文档内容
20.1 数据的集中趋势（单元教学设计）
一、【单元目标】
通过4个情境引入，让学生对平均数、加权平均数、中位数、众数以及应用有一个直观的印象，并深
刻理解数据的集中趋势；从而形成对知识点的全貌理解，并促进学生的思维发展；
（1）构造生活中的具体情境，让学生了解平均数、加权平均数的概念与区别；学会并掌握中位数、
众数等的概念与应用，学会具体分析数据，从而得到想要的结论，形成对概念的理解；同时，在掌握了平
均数、中位数和众数的概念之后，升华道数据的集中趋势这一概念，并逐渐运用到具体的数据分析中；
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素
养，进一步发展了学生的类比推理素养；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，
同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；
（5）通过观察图片，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；
二、【单元知识结构框架】
1．平均数与算术平均数
2．加权平均数
“权”的表现形式
估计总体平均数
当所要考察的对象很多或考察本身带有破坏性时，统计中常用样本平均数来估计总体的平均数．
3．中位数
4．众数
5．平均数、众数和中位数的应用
6．利用平均数、中位数和众数解决生活中的实际问题
7．利用“三种数”对成绩或对方案做出选择或决策
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容是整个初中必考内容之一，同时也是比较基础的概念，属于送分题；作为学生，需要掌握平
均数、中位数、众数的相关概念与应用，掌握具体的计算公式，注意数据的读取要正确；
2.认知障碍
平均数、加权平均数、中位数和众数的概念比较简单，需要注意的是计算时数据要准确，不能出现计算错误；尤其是有一些很明显不是答案的数据，一定要多检查；；另一个需要注意的地方就是在应用时要
看清题目的问题，要注意回答；
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约2课时
教学重点：知道算术平均数和加权平均数的意义，会求一组数据的算术平均数和加权平均数；掌握用
样本平均数去估计总体平均数的统计方法 ；会求一组数据的中位数和众数；
教学难点：在实际情景中会用样本平均数去估计总体平均数、体会样本代表性的重要意义 ；会在实
际问题中求中位数和众数，并分析数据信息做出决策；能灵活应用这三个数据代表解决实际问题；
五、【教学问题诊断分析】
【情景引入1】
在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，但有时发现以前计算平均数的方法并不适用．你知道为
什么要这样计算吗？例如老师在计算学生每学期的总评成绩时，不是简单地将一个学生的平时成绩与考试
成绩相加除以2，作为该学生的总评成绩，而是按照“平时成绩占40%，考试成绩占60%”的比例计算(如
图)．
【情景引入2】
生活中的“小笑话”：
一天，爸爸叫儿子去买一盒火柴．临出门前，爸爸嘱咐儿子要买能划燃的火柴．儿子拿着钱出门了，
过了好一会儿，儿子才回到家．爸爸：“火柴能划燃吗？”儿子：“都能划燃．”爸爸：“你这么肯
定？”儿子递过一盒划过的火柴，兴奋地说：“我每根都试过啦．”爸爸：“啊！……”
今天我就学习用样本平均数估计总体平均数．
【情景引入3】
运动会男子50m步枪三姿射击决赛．甲、乙两位运动员10次射击的成绩如下表(单位：环)：
第
第 第 第 第 第 第 第 第 第
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
次 次 次 次 次 次 次 次 次
次
1 1 1
9. 9. 9. 9. 9. 1
甲 0. 0. 0. 0
4 3 5 9 4 0
4 4 1
1 1 1
9. 8. 8. 9. 9. 8. 7.
乙 0. 0. 0.
4 4 7 9 9 8 8
1 4 1
由表中的数据可以看出．当第9次射击后，甲以5环的优势遥遥领先于乙．但由于第10次射击，意外地未能击中靶子，最终乙以总分第一获得该项目的第一名．
你认为用10次射击的平均数来表示甲射击成绩的实际水平合适吗？如果你认为不合适．那么应该怎样
评价甲射击的实际水平？
一组数据的“平均水平”除了用平均数反映以外，还可以用中位数、众数来反映．
【情景引入4】
2015年9月3日是“中国人民抗日战争胜利暨世界反法西斯战争胜利70周年纪念日”，要选择部分士
兵组成阅兵方阵，在这个问题中最值得我们关注的是士兵身高的平均数、中位数还是众数？你能作出选择
吗？
20.1.1 平均数、用样本平均数估计总体平均数
问题1：（已知一组数据的平均数求某一个数据）如果一组数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，则
a的值是( )
A．8 B．5 C．4 D．3
【破解方法】关键是根据算术平均数的计算公式和已知条件列出方程求解．
【解析】∵数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，∴(3＋7＋2＋a＋4＋6)÷6＝5，解得a＝8.故选A.
