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二模模拟卷01-新题型 数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据交集的定义即可得出答案.
【详解】解：因为 ， ，所以 .
故选：B.
2．设复数 （ 是虚数单位），则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数的运算法则计算即可.
【详解】 ，故选B.
【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题型.
3．已知函数 为偶函数，则 （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质进行求解即可.
【详解】由 且 ，
由 ，
因为该函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，因此有 ，
即 ，定义域为 ，
因为 ，
所以该函数是偶函数，符合题意，
故选：A
4．已知椭圆 的焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用 、 进行求解.
【详解】因为椭圆 的焦距是2，所以 ，
当椭圆焦点在 轴上， ，所以 ，
当椭圆焦点在 轴上， ，所以 ，故A，C，D错误.
故选：B.
5． 的展开式中， 项的系数为 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由展开式的公式得到 项的系数为
.
系数为
故答案为C．
试卷第2页，共21页6．六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在
电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面
体），如图所示.若此正八面体的棱长为2，若它的内切球的表面积为 ，外接球表面积为 ，则 的值
为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，利用等积法可得内切球半径，进而即得.
【详解】如图正八面体，连接 和 交于点 ，
因为 ， ，
所以 ， ，又 和 为平面 内相交直线，
所以 平面 ，所以 为正八面体的中心，
设正八面体的外接球的半径为 ，内切球半径为 ，因为正八面体的棱长为 ，
所以 ， ， ，则 ， ， ，
设内切球与平面 切于点 ，所以 平面 ，
所以 即为正八面体内切球半径，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：A.
7．设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用隐零点结合函数单调性和最值可得答案，或者利用同构结合单调性可得答案.
【详解】实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，
即为 ，
设 ， ， ，
令 ，可得 ，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得 和 有且只有一个交点，
设为 ，当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减．
即有 在 处取得极小值，且为最小值．
即有 ， ；
试卷第4页，共21页当 时， ，此时 恒成立，符合题意；
当 时，由 可得 ，即 ；
由 两边取对数可得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以 的最小值为 ．
故选：A．
另解：因为 ，不等式 恒成立，即为 ，
当 时， ，此时 恒成立；
当 时，上式可化为 ，
令 ，由 可得 在 递增，
所以 ，即有 ，
由 的导数为 ，当 时， 递减． 时， 递增，
可得 时， 取得最大值 ．则 ，
的最小值为 ．
故选：A．
8．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 变形为 ，然后从对数函数的定义域及单调性考虑，结合指数函数的值域，得到 ，进而得到 ， ， ，结合 ， ，得到 ，
，求出 .
【详解】要比较 ， ， 中的 大小，
等价于比较 ， ， 中的 大小，
∵ ，由定义域可知 ，
故 ，
∵ 在定义域上单调递减，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 ，则 ，
，
，由定义域可知： ，
又∵ ，
∴ ，则 ，
，故 ，
∵ ， ，
∴ ，
试卷第6页，共21页，
.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有：
（1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较；
（2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较
的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；
（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0或1的关系，
从而确定所比两值的大小关系．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在数列 中， （ 为非零常数），则称 为“等方差数列”， 称为“公
方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． 是等方差数列
B．若正项等方差数列 的首项 ，且 是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列 既是等差数列，又是等方差数列
【答案】BC
【分析】根据等方差数列的定义依次分析四个选项可得答案.
【详解】对于A，因为 ， ， ，
，所以 不是等方差数列，故A错误；
对于B，因为 ， ， ，
所以 ， ，
因为 是等比数列，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，故B正确；对于C，设等比数列 的公比为 ，则 ，
则当 时， ，若 为常数，则必有 ，此时
，则数列 不可能是等方差数列，故C正确；
对于D，假设存在数列 既是等差数列，又是等方差数列，则当 时， 且
，
若 ，则 ，则 ，不合题意，
若 ，则 ，得 ，又 ，
所以 为常数，必有 ，与假设矛盾，
故存在数列 既是等差数列，又是等方差数列.故D错误；
故选：BC
10．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于两点 ，点 在准线 上的
射影为 ，则（ ）
A．若 ，则
B．若点 的坐标为 ，则 的最小值为4
C．
D．若直线过点 且与抛物线 有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条
【答案】AC
【分析】根据抛物线的弦长、定义、直线和抛物线的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】抛物线方程为 ，所以 ，焦点 ，准线方程 .
试卷第8页，共21页A选项，若 ，则 ，A选项正确.
B选项，点 在抛物线内，
根据抛物线的定义可知 的最小值是 到准线的距离，
即最小值是 ，所以B选项错误.
