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专题 02 勾股定理的应用（十一大题型）
【题型1：求梯子滑落高度】
【题型2：求旗杆高度】
【题型3：求小鸟飞行距离】
【题型4：求大树折断前的高度】
【题型5：解决水杯中筷子问题】
【题型6：解决航海问题】
【题型7：求台阶上地毯长度】
【题型8：判断汽车是否超速】
【题型9：判断是否受台风影响】
【题型10：选址使到两地距离相等】
【题型11：求最短路径】
【题型1：求梯子滑落高度】
1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜
靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE
为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离
CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为（ ）
A．2.2m B．2m C．1.5m D．2.5m
2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度EC为2米的电梯井里，一架2.5米长的
梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高
度DE长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮
相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下
的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC
的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A,B,C,D在同一
平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
(2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？
请说明理由．
4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以
自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球
从OA摆到OB位置，此时过点B作BC⊥OA于点C，（图中的A、B、O、C在同一
平面上），测得AC=2cm，BC=8cm．求OB的长．
5．（23-24八年级下·山西朔州·期末）《国务院关于印发全民健身计划（2021−2025年）
的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市
某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利
用课余时间测量照明灯灯板MN的长，因不方便直接测量，设计方案如下：
课
测量照明灯灯板MN的长
题
工具 竹竿、米尺
方案
及图
示
方
案
及
说
明
相关 竹竿长度为10m，灯板MN垂直地面AB于点O，线段AM，BN表示同一根
数据 竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面的点A
及说 处，第二次将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面的点B处已
明 知AO=6m，BO=8m
计算 ……
过程
请根据上述方案中的内容，计算MN的长．
【题型2：求旗杆高度】6．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止
位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离
EB等于2.4m，距地面1.4m，则秋千AB的长为 m．
7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东
风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次
以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机
在距离地面18米高的点D处（CD=18米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测
距仪测得AD=17米，点A与点D之间的水平距离AE=15米，已知AE⊥CD于点
E，AB=CE，请你求出风筝离地面的高度AB．
8．（24-25八年级上·河南周口·期末）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的
实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表．
项
如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测
目
测量实物图： 量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测
背
量方案，并进行实地测量．
景测量示意图： 测量过程：
步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，
MN垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳
项
子垂直到地面，并多出了一段NE，用皮尺测
目
出NE的长度．
方
案 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置子
头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直
为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮
尺测出点A与点B之间的距离．
测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分 0.5m
各
项
数 小丽直立位置距旗杆底端的水平距 7m
据 离
小丽身高 1.5m
请根据表格所给信息，完成下列问题．
(1)直接写出线段MN与AM之间的数量关系：_____________________________．
(2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求出学校旗杆MN的高．
【题型3：求小鸟飞行距离】
9．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离
为12m，竖直距离为5m，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的
顶端，至少要飞（ ）A．12m B．13m C．14m D．15m
10．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高AB为11米，
另一棵树高CD为6米，两树的距离BD为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另
一棵树的树梢C，则小鸟至少要飞行 米．
11．（23-24八年级上·全国·单元测试）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着
不动的女孩头顶正上方4000m处，过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m，则飞机
每秒飞行了 m．
12．（2024八年级下·全国·专题练习）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在
距离该树24m的一棵大树上，大树高11m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫
声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要时间 s才能赶回巢中．
13．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高
度AB=20米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．(1)求出BC的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下
降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【题型4：求大树折断前的高度】
14．（23-24八年级下·广东中山·期中）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有
竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈
（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高
度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ）
A． B．
x2+92=(10−x) 2 x2+(10−x) 2=92
C． D．
x2+92=(100−x) 2 x2+(100−x) 2=92
15．（24-25八年级上·全国·期中）如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落
在离旗杆底部C点10m处，已知旗杆原长20m，则旗杆在离底部 米的位置断裂．
16．（23-24八年级·全国·假期作业）如图所示，一棵大树在离地面9米处断裂，断裂后树
的顶部落在离底部12米处．这棵大树在折断之前是 米．17．（24-25八年级上·吉林长春·期末）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问
题：一根竹子原来高9尺，从A处折断，折断后竹子顶端B点落在离竹子底端O点3尺
处，求折断处离地面（即AO）的高度是多少尺？
【题型5：解决水杯中筷子问题】
18．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适
与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，
DC=1，BD=BA，则BC=（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
19．（23-24八年级下·云南昆明·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的
问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、
葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有
一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达
池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列
方程为（ ）A． B．
x2+52=(x+1) 2 x2+102=(x+1) 2
C． D．
(x−1) 2+52=x2 (x−1) 2+102=x2
20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高
为12cm．将一根长18cm的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔
筒外的长度为acm，则a的取值范围是（ ）
A．9<a<12 B．6≤a≤12 C．3<a<9 D．3≤a≤6
21．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图是一个饮料罐，下底面直径是10，上底面
半径是10，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部的直吸管如图
放置，则在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是
．
【题型6：解决航海问题】
22．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东
35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的
距离为30海里，问乙船的航速是多少？
23．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海