问题2：（已知一组数据的平均数，求新数据的平均数）已知一组数据x 、x 、x 、x 、x 的平均数是
1 2 3 4 5
5，则另一组新数据x＋1、x＋2、x＋3、x＋4、x＋5的平均数是( )
1 2 3 4 5
A．6 B．8 C．10 D．无法计算
【破解方法】解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数【解析】∵x 、x 、x 、
1 2 3
x、x 的平均数为5，∴x＋x＋x＋x＋x＝5×5，∴x＋1、x＋2、x＋3、x＋4、x＋5的平均数为(x＋1＋
4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1
x＋2＋x＋3＋x＋4＋x＋5)÷5＝(5×5＋15)÷5＝8.故选B.
2 3 4 5
问题3：（以频数分布表提供的信息计算加权平均数）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周
在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间(小时) 5 6 7 8
人数 10 15 20 5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是( )
A．6.2小时 B．6.4小时
C．6.5小时 D．7小时
【破解方法】计算加权平均数时，要首先明确各项的权，再将已知数据代入加权平均数公式进行计算．【解析】根据题意得(5×10＋6×15＋7×20＋8×5)÷50＝(50＋90＋140＋40)÷50＝320÷50＝6.4(小时)，
故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．故选B.
问题4：（以频数分布直方图提供的信息计算加权平均数）小明统计本班同学的年龄后，绘制如右频
数分布直方图，这个班学生的平均年龄是( )
A．14岁 B．14.3岁
C．14.5岁 D．15岁
【破解方法】利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解
决问题．
【解析】该班同学的年龄和为13×8＋14×22＋15×15＋16×5＝717岁．平均年龄是717÷(8＋22＋15
＋5)＝14.34≈14.3(岁)．故选B.
问题5：（ 以百分数的形式给出各数据的 “ 权 ” ）某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按40%、
面试按60%计算加权平均数作为总成绩，小华笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小华的总成绩是(
)
A．87分 B．87.5分 C．88分 D．89分
【破解方法】笔试和面试所占的百分比即为“权”，然后利用加权平均数的公式计算．
【解析】∵笔试按40%、面试按60%，∴总成绩为90×40%＋85×60%＝87(分)．故选A.
问题6：（ 以比的形式给出 各数据的 “ 权 ” ）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作
得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是( )
A．255分 B．84分 C．84.5分 D．86分
【破解方法】“权”的表现形式，一种是比的形式，如 5∶3∶2；另一种是百分比的形式，如创新占
50%，综合知识占30%，语言占20%.“权”的大小直接影响结果．
【解析】根据题意得85×＋80×＋90×＝17＋24＋45＝86(分)．故选D.
问题7：（ 加权平均数的实际应用）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区
的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩(百分制)如表：
选 表达能 阅读理 综合素 汉字听
手 力 解 质 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
(1)由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选
派谁；
(2)如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名
选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．
【破解方法】数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的
“权”，“权”的差异对结果会产生直接的影响．
【解析】(1)先用算术平均数公式，计算乙的平均数，然后根据计算结果与甲的平均成绩比较，结果大
的胜出；(2)先用加权平均数公式，计算甲、乙的平均数，然后比较计算结果，结果大的胜出．
解：(1)x ＝(73＋80＋82＋83)÷4＝79.5，∵80.25＞79.5.∴应选派甲；
乙
(2)x ＝(85×2＋78×1＋85×3＋73×4)÷(2＋1＋3＋4)＝79.5，x ＝(73×2＋80×1＋82×3＋83×4)÷(2
甲 乙
＋1＋3＋4)＝80.4，∵79.5＜80.4.∴应选派乙．
问题8：（结合扇形统计图和统计表来估计总体情况）济南以“泉水”而闻名，为保护泉水，造福子
孙后代，济南市积极开展“节水保泉”活动，宁宁利用课余时间对某小区300户居民的用水情况进行了统
计，发现5月份各户居民的用水量比4月份有所下降，宁宁将5月份各户居民的节水量统计整理如下统计
图表：
节水量(米3) 1 1.5 2.5 3
户数 50 80 100 70
(1)扇形统计图中2.5米3对应扇形的圆心角为________度；
(2)该小区300户居民5月份平均每户节约用水多少米3?
【破解方法】本题主要考查了统计表，扇形统计图，平均数，关键是看懂统计图表，从统计图表中获
取必要的信息，熟练掌握平均数的计算方法．
【解析】(1)首先计算出节水量2.5米3对应的户数所占百分比，再用360°×百分比即可；(2)根据加权
平均数公式计算即可．
解：(1)120
(2)(50×1＋80×1.5＋2.5×100＋3×70)÷300＝2.1(米3)．答：该小区300户居民5月份平均每户节约用水2.1米3.
