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专题 02 二次函数实际应用解答题专项训练
类型一：几何图形的面积问题
类型二：销售中的利润问题
类型三：抛物线形的形状问题
类型四：抛物线形的运动轨迹问题
类型一：几何图形的面积问题
1．如图，用长为15m的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在一边开了一个1m宽的门．
（1）设矩形的一边为x（m），面积为y（m2），求y关于x的函数关系式．
（2）写出自变量x的取值范围，并求出当x＝8时，所围苗圃的面积是多少？
2．如图，用一段长为100m的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为 15m．矩形AEGD与
矩形BCGE的面积相等，矩形AEFH与矩形DGFH的面积相等．设AE长为x m，BC长为y m，矩形
ABCD的面积为z m2．
（1）直接写出y与x，z与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，z有最大值？最大值是多少？
（3）若需要对矩形AEFH和矩形BCGE区域进行装修改造，单价
分别为64元/m2和40元m2．受资金投入限制，改造总费用不能超
过11520元，请直接写出x的取值范围．
3．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为15m），设花圃的宽AB为xm，面积
为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为36m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
4．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙
（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同
的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为x m，宽为y m，面积为s m2．
（1）分别求出y与x，s与x的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
（3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不
能，请说明理由．
5．如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成n个
相同大小的矩形小菜园，共用栅栏40m．
（1）当n＝4时，菜园面积的最大值为 m2；（2）求菜园面积的最大值（用含n的代数式表示）；
（3）在第（2）问的条件下，存在n＝a和n＝b时，菜园面积的最大值之和为100m2，且a≤b，直接写
出所有满足条件的a、b的值 ．
6．如图，用一段长为36m的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并且中间用篱笆
EF隔开，EF∥AB，墙长15m，设AB＝x m，矩形ABCD面积为y m2．
（1）y关于x的函数解析式为 （写化简后结果），x的取值范围是 ；
（2）求菜园ABCD面积的最大值，并求此时BC的长；
（3）在（2）的前提下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入
W （单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W =−2S2+210S，乙农作物的年收入W
1 1 2
（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W ＝70S，两种农作物年收入之和不小于8918
2
元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设BF＝a m，求a的取值范围．
7．综合与实践：
小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长 9米），另外三边是篱笆，其中BC
不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边AB，CD的长均为x米，长方形花圃的面积为y米2．
（1）在x，y这两个变量中，自变量是 ，因变量是 ；（2）BC＝ 米（用含x的式子表示），请判断当x＝0.5时是否符合题意，并说明理
由；
（3）求y与x之间的关系式；
（4）根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格：
x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
y（米 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 …
2）
①m＝ ，n＝ ；
②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征： ．
③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注
明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由．
类型二：销售中的利润问题
1．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对
我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利
润，设涨价后的售价为x元，每日获得的利润为w元．
（1）涨价后每日销量将减少 件（用含x的代数式表示）；
（2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
2．某商场销售甲、乙两种商品．已知销售甲商品的利润y （元）与销售数量x（件）的函数关系为一次函
1
数，当销售2件甲商品时，利润为8元；当销售5件甲商品时，利润为20元．销售乙商品的利润y
2
（元）与销售数量t（件）的函数关系为二次函数y =−t2+8t+3．
2
（1）求出y 与x的函数关系式；
1
（2）若商场准备销售甲、乙两种商品共25件，其中乙商品的销售数量不少于4件且不多于8件，为使
总利润最大，应销售甲、乙两种商品各多少件？最大总利润是多少元？
3．某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．
销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40
箱．若每天的销售量为y（箱），销售价格为x（元/箱）．（1）求y与x之间的关系式；
（2）是否存在x，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出x的值，若不存在，请说明理由．
（3）当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少
【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
4．民族要复兴，乡村要振兴．利民超市老板决定为家乡代销某种农产品，该农产品的成本为20元/件．为
了解市场情况，商定先进行15天的试销，第1天销售单价为21元/件，以后每天均涨价1元/件，在销
售过程中统计发现：日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系为y＝﹣2x+76．设销售时
间为t（天）（即第t天）．
（1）请直接写出x关于t，y关于t的函数解析式；
