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仿真模拟卷 2
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.(2022·日照模拟)集合A＝{－2,0,1,2}，B＝{－2,1,3}，则图中阴影部分所表示的集合为(
)
A．{－2} B．{0,1,3}
C．{0,2,3} D．{1,2,3}
答案 C
解析 因为A∩B＝{－2,1}，所以阴影部分表示的集合为{0,2,3}．
2．(2022·长沙雅礼中学质检)已知复数z＝，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为i
B．|z|＝2
C．z的共轭复数＝－1＋i
D．z2为纯虚数
答案 D
解析 ∵z＝＝＝1＋i，
∴z的虚部为1，|z|＝，z2＝2i为纯虚数，
＝1－i，
∴正确的结论是D.
3．(2022·广东六校联考)函数f(x)＝(2x＋2－x)·lg|x|的大致图象为( )答案 C
解析 由题可知，函数f(x)＝(2x＋2－x)lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且为偶函数，
所以其图象关于y轴对称，可排除选项A；
当00)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦
点F，点A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾
斜角所在的区间是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为抛物线与双曲线焦点相同，所以p＝2c，因为AF⊥x轴，所以假设A在第一象限，可求得点A的坐标为，将其代入双曲线方程可得－＝1，
因为b2＝c2－a2，代入上式可得－＝1，
化简得c4－6c2a2＋a4＝0，两边同时除以a4得e4－6e2＋1＝0，
解得e2＝3＋2或e2＝3－2(舍)，设渐近线斜率为k，
由e2＝＝1＋＝1＋k2，解得k2＝2＋2>3，所以该渐近线的倾斜角大于，
所以所在区间是.
11．(2022·南通调研)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则( )
A．sin α>sin β B．cos α>cos β
C．cos α>sin β D．sin α>cos β
答案 D
解析 α＋β－>sin β－cos α，
β－sin β>－α－sin，
令f(x)＝x－sin x，x∈，
f′(x)＝1－cos x>0，
∴f(x)在上单调递增，
∴β>－α，
∵α，β均为锐角，
∴cos βsin，
∴cos βcos α.
12．(2022·山东省实验中学模拟)已知正四棱柱ABCD－ABC D 的底面边长为2，侧棱AA
1 1 1 1 1
＝1，P为四边形ABC D 上的动点，给出下列四个结论中不正确的是( )
1 1 1 1
A．若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个
B．若PD＝，则点P的轨迹是一段圆弧
C．若PD∥平面ACB，则DP长的最小值为2
1
D．若PD∥平面ACB ，且PD＝，则平面BDP截正四棱柱ABCD－ABC D 的外接球所得
1 1 1 1 1
平面图形的面积为
答案 C
解析 如图，
∵正四棱柱ABCD－ABC D 的底面边长为2，
1 1 1 1
∴BD＝2，又侧棱AA＝1，
1 1 1∴DB＝＝3，
1
则P与B 重合时，PD＝3，此时P点唯一，
1
故A正确；
∵PD＝∈(1,3)，DD ＝1，
1
则PD＝，即点P的轨迹是一段圆弧，
1
故B正确；
连接DA，DC ，易知平面ADC ∥平面ACB，
1 1 1 1 1
则当P为AC 的中点时，DP有最小值为＝，故C错误；
1 1
由C知，平面BDP即为平面BDD B ，平面BDP截正四棱柱ABCD－ABC D 的外接球所得
1 1 1 1 1 1
平面图形为外接球的大圆，其半径为＝，则面积为，故D正确．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·龙岩质检)已知＝－，则tan 2θ＝________.
答案
解析 因为＝－，
所以tan θ＝，
所以tan 2θ＝＝＝.
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均与圆C：(x－3)2＋y2＝4相切，右焦点和圆
心重合，则该双曲线的标准方程为________________．
答案 －＝1
解析 由题意可知，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0.
由圆C的方程为(x－3)2＋y2＝4，得圆心为C(3,0)，半径r＝2.
因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为(3,0)，即c＝3，
又因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均与圆C：(x－3)2＋y2＝4相切，
所以＝2，即＝2，解得b＝2.
所以a2＝c2－b2＝9－4＝5，
所以该双曲线的标准方程为－＝1.