问题9：（结合条形图来估计总体情况）为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的
用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．
(1)小明一共调查了多少户家庭？
(2)求所调查家庭5月份用水量的平均数；
(3)若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．
【破解方法】读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示
出每个项目的数据．
【解析】(1)条形统计图上户数之和即为调查的家庭户数；(2)根据加权平均数的定义计算即可；(3)利
用样本估计总体的方法，用“400×所调查的20户家庭的平均用水量”即可．
解：(1)1＋1＋3＋6＋4＋2＋2＋1＝20(户)，
答：小明一共调查了20户家庭；
(2)(1×1＋1×2＋3×3＋4×6＋5×4＋6×2＋7×2＋8×1)÷20＝4.5(吨)，
答：所调查家庭5月份用水量的平均数为4.5吨；
(3)400×4.5＝1800(吨)，
答：估计这个小区5月份的用水量为1800吨．
问题10：（结合频数分布直方图来估计总体情况）统计武汉园博会前20天日参观人数，得到如下频
数分布表和频数分布直方图(部分未完成)：
武汉园博会前20天日参观人数的频数分布表
组别(万人) 组中值(万人) 频数 频率
7.5～14.5 11 5 0.25
14.5～21.5 6 0.3
21.5～28.5 25 0.3
28.5～35.5 32 3(1)请补全频数分布表和频数分布直方图；
(2)求出日参观人数不低于21.5万的天数和所占的百分比；
(3)利用以上信息，试估计武汉园博会(会期247天)的参观总人数．
【破解方法】本题考查运用样本估计总体的思想，解决问题的关键是读懂频数分布直方图和从统计图
中获取有用信息．【解析】：(1)根据表格的数据求出14.5～21.5小组的组中值，最后即可补全频数分布表
和频数分布直方图；(2)根据表格知道日参观人数不低于21.5万的天数有两个小组，共9天，除以总人数即
可求出所占的百分比；(3)利用每一组的组中值和每一组的频数可以求出武汉园博会(会期247天)的参观总
人数．
解：(1)14.5～21.5小组的组中值是(14.5＋21.5)÷2＝18，3÷20＝0.15.
武汉园博会前20天日参观人数的频数分布表：
组别(万人) 组中值(万人) 频数 频率
7.5～14.5 11 5 0.25
14.5～21.5 18 6 0.3
21.5～28.5 25 6 0.3
28.5～35.5 32 3 0.15
(2)依题意得日参观人数不低于21.5万有6＋3＝9(天)，所占百分比为9÷20＝45%；
(3)∵园博会前20天的平均每天参观人数约为＝＝20.45(万人)，∴武汉园博会(会期247天)的参观总人
数约为20.45×247＝5051.15(万人)．
答：武汉园博会(会期247天)的参观总人数约为5051.15万人．
16.1.2中位数、众数
问题1：（直接求一组数据的中位数）我市某一周的最高气温(单位：℃)分别为25，27，27，26，
28，28，28.则这组数据的中位数是( )
A．28 B．27 C．26 D．25【破解方法】中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个
数的平均数)．
【解析】首先把数据按从小到大的顺序排列为25、26、27、27、28、28、28，则中位数是27.故选B.
问题2：（根据统计表求中位数）某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，
他们一周内的读书时间累计如下表，则这10名同学一周内累计的读书时间的中位数是( )
一周内累计的读书时间
5 8 10 14
(小时)
人数(个) 1 4 3 2
A.8 B．7 C．9 D．10
【破解方法】将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中
间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据
的中位数．
【解析】∵共有10名同学，∴第5名和第6名同学的读书时间的平均数为中位数，则中位数为＝9.故选
C.
问题3：（在两种不同的统计图中求中位数）某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图
所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是( )
A．94，96 B．96，96
C．94，96.4 D．96，96.4
【破解方法】解题的关键是从统计图中获取正确的信息并求出各个小组的人数．然后求中位数和平均
数．
【解析】总人数为6÷10%＝60(人)，则94分的有60×20%＝12(人)，98分的有60－6－12－15－9＝
18(人)，第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是(96＋96)÷2＝96；这些职工成绩的平均数
是(92×6＋94×12＋96×15＋98×18＋100×9)÷60＝(552＋1128＋1440＋1764＋900)÷60＝5784÷60＝96.4.故
选D.问题4：（直接求一组数据的众数）为参加阳光体育运动，有9位同学去购买运动鞋，他们的鞋号(单
位：码)由小到大是20，21，21，22，22，22，22，23，23.这组数据的中位数和众数是( )
A．21和22 B．21和23
C．22和22 D．22和23
【破解方法】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解析】数据按从小到大的顺序排列为20，21，21，22，22，22，22，23，23，所以中位数是22；数
据22出现了4次，出现次数最多，所以众数是22.故选C.
