文档内容
人教版初中数学八年级下册
19.2.2 正比例函数的图象和性质 教学设计
一、教学目标：
1.理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象．
2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题．
二、教学重、难点：
重点：掌握正比例函数的图像性质.
难点：利用函数图像性质解决简单问题.
三、教学过程：
复习回顾
忆一忆
1.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程 s (米)与赛跑时间 t (秒)的关系如图所示，则下列
说法正确的是( )
A.甲、乙两人的速度相同 B.甲先到达终点
C.乙用的时间短 D.乙比甲跑的路程多
2.下列函数中是正比例函数的是______.
4 x 2
①y=-5x； ②y=x ； ③y=3x2+5； ④y=6 ； ⑤y=-3 x-1.
3.画函数图象需要经历哪些步聚？_________________.
知识精讲
1
例1 画出下列正比例函数的图象：(1) y=2x，y=3x； (2) y=-1.5x，y=-4x.1
解：(1) y=2x，y=3x
经过原点和第一、第三象限的一条直线，从左向右上升，y随着x的增大而增大.
(2) y=-1.5x，y=-4x.
经过原点和第二、第四象限的一条直线，从左向右下降，y随着x的增大而减小.
【归纳】一般地，正比例函数 y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称
它为直线y=kx.当k＞0时，直线y=kx经过第一、第三象限，从左向右上升，即随着x的增大
y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反
而减小.
思考：
(1)经过原点与点(1，3)的直线是哪个函数的图象？________；若经过原点与点(1，-5)呢？________.
(2)经过原点与点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线是哪个函数的图象？________.
(3)画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y=kx(k≠0)的图象.一般地，过原
点和点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线，即正比例函数y=kx(k≠0)的图象.
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点和点(1，k)的一条直线.
【针对练习】用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
3
(1) y=2x (2) y=-3x
解：(1) (2)
典例解析
例2.已知正比例函数y＝(2m＋4)x.求：
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限；
(2)m为何值时，y随x的增大而减小；
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上．
解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，
∴2m＋4＞0，解得m＞－2.
(2)∵y随x的增大而减小，
∴2m＋4＜0，解得m＜－2.(3)∵点(1，3)在该函数的图象上，
1
∴2m＋4＝3，解得m＝- .
2
【针对练习】已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，
求m的值.
解：∵正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,
∴4=m·m，解得m=±2.
又∵y的值随着x值的增大而减小，
∴m<0，故m=－2
例3.若正比例函数y＝(m﹣2)x的图象经过点A(x ，y )和点B(x ，y )，当x ＜x 时，y ＞y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
【解析】根据题意，知：y随x的增大而减小，
则k＜0，即m﹣2＜0，m＜2．
故选：D．
【针对练习】若点P(x ,y )，Q(x ,y )在正比例函数y=mx的图象上，且x y ，则m
1 1 2 2 1 2 1 2
的值可以是（ ）
2
A．2 B．0 C． D．❑√3-2
5
【解析】∵点P(x ,y )，Q(x ,y )在正比例函数y=mx的图象上，且x y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴y随x的增大而减小，
∴m<0，
故选：D．
例 4.如图，正比例函数 y=kx 的图象经过点 A，点 A 在第四象限，且横坐标为 3.过点 A 作
AH⊥x轴，垂足为点H，且△AOH的面积为3.
(1)求正比例函数的解析式;
(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为5?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由.解: (1)∵点A在第四象限，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3
∴点A的纵坐标为-2
∴点A的坐标为(3，-2)
将点A(3，-2)代入y=kx
2
得-2=3k，解得k=-
3
2
∴正比例函数的解析式为y=- x.
3
解: (2)存在.
1
设点P的坐标为(a, 0)则S = |a|×|-2|=5，
△AOP
2
解得a=±5
∴在x轴上存在点P，使△AOP的面积为5，点P的坐标为(-5，0)或(5，0)
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.正比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值为( )
4 4 3 3
A.- B. C.- D.
3 3 4 4
2.若正比列函数的图象经过点(-2，1)， 则这个图象必经过点( )A. (2，1) B. (-1，-2) C. (2，-1) D. (1， -2)
3.函数y=4x， y=-7x, y=-5x的共同特点是( )
A.图象位于同样的象限 B.y随x增大而减小
C.y随x增大而增大 D.图象都过原点
4.下列直线中，与x轴正方向所成锐角最大的是( ）
1
A. y=5x B. y=2x C. y=9x D.y= x
4
5.点A(-4， y )，B(-2， y )都在直线y=-2x上，则y 与y 的关系是( )
1 2 1 2
A. y ≤y B. y =y C.y y
1 2 1 2 1 2 1 2
6.已知正比例函数y= (3k-1)x,若y随x的增大而增大，则k的取值范围是( )
1 1
A.k<0 B.k>0 C. k< D. k>
3 3
7.已知正比例函数y=(1-2m)x的图象过第二，第四象限,则m的取值范围是( )
1 1
A. m< B.m> C. m>0 D. m<0
2 2
8.正比例函数y=-x的图象经过第__________象限，y随x的增大而_______.
9.若函数y=-2mx- (m2-9)的图象经过原点，且y随x的增大而增大，则m的值为______.
10.某种型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升______元
11.如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式:①y=ax; ②y=bx; ③y=cx.将a，b，c
按从小到大排列并用“<”连接为___________.
12.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，3)、 (n，3)，若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为______(写出一个即可).
13.在同一坐标系中画出下列函数的图象:
3
(1)y= x (2) y=-5x
4
14.已知正比例函数y=kx图像经过点(2,-4)，求：
(1)这个函数的解析式；
(2)判断点A(2,-1)是否在这个函数图像上；
(3)图像上两点 ， ，如果 ，比较 ， 的大小．
B(x ,y ) C(x ,y ) x >x y y
1 1 2 2 1 2 1 2
15.在函数 y＝－3x 的图象上取一点 P，过点 P 作 PA⊥x 轴，已知 P 点的横坐标为－2，求
△POA的面积(O为坐标原点)．
【参考答案】
1. B
2. C
3. D
4. C
5. D
6. D
7. B
8. 二、四，减小
9. -3
10. 8.21
11. a＜c＜b
12. 2
13.解：(1)(2)
14.（1）解：∵正比例函数y=kx的图象经过点(2,-4)，
∴ x=2时，y=-4
∴ 2k=-4
解得k=-2
∴这个函数的解析式为y=-2x；
（2）解：将x=2代入y=-2x中得：y=-2×2=-4≠-1，
∴点(2,-1)不在这个函数图象上；
（3）解：∵ k=-2<0，
∴ y随x的增大而减小，
又∵ x >x
1 2
∴ y