15．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的是普丰实验和查理实
验，受其启发，我们可以设计一个程序框图来估计 π的值(如图)，若电脑输出的j的值为
288，那么可以估计π的值约为________．(结果四舍五入保留到小数点后两位)答案 3.15
解析 由题意知，1 000对0～1之间的随机数a，b满足
满足a2＋b2≤1且|a＋b|≥1的点对应的平面区域(如图中阴影部分)的面积为－.
因为共产生了1 000对[0,1]内的随机数(a，b)，
其中能使a2＋b2≤1且|a＋b|≥1的有j＝288对，
所以＝－，解得π＝3.152≈3.15.
16．(2022·哈尔滨模拟)1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”作为奔驰轿车的标志，
象征着陆上、水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，
并成为世界十大著名的商标之一(图一)．已知O为△ABC内一点，△OBC，△OAC，△OAB
的面积分别为S ，S ，S ，则有S OA＋S OB＋S OC＝0，我们称之为“奔驰定理”(图二)．
A B C A B C
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，O为△ABC内的一点且为
内心．若AO＝xAB＋yAC，则x＋y的最大值为________．
答案
解析 ∵O为△ABC的内心，
∴S ∶S ∶S ＝a∶b∶c，
A B C
∴aOA＋bOB＋cOC＝0，∴aAO＝bOB＋cOC
＝b(AB－AO)＋c(AC－AO)
＝bAB＋cAC－(b＋c)AO，
∴(a＋b＋c)AO＝bAB＋cAC，
∴AO＝AB＋AC，
即x＝，y＝，
∴x＋y＝＝，
∵a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc
＝(b＋c)2－bc
≥(b＋c)2－×2
＝(b＋c)2(当且仅当b＝c时取等号)，
∴≥，
∴≥，
∴x＋y≤＝(当且仅当b＝c时取等号)，
∴x＋y的最大值为.
三、解答题(本题共70分．第17～21题为必考题，第22,23题为选考题)
(一)必考题(共60分)
17．(12分)(2022·荆州模拟)在①＝；②2bsin A＝atan B；③(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin
B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________．
(1)求角B；
(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解 (1)选①，由正弦定理得＝，
∵sin A≠0，
∴sin B－cos B＝1，
即sin＝，
∵013时，确定y与x满足的线性回归方程为y＝－0.7x＋a.
根据以上阅读材料，解答以下问题：
(1)根据下列表格中的数据，比较当013时，
后五组的＝＝23，＝＝67，
由最小二乘法可得a＝67－(－0.7)×23＝83.1，
所以当x>13时，确定y与x满足的线性回归方程为y＝－0.7x＋83.1，
故当投入20亿元时，预测公司的收益约为－0.7×20＋83.1＝69.1(亿元)．
20.(12分)(2022·江西师大附中模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若△OMF的面积为，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的
方程；若不存在，说明理由．
解 (1)依题意得，＝1－e2＝，即a＝b，则c＝b，
又S ＝bc＝，则b2＝1，a2＝2，
△OMF
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)存在．由(1)知M(0,1)，F(1,0)，故直线MF的斜率为k ＝－1.
MF
若符合题意的直线l存在，可设直线l：y＝x＋m，
P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
由消去y整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
则Δ＝(4m)2－12(2m2－2)>0，即－0对x∈R恒成立，则f(x)在R上单调递增，
当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln 3a，令f′(x)<0，
则x0时，f(x)在(－∞，ln 3a)上单调递减，
在(ln 3a，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)＝f(x)＋sin x＝ex－3ax＋sin x－1，
且g(0)＝0，x∈[0，＋∞)，
g′(x)＝ex－3a＋cos x，g′(0)＝2－3a，
令h(x)＝ex－3a＋cos x，
则h′(x)＝ex－sin x，
当x∈[0，＋∞)时，ex≥1，sin x≤1，
所以h′(x)＝ex－sin x>0，x∈[0，＋∞)，
所以g′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
则g′(x)≥g′(0)＝2－3a，
当g′(0)＝2－3a≥0，即a≤时，g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
则g(x)≥g(0)＝0，满足题意；
当a>时，g′(0)<0，
当x→＋∞时，g′(x)→＋∞，
则由零点存在定理可得y＝g′(x)在[0，＋∞)上存在唯一的零点x，
0
所以当g′(x)<0时，0