问题5：（在条形统计图中求众数）某校男子足球队的年龄分布如右图所示，则这些队员年龄的众数
是( )
A．12 B．13
C．14 D．15
【破解方法】求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据．若几个数据频数都是最多且相同，
此时众数就是这多个数据．
【解析】观察条形统计图知年龄为14岁的人最多，有8人，故众数为14.故选C.
问题6：（平均数、众数和中位数的综合考查）一组数据3，x，4，5，8的平均数为5，则这组数据的
众数、中位数分别是( )
A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．5，8
【破解方法】解决本题的关键是掌握平均数、众数和中位数的求法．【解析】∵3，x，4，5，8的平均
数为5，∴(3＋x＋4＋5＋8)÷5＝5，解得x＝5.把这组数据从小到大排列为3，4，5，5，8，∴这组数据的中
位数为5.∵5出现的次数最多，∴这组数据的众数是5.故选B.
问题7：（平均数、众数和中位数的选择）某公司33名职工的月工资(单位：元)如下：
董 总 管
职 副董 董 经 职
事 经 理
务 事长 事 理 员
长 理 员
人
1 1 2 1 5 3 20
数工 850 65 600 55 500 45
8000
资 0 00 0 00 0 00
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数和众数(精确到个位)；
(2)假设副董事长的工资从8000元提升到20000元，董事长的工资从8500元提升到30000元，那么新
的平均数、中位数、众数又各是多少(精确到个位)?
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？请说明理由．
【破解方法】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中
程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
【解析】(1)(2)根据平均数、中位数、众数的概念计算；(3)由于副董事长、董事长的工资偏高，使月
平均工资偏大，也就是说用平均数来反映这个公司职工的工资水平有很大的误差．应用公司职工月工资的
中位数或众数来反映这个公司的工资水平．
解：(1)公司职工月工资的平均数为×(8500＋8000＋6500×2＋6000＋5500×5＋5000×3＋
4500×20)≈5091；把33个数据按从小到大排列可得中位数为4500，众数为4500；
(2)新的平均数为×(30000＋20000＋6500×2＋6000＋5500×5＋5000×3＋4500×20)≈6106；把33个新
的数据按从小到大排列可得中位数仍为4500，众数仍为4500；
(3)由于副董事长、董事长的工资偏高，使月平均工资与绝大多数职工的月工资差距很大，也就是说用
平均数来反映这个公司职工的工资水平有很大的误差．显然用公司职工月工资的中位数或众数更能反映这
个公司的工资水平．
16.1.3平均数、中位数和众数的应用
问题1：（平均数的应用）假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表，
从平均价格看，买得比较划算的是( )
价格/(元/kg) 12 10 8 合计/kg
小菲购买的数
2 2 2 6
量/kg
小琳购买的数
1 2 3 6
量/kg
A.一样划算 B．小菲划算
C．小琳划算 D．无法比较
【破解方法】数据的“权”能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的
“权”，“权”的差异对结果会产生直接的影响．
【解析】∵小菲购买的平均价格是(12×2＋10×2＋8×2)÷6＝10(元/kg)，小琳购买的平均价格是(12×1
＋10×2＋8×3)÷6＝(元/kg)，∴小琳划算．故选C.
