为由直线 x + y = 1 2 , x + y = 1 与两坐标轴所围的区域,I = [ln(x+ y)]9dxdy, 1 D I 2 =   D ( x + y ) 9 d x d y , I 3 =   D [ s in ( x + y ) ] 9 d x d y 则( ). A. I 1 I 2 I 3 B. I 1 I 3 I 2 C. I 3 I 2 I 1 D. I 3 I 1 I 2 (2) 设 D 为由 y = x 2 − 4 和 y = 0 所围区域, I =   D ( k x + y )d x d y , 则 ( ). A. I =0 B. I 0 C. I 0 D. I 的正负与 k 有关 (3) 设 D 是 xOy 平面上以 A(1,1),B(−1,1),C(−1,−1) 为顶点的三角形区域, D 是 1 D 在第一象限的部分, 则 I = (xy+cosxsiny)dxdy=( ). D A. 0 B. 2   D 1 x y d x d y C. 2   D 1 c o s x s in y d x d y D. 4   D 1 ( x y + c o s x s in y )d x d y高数 · 5.二重积分 (4) 积分 第 152 页，共191页 I =  2 0 d x  2 x2 0 f ( x , y ) d y +  2 2 2 d x  0 8 − x 2 f ( x , y )d y = ( ). A.  0 2 d y  8 y − y 2 f ( x , y )d x B.  0 2 d y  8 − 2 y y 2 f ( x , y )d x C.  2 0 d y  8 − 2 y y 2 f ( x , y )d x 2 8−y2 D.  dy f (x,y)dx 0 y (5) 设 D : x 2 + y 2 x , 则   D f ( x , y ) d x d y = ( ). A. 0 d co 0 s f ( r c o s , r s in )r d r        B. 0 d sin 0 f ( r c o s , r s in )r d r        C. 2 2 d co 0 s f ( r c o s , r s in )r d r        −  D. 2 2 d sin 0 f ( r c o s , r s in )r d r        −   2sin (6) 将二重积分I =2d f (rcos,rsin)rdr化为直角坐标系下的二次积分,则 I =( ).  0 4 A.  1 0 d x  x 1 − 1 − x 2 f ( x , y )d y 1 1−x2 B.  dx f (x,y)dy 0 x 1 y 2 2y−y2 1 2y−y2 C.  dy f (x,y)dx+ dy f (x,y)dx D.  dy f (x,y)dx 0 0 1 0 0 y高数 · 5.二重积分 二、填空题 (1) 二重积分 I = 1 x2dx 1 e−y2 dy=_____. 0 x (2) 二重积分 第 153 页，共191页 I 2 1 d x x x s in 2 x y d y 4 2 d x 2 x s in 2 x y d y   =   +   = _____. (3) [25新增]设 f (t)= t dx t e−(x−y)2 dy(t 0), 则 0 x f  ( 1 ) = _____.高数 · 5.二重积分 (4) 设 第 154 页，共191页 D : x 2 + y 2 4 , x 0 , y 0 , f ( x ) 在  0 , )  + 上连续且取正值, 则 I =   D a f f ( ( x x ) ) + + b f f ( ( y y ) ) d x d y = _____. (5) 设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续, 且  1 0 f ( x )d x = A , 则 I =  1 0 d x  1 x f ( x ) f ( y )d y = _____. (6) 设 D : x 2 + y 2 1 , x 0 , y 0 , 则 I =   D 1 1 + + x x 2 − + y y 2 d x d y = _____.高数 · 5.二重积分 (7) 设 第 155 页，共191页 D : − 1 x 0 ,1 − 1 − x 2 y − x , 则 I =   D x 2 + y d 2 x d 4 y − x 2 − y 2 = _____. (8) 设 D : 2 x x 2 + y 2 , 0 y x 2 , 则 I =   D d x x 2 d + y y 2 = _____. (9) 设 D : x 2 + y 2 1 x2 y2  , 则 I =  + dxdy=_____. D 4 9 高数 · 5.