文档内容
人教版初中数学八年级下册
18.2.3 菱形的性质 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边分别相等 B．对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等
【答案】D
【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案．
【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
2．菱形的两条对角线的长分别是 和 ，则菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据菱形的面积公式即可求解．
【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为 和 ，
∴面积为
故选：A．
【点睛】本题主要考查菱形的面积，解题的关键是熟知菱形的面积等于对角线乘积的一半．
3．已知菱形 ， ， ，则菱形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点 作 于点 ，根据题意求得 ，进而可得 ，勾股定理求得 ，
根据菱形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，∵四边形 是菱形，
∴ ，
，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 （cm2）．
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握菱形的面积计算方法是
解题的关键．
4．菱形的周长为 ，两个相邻的内角度数之比为 ，则较短的对角线长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分各角，可设较小角为x，因为邻角之和为180°，所以
x+2x=180°，所以x=60°，画出其图形，根据含30度角的直角三角形的性质，可以得到其中较短的对角线的
长．
【详解】解：如图所示：
∵菱形的周长为24cm，
∴菱形的边长为6cm，AC⊥BD，∠ABC+∠BCD=180°，∵两邻角之比为1：2，
∴较小角 60°，
∴∠ABO=30°，AB=6cm，
∴最短边为AC，AO= AB=3cm，
∴AC=2AO=6cm．
故选：A．
【点睛】此题主要考查菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质，理解菱形的性质是解题的关键．
5．如图，菱形的边长为2， ，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据坐标意义，点A坐标与垂线段有关，过点A向x轴垂线段AE，求得OE、AE的长即可知点A
坐标．
【详解】过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO=90°，
∵ ，∠AEO=90°
∴ ，
∴
∵菱形的边长为2即AO=2，∠AEO=90°，
∴ ，即
解得： ．∴点A坐标为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、菱形的性质，等角对等边，勾股定理等，正确添加辅助线是解题的
关键．
6．如图，菱形 的对角线 相交于点O，过点A作 于点E，连接 ．若 ，菱
形 的面积为54，则 的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得 ，由菱形的面积得可得 ，然后根据直角三角形斜边上的中线性
质即可解答．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得
是解题的关键．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则
∠AOE的大小为（ ）A．21 B．65 C．42 D．56
【答案】B
【分析】根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可．
【详解】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝ ∠BAD＝ ×50°＝25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【点睛】此题考查求角的度数，解题的关键是熟记菱形的性质并能应用．
8．如图，菱形 的周长为 ，对角线 、 相交于点O， ，垂足为E， ，
则 为（ ）
A． B． C． D．4cm
【答案】B
【分析】根据菱形的性质和周长，求出边长，利用勾股定理，分别求出 利用等积法求出 即可．
【详解】解：∵菱形 的周长为 ，
∴ ，
∵ ，垂足为E， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，即： ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．
二、填空题：
9．如图，菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBA＝50°，则∠ACB＝_____．
【答案】25°##25度
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AF＝BF，由等腰三角形的性质可得∠FAB＝∠FBA＝50°，由菱形
的性质可得∠BAC＝ ∠BAD＝25°，AB＝BC，即可求解．
【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA＝50°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝ ∠BAD＝25°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的
关键．
10．如图，在荾形 中，对角线 ， 分别为 和 ， 于点 ，则 ______．【答案】
【分析】由菱形的性质可得 ， ， ，由勾股定理可求 的长，由菱形的
面积公式可求解．
【详解】解：如图，设 与 的交点为O，
∵四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
11．如图，菱形 的对角线 相交于点O，过点D作 于点H，连接 ，若
，则菱形 的面积为_______．
【答案】48
【分析】由菱形的性质得 ， ， ，则 ，再由直角三角形斜边上的中
线性质求出 的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形 是菱形，∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的面积 ，
故答案为：48．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌
握菱形的性质，求出 的长是解题的关键．