问题2：（中位数的应用）有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，
共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这 13名同学成绩的统计量中
只需知道一个量，它是__________(填“众数”“中位数”或“平均数”)．【破解方法】中位数与数据的排列顺序有关，受极端值的影响较小，所以当一组数据中个别数据变化
较大时，可以用中位数描述其“平均情况”，但不能充分利用所有数据的信息．
【解析】因为7位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，所以把13个不同的分数按从小到大
排序，只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故填中位数．
问题3：（众数的应用）有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，
共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这 13名同学成绩的统计量中
只需知道一个量，它是__________(填“众数”“中位数”或“平均数”)．
【破解方法】中位数与数据的排列顺序有关，受极端值的影响较小，所以当一组数据中个别数据变化
较大时，可以用中位数描述其“平均情况”，但不能充分利用所有数据的信息．
【解析】因为7位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，所以把13个不同的分数按从小到大
排序，只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故填中位数．
问题4：（ 利用 “ 三种数 ” 对成绩做出判断 ）某中学开展演讲比赛活动，九(1)、九(2)班根据初赛成绩
各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示．
(1)根据上图填写下表：
平均分 中位数 众数
(分) (分) (分)
九(1)班 85 85
九(2)班 85 80
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
(3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强一些？说明理由．
【破解方法】读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚
地表示出每个项目的数据
【解析】(1)根据统计图中的具体数据以及中位数和众数的概念计算；(2)观察数据发现：平均数相同，
则中位数大的较好；(3)分别计算前两名的平均分，比较其大小．解：(1)85 100
(2)∵两班的平均数相同，九(1)班的中位数高，∴九(1)班的复赛成绩好些；
(3)∵九(1)班、九(2)班前两名选手的平均分分别为92.5分，100分，∴在每班参加复赛的选手中分别选
出2人参加决赛，九(2)班的实力更强一些．
问题5：（ 利用 “ 三种数 ” 进行方案探究 ）在喜迎“中国人民抗日战争胜利70周年暨世界反法西斯战
争胜利70周年”，某校举办校园唱红歌比赛，选出10名同学担任评委，并事先拟定从如下四种方案中选
择合理方案来确定演唱者的最后得分(每个评委打分最高10分)．
方案1：所有评委给分的平均分；
方案2：在所有评委中，去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩余评委的平均分；
方案3：所有评委给分的中位数；
方案4：所有评委给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，
先对某个同学的演唱成绩进行统计实验，下图是这个同学的得分统计图：
(1)分别按上述四种方案计算这个同学演唱的最后得分；
(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演唱的最后得分？
【破解方法】给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．中位数的定义：将一组
数据从小到大(或从大到小)依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数．平均数＝总数÷个
数．学会选用适当的统计量分析问题．
【解析】本题关键是理解每种方案的计算方法：(1)方案1：平均数＝总分数÷10；方案2：平均数＝去
掉一个最高分和一个最低分的总分数÷8.方案3：10个数据，中位数应是数据从小到大(或从大到小)排列的
第5个和第6个数据的平均数；方案4：求出评委给分中，出现次数最多的分数．(2)考虑不受极值的影响，
不能有两个得分等原因进行排除．
解：(1)方案1：最后得分为×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；
方案2：最后得分为×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；
方案3：最后得分为8；
方案4：最后得分为8和8.4；
(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不适合作为这个同学演讲的最后得分，所以方案1不适
合作为最后得分的方案．因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后
得分的方案．
六、【教学成果自我检测】1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．已知一组数据：1，3，5，x，6，这组数据的平均数是4，则众数是 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题考查求众数，先根据平均数求出 的值，再根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，进
行判断即可．
【详解】解：由题意，得： ，解得 ，
∴这组数据为1，3，5，5，6，其中数据5出现次数最多，
∴众数为5；
故选B．
2．某次测试结束，嘉琪随机抽取了九（1）班学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的扇形统计图，则
该班学生的平均成绩为（ ）
A．9分 B． 分 C． 分 D．8分
【答案】A
【分析】本题考查的是加权平均数的含义，直接利用加权平均数的含义计算即可．
【详解】解：平均成绩为：
（分）．
故选 A．