二重积分 (10) 设区域 第 156 页，共191页 D 由 x = − 2 y − y 2 , x = − 2 , y = 0 , y = 2 所围, 则 I =   D y d x d y = _____. (11) 设 D:x2 +y2 2x, 则 I =   D ( 2 x + 3 y ) d x d y = _____. (12) 设 D =  ( x , y )∣ 0 x t , 0 y t , 则 lim t→ 0 + 1 2 t   D e ( x + y 2) c o s ( x + y ) 2 d x d y = _____.高数 · 5.二重积分 三、解答题 (1) 计算下列二重积分. (I) 设 D 由 x−y=0,x+ y=0 及 x=1 所围, 求 第 157 页，共191页 I =   D x y ( x − y )d x d y ; (Ⅱ)设 D 由 y = x , y = x siny 所围, 求 I = dxdy; D y (III) 设 D 由 y = x 2 ( x 0 ) , y = 1 , x = 0 所围,求 I =   D 1 x + y y 3 d x d y ;高数 · 5.二重积分 (IV) 设 第 158 页，共191页 D : 1 x s in y , y 2  − , 求 I =   D x ( e x 2 + co sy s in y − 1 )d x d y . (2) 设 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2 1 , x 2 + y 2 2 x , y 0  , 计算 I =   D x y d x d y . (3) 设 D:x2 +y2 2x,0 y x, 计算 I =   D x 2 + y 2 − 1 d x d y .高数 · 5.二重积分 (4) 设 第 159 页，共191页 D : x 2 + y 2 9 , 计算 I =   D x 2 + y 2 − 4 d x d y . (5) 设 D : 1 x 2 + y 2 2 x , y 0 , 计算 I =   D ( 1 + x 2 + y y 2 ) x 2 + y 2 d x d y . (6) 设 D : 0 x 2 , 0 y 2 ,计算 I =   D 1 + x + y d x d y , 其中 1 + x + y  表示不超过 1 + x + y 的最大整数.高数 · 5.二重积分 (7) 设 第 160 页，共191页 D =  ( x , y )∣ 0 x 1 , 0 y 1  , 计算 I =   D m a x  2 x − x 2 , (1 − y ) 2  d x d y . (8) 计算 I =   D s g n ( x 2 − y 2 + 2 )d x d y , 其中 D : x 2 + y 2 4 . (9) 设 f ( x , y ) =  ( 0 x , 2 1 + y 2 ) 2 , 1 其 x 他 3 , , 3 3 x y x , y = 3 所围, 计算 I = f (x,y)dxdy. D高数 · 5.二重积分 (10) 计算 第 161 页，共191页 I =   D x y d x d y , 其中 D 由下列双纽线所围. (I) ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 ( x 2 − y 2 ) ; (II) ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 x y . 综合题 一、选择题 (1) I 1 =   D c o s x 2 + y 2 d x d y , I 2 =   D c o s ( x 2 + y 2 )d x d y , I 3 =   D c o s ( x 2 + y 2 ) 2 d x d y ,其中 D : x 2 + y 2 1 , 则( ). A. I 1  I 2  I 3 B. I 1  I 2  I 3 C. I 2  I 1  I 3 D. I 3  I 1  I 2高数 · 5.二重积分 (2) 第 162 页，共191页 lim n n i 1 n j 1 1 i n 1 ( n 2 j 2 )  →  =  =  +  + = ( ). A. 4 ln 2  B. 8 ln 2  C. 2 ln 2  D. ln 2  (3) 积分 I 2 0 d co 0 s f ( r c o s , r s in )r d r      =   = ( ). A.  1 0 d y  0 y − y 2 f ( x , y )d x 1 1−y2 B.  dy f (x,y)dx 0 0 1 1 C.  dy f (x,y)dx D. 0 0  1 0 d x  0 x − x 2 f ( x , y )d y 二、填空题 (1) 设 D:0 x y 2, 则 I = sin(x− y)dxdy=_______. D高数 · 5.