12．如图，在菱形 中， 是 上一点，连接 交对角线 于点 ，连接 ，若 ，
则 ______°．
【答案】40
【分析】由“SAS”可证△ABF≌△CBF，可得∠BAF=∠BCF，由平行线的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，AB∥DC，∠ABF=∠CBF，
∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF=∠BCF，
∵∠AED=40°，AD∥BC，
∴∠AED=∠BAF，
∴∠BCF=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
13.如图，在菱形 中， ，垂足为点 ． 与 交于点 ，连接 ．若 ，则
的大小为______．【答案】
【分析】根据菱形的性质，得出 ， ，再根据 ，得出 ，再根
据全等三角形的性质，得出 ，再根据菱形的性质，得出 ，再根据垂线的定义，
得出 ，再根据三角形的内角和定理，得出 ，进而即可得出结果．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练
掌握相关的性质、定理．
三、解答题：
14．已知：如图，菱形花坛ABCD的边长为10m，∠BCD＝120°，沿对角线修建了两条小路AC和BD，求
两条小路的长和花坛的面积．【答案】两条小路的长分别为10 （m），10m；花坛的面积为 （ ）
【分析】直接利用菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而得出AO，BO的长，即可得出答案；利用菱
形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
【详解】解：∵菱形花坛ABCD的边长为10m，∠BCD＝120°，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝10m， ＝ ，
∴△ABC是等边三角形， ，
∴AC＝10m，
设 交于点 ，
∴AO＝5m，
∴BO＝ （m），
则BD＝10 m，AC＝10m；
花坛的面积为： ×10×10 （ ）＝ （ ），
答：两条小路的长分别为10 m，10m；花坛的面积为 （ ）．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确掌握菱形对角线的关系以及对角线与面积的关系是解题关键．
15．如图，菱形 的对角线 相交于点O， 垂直平分 ，垂足为点E，求 的大小．【答案】120°
【分析】根据DE垂直平分BC，可得 ，根据菱形的性质可得 ，即 为等边三
角形，则 ，则问题得解．
【详解】解：在菱形ABCD中，有 ，且 ，
∵DE垂直平分BC，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即∠ABC的度数为120°．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行的性质等知识，证明 是等边三角
形是解答本题的关键．
16．如图，菱形 ， 、 分别是 ， 上的点， ， ，求 的
度数．
【答案】
【分析】连接 ,根据菱形的性质，可知 为等边三角形， ， ，从而可得 ，进而可得
【详解】连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定与性质，掌握菱形的
性质是解题的关键
17．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD＝5，求：
(1)∠BAC的度数；
(2)AC的长．
【答案】(1)∠BAC＝30°；
(2)AC＝ ．【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，AC平分∠BAD，则可判断 ABD为等边三角形，所以
∠BAD＝60°，从而得到∠BAC的度数； △
（2）根据菱形的性质得到OA＝OC，BO＝OD＝ ，BD⊥AC，利用勾股定理求出OA，从而得到AC的长．
（1）
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，AC平分∠BAD，
∵AB＝BD＝5，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝30°；
（2）
∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC，BO＝OD＝ BD＝ ，BD⊥AC，
在Rt AOB中，OA＝ ，
△
∴AC＝2OA＝ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
18．如图，四边形 是菱形，对角线 相交于点O， 于H，连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先根据菱形的性质得 ，则利用 得到 ，所
以 为 的斜边 上的中线，得到 ，利用等腰三角形的性质证明结论；
（2）先根据菱形的性质得 ， ， ，再根据勾股定理计算出 ，
然后利用菱形的性质和面积公式求菱形 的面积即可得出结论．
【详解】（1）∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴
∴
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质（菱形具
有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分
一组对角），解决（1）小题的关键是判断 为直角三角形斜边上的中线．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，菱形 的边 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ．当 时，（ ）
A．15° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【分析】连接 ，利用 判定 ，从而得到 ，根据已知可得出 的度
数，从而得 的度数．
【详解】如图，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
在 和 中，
∵ ，
∴
∴
∵ 垂直平分 ， ，
∴
∵ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，菱形的性质，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，利用
判定 是关键．2．如图，在菱形ABCD中，对角线 ，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动
和过程中， 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，可得此时EP+FP的值最小，
最小值为NF，再由菱形的性质证得四边形ANFB是平行四边形，然后根据勾股定理求出AB，即可求解．