C选项，设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
所以C选项正确.
D选项，直线 和直线 都过 ，且与抛物线 有一个公共点，
当过 的直线斜率存在时，设直线方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
由 ，解得 ，
所以直线 与抛物线 有一个公共点，
所以满足条件的直线有 条，D选项错误.
故选：AC
【点睛】思路点睛：求解直线和抛物线位置关系有关问题，可设出直线的方程，然后将直线方程和抛物线
方程联立，化简后写出根与系数关系、判别式等等，再结合抛物线的定义来对问题进行求解.
11．下列说法正确的是（ ）A．用0，1，2，3，4能组成48个不同的3位数.
B．将10个团员指标分到3个班，每班要求至少得2个，有15种分配方法.
C．小明去书店看了4本不同的书，想借回去至少1本，有16种方法.
D．甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺
卡，有9种不同的方法.
【答案】BD
【分析】根据分步乘法计数原理求出三位数的个数判断A，根据隔板法和分步乘法计数原理求出分配方法
数，判断B，利用间接法求出满足要求的方法数判断C，利用分步乘法计数原理求出满足条件的方法数，
判断D.
【详解】对于A，第一步先排百位数，有4种排法，第二步排十位数有5种排法，第三步排个位数有5种
排法，由分步乘法计数原理可得共有 个不同的三位数，A错误；
对于B，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下7个团员指标排成一排，7
个指标之间有6个空，用2块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将7个指标分给3个班，每
班至少一个指标的分配方法，故第二步有 种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有
15种，B正确；
对于C，因为借回至少1本的反面为1本都不借，又小明所有的借书方法数为 种，所以借回至少1本的
方法数为 种，C错误；
对于D，第一步甲先拿贺卡，有3种方法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有3种方法，第三步余下
两人拿贺卡，由于其中一人不能拿自己的贺卡，故只有一种方法，由分步乘法计数原理可得共 种方
法，D正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知三棱锥 ，其中 平面 ，则三棱锥 外接
球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意设底面 的外心为G，O为球心，所以 平面ABC， ，根据正弦定
理求得 外接圆的半径，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可．
试卷第10页，共21页【详解】根据题意设底面 的外心为G，O为球心，所以 平面ABC，
因为 平面ABC，所以 ，
设 是PA中点，因为 ，所以 ，
因为 平面 平面ABC，所以 ，因此 ，
因此四边形ODAG是平行四边形，故 ，
∵ ，∴ ，
又 外接圆的半径 ，由正弦定理得 ，
所以该外接球的半径 满足 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为： ．
13．如图，正方体 的棱长为6，点 是棱 的中点， 与 的交点为 ，点 在棱
上，且 ，动点 （不同于点 ）在四边形 内部及其边界上运动，且 ，则直
线 与 所成角的余弦值为 .【答案】
【分析】方法一：通过平移，在三角形中求解；方法二：通过建立空间直角坐标系来求解线线角.
【详解】解法一：易知 .因为 平面 ，所以 ，所以 平面 ，又
平面 ，所以 ，在棱 上取一点 ，且 ，
连接 ，则 ，所以 ，所以动点 的轨迹为线段 （不包括 ）.
取棱 的中点 ，连接 ，易知
则 即异面直线 与 所成的角.
连接 ，因为 ， ， ，
所以 .
解法二：以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易
知 ， ， ， ，设 ，则 ， ，
.
由题意知 ，得 ，
试卷第12页，共21页所以 ，则 ，
又 不与点 重合，所以 ，所以 ，所以直线 与 所成角的余弦值为
.
故答案为： .
14．对 ，记 ，则对于任意 ，函数 的最小值是
.
【答案】1
【分析】根据新定义，作出函数的图象即可得到结果.
【详解】由题意可知：
作出函数的图象：∴函数 的最小值是 ，
故答案为
【点睛】本题以新定义为载体，考查分段函数的图象与性质，考查函数的最值，考查数形结合思想，属于
基础题.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数 ．
(1)当 时，求证： 在 上是增函数；
(2)若 在区间 上存在最小值，求 的取值范围；
(3)若 仅在两点处的切线的斜率为1，请直接写出 的取值范围．（结论不要求证明）
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求导，讨论导函数的符号证明增减性即可；
（2）对 分类讨论，判断函数在 上的单调性即可求解 的取值范围；
（3） 仅在两点处的切线的斜率为1，即 有两个不同解，转化为 与
试卷第14页，共21页或 与 的图象有两个交点求解即可.
【详解】（1）当 ，即 时， ，
令 解得 ，
当 时， ，当 时， ，
又 连续，所以 在 上是增函数.