二重积分 (2) 设 第 163 页，共191页 f ( x ) =  x 0 , , 0 其 x 他 1 , , D: x , y     −   + −   + ,则 I =  f (y) f (x+ y)dxdy= D _______. (3) 积分 I =  1 0 d y  y 0 2 y s in (1 − x ) 2 d x = _______. (4) 积分 I = 2 d  2er2 dr=_______.  0 2高数 · 5.二重积分 (5) 交换积分顺序 第 164 页，共191页 I 2 0 d a 0 sin 2 f ( r c o s , r s in ) r d r ( a 0 )      =    为_______. (6) 设 D : x a 2 2 + y b 2 2 1 , 则 I =   D y 2 d x d y = _______. (7) 曲线 r 2 2 a 2 c o s 2 ( a 0 )  =  所围图形的面积为_______.高数 · 5.二重积分 (8) 球体 第 165 页，共191页 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ( R  0 ) 被圆柱面 x 2 + y 2 = R x 所截得含在圆柱面内的立体的体积 为_______. (9) 曲线 a y = x 2 与 x + y = 2 a ( a  0 ) 所围平面区域 D 的形心坐标为_______. (10) ( 1 0 ) r 1 与 r 1 c o s  + 所围平面区域的形心坐标为_______.高数 · 5.二重积分 三、解答题 (1) 设 第 166 页，共191页 D : x 1 , 0 y 2 , 计算 I = y−x2dxdy. D (2) 计算积分I = 1 dx 2−x e(x+y)2( sin2x+cos2y ) dy+ 2 dx 2−x e(x+y)2( sin2x+cos2y ) dy 0 1−x 1 0 (3) 求极限 lim t→ 0 + 1 6 t  t 0 d x  t x s in ( x y ) 2 d y .高数 · 5.二重积分 (4) [25新增]设 第 167 页，共191页 D ( , r ) 0 2 , 0 r 1    =   计算 I = r3er2cos2sin2ddr. D (5) 设可导函数 f ( x ) 满足 lim x → 0 f ( x x ) = 1 ,求极限 lim t→ 0 +  t 0 d x  − 2t − 2t x − 2 x 2  f ( t 3 x 2 + y 2 ) + 2 y  d y高数 · 5.二重积分 (6) 设 第 168 页，共191页 F ( t ) =   0  , 2 2 x + y x  0 ,y   2t 0 x  1 − F ( x x 2 2 + + y y 2 2 )  d x d y , t t  = 0 0 , , 求函数 F ( t ) 的表达式. (7) 设 f ( t ) 在 ( , )   − + 内有连续导数,且 f ( t ) = 2   D ( x 2 + y 2 ) f ( x 2 + y 2 )d x d y + t 4 , D : x 2 + y 2 t 2 求 f ( t ) .高数 · 5.二重积分 (8) 设 第 169 页，共191页 f ( x , y ) 在区域: 0 x 1 , 0 y 1 上连续, f ( 0 , 0 ) = 0 , 且 f (x,y) 在点 ( 0 , 0 ) 处可 微, f 'y ( 0 , 0 ) = 1 , 求 lim x → 0 +  x 0 2 d  t 1 x − t e f − ( t 4 x 4 , u )d u . (9) 设 D : x 2 + y 2 4 , x 0 , y 0 , f ( x , y ) 在 D 上连续,且   D f ( u , v )d u d v f ( x , y ) = ( x 2 + y 2 − x + y − 1 ) + 求 f ( x , y ) .高数 · 5.