【详解】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，
∴PN=PE，
∴PE+PF=PN+PF，
∴此时EP+FP的值最小，最小值为NF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD， ，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵ ，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，
∴AN=CF，∴ ，
∴AP=CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合， 即NF过O点，
∵ ，AN=BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF=AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA= AC=3，BO= BD=4，
由勾股定理得：AB=5，即NF=5，
∴ 的最小值是5．
故选：C
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
熟练掌握菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题：
3．已知，在菱形 中， ，对角线 和 相交于点O，在 上取点P，连接 ，
若 ，则 的度数为______．
【答案】 或
【分析】根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线
平分对角进行分情况讨论即可．
【详解】解：∵在菱形 中， ，对角线 和 相交于点O，
∴ 互相垂直平分，
∵ ，
∴ ，
当点 如下图 点所在位置时：
∵ ，
∴ ，
∴ ；当点 如下图 点所在位置时：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意
分类讨论．
4．如图，菱形 的周长为20，面积为24， 是对角线 上一点，分别作 点到直线 、 的垂
线段 、 ，则 等于______
【答案】
【分析】首先利用菱形的性质得出 ， ，进而利用三角形面积求法得出答案．
【详解】解：连接 ，如图，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴ ，
∴ ，∴ ，
而 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且
分别平分两组内角．也考查了三角形的面积公式．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，点E是对角线AC上一个动点，点F是边AB上一个动
点，连接EF，EB，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】连接DE、DF；当D、E、F在同一直线上且DF AB时， 最短．
【详解】解：连接DE、DF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=BE，
∴EB+EF=ED+EF，当D、E、F在同一直线上且DF AB时， 最短，
∵AB=4， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用菱形的性质、直角三角形的性质是解决本题的关键．
三、解答题：
6．如图 ，已知菱形 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ，点 在 轴上．
(1)求点 的坐标；
(2)如图 ，对角线 ， 相交于点 ，求 ， 的长及点 的坐标．
【答案】(1)
(2) ， ， ．
【分析】（1）根据菱形的性质得 ，在 中，由勾股定理得， ，从而得出
点C的坐标
（2）利用勾股定理分别求出 和 的长，再利用中点坐标公式可得点 的坐标．
【详解】（1） ， 的坐标分别为 ， ，， ，
四边形 是菱形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ；
（2）在 中，由勾股定理得， ，
∵ ，
，
四边形 是菱形，
∴G为AC的中点
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7．在菱形 中， ， 是对角线 上任意一点， 是线段 延长线上一点，且
，连接 、 ．
(1)如图1，当 是线段 的中点时， 和 的数量关系是__________．
(2)如图2，当点 不是线段 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请
给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)BE=EF
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出 ABC是等边三角形，得出∠BCA=60°，由等边三角形的性质
和已知条件得出CE=CF，由等腰三角形的性质△和三角形的外角性质得出∠CBE=∠F，即可得出结论；
（2）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，先证明 ABC是等边三角形，得出AB=AC，∠ACB=60°，再
证明 AGE是等边三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE△=60°，然后证明 BGE≌△ECF，即可得出结论；
（1）△ △∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=60°．
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE．
∵CF=AE，
∴CE=CF，
∴ ，
∴∠CBE=∠F=30°，
∴BE=EF．
故答案为：BE=EF；
（2）
结论成立，证明如下：
如图，过点E作EG∥BC交AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠ECF=120°．
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°．
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°．
∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，
∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF．
又∵CF=AE，
∴GE=CF．
即在 BGE和 CEF中， ，
△ △
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
与性质以及三角形外角的性质等知识，综合性强，较难．熟练掌握上述知识并正确的作出辅助线是解题关
键．
