文档内容
专项训练3 平行线的判定与性质提升练习
一．选择题
1．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A
【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．
【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题
意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答
题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
2．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，
所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝53°，∠2＝110°，则∠3+∠4＝（ ）
A．164° B．117° C．123° D．107°
【分析】根据平行可得∠1＝53°，∠2＝110°，最后代入∠3+∠4计算即可．
【解答】解：∵平行光线，水面和底平行，
∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，
∵∠1＝53°，∠2＝110°，∴∠1＝∠3＝53°，∠4＝180°﹣∠2＝70°，
∴∠3+∠4＝53°+70°＝123°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使
点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
【分析】根据四边形ABCD是长方形，可得AD∥BC，得∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，所以可
得∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折叠可得EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，
可得∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，进而可得∠FPG的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，
∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，
由折叠可知：
EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，
∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，
∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，
∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，
∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，
∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
4．在同一平面内，若AB⊥l，AC⊥l，且点A在直线l上，则下列结论成立的是（ ）
A．AC∥AB
B．点B，C在直线l同侧
C．点B，C在直线l两侧D．点A，B，C在同一条直线上
【分析】AB⊥l，AC⊥l，则过点A与直线l相垂直的直线有AB，AC，而过已知点与已知直线垂直的直
线有一条并且只有一条，由此即可得答案．
【解答】解：∵AB⊥l，AC⊥l，则过点A与直线l相垂直的直线有AB，AC，
又∵“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，
∴AC与AB重合，
A．AC与AB，不可能平行，错误，不符合题意；
B．点B，C在直线l同侧，不能确定，错误，不符合题意；
C．点B，C在直线l两侧，不能确定，错误，不符合题意；
D．因为AC与AB重合，故点A，B，C在同一条直线上，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，关键明白在同一平面内，经过一点有且只有一条直
线与已知直线垂直．
5．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2＝30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD＝180°；
③如果BC∥AD，则∠2＝30°；
④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【解答】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；∵BC∥AD，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④，3个．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
6．如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF，∠BEF，∠EFD，则图中与∠DFM相等的角（不含
它本身）的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由FM平分∠EFD可知：与∠DFM相等的角有∠EFM；由于AB∥CD，EG、EM、FM分别
平分∠AEF、∠BEF、∠EFD，根据平行线的性质和判定定理可以推导出 FM∥EG，由此可以写出与
∠DFM相等的角．
【解答】解：∵FM平分∠EFD，
1
∴∠EFM＝∠DFM= ∠CFE，
2
∵EG平分∠AEF，
1
∴∠AEG＝∠GEF= ∠AEF，
2∵EM平分∠BEF，
1
∴∠BEM＝∠FEM= ∠BEF，
2
1
∴∠GEF+∠FEM= （∠AEF+∠BEF）＝90°，即∠GEM＝90°，
2
1
∠FEM+∠EFM= （∠BEF+∠CFE），
2
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠AEG，∠CFE＝∠AEF
1 1
∴∠FEM+∠EFM= （∠BEF+∠CFE）= （BEF+∠AEF）＝90°，
2 2
∴在△EMF中，∠EMF＝90°，
∴∠GEM＝∠EMF，
∴EG∥FM，
∴与∠DFM相等的角有：∠EFM、∠GEF、∠EGF、∠AEG以及∠GEF、∠EGF、∠AEG三个角的对
顶角．
故选：C．
【点评】重点考查了角平分线的定义，平行线的性质和判定定理，推导较复杂．
二．填空题
7．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝
145°，则第三次拐的角∠C＝ 145 ° 时，道路CE才能恰好与AD平行．
【分析】先做出辅助线，再根据平行线的性质对角度进行转化，即可得到∠BCE的度数．
【解答】解：如图，作BF∥AD，则：BF∥CE，
∴∠ABF＝∠A＝110°，
∠CBF＝∠ABC-∠ABF=35°
∴∠C＝180°﹣∠CBF＝145°，
即第三次拐的角为145°时，道路CE才能恰好与AD平行．
故答案为：145°．
【点评】此题主要考查了平行公理的推论和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
8．如图1，为响应国家新能源建设，乐清市公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为62°，如图2，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池
板CD与水平线夹角为48°，要使AB∥CD，需将电池板CD逆时针旋转 度，则 为 20 ．（0＜
＜90） α α α
【分析】求出∠EOF的度数，根据平行线的判定得出∠MQD＝∠EOF＝28°，再求出答案即可．
【解答】解：
∵EF⊥AB，
∴∠EFO＝90°，
∵∠OEF＝62°，
∴∠EOF＝180°﹣90°﹣62°＝28°，
∵AB∥CD，
∴∠MQD＝∠EOF＝28°，
∵要使AB∥CD，需将电池板CD逆时针旋转 度，
∴ °＝48°﹣28°＝20°， α
故α答案为：20．
【点评】本题考查了平行线的判定，旋转的性质，垂直的定义等知识点，能求出∠MQD的度数是解此
题的关键．
9．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分别是BA，CD延长
线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；
③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中结论正确的有 ①③④ ．
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，∠EAM和∠EDN