二重积分 (10) 设 第 170 页，共191页 f ( x ) 是连续正值函数,且单调减少, 证明: 1  x f 0 1  x f 0 2 ( ) x d x ( ) x d x 1  0 1  0 2 f f ( x ( x )d x )d x . (11) 设 D 为由摆线 x y t 1 s c in o t , s t ( 0 t 2 )   = = − − 及 x 轴所围的平面区域, 求 D 的质心坐标. (12) 设 f ( x ) 在  0 ,1  上是连续正值函数, 且 f ( x ) 单调减少, D : 0 x 1 , 0 y 1 ,证明:   D x f ( x ) f ( y )  f ( x ) − f ( y )  d x d y 0 .高数 · 5.二重积分 (13) 设 第 171 页，共191页 f ( u ) 在  − 1 ,1  上连续, D : x + y 1 1 , 证明: f (x+ y)dxdy= f (u)du D −1 (14) 设 D : x 2 + y 2 2 tx , y 0 ( t  0 ) , f ( u ) 在 u = 0 处可导, 且 f ( 0 ) = 0 , 求 lim t→ 0 + 1 4 t   D f ( x 2 + y 2 ) y d x d y . (15) 设 f ( x ) 在  a , b  上非负可导, 且单调增加, ( x , y ) 为 D={(x,y∣) a x b, 0 y f ( x )} 的形心, 证明: x 1 2 ( a + b ) .高数 · 5.二重积分 拓展题 三、解答题 (1) 设 第 172 页，共191页 D 由 x 轴, 曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) 0 ) , x = 0 , x = a ( a  0 ) 围成, 平面图形 D 的质 心(形心) 的横坐标为 x = 2 3 a . (I) 记 F ( x ) =  x 0 f ( t )d t 2F(x) , 证明: F(x)= ; x (II) 求 f (x). (2) 设 D 是由曲线 x y 1 t c s o s t in t , ( 0 t 2 )   = = − − 与 y 轴所围平面区域, 计算I = (2x+ y)dxdy D (3) [25新增]设 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2 4  , 计算 I = 2x−x2 −y2dxdy . D高数 · 6.微分方程及其应用 第六章 微分方程及其应用 基础题 一、选择题 (1) 下列选项中 ( 第 173 页，共191页 C 为任意常数),是微分方程 d d y x + x y = 0 的通解的是 ( ). A. x 2 + y 2 = C 2 B. x 2 − y 2 = C 2 C. x 2 + y 2 = C D. x 2 − y 2 = C (2) 设 y  + P ( x ) y = 0 的一个特解为 y = c o s 2 x , 则该方程满足 y ( 0 ) = 2 的特解为 ( ). A. 2 c o s x B. 2 c o s 2 x C. c o s 2 x D. c o s 2 x + 1 (3) 微分方程 y  + 2 y  − 3 y = e − x + x 的一个特解形式为 ( ). A. a e − x + b x + c B. a x e − x + x ( b x + c ) C. axe−x +bx+c D. a e x + x ( b x + c )高数 · 6.微分方程及其应用 (4) 设 第 174 页，共191页 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) 是 y  + P ( x ) y = 0 的两个不同特解,其中 P ( x ) 在 ( , )   − + 内连续,且 P ( x ) 不恒为0,则下列结论中错误的是 ( ). A. y 1 ( x ) − y 2 ( x ) = 常数 B. C  y 1 ( x ) − y 2 ( x )  是方程的通解 C. y 1 ( x ) − y 2 ( x ) 在任一点不为 0 D. y y 2 1 (( x x ))  常数 ( y 1 ( x )  0 ) (5) 设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , y 3 ( x ) 是微分方程 y+ p(x)y+q(x)y= f (x) 的三个线性无关的解, f ( x )  0 , 则该方程的通解为 ( ). A. C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + y 3 ( x ) B. C 1 y 1 ( x ) + ( 1 − 2 C 1 ) y 2 ( x ) + C 1 y 3 ( x ) C. ( C 1 − C 2 ) y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + y 3 ( x ) D. C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + C 3 y 3 ( x ) ( C 1 + C 2 + C 3 = 1 ) 二、填空题 (1) 微分方程 (y−xsinx)dx+xdy=0 的通解为_______ .