（2）试销第几天日销售利润w最大？日最大利润是多少？并求出此时的销售单价；
（3）在试销的15天中，日销售利润不低于144元的有多少天？
5．某农场计划种植一种新型农作物，经过调查发现，种植x亩的总成本y（万元）由三部分组成，分别是
农机成本，管理成本，其他成本；其中农机成本固定不变为 100万元，管理成本（万元）与x成正比例，
其他成本（万元）与x的平方成正比例，在生产过程中，获得如下数据：
x（单位：亩） 10 30y（单位：万元） 160 340
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知每亩的平均成本为11.5万元，求农场计划种植新型农作物的亩数是多少？
（3）设每亩的收益为Q（万元）且有Q＝kx+b（k、b均为常数），已知当x＝50时，Q为12.5万元，
且此时农场总利润最大，求k、b的值．【注：总利润＝总收益﹣总成本】
6．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低
于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查
反应，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米．
（1）写出超市销售这种大米，每天所得的销售利润w（元）与每千克售价x（元）之间的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获得利润最大？最大利润为多少？
7．某公司生产的某种商品每件成本为20元．经市场调查发现，获得以下信息：这种商品在未来40天内的
日销售量m（件）与t（天）之间存在一次函数关系m＝﹣2t+96，其中在前20天的销售中，每天的销售
价格p（元/件）与时间t（天）满足函数关系式为p＝0.25t+25（0＜t≤20，且t为整数），在后20天每
天的销售中，每天的销售价格q（元/件）与时间t（天）满足函数关系式为q＝﹣0.5t+40（20≤t≤40，
且t为整数）．根据这些信息，解决以下有关问题：（1）直接写出前20天的日销售利润w 和后20天的日销售利润w ；
1 2
（2）求前20天和后20天中各自在哪一天可以获得最大日销售利润，最大日销售利润分别是多少元？
（3）在前20天中，日销售利润既不低于560元又不高于570元，并且日销售利润随时间t（天）的增
大而增大，直接写出最大的销售价格．
类型三：抛物线形的形状问题
1．如图，蔬菜大棚顶部 AB 段是抛物线的一部分，下方是长方形
ABCD，已知长方形ABCD的长AB＝8m，宽BC＝6m，大棚顶部最高
处P距离地面10m高，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求出大棚顶部所在抛物线的函数表达式；
（2）若准备在大棚一侧开一扇正方形的活动门，如图阴影部分所示，方便天气好时打开透气，则这个正方形的边长为多少？
2．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化
遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意
图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，桥拱上各点到水面的竖直高
度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距
离OA＝60m，主桥拱距离水面的最大高度为9m．
（1）求主桥拱所在抛物线的函数表达式；
（2）据测量，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少
3m．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量．
3．某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L ，左、右门洞L ，L 均呈抛物线型，水平横梁AC
1 2 3
＝16m，L 的最高点B到AC的距离BO＝4m，L ，L 关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，
1 2 3
点M，N在L 上，点P，Q分别在L ，L 上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在
1 2 3
直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线L 的函数表达式；
13 5
（2）已知抛物线L 的函数表达式为y=− (x−4) 2 ，NQ= m，求MN的长．
3 16 2
4．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图①是某高铁站的一个检票口，其大致
示意图如图②所示，检票口大门可看成是抛物线OPQ（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），OQ
＝8m，四边形 ACDB 区域为检票区域，点 A 与点 B 在抛物线上，已知检票闸机高 AC
5
=EF=HN=BD= m，AC、EF、HN、BD均与OQ垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、
4F、N、D、Q在一条水平直线上，以OQ所在直线为x轴，过点O且垂直于OQ的直线为y轴建立平面
8
直角坐标系，抛物线OPQ满足关系式y=ax2+ x（a为常数，且a≠0）．
3
（1）求a的值和抛物线的对称轴；
（2）已知闸机AC与EF之间的区域为应急通道，闸机EF与HN之间的区域为人工检票通道，闸机HN
5 5
与BD之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为 m（即AE=EH= m)，
4 4
求自动检票通道的总宽度BH．（闸机宽度忽略不计）
5．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简
单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．（1）【建立模型】如图2，甲款帐篷搭建时张开的宽度AB＝3m，顶部高度h＝1.8m．请在图2中以AB
的中点为原点建立平面直角坐标系，求帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
（2）【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图 3为一把椅子摆入甲
款帐篷后的简易视图，椅子高度EC＝1m，宽度CD＝0.6m，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，
求最多可摆放的椅子数量．
（3）【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为 2.5m，且一排能容纳5把高、宽分别
为1m和0.6m的椅子．设其抛物线型支架函数关系式的二次项系数为 a（a＜0），请写出a的最小值
．
6．综合与实践
某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状可近似看作抛物线，如图 2，已知车棚建在 AD，BC 两面墙之间，CD 为水平地面，AD⊥CD，
BC⊥CD，消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶AB上，其到墙面AD的水平距离AM为3米，此
时最外层的水柱喷射到墙面AD上的点E处，DE＝1米，以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所