域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB,OA=72海里，OB=12海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向海
岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，
结果在点C处截住了渔船．
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求我国海监船行驶的航程BC的长．
24．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，
开始时拉紧的绳子BC的长为13m，此人把绳子收紧4m后船移动到点 D 的位置(即绳
子CD的长为9米)，问船向岸边移动了多少米?(结果保留根号)
25．（23-24八年级下·重庆铜梁·阶段练习）如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航
行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东45°）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔C位于点B的北偏东15°方
向上．
(1)求∠ACB的度数；
(2)轮船收到求救信号后，立即沿BC以每小时50❑√2海里的速度赶往C处救援，那么轮
船需多少小时赶到C处？
【题型7：求台阶上地毯长度】
26．（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图是一段楼梯，高AB是8米，斜边AC是10米，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯 米．
27．（22-23八年级上·广东深圳·期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上
红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价
为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
28．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地
毯的长至少需 米．29．（23-24八年级下·全国·单元测试）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽
2.8m，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？
【题型8：判断汽车是否超速】
30．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽
车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直
线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方60m的C处，过了4s后，
测得小汽车与车速检测仪间距离AB为100m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：
1m/s=3.6km/h）
31．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小
汽车在高速道路上行驶速度不得超过120km/h．高速路边也会安装车速检测仪对过
往车辆进行限速检测，如图所示，A点装有一车速检测仪，它到公路边的距离
AN=90米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达N点时开始计时，离开M点时停止
计时，依此计算车速，已知AM=150米．
(1)若一辆汽车以108km/h时速匀速通过监控区域，共用时几秒？
(2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由．32．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小
聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离
为100m的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处
所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°．
(1)求AB的距离，（❑√3取1.73）
(2)试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？
33．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建
成通车，在某路段MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设
立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知
∠CBN=60°，BC=200米，AC=100❑√6米．
(1)请求出观测点C到公路MN的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：❑√2≈1．41，❑√3≈1．73）
【题型9：判断是否受台风影响】
34．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两
地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破
点C 周围半径520米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米?
(2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求
出需要封锁的公路长．
35．（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向
300km的B处，以80km/h的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心250km范
围内是受台风影响的区域．
(1)请通过计算说明A市是否会受到台风的影响?
(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长?
36．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方
向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC
的距离AD为160km．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影
响的时间持续多少小时？
【题型10：选址使到两地距离相等】
37．（22-23八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两
村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB=15km，CD=10km，现在要在铁路
AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A
千米．
38．（22-23八年级下·山西朔州·期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工
作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示
的直线AB上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点C和点D处，
CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km求该幼
儿园E应该建在距点A为多少km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．
39．（2024八年级上·全国·专题练习）小渝和小川是一对好朋友，如下图，小渝家住A处，
小川家住B处．两家相距10km，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条
公路的距离BC为6km．两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等．求小渝家A到见面地点D的距离．
40．（2024八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出
的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路AB上修建一个火车站E，以
方便铁路AB同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路AB的距离AC=20km，
D城到铁路AB的距离DB=60km，AB=100km，经市政府与铁路部门协商最后确定
在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求AE、BE各是多少．
41．（22-23八年级下·河南南阳·期中）为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路
m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做
饭．已知如图：D到道路m的距离DA=2km，C到道路m的距离CB=1km，A，B两
地距离AB=5km．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的
距离相等？
(1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点E，不写作法，保
留作图痕迹）；
(2)计算出气站E到A处的距离．【题型11：求最短路径】
42．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底面周
长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的
点E处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）
A．2❑√61cm B．12cm C．4❑√13cm D．10cm
43．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在
AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程
是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
44．（24-25八年级上·云南昭通·期末）足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球
员A 向边线CD传球，传球落点在边线CD上任何位置都能被边线球员接住球，而边
线球员不运球直接传给球员B，图中四边形ABCD为直角梯形，AD=5，
AB=BC=10，∠B=60°， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（ ）
A．15 B．10❑√3 C．20 D．20❑√3
45．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)
的高15cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为21cm，
则该圆柱底面周长为 cm．
46．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为
100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外
壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．
47．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因
8
使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为 m，已知
π
AE+BF=20m，BC=10m，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则
它至少要走 m的路程．
48．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A
是长方体的顶点，点B是棱CD的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最
短路程为 ．
