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专题 03 二次函数图像与系数关系的三种考法
类型一、函数图像与a，b，c关系
例．如图，抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交于点C，小红同学得出了
以下结论：① ；② ；③当 时， ；④ ．其中正确的个数为
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据二次函数与x轴交点个数可判断①，根据二次函数的对称轴可判断②，直接观察图像可判断
③，根据 时，y的值的正负可判断④．
【详解】∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，
∴①正确；
∵抛物线 与x轴相交于点 ， ，
∴抛物线的对称轴为 ，
，
，
∴②正确；
观察图像可知当 时， ，
∴③正确；由 得， 时， ，
由图知， 时， ，
∴ ，
∴④错误．综上，正确的有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，二次函数图像的性质等知识．掌握数形结合
思想，以及二次函数图像与系数的关系是解题的关键．
【变式训练1】已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；②
；③ （m为任意实数）；④若点 和点 在该图象上，则 ．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得 ， ， ，故
①不符合题意；当 与 时的函数值相等，可得 ，故②符合题意；当 时函数
值最大，可得 ，故③不符合题意；由点 和点 在该图象上，而
，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①不符合题意；
∵对称轴为直线 ，
∴当 与 时的函数值相等，
∴ ，故②符合题意；
∵当 时函数值最大，
∴ ，
∴ ；故③不符合题意；∵点 和点 在该图象上，
而 ，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，
∴ ．故④符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方
程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．
【变式训练2】如图，已知抛物线 与直线 交于 和 两点，现有以下结论：①
；② ；③ ；④当 时， ；⑤当 时，
，其中正确的序号是（ ）
A．①②⑤ B．①③④ C．②③④ D．②③⑤
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向上，与 轴交于正半轴，对称轴大于0，得出 ，即可判断①；
由抛物线 与 轴无交点，可得 ，判断②；当 时， ，即可判断
③；当 时，二次函数值小于一次函数值，可得 来求解④；把 和 两点代入
求出抛物线解析式，进而求出抛物线与双曲线的交点坐标，分第一象限内和第三象限内来求
解⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与 轴交于正半轴，对称轴大于0，得出 ，
∴ ，
故①不正确；
∵抛物线 与x轴无交点，
∴ ，故②正确；
当 时， ，
即 ，故③正确；
∵当 时，二次函数值小于一次函数值，
∴ ，
∴ ，故④正确；
把 和 两点代入 得：，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
当 时， ， ，
抛物线和双曲线的交点坐标为 ，
∴当 时， 或 ，故⑤不正确．
综上所述，正确的有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，二次函数与反比例函数图象综合，注意掌握数形结
合思想的应用，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【变式训练3】如图，二次函数 的图像关于直线 对称，与 轴交于 ， 两
点，若 ，则下列四个结论：① ，② ，③ ，④ ．正确结
论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称性即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点
有两个即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点即可判断④．
【详解】解：∵对称轴为直线 ， ，
∴ ，①正确，
∵ = 1，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴ ，
∴ ，即④错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系、二次函数图像的性质等知识点，掌握数形结合思
想以及二次函数图像与系数的关系是解答本题的关键．
【变式训练4】如图，抛物线 的对称轴是直线 ，并与x轴交于A，B两点，若
，则下列结论：① ；② ；③ ；④若m为任意实数，则
，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向，判定 ；对称轴的位置，判定 ；抛物线与y轴的交点，判定 ，
从而判定 ；根据对称轴是直线 ，确定 ；根据 ，得 ，求出点B
的坐标，从而得到 ，确定 ，可以判定②③；计算函数的最小值为：
，从而得到 ，代入化简，判定④．
【详解】解：因为抛物线的开口方向，
所以 ；
因为对称轴是直线 ，
所以 ， ；
因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，
所以 ，
所以 ；
故①错误；
因为 ，所以， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即②正确；
所以 ，即③正确；
根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为： ，所以
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，④正确．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x轴的交点坐标等知识点，熟练掌
握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键．
类型二、二次函数与一次函数关系
例．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函
数系数对比，即可得到答案．
【详解】解：A选项中， 开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，
而 函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，
∴A选项不符合题意；
B选项中， 开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，
而 函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，
∴B选项不符合题意；
C选项中， 开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，
而 函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，
∴C选项不符合题意；
D选项中， 开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，
而 函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数图象的性质，
从而完成求解．
【变式训练1】一次函数 与二次函数 在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数与二次函数的性质，分析解析式中的 的符合，即可求解．
【详解】解： A. 一次函数 中 ，二次函数 中， ，矛盾，
不合题意；
B. 一次函数 中 ，二次函数 中， ，符合题意；C.一次函数 中 ，二次函数 中， ，矛盾，不合题意；
D.一次函数 中 ，二次函数 中， ，矛盾，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练2】函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数图象与系数的关系，二次函数图象和系数的关系进行判断；
【详解】解：当 时， ，二次函数开口向上，当 时一次函数过一，二，四象限，当 时
一次函数过二，三，四象限；
当 时， ，二次函数开口向下，当 时一次函数过一，二，三象限，当 时一次函数过一，
三，四象限．
所以B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象，二次函数的图象，熟练掌握函数的性质是解题的关键
【变式训练3】在同一坐标系中，一次函数 与二次函数， 的图象可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的 和二次函数的 即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过 轴正半
轴，从而排除A和C，分情况探讨 的情况，即可求出答案.