高数 · 6.微分方程及其应用 (2) 微分方程 第 175 页，共191页 ( 1 + y 2 ) d x + ( 2 x − 1 ) y d y = 0 的通解为_______ . (3) y  = y x + ta n y x 满足 y ( 1 ) 6  = 的特解为_______ . (4) 微分方程 x y  = x 2 + y 2 + y 的通解为_______ .高数 · 6.微分方程及其应用 (5) 方程 第 176 页，共191页 y  + 2 y  + y = x e x 满足 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 0 的特解为 ________. . (6) 方程 y  − 3 y  + 2 y = 1 0 e − x s in x 满足当 x  → + 时, y ( x ) → 0 的特解为 ________. . (7) 方程 ( 1 − x 2 ) y  − x y  = 0 满足 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 1 的特解为 ________. .高数 · 6.微分方程及其应用 (8) 设二阶线性非齐次微分方程 第 177 页，共191页 y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = f ( x ) 有三个特解为 x,ex,e−x,则该方 程的通解为_______ . (9) 设二阶常系数线性微分方程 y  + a y  + b y = c e x 有特解 y * = e − x ( 1 + x e 2 x ) , 则该方程的通 解为 ________. 三、解答题 (1) 求 x2y−y'2 =0 过点 P(1,0), 且在点 P 与 y=x−1 相切的积分曲线.高数 · 6.微分方程及其应用 (2) 设 第 178 页，共191页 f ( x ) 是连续函数, 且 f ( x ) = c o s x −  x 0 ( x − t ) f ( t )d t , 求 f ( x ) . (3) 设 f ( x ) 可导,对任何实数 x , y 满足 f ( x + y ) = e x f ( y ) + e y f ( x ) ,且 f(0)=e,求 f ( x ) . (4) 求微分方程 y  − y  = 0 的一条积分曲线, 使此积分曲线在原点处有拐点, 且以直线 y = 2 x 为切线.高数 · 6.微分方程及其应用 (5) 设 第 179 页，共191页 f ( u ) ( ) 有二阶连续导数, z= f x2 + y2 满足   2 x z 2 +   2 y z 2 = x 2 + y 2 求 z 的表达式. (6) 利用变换 u = e x , 求微分方程 y  − ( 2 e x + 1 ) y  + e 2 x y = e 3 x 的通解. (7) 设 L 是一条平面曲线, 其上任意一点 P ( x , y ) ( x  0 ) 到原点的距离恒等于该点处的切 线在 y 轴上的截距, 且 L 过点  1 2 , 0  . (I) 求曲线 L 的方程; (II) 求 L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与 L 以及两坐标轴所围的面积最小.高数 · 6.微分方程及其应用 (8) 设 第 180 页，共191页 O A 是连接 O ( 0 , 0 ) 和 A ( 1 ,1 ) 的一段向上凸的曲线弧, P ( x , y ) 为 O A 上任一点, 曲线弧 O P 与有向线段 O P 所围图形的面积为 x 2 , 求曲线弧 O A 的方程. 综合题 一、选择题 (1) 下列方程中, 以 y = C 1 e x + C 2 c o s x + C 3 s in x ( C 1 , C 2 , C 3 为任意常数) 为通解的是( ). A. y  − y  + y  − y = 0 B. y  + y  + y  − y = 0 C. y  + y  − y  − y = 0 D. y  − y  − y  − y = 0 (2) 若二阶常系数线性齐次微分方程 y+ py+qy=0 的通解为 y=Cex +C xex, 则非齐次 1 2 微分方程 y  + p y  + q y = x 满足 y(0)=2,y(0)=0 的特解为 y=( ). A. xex −x−2 B. xex −x+2 C. −xex +x+2 D. −xex −x+2高数 · 6.