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仿真模拟卷 2
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.(2022·日照模拟)集合A＝{－2,0,1,2}，B＝{－2,1,3}，则图中阴影部分所表示的集合为(
)
A．{－2} B．{0,1,3}
C．{0,2,3} D．{1,2,3}
答案 C
解析 因为A∩B＝{－2,1}，所以阴影部分表示的集合为{0,2,3}．
2．(2022·长沙雅礼中学质检)已知复数z＝，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为i
B．|z|＝2
C．z的共轭复数＝－1＋i
D．z2为纯虚数
答案 D
解析 ∵z＝＝＝1＋i，
∴z的虚部为1，|z|＝，z2＝2i为纯虚数，
＝1－i，
∴正确的结论是D.
3．(2022·广东六校联考)函数f(x)＝(2x＋2－x)·lg|x|的大致图象为( )答案 C
解析 由题可知，函数f(x)＝(2x＋2－x)lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且为偶函数，
所以其图象关于y轴对称，可排除选项A；
当0<x<1时，f(x)<0，可排除选项B，D.
4．(2022·哈尔滨模拟)已知平面向量a，b满足a＝(－1,2)，|b|＝，|a－b|＝，则a与b的夹角
为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为a＝(－1,2)，所以|a|＝＝，
因为|b|＝，|a－b|＝，
所以(a－b)2＝5，所以|a|2＋|b|2－2a·b＝5，
即5＋10－2a·b＝5，所以a·b＝5，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
5．(2022·广安模拟)如图是民航部门统计的2022年春运期间12个城市售出的往返机票的平
均价格(单位：元)以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确
的是( )
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升
C．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
答案 C解析 从折线图看，深圳的涨幅最接近0%，从条形图看，北京的平均价格最高，故A正确；
从折线图看，天津和重庆的的涨幅均为正值，故B正确；
从折线图看，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京，故C错误；
从条形图看，平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州，故D正确．
6．(2022·福州质检)某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三枝小
树枝(视为三条线段)，想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度
分别为3 cm,4 cm，6 cm，则( )
A．能作出二个锐角三角形
B．能作出一个直角三角形
C．能作出一个钝角三角形
D．不能作出这样的三角形
答案 C
解析 因为三条高线的长度分别为
3 cm,4 cm,6 cm，
故三边之比为4：3：2，
设最大边所对的角为α，
则cos α＝＝－<0，
而α为三角形内角，故α为钝角，故三角形为钝角三角形．
7．(2022·南阳模拟)已知实数x，y满足且z＝y－2x的最大值为0，则实数m的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
联立可得即点A(2,1)，
若不等式组所表示的可行域存在，则m≤2，
联立可得
即点B(m，3－m)，
平移直线z＝y－2x，当该直线经过可行域的顶点B时，直线z＝y－2x在y轴上的截距最大，
此时z取最大值，即z ＝3－m－2m＝3－3m＝0，解得m＝1.
max
8．(2022·泰安模拟)垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分
类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，
减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益．已知某种垃圾的分解率 v与
时间t(单位：月)满足函数关系式v(t)＝a·bt(其中a，b为非零常数)．若经过6个月，这种垃
圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解(分解
率为100%)至少需要经过(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A．40个月 B．32个月
C．28个月 D．20个月
答案 B
解析 依题意有
解得b＝ ，a＝0.025，
故v(t)＝0.025× .
令v(t)＝1，得 ＝40，
故t＝
＝
≈＝32.
9．(2022·景德镇模拟)已知S 是数列{a}的前n项和，a＝1，a＝3，数列{aa }是公比为2
n n 1 2 n n＋1
的等比数列，则S 等于( )
10
A．1 364 B.
C．118 D．124
答案 D
解析 因为数列{aa }是公比为2的等比数列，则＝＝2，而a＝1，a＝3，
n n＋1 1 2
则数列{a }是以1为首项，2为公比的等比数列，{a }是以3为首项，2为公比的等比数
2n－1 2n
列，
所以S ＝(a＋a＋…＋a)＋(a＋a＋…＋a )＝＋＝124.
