文档内容
专题 06 角的平分线的性质（4 个知识点 3 种题型 2
种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.作已知角的平分线（重点）
知识点2.角的平分线的性质（重点）
知识点3.证明几何命题的一般步骤（难点）
知识点4.角的平分线的判定（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.角平分线的性质的应用
题型2.角平分线的判定的应用
题型3.角平分线的性质在开放探究题型中的应用
【方法三】 仿真实战法
考法1.角平分线的作图及判定
考法2.角平分线的性质的应用
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1. 会作一个角的平分线，能区别角的平分线与三角形的角平分线的异同点。
2. 掌握角的平分线的性质和判定，会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题
3. 通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实。
【知识导图】【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.作已知角的平分线（重点）
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
1
2
（2）分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【例1】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知 ，利用尺规，在 边上求作一点 ，使
得 .（保留作图痕迹，不写作法）【详解】解：如图点 即为所求.
.
知识点2.角的平分线的性质（重点）
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【例2】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图， 中， ， 平分 ，
， ，求 的面积．
【答案】5
【详解】解：作 如图，∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
．
知识点3.证明几何命题的一般步骤（难点）
(1)按题意画出图形.
(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论
(3)在“证明”中写出推理过程
在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线
【例3】（2022秋·山东德州·八年级校考期中）求证：三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所
在的直线）距离相等．
要求：画图，写出已知，求证，然后写出证明过程．
【详解】解；已知：如图， 的外角平分线 与外角平分线 相交于点P．
求证： ；
证明：如图，过点P作 于F， 于G， 于H，
∵ 的外角平分线 与 相交于点P，
∴ ， ，
∴ ．
即点P到三边 、 、 所在直线的距离相等
∴三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所在直线）的距离相等．
【变式1】（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期中）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，
要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，
并写出了不完整的已知和求证．(1)已知：如图， ，点 在 上，______，求证：______．请你补全已知和求证．
(2)并写出证明过程．
【答案】(1) ， ，垂足分别为 、 ；
(2)证明见解析
【详解】（1）解：已知：如图， ，点 在 上， ，垂足分别为 、
；
求证： ．
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【变式2】小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如
图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证：
已知：如图， ，点D在射线 上， ，
求证： ．
(1)补全图形，已知和求证；
(2)按小颖的想法写出证明过程．(3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．
【详解】（1）补全图形如图所示．
已知：如图， ，点D在射线 上， ，垂足分别为E，F．
求证： ．
（2）∵ ， ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
（3）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
它是真命题．
已知：如图，点P为 内一点， ，垂足分别为D，E，且 ．
求证： 平分 ．
证明：∵ ，垂足分别为D，E．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ （全等三角形的对应角相等）．
∴ 平分 ．【变式3】（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材第96页
的“3．角平分线”部分内容．
【联想证明】在学完角平分线的性质定理后，
①（请填空）爱联想的成成同学先写出了角平分线性质定理的逆命题为：________．
②接着成成同学又对所写的命题进行了证明．请你把下面成成同学的已知、求证、图形补充完整，再进行
证明．
已知：如图，点 是 内部一点，________．
求证：________．
证明：【详解】解：①角平分线性质定理的逆命题为：在角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上；
②已知：如图，点 是 内部一点，点P到 距离等于点P到 距离．
求证：点P在 角平分线上．
证明：过点P作 ，
∵点P到 距离等于点P到 距离，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，即点P在 角平分线上．
知识点4.角的平分线的判定（重点）
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB【例4】如图， ， 是 的中点， 平分 ，求证： 平分 ．
【详解】证明：如图：过点 作 ，垂足为 ，
平分 ， ， ，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又 ，
，
， ，
平分 （到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
【方法二】实例探索法
题型1.角平分线的性质的应用
1.（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，某个居民小区 附近有三条两两相交的道路 、 、 ，
拟在 上建造一个大型超市，使得它到 、 的距离相等，请确定该超市的位置 ．【详解】如图所示：作 的平分线交 于点 ，点 即为该超市的位置．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
【详解】（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°
∴∠C=90°
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠BAD
∵AD=AD
∴△ACD≌△ABD（AAS）
∴BD=CD
（2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD
∵AD=AD，AC=AE
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴DC=DE，∠AED=∠C
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°
∴∠DEB=∠B
∴DE=DB
∴DB=DC
3．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）在 中，点 在边 的延长线上，
的平分线与 的平分线交于点 ， 与 交于点 ．
(1)如图1，当 时，求 的度数．
(2)如图2，连接 ，延长 至点 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
求证： ；
【详解】（1）解： 的平分线与 的平分线交于点 ，
得， ，
故 的度数为 ；
（2）证明：过点 作 于点 ，的平分线与 的平分线交于点 ， ， ，
，
，
， ，
平分 ， ，
，
，
，
同理可证： ，
．
4．（2023春·山西运城·八年级统考期中）已知：如图， 中， ．
(1)【实践操作】