【详解】解： 二次函数为 ，
，
二次函数的开口方向向上，排除C选项.
一次函数 ，
，
一次函数经过 轴正半轴，
排除A选项.
当 时，则 ，
一次函数经过一、二、四象限，二次函数 经过 轴正半轴， 排除B选项.
当 时，则 ，一次函数经过一、二、三象限，
二次函数 经过 轴负半轴，
D选项符合题意.故选：D.
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图
像的关系.
【变式训练4】函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数与二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵ ，∴ 经过一、三象限；
当 时，二次函数 开口向上，与y轴的交点在负半轴上，
当 时，二次函数 开口向下，与y轴的交点在正半轴上，
∴只有选项C符合题意；故选：C．
【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数图象的判断，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键．
类型三、二次函数与反比例函数
例．已知二次函数 的图像如图，则一次函数 与反比例函数 在
同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图像与系数的关系，确定二次函数 中系数的符号，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，二次函数 中， ，对称轴 ，
∴ ，
∴ ，
∵二次函数 与 轴有交点，
∴ ，
从图像可知 时，二次函数 ，
∴一次函数 的图像经过第一、二、四象限，反比例函数 的图像经过第二、四
象限，
∴ 选项，一次函数图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数，反比例函数图像的综合，掌握二次函数图像、一次函数图像、
反比例函数图像与系数的关系是解题的关键．
【变式训练1】若二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同
一坐标系内的大致图象为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与
反比例函数图象的大致图象．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴ ，
∴
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴ ，
∴直线 经过第一，三，四象限，反比例函数 图象分布在第二、四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数 和反比例函数 的图象如右图所示，则
二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象可得 ，根据反比例函数可得 ，据此即可求解．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过一、三、四象限，
∴ ，∵反比例函数 的图象在第二、四象限，
∴ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴在 轴的右侧，与 轴交于负半轴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解
题的关键．
【变式训练3】如图，二次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系内的图象可能是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 可知，二次函数图象与y轴交点为 时，即二次函数图象过原点．再分两种情
况即 ， 时结合二次函数 中a，b同号对称轴在y轴左侧，a，b异号对称轴在y轴右
侧来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答案．
【详解】解：①当 时，二次函数 开口向上，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在一、
二、三象限，反比例函数在一、三象限；
②当 时，二次函数 开口向下，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在二、三、四象限，
反比例函数在二、四象限，
观察图象可知只有D符合，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中a的取
值确定二次函数以及反比例函数的图象．
【变式训练4】如图，一次函数 和反比例函数 图像，则二次函数 的图像可能
是( )A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出 的正负，进而利用二次函数图象与性质
判断即可．
【详解】解：观察图象可得： ，
二次函数图象开口向上，对称轴在 轴右侧，与 轴交点在负半轴，
则二次函数 的图象可能是
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，一次函数图象，以及二次函数的图象，熟练掌握各自图象的
性质是解本题的关键．
课后训练
1．已知抛物线 经过点 和 ，下列结论：① ；② ；③当
时，抛物线与x轴必有一个交点在点 的右侧；④抛物线的对称轴为 ．其中结论正确的个
数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】把点 代入抛物线的解析式即可确定①，根据 的值的情况即可确定②，根据抛物线
的对称轴和 即可确定③，根据抛物线的对称轴的公式即可确定④．从而可得答案.