10 1 3 9 2 4 10
10．(2022·长沙雅礼中学质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦
点F，点A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾
斜角所在的区间是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为抛物线与双曲线焦点相同，所以p＝2c，因为AF⊥x轴，所以假设A在第一象限，可求得点A的坐标为，将其代入双曲线方程可得－＝1，
因为b2＝c2－a2，代入上式可得－＝1，
化简得c4－6c2a2＋a4＝0，两边同时除以a4得e4－6e2＋1＝0，
解得e2＝3＋2或e2＝3－2(舍)，设渐近线斜率为k，
由e2＝＝1＋＝1＋k2，解得k2＝2＋2>3，所以该渐近线的倾斜角大于，
所以所在区间是.
11．(2022·南通调研)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则( )
A．sin α>sin β B．cos α>cos β
C．cos α>sin β D．sin α>cos β
答案 D
解析 α＋β－>sin β－cos α，
β－sin β>－α－sin，
令f(x)＝x－sin x，x∈，
f′(x)＝1－cos x>0，
∴f(x)在上单调递增，
∴β>－α，
∵α，β均为锐角，
∴cos β<cos，sin β>sin，
∴cos β<sin α，sin β>cos α.
12．(2022·山东省实验中学模拟)已知正四棱柱ABCD－ABC D 的底面边长为2，侧棱AA
1 1 1 1 1
＝1，P为四边形ABC D 上的动点，给出下列四个结论中不正确的是( )
1 1 1 1
A．若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个
B．若PD＝，则点P的轨迹是一段圆弧
C．若PD∥平面ACB，则DP长的最小值为2
1
D．若PD∥平面ACB ，且PD＝，则平面BDP截正四棱柱ABCD－ABC D 的外接球所得
1 1 1 1 1
平面图形的面积为
答案 C
解析 如图，
∵正四棱柱ABCD－ABC D 的底面边长为2，
1 1 1 1
∴BD＝2，又侧棱AA＝1，
1 1 1∴DB＝＝3，
1
则P与B 重合时，PD＝3，此时P点唯一，
1
故A正确；
∵PD＝∈(1,3)，DD ＝1，
1
则PD＝，即点P的轨迹是一段圆弧，
1
故B正确；
连接DA，DC ，易知平面ADC ∥平面ACB，
1 1 1 1 1
则当P为AC 的中点时，DP有最小值为＝，故C错误；
1 1
由C知，平面BDP即为平面BDD B ，平面BDP截正四棱柱ABCD－ABC D 的外接球所得
1 1 1 1 1 1
平面图形为外接球的大圆，其半径为＝，则面积为，故D正确．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·龙岩质检)已知＝－，则tan 2θ＝________.
答案
解析 因为＝－，
所以tan θ＝，
所以tan 2θ＝＝＝.
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均与圆C：(x－3)2＋y2＝4相切，右焦点和圆
心重合，则该双曲线的标准方程为________________．
答案 －＝1
解析 由题意可知，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0.
由圆C的方程为(x－3)2＋y2＝4，得圆心为C(3,0)，半径r＝2.
因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为(3,0)，即c＝3，
又因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均与圆C：(x－3)2＋y2＝4相切，
所以＝2，即＝2，解得b＝2.
所以a2＝c2－b2＝9－4＝5，
所以该双曲线的标准方程为－＝1.
15．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的是普丰实验和查理实
验，受其启发，我们可以设计一个程序框图来估计 π的值(如图)，若电脑输出的j的值为
288，那么可以估计π的值约为________．(结果四舍五入保留到小数点后两位)答案 3.15
解析 由题意知，1 000对0～1之间的随机数a，b满足
满足a2＋b2≤1且|a＋b|≥1的点对应的平面区域(如图中阴影部分)的面积为－.
因为共产生了1 000对[0,1]内的随机数(a，b)，
其中能使a2＋b2≤1且|a＋b|≥1的有j＝288对，
所以＝－，解得π＝3.152≈3.15.
16．(2022·哈尔滨模拟)1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”作为奔驰轿车的标志，
象征着陆上、水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，
并成为世界十大著名的商标之一(图一)．已知O为△ABC内一点，△OBC，△OAC，△OAB
的面积分别为S ，S ，S ，则有S OA＋S OB＋S OC＝0，我们称之为“奔驰定理”(图二)．
A B C A B C
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，O为△ABC内的一点且为
内心．若AO＝xAB＋yAC，则x＋y的最大值为________．
答案
解析 ∵O为△ABC的内心，
∴S ∶S ∶S ＝a∶b∶c，
A B C
∴aOA＋bOB＋cOC＝0，∴aAO＝bOB＋cOC
＝b(AB－AO)＋c(AC－AO)
＝bAB＋cAC－(b＋c)AO，
∴(a＋b＋c)AO＝bAB＋cAC，
∴AO＝AB＋AC，
即x＝，y＝，
∴x＋y＝＝，
∵a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc
＝(b＋c)2－bc
≥(b＋c)2－×2
＝(b＋c)2(当且仅当b＝c时取等号)，
∴≥，
∴≥，
∴x＋y≤＝(当且仅当b＝c时取等号)，
∴x＋y的最大值为.