微分方程及其应用 (3) 设 第 181 页，共191页 C 为任意常数,则以 y = e cx + x 2 为通解的一阶微分方程为 ( ). A. x y  − y ln y = x 2 y B. x y  + y ln y = x y 2 C. xy−ylny2 =xy D. xy+ ylny=xy (4) 设 y 1 , y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y  + P ( x ) y = Q ( x ) 的两个解, 若常数 , , 使得 y 1 y 2   + 是该方程的解, y 1 y 2   − 是对应的齐次微分方程的解, 则 ( ). A. 1 2 , 1 2   = − = − B. 1 2 , 1 2   = = C. 1 3 , 2 3   = = D. 2 3 , 2 3   = = 二、填空题 y (1) 微分方程 y= (y 不为常函数) 的通解为_______. x+(y+1)2高数 · 6.微分方程及其应用 (2) 微分方程 第 182 页，共191页 y  − y = s in x 满足 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 3 2 的特解为_______. (3) 微分方程 y  = 2 y y 2 ( − x + x 1 ) 的通解为_______. (4) 微分方程 d d y x = y y − + x x 满足 y ( 1 ) = 0 的特解为_______.高数 · 6.微分方程及其应用 x (5) 微分方程 ysec2y+ tany=x 满足 1+x2 第 183 页，共191页 y ( 0 ) = 0 的特解为_______. (6) 微分方程 y  + y = x + c o s x 的通解为_______. (7) 微分方程 y  − y = s in 2 x 的通解为_______.高数 · 6.微分方程及其应用 (8) 设 第 184 页，共191页 f ( x ) 有连续导数, 对任意 a 满足 f ( x + a ) =  x x + a t ( 2 t f ( + t 1 ) ) d t + f ( x ) ,且 f ( 1 ) = 2 , 则 f ( x ) = _______. (9) [25新增]设函数 y ( x ) 满足 y  + 2 a y  + b 2 y = 0 ( a  b  0 ) ,且 y ( 0 ) = 1 , y  ( 0 ) = 1 ,则 0 y ( x )d x   + = _______. 三、解答题 (1) 设 f (x) 满足 f ( x + y ) = 1 f − ( x f )( + x ) f f (( y y )) , 且 f  ( 0 ) 存在, 求 f  ( x ) 及 f (x).高数 · 6.微分方程及其应用 (2) 利用变量替换 第 185 页，共191页 x s in t , y y ( t ) 0 t 2  = =     化简方程 ( 1 − x 2 ) d d 2 x y 2 − x d d y x + y = 0 ,并求该 方程的通解. (3) 设 y  + ( 4 x + e 2 y ) y '3 = 0 . (I) 若视 x 为因变量, y 为自变量,化简该方程; (II) 求该方程的通解. (4) 设二阶常系数非齐次线性微分方程y+ay+by=(cx+d)e2x有特解y= 2ex + ( x2 −1 ) e2x, 求该方程的通解, 并求 a,b,c,d 的值.高数 · 6.微分方程及其应用 (5) 设 第 186 页，共191页 y ( x ) 在  x 0 , )  + 上有一阶连续导数, 且 lim x y ( x ) y ( x ) k  → +   +  = , 求 lim x y ( x )  → + . (6) 设 f ( x ) , g ( x ) 满足 f  ( x ) = g ( x ) , g ( x ) =  x 0  1 − f ( t )  d t + 1 , 且 f (0)=1, 求 I 2 0 e x g ( x ) f ( x ) d x  =  −  −  (7) 设y= y(x)有一阶连续导数, y ( 0 ) = 1 ,且满足 y  ( x ) + 3  x 0 y  ( t ) d t + 2 x  1 0 y ( x u ) d u + e − x = 0 求 y= y(x).