的平分线交于点F，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠1＝∠DEC，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC+∠2＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN＝∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN＝180°，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，
∴∠2＝∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
1
∴∠EAF+∠EDF= ×270°＝135°．
2
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，
∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确．
故答案为：①③④
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义．
10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A
顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图 3：当∠CAE＝15°时，
BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 60 ° 或 105 ° 或 135 ° ．【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数．
【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如左图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如中图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
如右图，当DE∥AC时，∠CAE＝45°+90°＝135°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条
件的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的
性质求解是解答此题的关键．
三．解答题
11．阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：∠A＝∠F.
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF（ 对顶角相等 ）
∴∠1＝∠DGF（等量代换）
∴ BD ∥ CE （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠3+∠ C ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4+∠C＝180°（等量代换）
∴ AC ∥ DF （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠A＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）
【分析】先证明BD∥CE，得出同旁内角互补∠3+∠C＝180°，再由已知得出∠4+∠C＝180°，证出
AC∥DF，即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF （对顶角相等）
∴∠1＝∠DGF（ 等量代换 ）
∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠C＝180° （两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°
∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A＝∠F （两直线平行，内错角相等）；
故答案为：对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；AC，
DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决
问题的关键，注意两者的区别．
12．如图，AC∥FE，∠1+∠3＝180°．
（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝78°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）由已知可证得∠2＝∠3，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到
∠FAB＝∠4；
（2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∠FAB＝∠4，
理由如下：
∵AC∥EF，∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠4；
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠FAB＝2∠2，
由（1）得：∠FAB＝∠4，
∴∠4＝2∠2，
1 1
∴∠3=∠2= ∠4= ×78°=39°，
2 2
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠3＝51°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
13．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，
1
若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+ ∠FGN，求∠MHG的度数．
2
【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；
（2）如图2，过点M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．进而可以证明；
（3）如图3，令∠AGM＝2 ，∠CHM＝ ，则∠N＝2 ，∠M＝2 + ，过点H作HT∥GN，可得
α β α α β∠MHT＝∠N＝2 ，∠GHT＝∠FGN＝2 ，进而可得结论．
【解答】（1）证α明：如图1，∵∠AGE+β∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2 ，∠CHM＝ ，则∠N＝2 ，∠M＝2 + ，
α β α α β
∵射线GH是∠BGM的平分线，
1 1
∴∠FGM= ∠BGM= (180°−∠AGM)=90°−α，
2 2
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2 +90°﹣ ＝90°+ ，
1 α α α
∵∠M=∠N+ ∠FGN，
2
1
∴2α+β=2α+ ∠FGN，
2
∴∠FGN＝2 ，
过点H作HTβ∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2 ，∠GHT＝∠FGN＝2 ，
∴∠GHM＝∠MHTα+∠GHT＝2 +2 ， β
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHαT＝β +2 +2 ＝2 +3 ，
∵AB∥CD， β α β α β
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+ +2 +3 ＝180°，
∴ + ＝α30α°，β
∴α∠GβHM＝2（ + ）＝60°．
【点评】本题考α查β了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
14．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转
探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是
每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ 6 0 °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯
的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交
PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？
若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t＝1•
（30+t），可得 t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出
∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
1
∴∠BAN＝180°× =60°，
3
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进
行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