【详解】解：把点 代入 中，
得： ，
故①正确，由 ，
得 ，
即a＝ ，
②错误，
当 时，抛物线开口向下，而 ，
∴抛物线的对称轴 ，
又∵抛物线经过 ，
∴另一个交点到y轴的距离大于1，
∴抛物线与x轴必有一个交点在 的右侧，
∴③正确，④正确，
正确的为①③④，共 个
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当 时，
抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a
与同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线
与y轴交于 ．
2．某二次函数 的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（ ）
① ；② ；③ ； ④ ．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断 与0的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①函数的对称轴在 轴右侧，则 ，抛物线与 轴交于负半轴，则 ，则 ，故
①正确；
②函数的对称轴为 ，函数和 轴的一个交点是 ，则另外一个交点为 ，当 时，
，故②错误；
③函数的对称轴为 ，即 ，故③错误；
④由②③得， ， ，故 ，而抛物线开口向上，则 ，即 ，故 ，
故④正确；
故选：B．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与 的关系，以及二次函数
与方程之间的转换是解题的关键．
3．某足球队在某次训练中，一队员在距离球门 处挑射，正好射中了 高的球门横梁．若足球运动
的路线是抛物线 ，如图所示，则下列结论：① ；② ；③
；④ ．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质得出a，b的符号，再利用图上点的坐标得出a，b关系，进一步即可作出判
断．
【详解】解：∵抛物线 开口向下，对称轴 在y轴右侧，即 ，
∴ ， ，
由抛物线 过点 ， ，代入得：
， ，得 ，而 ，
解得： ，故此选项①正确，②错误；
，∵ ，∴ ，
∴无法判断 与0的大小关系，故③错误；
由图象可知，抛物线的对称轴的横坐标小于6 即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，故此选项④正确；
综上可知，①④正确，故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出图象上的点进而得出a，b的关系是解决问
题的关键．
4．如图是一次函数 的图象，则二次函数 的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据一次函数图象确定 ，进而确定二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，由此即
可得到答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二、三象限且与y轴交于y轴的正半轴，
∴ ，
∴二次函数 的图象的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线 ，
∴二次函数的对称轴在y轴左侧，
∴四个选项中只有C选项中的函数图象符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出 是解题的关键．
5．二次函数 （ ）的图象如图所示，则一次函数 （ ）与反比例函数
（ ）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二次函数的图象可得： ， ， ，可得一次函数 的图象经过一，三，四象限，
的图象在二，四象限，从而可得答案．
【详解】解：由二次函数的图象可得： ， ， ，
∴一次函数 的图象经过一，三，四象限，
的图象在二，四象限，
∴B，C，D不符合题意，A符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次
函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．
6．如图，已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．
其中正确的是 填序号 ．
【答案】②③⑤【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出 ， ， ，据此可判断①；
根据图当 时所对应点的位置可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为
及 时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及 时的函数值可判断⑤．
【详解】解：由于抛物线的开口向下，因此 ，
由于抛物线的对称轴是直线 ，所以 、 异号，而 ，所以 ，
由于抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴，因此 ，
所以 ，
因此①不正确；
由图象可知，当 时， ，即 ，
因此②正确；
由抛物线的对称性以及图象可知，
与 对应的函数值相同，等于c，c大于0，
当 时， ，
因此③正确；
因为对称轴为 ，即 ，
而当 时， ，
所以 ，
即 ，
因此④不正确；
由于抛物线的顶点坐标为 ，即 时， 的值最大，即 最大，
当 时， ，
即 ，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②③⑤，
故答案为：②③⑤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练
掌握：抛物线的开口方向确定a的正负，对称轴的位置及a的符号确定b的符号，与y轴交点的位置确定c
的符号．
7．如图，抛物线 的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数 的图象上，
它的对称轴是 ，有下列四个结论：① ，② ，③ ，④当 时， ，其
中正确结论的个数是 个．【答案】4
【分析】利用抛物线开口方向得到 ，利用抛物线对称轴得到 ，求出一次函数
与 轴的交点坐标得到 ，则可对①进行判断；利用 时， 得到 ，然后把
代入可得 ，抛物线的顶点坐标为 ，然后把 代入 可对②③进行判
断；当 时，利用二次函数图象在一次函数图象上方得到 ，则可对④进行判断．
【详解】解： 该函数图象开口方向向下，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
一次函数 与 轴的交点为 ，
，
，故①正确；
时， ，
，
，故②正确；
当 时， ，
抛物线的顶点坐标为 ，
把 代入 可得， ，
，故③正确；
当 时， ，
，
，故④正确．
∴正确有①②③④共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开
口；一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时，对称轴在 轴左；当 与 异号时，对称轴在 轴右．常数项 决定抛物线与 轴交点：抛物线与 轴交于 ．