3．某学生数学课堂表现为90分、平时作业为90分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按 、 、
的比例计入总评成绩，则该生数学总评成绩是 分．
【答案】88
【分析】本题考查了加权平均数的计算，属于基本题型，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．根
据加权平均数的计算方法解答即可．
【详解】解：该学生数学学科总评成绩 分．故答案为：88．
4．为了落实“双减”政策，增强学生体质，某校课后服务篮球兴趣课开展投篮比赛活动．其中8名选手投
中篮圈的个数分别为 ，则这组数据的中位数是 ．
【答案】5
【分析】本题考查中位数，先将所给数据从小到大排列，求第4和第5个数据的平均数即为该组数据的中
位数．
【详解】解：8名选手投中篮圈的个数分别为 ，
∴这组数据的中位数是 ，
故答案为：5．
5．某学校年终要从学习成绩、体育成绩、其他三个方面综合评价学生，并选出成绩较好的评为本年度学
习标兵，现要从李强、王飞两位同学中选出一位评为本年度学习标兵，他们的成绩（单位：分）如下：
体育成
学生 学习成绩 其他
绩
李强 95 80 90
王飞 90 90 90
如果按学习成绩占 ，体育成绩占 ，其他占 计算，谁会被选为本年度学习标兵？
【答案】李强会被选为本年度学习标兵，理由见解析
【分析】根据学习成绩占 ，体育成绩占 ，其他占 计算李强和王飞的总分，比较二者大小即
可．
【详解】解：由题意得，李强的成绩是： ，
王飞的成绩是： ，
∵ ，故李强会被选为本年度学习标兵．
【点睛】本题考查了加权平均数的有关知识，解题的关键是有效提取题干的数学信息，计算出加权平均数
并进行决策．
6．“父母在，人生尚有来处，父母去，人生只剩归途”，近几年涌现了很多缅怀母亲的文艺作品，其中
贾玲的《你好，李焕英》和毛不易的《一荤一素》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的评价，
某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、
描述和分析，下面给出了部分信息．《你好，李焕英》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽
取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表．
平均数 众数 中位数
《你好，李焕
8.2 9
英》
《一荤一素》 7.9 8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中a，b，c的值；
(2)你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校九年级1100名学生都对《你好，李焕英》进行打分，试估计所打分数中满分的个数？
【答案】(1)
(2)《你好，李焕英》，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据《一荤一素》调查得分为“8分”所占的百分比，即可求出“10分”所占的百分比，确
定 的值；根据中位数、众数的意义可求出 的值；
（2）通过平均数、中位数、众数的比较即可求解；
（3）求出《你好，李焕英》满分人数所占的百分比即可求解．
【详解】（1）解：《一荤一素》调查得分为“ 分”所占的百分比为：
，
∴ ；《你好，李焕英》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为： ，
∴ ；
《一荤一素》调查得分出现次数最多的是 分，因此众数是 ，
∴ ；
（2）解：《你好，李焕英》，理由：《你好，李焕英》调查得分的平均数、中位数、众数均比《一荤一
素》高；
（3）解：
答：估计所打分数中满分的个数为 人．
【点睛】本题考查了统计中的扇形统计图、各统计数据的意义及求解．旨在考查学生的数据处理能力．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．一组数据 ，a，5，3，7有唯一的众数7，则这组数据的中位数是（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了众数和中位数的知识，根据众数的定义先求出a的值，再根据中位数的定义把这
组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两个数的平均数即可得出答案．
【详解】解：∵数据 ，a，5，3，7有唯一的众数7，
∴ ，
把这些数从小到大排列为 ，3，5，7，7，
则这组数据的中位数是5．
故选：C．
2．2023年5月30日空间站内，神十五、神十六两个航天员乘组拍下“全家福”，浩瀚宇宙再现中国人太
空“会师”的画面，下面是神州十五3位航天员的年龄统计如下：57，46，56，下列说法错误的是（ ）
A．神州十五航天员的平均年龄为53岁 B．神州十五航天员年龄的中位数为56岁
C．神州十五航天员50岁以上占 D．神州十五航天员45以上的频率为1
【答案】C
【分析】本题考查平均数、频率与中位数的意义，解题时要注意理解题意，要细心，不要漏解．平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的
一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．首先根据平均数、中位数、频率的意义逐项分
析即可得出结果．
【详解】解：据题意得，3位航天员的年龄统计如下：57，46，56，
神州十五航天员的平均年龄为 ，故A项说法正确，不符合题意；
将57，46，56，从小到大排序后得： 46， 56，57，所以神州十五航天员年龄的中位数为56岁，故B项
说法正确，不符合题意；
3位航天员，50岁以上的有2人，神州十五航天员50岁以上占 ，故C项说法错误，符合题意；
3位航天员，45岁以上的有3人，神州十五航天员45以上的频率为1，故A项说法正确，不符合题意；
故选∶C．
3．某校拟招聘一名优秀教师，小王的面试、笔试、试讲成绩分别为95分、90分、96分．根据实际需要，
综合成绩将面试、笔试和试讲三项得分按 的比例确定最后成绩，那么小王最后的成绩为
分．
【答案】93.5
【分析】根据加权平均数求解公式解答即可．本题考查加权平均数，熟知加权平均数的计算公式是解答的
关键．
【详解】解：由题意， （分 ，
小王最后的成绩为93.5分
故答案为：93.5
4．2024年全国两会提出：以科技创新推动产业创新，以前沿技术催生新产业、新模式、新动力，发展新
质生产力，促进高质量发展．某学校数学社团使用问卷星 发起了“人工智能（ ）知多少？”的问
卷调查，把知道的程度由低到高分别记为1分、2分、3分、4分、5分．画出的扇形统计图如图所示，则
近打分数的众数为 ．【答案】1