高数 · 6.微分方程及其应用 (8) 设 第 187 页，共191页 f ( x ) 有二阶连续导数, 且 f ( x ) =  x 0 f ( 1 − t )d t + 1 , 求 f ( x ) . (9) 设 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 内有定义, f  ( 1 ) = 1 ,当 x , y ( 0 , )   + 时,满足 f ( x y ) = y f ( x ) + x f ( y ) (I) 证明: f ( x ) 在 ( 0 , )  + 内可导, 且 f  ( x ) = f ( x x ) + 1 ; (II) 求函数 f ( x ) 的极值. (10) [25新增]设上凸曲线 y = y ( x ) ( y  0 ) 上任一点 M ( x , y ) 处的切线与 x 轴交于点 N , 且满足 O M = O N , y ( 0 ) = 1 , y  ( x )  0 , 求 y = y ( x ) .高数 · 6.微分方程及其应用 (11) 设 第 188 页，共191页 y = y ( x ) 是向上凸的连续曲线, 其上任一点 ( x , y ) 处的曲率为 1 1 + y '2 , 且此曲线 上点 ( 0 ,1 ) 处的切线方程为 y=x+1, 求该曲线的方程. (12) (I) 设 a ( t ) 在  0 , )  + 上是非负连续函数, 证明: 当且仅当 0 a ( t ) d t   + 发散时, 微分 方程 d d x t + a ( t ) x = 0 的每一个解 x ( t ) 满足 limx(t)=0; t→+ (II) 设 a  0 , f ( t ) 在  0 , )  + dx 上连续有界, 证明: 方程 +ax= f (t)(t 0) 的所有 dt 解在  0 , )  + 上有界.高数 · 6.微分方程及其应用 (13) 设曲线 第 189 页，共191页 y = y ( x ) 有二阶连续导数, y  ( x )  0 , 其上任意一点 ( x , y ) 处的曲率 2 y 2 1 c o s ( c o s 0 ) K =    , 其中  为该曲线在相应点处的切线的倾角, 且该曲线在点 (1,1) 处取得极小值,求曲线 y = y ( x ) . (14) 设函数 y ( x ) ( x 0 ) 二阶可导,且 y  ( x )  0 , y ( 0 ) = 1 ,过曲线y= y(x)上任一点 P ( x , y ) 作曲线 的切线及 x 轴的垂线,上述两条直线与 x 轴所围三角形的面积记为 S 1 ,区间  0 , x  上以 y = y ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积记为 S 2 ,且 2 S 1 − S 2 = 1 ,求曲线y= y(x).高数 · 6.微分方程及其应用 (15) 一架质量为 4.5 吨的歼击机以 第 190 页，共191页 6 0 0 k m / h 的航速开始着陆, 在减速伞的作用下滑跑 5 0 0 m 后速度减为 1 0 0 k m / h , 设减速伞的阻力与飞机的速度成正比, 忽略飞机所受的其 他外力, 求减速伞的阻力系数. 若保障飞机安全着陆, 跑道长度至少应为多少? 拓展题 三、解答题 (1) 设环境保持恒定温度 2 0 C , 有一物体的温度在 10 秒内从 1 0 0 C 降到 6 0 C , 若物体 温度下降的速度与该物体温度与环境温度之差成正比, 问此物体从 100 C 降到 2 5 C 需要 多少时间? (2) 设 f ( t ) 在  0 , )  + 上连续,且满 f ( t ) e 4 2t 2 2 4 2 x 2 y 2 f 1 2 x 2 y 2 d x d y  = +   +  − +  +   (I) 求 f ( t ) ; (II) 求 lim t→ 0 [+ f ( t ) ] 12 .高数 · 6.微分方程及其应用 (3) 设 第 191 页，共191页 y 1 = x , y 2 = x u ( x ) 是微分方程 ( x 2 ln x ) y  − x y  + y = 0 ( x  0 ) 的两个解, 若 u ( 1 ) = 1 , u ( e − 1 ) = 0 , 求 u ( x ) , 并求该方程的通解. (4) [25新增]发现一架飞机在原点O(0,0)处沿 y 轴正向以常速度v飞行,随即从点 P 0 ( 1 6 , 0 ) 处 发射导弹追击,且导弹方向始终指向飞机,导弹速度为 2 v ,如图所示.求: (I) 导弹飞行轨迹 y = y ( x ) 的表达式; (Ⅱ) 飞机被击中的位置及所需时间 T .