文档内容
专题 02 勾股定理的应用（十一大题型）
【题型1：求梯子滑落高度】
【题型2：求旗杆高度】
【题型3：求小鸟飞行距离】
【题型4：求大树折断前的高度】
【题型5：解决水杯中筷子问题】
【题型6：解决航海问题】
【题型7：求台阶上地毯长度】
【题型8：判断汽车是否超速】
【题型9：判断是否受台风影响】
【题型10：选址使到两地距离相等】
【题型11：求最短路径】
【题型1：求梯子滑落高度】
1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜
靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE
为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离
CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为（ ）
A．2.2m B．2m C．1.5m D．2.5m
2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度EC为2米的电梯井里，一架2.5米长的
梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高
度DE长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮
相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下
的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC
的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A,B,C,D在同一
平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
(2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？
请说明理由．
4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以
自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球
从OA摆到OB位置，此时过点B作BC⊥OA于点C，（图中的A、B、O、C在同一
平面上），测得AC=2cm，BC=8cm．求OB的长．
5．（23-24八年级下·山西朔州·期末）《国务院关于印发全民健身计划（2021−2025年）
的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市
某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利
用课余时间测量照明灯灯板MN的长，因不方便直接测量，设计方案如下：
课
测量照明灯灯板MN的长
题
工具 竹竿、米尺
方案
及图
示
方
案
及
说
明
相关 竹竿长度为10m，灯板MN垂直地面AB于点O，线段AM，BN表示同一根
数据 竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面的点A
及说 处，第二次将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面的点B处已
明 知AO=6m，BO=8m
计算 ……
过程
请根据上述方案中的内容，计算MN的长．
【题型2：求旗杆高度】6．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止
位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离
EB等于2.4m，距地面1.4m，则秋千AB的长为 m．
7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东
风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次
以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机
在距离地面18米高的点D处（CD=18米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测
距仪测得AD=17米，点A与点D之间的水平距离AE=15米，已知AE⊥CD于点
E，AB=CE，请你求出风筝离地面的高度AB．
8．（24-25八年级上·河南周口·期末）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的
实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表．
项
如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测
目
测量实物图： 量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测
背
量方案，并进行实地测量．
景测量示意图： 测量过程：
步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，
MN垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳
项
子垂直到地面，并多出了一段NE，用皮尺测
目
出NE的长度．
方
案 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置子
头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直
为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮
尺测出点A与点B之间的距离．
测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分 0.5m
各
项
数 小丽直立位置距旗杆底端的水平距 7m
据 离
小丽身高 1.5m
请根据表格所给信息，完成下列问题．
(1)直接写出线段MN与AM之间的数量关系：_____________________________．
(2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求出学校旗杆MN的高．
【题型3：求小鸟飞行距离】
9．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离
为12m，竖直距离为5m，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的
顶端，至少要飞（ ）A．12m B．13m C．14m D．15m
10．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高AB为11米，
另一棵树高CD为6米，两树的距离BD为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另
一棵树的树梢C，则小鸟至少要飞行 米．
11．（23-24八年级上·全国·单元测试）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着
不动的女孩头顶正上方4000m处，过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m，则飞机
每秒飞行了 m．
12．（2024八年级下·全国·专题练习）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在
距离该树24m的一棵大树上，大树高11m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫
声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要时间 s才能赶回巢中．
13．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高
度AB=20米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．(1)求出BC的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下
降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【题型4：求大树折断前的高度】
14．（23-24八年级下·广东中山·期中）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有
竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈
（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高
度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ）
A． B．
x2+92=(10−x) 2 x2+(10−x) 2=92
C． D．
x2+92=(100−x) 2 x2+(100−x) 2=92
15．（24-25八年级上·全国·期中）如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落
在离旗杆底部C点10m处，已知旗杆原长20m，则旗杆在离底部 米的位置断裂．
16．（23-24八年级·全国·假期作业）如图所示，一棵大树在离地面9米处断裂，断裂后树
的顶部落在离底部12米处．这棵大树在折断之前是 米．17．（24-25八年级上·吉林长春·期末）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问
题：一根竹子原来高9尺，从A处折断，折断后竹子顶端B点落在离竹子底端O点3尺
处，求折断处离地面（即AO）的高度是多少尺？
【题型5：解决水杯中筷子问题】
18．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适
与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，
DC=1，BD=BA，则BC=（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
19．（23-24八年级下·云南昆明·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的
问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、
葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有
一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达
池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列
方程为（ ）A． B．
x2+52=(x+1) 2 x2+102=(x+1) 2
C． D．
(x−1) 2+52=x2 (x−1) 2+102=x2
20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高
为12cm．将一根长18cm的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔
筒外的长度为acm，则a的取值范围是（ ）
A．9