【分析】本题考查了众数，根据众数为一组数据众出现次数最多的数即可得出答案．
【详解】解：由扇形统计图可得：1分出现的次数最多，所占比例为 ，
故打分数的众数为1，
故答案为：1．
5．为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从九
年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分
为四组：A． ，B． ，C． ，D． ，下面给出了部分信息：
九年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，
96，99；
八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89．
九、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
九年级 85.2 86 b 62.1
八年级 85.2 a 91 55.3
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校九、八年级共640名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？
【答案】(1)87.5，86，40
(2)八年级成绩较好，详见解析
(3)估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生大约共有224人
【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、中位数、众
数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据扇形信息，用 分别乘上 组、 组的占比，得出 组2人， 组3人，结合中位数、众数的
定义进行作答即可．
（2）运用中位数进行作决策，即可作答．
（3）用640乘上本次调查的（90分及以上）的比值，即可作答．
【详解】（1）解：由题意可知，八年级 组有： （人），
组有： （人），
∵把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88，
故中位数 ；
∵在被抽取的九年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，
故众数 ；
，
故 ．
故答案为：87.5，86，40；
（2）解：八年级成绩较好，
理由：因为八年级学生成绩的中位数比九年级的高，所以八年级成绩较好；
（3）解： （人），
答：估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生大约共有224人．
6．某中学组织开展交通安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(满分80分)进
行整理和分析(成绩均为整数，成绩得分用x表示)，共分成五个等级．A： ，B： ；50，C：
，D： ，E· ，下面给出了部分信息：
七年级抽取的20名学生的竞赛成绩在D等级中的数据分别是：64，65，65，65，65，69．八年级抽取的20名学生的竞赛成绩在D等级中的数据分别是：63，65，65，65，65，69，70．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
中位
平均数 众数 满分率
数
七年
a 65
级
八年
65 b
级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图，并直接写出a、b的值；
(2)根据以上数据分析，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
(3)已知该校七、八年级共有800名学生参与了知识竞赛﹔请估计两个年级竞赛成绩优秀的学生共有多少人
（其中成绩大于70的为优秀）？
【答案】(1)图见解析， ，
(2)八年级的成绩好一些，理由：八年级的平均成绩好于七年级，中位数也大于七年级，故八年级的成绩好
一些
(3)220人
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合，中位数以及众数的定义，用中位数以及平均数做决
策，用样本估计总体等知识．
（1）根据总人数是20人，可得C组的人数为： （人），从而补全条形统计图，然后根
据中位数和众数的定义求出a、b的值；
（2）根据表格中的数据，通过平均数以及中位数可以得到哪个年级的成绩好一些，
（3）用样本估计总体可得结果．
【详解】（1）解：八年级抽取的20名学生的竞赛成绩在C等级人数为： （人），
补全条形统计图如下：∵ 人，
∴七年级取的20名学生的竞赛成绩从小到大排在中间的两个数是D等级的64，65，
∴ ；
∵ 人，所以八年级抽取的20名学生的竞赛成绩中80出现的次数最多，
∴ ；
（2）八年级的成绩好一些，理由：八年级的平均成绩好于七年级，中位数也大于七年级，故八年级的成
绩好一些；
（3）七年级优秀的学生有： （人），八年级优秀的学生有：6人，
∴ （人）
答：估计两个年级竞赛成绩优秀的学生共有220人．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1．2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分.为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力
训练，现葵城中学七（1）班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，
10，6，9，6则这组数据的中位数是（ ）.
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了中位数的定义，根据把统计数据分别为7，12，10，6，9，6进行排序（小到大）得出
6，6，7，9，10，12，取中间两个数的平均数，即为中位数，据此即可作答．
【详解】解：依题意，
把统计数据分别为7，12，10，6，9，6进行排序（小到大）得出6，6，7，9，10，12，∵数据有6个，为偶数个，
∴取中间两个数的平均数： ，
∴中位数为 ，
故选：C．
2．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．西山区
某中学组织学生参加“我阅读，我成长”为主题的演讲比赛，以下是根据进入决赛的15位选手的比赛成绩
制成的统计表：
成绩（分） 88 90 92 95 96 98
人数 1 2 3 4 3 2
这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．92，95 B．95，98 C．95，95 D．96，95