在直线为y轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米．
（1）求最外层水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）若在（1，2）处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安
全隐患？请判断并说明理由；
（3）已知车棚的宽度CD为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离
地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶AB上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷
淋头N，请求出消防喷淋头N与消防喷淋头M的距离MN的取值范围．
7．背景材料：某社区准备改造原半径为6m的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化
设计方案的综合实践活动．
【建模分析】如图②，将喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点
O的正上方且竖直高度为2.25m，水流最高高度为3m，水流最高点距喷水管的水平距离为1m．（1）以水池中心O为原点，水平向右方向为x轴正半轴，喷水管竖直向上方向为y轴正半轴，建立平
面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离；
【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高
点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外．
（2）若将喷出的水流的最高点水平向外移1m，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为
5m，请确定优化后喷水口的竖直高度；
【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求
喷出的水流所在抛物线的最高高度m与水平宽度n的比接近黄金比0.618，确定水流离喷水管最大水平
距离为5.5m，喷水口离水面竖直高度为1.1m，喷出的水流的最高高度为3.6m．
（3）求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度．
类型四：抛物线形的运动轨迹问题
1．掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目，实心球行进路线是一条抛物线．在体育课上，刘
欣同学在练习投实心球时，某次实心球行进高度 y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系图象如图所
3
示，掷出时起点处的高度OA= m，当水平距离为2m时，实心球行进至最高点2m处．
2（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若刘欣投实心球时正前方5m的点B处是一个沙坑距离刘欣最近的边缘，请你判断她此次投出的实
心球能否进入沙坑，并说明理由．
2．【问题背景】
在小光同学为参加学校举办的乒乓球赛，利用乒乓球发球器（可调节高度）进行训练，在训练之前的要
先确定好发球器OC的发球点C的高度．他所在的数学兴趣小组对乒乓球发球器OC的发球过程进行了
记录和分析．
【探究过程】如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台OD的长约为2.8m，球网AB在球台OD的
中点处（点A是OD的中点），球网AB的高度约为0.15m，发球点的高度OC为0.5m，当乒乓球到OC
的距离为1m时，乒乓球离球台OD的最大高度是0.6m，BA⊥OD，CO⊥OD．
【模型建立】
设乒乓球距离发球点C的水平距离为x（m），乒乓球距离球台OD的竖直高度为y（m），以OD所在
直线为x轴，OC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物
线．
【解决问题】
（1）求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
（2）请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网AB并落在球台BD上），并说明
理由．
3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 O点正上方1m的P处
发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）2+h．已知
点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
1
（1）当a=− 时．①求h的值；
24
②通过计算判断此球能否过网．12
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣
5
球成功，求a的值．
4．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分
（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距
离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高，2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳
台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳
点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
1 9
（1）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=− ，b= ，求基准点K的高度h；
50 10
1 9
②若a=− 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 b＞ ；
50 10
（2）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好起跳点达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过
K点，并说明理由．
5．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单
位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B
点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．
请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
6．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距
O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，根据
实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4❑√3=7）
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应从B处再向前跑多少米？（取2❑√6=5）