三、解答题(本题共70分．第17～21题为必考题，第22,23题为选考题)
(一)必考题(共60分)
17．(12分)(2022·荆州模拟)在①＝；②2bsin A＝atan B；③(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin
B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________．
(1)求角B；
(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解 (1)选①，由正弦定理得＝，
∵sin A≠0，
∴sin B－cos B＝1，
即sin＝，
∵0<B<π，
∴－<B－<，
∴B－＝，∴B＝.
选②，∵2bsin A＝atan B，
∴2bsin A＝，
由正弦定理可得2sin Bsin A＝sin A·，∵sin A≠0，sin B≠0，
∴cos B＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
选③，∵sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
由已知结合正弦定理可得(a－c)a＋c2＝b2，
∴a2＋c2－b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac，
即3ac＝16－b2，
∴16－b2≤32，
解得b≥2，当且仅当a＝c＝2时取等号，
∴b ＝2，△ABC周长的最小值为6，此时△ABC的面积S＝acsin B＝.
min
18.(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC＝BC，PA＝PB，且点C在
以点O为圆心，AB为直径的半圆 上．
(1)求证：AB⊥PC；
(2)若AC＝2，且PC与平面ABC所成的角为，求点B到平面PAC的距离．
(1)证明 如图所示，连接OP，OC，因为PA＝PB，AC＝BC，故AB⊥OP，AB⊥OC，又
OP∩OC＝O，OP，OC⊂平面OPC，故AB⊥平面OPC.又PC⊂平面OPC，故AB⊥PC
(2)解 因为 AB⊥OP，且平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAB∩平面 ABC＝AB，OP⊂平面
PAB，故OP⊥平面ABC，故PC与平面ABC所成的角为∠PCO＝，故OC＝OP，又点C在以
点O为圆心，AB为直径的半圆 上，AC＝BC＝2，故OC＝OP＝OA＝OB＝，PA＝AC＝
PC＝2，设点B到平面PAC的距离为h ，则由V ＝V ，得××2×2×＝××22h，解得
P－ABC B－PAC
h＝.
19．(12分)(2022·内江模拟)2022年4月16日9时56分，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富身体状态良好，神州十三号载人飞行任务
取得圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶
段．某公司负责生产的A型材料是神舟十三号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该
公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，
得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
当0<x≤13时，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：y＝4.1x＋10.9；模型②：y＝21.3－14.4；
当x>13时，确定y与x满足的线性回归方程为y＝－0.7x＋a.
根据以上阅读材料，解答以下问题：
(1)根据下列表格中的数据，比较当0<x≤13时模型①，②的相关指数R2的大小，并选择拟
合效果更好的模型；
回归模型 模型① 模型②
回归方程 y＝4.1x＋10.9 y＝21.3－14.4
(y－y)2 79.13 20.2
i i
附：相关指数R2的计算公式为R2＝1－.
(2)当应用改造的投入为20亿元时，以回归方程为预测依据，计算公司的收益约为多少．
附：①若最小二乘法求得回归方程为y＝bx＋a，则a＝－b；
②(y－)2＝－n2；
i i
③当0<x≤13时，＝11 858，2＝1 444.
解 (1)对于模型①，
因为2＝1 444，故对应的(y－)2＝－72＝1 750，
i i
故对应的相关指数R＝1－≈0.955，
对于模型②，同理对应的相关指数R＝1－≈0.988，
故模型②拟合效果更好．
(2)当x>13时，
后五组的＝＝23，＝＝67，
由最小二乘法可得a＝67－(－0.7)×23＝83.1，
所以当x>13时，确定y与x满足的线性回归方程为y＝－0.7x＋83.1，
故当投入20亿元时，预测公司的收益约为－0.7×20＋83.1＝69.1(亿元)．
20.(12分)(2022·江西师大附中模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若△OMF的面积为，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的
方程；若不存在，说明理由．
解 (1)依题意得，＝1－e2＝，即a＝b，则c＝b，
又S ＝bc＝，则b2＝1，a2＝2，
△OMF
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)存在．由(1)知M(0,1)，F(1,0)，故直线MF的斜率为k ＝－1.