【答案】C
【分析】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提，掌握众数、中位数的计算
方法是解决问题的关键．
先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．
【详解】解：∵95出现的次数最多，4次，
∴众数为95；
∵ ，
∴中位数是第8个数据：95．
故选：C．
3．某公司欲招聘一名员工，对甲进行了笔试和面试，其笔试和面试的成绩分别为90分和80分，若按笔试
成绩占 ，面试成绩占 计算综合成绩，甲的综合成绩为 分．
【答案】86
【分析】本题考查了加权平均数的计算，加权平均数公式为： （其中
分别为 的权）．据此计算即可．
【详解】解： （分），
即甲的综合成绩为86分，故答案为：86．
4．如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁
统计在 小组，而不在 小组），根据图中提供的信息，有下列说法：
①该学校教职工总人数是50；
②年龄在 小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的 ；
③教职工年龄的中位数一定落在 这一组；
④教职工年龄的众数一定在 这一组．
其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须
认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．根据直方图，可得该学校教职工总人数
为 （人），即可判断①； 在 小组的教职工人数占该学校全体教职工总人
数的比例为 ，即可判断②； 根据中位数的定义，即可判断③；教职工年龄在 的总人
数最多，但教职工年龄的众数在哪一组并不确定，即可判断④．
【详解】解：①该学校教职工总人数为 （人），故符合题意；
②在 小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的比例为 ，故符合题意；
③由第25个，第26个数据落在 这一组，可得教职工年龄的中位数一定落在 这一组，
符合题意；
④教职工年龄在 的总人数最多，但教职工年龄的众数在哪一组并不确定．不符合题意
故答案为：①②③．
5．2024年佛山50公里徒步活动期间，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山，见证城市高质
量发展．小红所在的学习小组为了解参加活动的市民年龄情况，随机调查了部分参加活动的市民，根据调查结果绘制成如下两幅统计图（不完整）．
(1)单选题：采取下列措施中的______，可以使调查样本更具有广泛性和代表性．
A．在不同时间、不同途经点增加随机调查的人数 B．在中午12：00进行调查
C．在起点进行调查 D．在终点进行调查
(2)补全条形统计图；
(3)被调查的市民的年龄的中位数，在年龄______段岁中；
(4)你能根据调查样本，估计参加活动的市民中，年龄段为18－24岁的人数吗？
【答案】(1)A；
(2)见解析；
(3)30－39；
(4)6万人．
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是从扇形图与条形图中已知
的公共部分为解题突破口，求出样本容量．
（1）可以看选项是否符合以下三个方面：样本中个体的选取具有随机性；选取的样本容量足够大；选取
的样本各层均有涉及；
（2）用条形图中“18岁以下”的数量除以扇形图中“18岁以下”所占的百分比10%，得到样本容量，用
总量减去其他年龄段的数量即可，并补全图；
（3）按照年龄从小到大，找到样本中间位置处于的年龄段；
（4）用总人数乘扇形图中18－24岁的百分即可得到．
【详解】（1）在不同时间、不同途经点增加随机调查的人数，具有随机性，可避免偶然性，
故选A．
（2）样本总量为 ，
18－24岁的人数=样本总量-其他年龄段的人数，即 （人），补全图统计图如下
．
（3）样本总量为 ，中间位置为1000，将数据从小到大排列，第1000个会出现在“30－
39岁”内．
（4）样本内年龄段为“18－24岁”的百分比为 ，
约40万市民参加活动，
（万），
估计本次徒步活动中，18－24岁人群参与的市民约有6万人．
6．某校初中数学组深知人生最具好奇心和幻想力、创造力的时期是中学时代，所以，为每一个初中生推
荐一本中学生素质教育必读书《数学的奥秘》，解答生活中的疑惑，更重要的是培养学生细致观察，勤于
动手的能力，经过一学期的阅读和学习，学校从初一、初二的2000名学生中随机各选20名，对《数学的
奥秘》此书阅读效果做测试，收集到20名学生得分的数据如下：
初
96 100 89 95 62 75 93 86 86 93
一
94 95 88 94 95 68 91 80 78 90
初
100 98 95 95 94 92 92 92 92 92
二
86 82 83 82 77 78 74 64 60 92
通过整理，两组数据的平均数、中位数和众数如表：
中位
年级 平均数 众数
数
初一 m 95
初二 92 n
某同学将初一学生得分按分数段（ ， ， ，90≤x≤100），绘制成频数分布直方
图，初二同学得分绘制成扇形统计图（均不完整）请完成下列问题：
(1)初一学生得分的中位数 ；初二学生得分的众数 ；
(2)补全频数分布直方图；扇形统计图中， 所对用的圆心角为 度；
(3)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对《数学的奥秘》这本书阅读效果优秀，请估计该校初一、初
二两个年级对《数学的奥秘》这本书阅读效果优秀的学生一共有多少人？
【答案】(1) ；92
(2)36
(3)估计该校初一、初二两个年级对《数学的奥秘》这本书阅读效果优秀的学生一共有1050人
【分析】（1）根据中位数和众数的意义解答即可；
（2）先求出成绩在 的人数，再补全频数分布直方图即可；将 乘以成绩在 的占比即
可求出圆心角的度数；
（3）将2000乘以样本中成绩不低于90分的占比即可作出估计．
【详解】（1）解：初一成绩有小到大排列如下，62，75，80，86，89，91，93，94，95，96，
∴ ，
∵初二成绩中92出现5次，是出现最多的，
∴ ，
故答案为： ，92；
（2）解：初一成绩在 有： （人），
补全频数分布直方图如下：初二 所对用的圆心角为： ，
故答案为：36；
（3）解： （人），
答：估计该校初一、初二两个年级对《数学的奥秘》这本书阅读效果优秀的学生一共有1050人．
【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，平均数，中位数，众数，掌握统计量的意义，能从统计
图表中获取有用信息是解题的关键．
七、【教学反思】