（2） ，
当 时， ，
①当 时， 在 上恒成立，
所以 ， 在区间 上单调递增，所以 在区间 上不存在最小值：
②当 时，令 解得 ，此时 ，
0
极小值
所以 存在最小值，且 ，
综上a的取值范围是 ．
（3） 仅在两点处的切线的斜率为1，即 有两个不同解，
解法一：方程 有两个不同的解，即 与 的图象有两个交点，
令 ，则 ，
所以 图象大致如下，由图象可知 与 的图象有两个交点，则 的取值范围为 .
解法二：方程 有两个不同的解，即 与 的图象有两个交点，
在同一坐标系上画 和 的图象如图，
由图象可得当 时 与 的图象有两个交点，即 的取值范围为 .
16．（15分）
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， 底面 ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)点M在平面 内，直线 平面 ，求四棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
试卷第16页，共21页(2)
【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明 面 ，再根据面面垂直判定定理证明平面 平面
；(2)先求四棱锥 的高，再根据锥体体积公式求解即可.
【详解】（1）连接 交 于点O，
∵ 底面 平面 ，
∴ ，
又∵ ， ， 平面 ，
∴ 面 ，∵ 平面 ，
∴平面 平面 ；
（2）连接 ，过A作 交 于点N，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 重合，
因为 ，
所以 ，又 ， ， ,
所以 ，所以 ，
∴点M到底面 的距离为 ，又
∴ .17．（15分）
某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费10元；重量超过 的包裹，除 收费
10元之外，超过 的部分，每超出 （不足 ，按 计算）需再收5元.
该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
（1）某人打算将 三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超
过30元的概率；
（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费
用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台
工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？
【答案】(1) (2) 公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利
【详解】试题分析：(1) 根据表格结合古典概型概率计算公式求出结果；(2)分别算出裁员1人前后的利润
情况，从而作出判断.
试题解析：
（1）由题意，寄出方式有以下三种可能：
试卷第18页，共21页所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所示概率为 ；
（2）将题目中的天数转化为频率，得
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为 （元）；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为 （元）
故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.
18．（17分）
双曲线C： ，点 是C上位于第一象限的一点，点 关于原点O对称，点 关于y轴
对称．延长 至E使得 ，且直线 和C的另一个交点F位于第二象限中．(1)求 的取值范围；
(2)证明： 不可能是 的三等分线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求得点 ，求出直线BE的方程，将该直线的方程与双曲线C的方程联立，求出
点F的坐标，由 可得出 ，进而可得出关于 的不等式，结合 可求
得 的取值范围；
（2）计算得出 ，可得出 ，计算出 ，可得出 ，由
此可证得结论成立.
【详解】（1）由题设得 ， 、 ，
设点 ，由题意可得 ，
即 ，即 ，得 ，
则 ，
试卷第20页，共21页直线BE的斜率为 ，
所以直线BF的方程是 ，即 ，
联立 ，消去y可得 ，
直线BF与双曲线C有2个交点，则 ，
因为 满足方程 ，
由韦达定理得 ，
解得 ，所以 ，得 已经成立，
因此只需 ，因为 ，可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，可得 ，
所以 的取值范围是 ；（2）证明：由（1）可知，
，
所以 ，即 ，则 ，
因为 ，则 ，
则 ，
所以 ，因此AE不可能是 的三等分线..
【点睛】难点点睛：本题考查了双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系以及圆锥曲线中的综合问题，
属于难题，解答时要明确题意，明确解题的思路，但难点在于计算的复杂性，并且计算量很大，并且基本
上都是关于字母参数的运算，因此要十分有耐心才可以.
19．（17分）
对于序列 ，实施变换T得序列 ，记作 ；对
继续实施变换T得序列 ，记作 ．最后得到的序列
只有一个数，记作 ．
试卷第22页，共21页(1)若序列 为1，2，3，求 ；
(2)若序列 为1，2，…，n，求 ；
(3)若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作 ，若序列B为序列 的一个排列，
请问： 是 的什么条件？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)充分不必要条件
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）根据归纳推理可得 ，利用倒序相加法，化简即可得
结果.
（3）根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】（1）解：序列 为1，2，3， ， ， ，即8， ．
（2）解： 时，
时， ．
时， ，
时， ，
，
取 时， ，
取 时， ①，
则 ②，
① ②得，所以 ．
由序列 为1，2， ， ，可得 ．
（3）解：序列 为序列 ，2， ， 的一个排列， ．而反之不成立．
例如取序列 为： ， ， ，2，1，满足 ．
因此 是 的充分不必要条件．
试卷第24页，共21页