MF
若符合题意的直线l存在，可设直线l：y＝x＋m，
P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
由消去y整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
则Δ＝(4m)2－12(2m2－2)>0，即－<m<.
又x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
则yy＝xx＋m(x＋x)＋m2＝，
1 2 1 2 1 2
由F点恰为△PQM的垂心等价于QF⊥MP，即QF·MP＝0.
由于QF＝(1－x，－y)，MP＝(x，y－1)，
2 2 1 1
故QF·MP＝(1－x)x－y(y－1)＝x＋x＋m－xx－yy＝－m2－＋＝0，
2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
所以m＝－或m＝1.
当m＝1时，直线PQ经过点M，此时不构成三角形，故舍去．
故直线l的方程为y＝x－.
21．(12分)(2022·临川一中模拟)已知函数f(x)＝ex－3ax－1，a∈R.
(1)讨论函数y＝f(x)的单调性；
(2)令函数g(x)＝f(x)＋sin x，若对∀x∈[0，＋∞)，g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)由f(x)＝ex－3ax－1，得f′(x)＝ex－3a，
当a≤0时，f′(x)>0对x∈R恒成立，则f(x)在R上单调递增，
当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln 3a，令f′(x)<0，
则x<ln 3a，
则f(x)在(－∞，ln 3a)上单调递减，
在(ln 3a，＋∞)上单调递增，
综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，当a>0时，f(x)在(－∞，ln 3a)上单调递减，
在(ln 3a，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)＝f(x)＋sin x＝ex－3ax＋sin x－1，
且g(0)＝0，x∈[0，＋∞)，
g′(x)＝ex－3a＋cos x，g′(0)＝2－3a，
令h(x)＝ex－3a＋cos x，
则h′(x)＝ex－sin x，
当x∈[0，＋∞)时，ex≥1，sin x≤1，
所以h′(x)＝ex－sin x>0，x∈[0，＋∞)，
所以g′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
则g′(x)≥g′(0)＝2－3a，
当g′(0)＝2－3a≥0，即a≤时，g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
则g(x)≥g(0)＝0，满足题意；
当a>时，g′(0)<0，
当x→＋∞时，g′(x)→＋∞，
则由零点存在定理可得y＝g′(x)在[0，＋∞)上存在唯一的零点x，
0
所以当g′(x)<0时，0<x<x，
0
则y＝g(x)在(0，x)上单调递减，
0
所以对∀x∈(0，x)，g(x)<g(0)＝0，与题设矛盾，舍去，
0
综上，a≤.
所以实数a的取值范围为.
(二)选考题(共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分)
[选修4－4：坐标系与参数方程]
22．(10分)(2022·吉安模拟)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点
O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆D的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C的极坐标方程和圆D的直角坐标方程；
(2)设直线θ＝与曲线C交于点A，与圆D交于点B(异于点O)，求|AB|及△ABD的面积．
解 (1)因为曲线C的参数方程为(α为参数)，
且sin2α＋cos2α＝1，
所以曲线C的普通方程为x＋y＝3(0≤x≤3)，
由
可得曲线C的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝3.由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，由
得圆D的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.
(2)由解得
所以A，
由
解得所以B，
所以|AB|＝－＝.
圆心D到直线θ＝的距离d＝1×sin ＝，
所以S ＝××＝.
△ABD
[选修4－5：不等式选讲]
23．(10分)(2022·上饶模拟)已知函数f(x)＝|x－2|－2|x－5|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)若f(x)≤|2x＋t|，求实数t的取值范围．
解 (1)由题意得，f(x)＝|x－2|－2|x－5|＝
则y＝f(x)的图象如图所示．
(2)在同一坐标系中画出y＝f(x)与y＝|2x＋t|的图象，如图，可得A(5,3)，
当点A在y＝|2x＋t|的图象上时，代入点A(5,3)，
可得3＝|10＋t|，解得t＝－7或t＝－13(舍去)，
当点B(8,0)在y＝|2x＋t|的图象上时，
可得0＝|16＋t|，解得t＝－16，
数形结合可得t≥－7或t≤－16，
即实数t的取值范围是(－∞，－16]∪[－7，＋∞)．