尺规作图：①作 的平分线 ，交 于点D；
②过点D作 的垂线，交 于点E；
③在线段 上求作一点F，使 ．
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)【灵活运用】
在（1）条件下，若 ， ，则 的长为_________．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．（2）由（1）得： 是 的角平分线， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：12．
题型2.角平分线的判定的应用
5.（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，在 的两边 上分别取点 ，连接 ．
若 平分 ， 平分 ．(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，且 与 的面积分别是 和 ，求线段 与 的长度之和．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【详解】（1）证明：如图所示，过 作 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ．
（2）解：如图所示，过 作 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，由（1）可知 ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
6.（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图， ，点E是 的中点， 平分 ．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)已知 ， ，求四边形 的面积．
【详解】（1）证明：如图，过点 作 于点 ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 平分 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ 和 都为 ，
又∵ 平分 ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 和 都为 ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
．
∴四边形 的面积为 ．
7.如图，在 和 中， ， （ ）， ，直线 ，交于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)用 表示 的大小；
(3)求证： 平分 ．
【详解】（1）证明： ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
（2）解：由三角形的外角性质得： ，
由（1）得 ，
，
，
（3）证明：作 于 ， 于 ，如图所示，
则 ，
在 和 中，，
，
，
于 ， 于 ，
平分 ，
8.如图，已知 ， ， 是 的角平分线，且交于点P．
(1) ______．
(2)求证：点P在 的平分线上．
(3)求证： ．
【详解】（1）解：证明： ， ， 是 的角平分线，
， ，
，
；
（2）如图，过 作 ， ， ，
， 分别平分 ， ，
， ，
，
点 在 的平分线上；
（3）如图，在 上取点 使 ，连接 ，是 的平分线，
，
在 与 中，
，
，
，
， ，
，
是 的角平分线，
，
在 与 中，
，
，
，
．
题型3.角平分线的性质在开放探究题型中的应用
9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形 中， ，E是 的中点， 平分
．(1)求证： 平分 ；
(2)判断 、 、 之间的数量关系，并证明；
(3)若 ， ，求 ．
【详解】（1）证明：过点E作 于点F，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 平分 ．
（2）证明： ，
∵ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，E是 的中点，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
10．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）已知 ， 和 分别平分 和 ，点
E，F分别在 和 上．
(1)如图1， 过点P，且与 垂直，求证： ；
(2)如图2， 为过点P的任意一条线段，试猜想 还成立吗？请说明理由．
【详解】（1）证明：如图，过点P作 于点M，∵ ， ，
．
和 分别是 和 的平分线，
且 ， ， ，
， ．
．
（2） 成立．理由如下：
如图，过点P作 于点G，交 于点H，
， ， ，
，
由（1）得 ，在 和 中，
，
．
11．（2022秋·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知 ， 是 的角平分线，且交于点
P．(1)直接写出 ___________°；
(2)求证： ；
(3)探究 的数量关系．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）证明：过点 作 ，
则： ，
∵ 是 的角平分线，且交于点P，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ；
（3）解：在 上截取 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又 ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
12．（2023春·宁夏石嘴山·七年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中， ，且满足
，过C作 轴于B．(1)求 的面积．
(2)若过B作 交y轴于D，且 分别平分 ，如图2，求 的度数．
(3)在y轴上是否存在点P，使得 和 的面积相等?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)4
(2)
(3) 或
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，过E作 ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 分别平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
（3）设点 ，分别过点P，A，B作 轴， 轴， 轴，交于点M，N，
①当P在y轴正半轴上时，如图，
则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ；
②当P在y轴负半轴上时，如图，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
综上所述，P点的坐标为 或 ．
【方法三】 仿真实战法
考法1.角平分线的作图及判定
13．（广州）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连
接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：图象如图所示，
∵∠EAC＝∠ACB，∴AD∥CB，
∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，
∴△ACD≌△CAB（SAS），
∴∠ACD＝∠CAB，
∴AB∥CD．
14．（咸宁）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号
表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，
求证： ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
【解答】解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD＝PE．
故答案为：PD＝PE．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD＝PE．
考法2.角平分线的性质的应用
15．（2021•青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则
△BCD的面积为（ ）A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝ ×5×3＝7.5．
故选：B．
16．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若
BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 ．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝1.6，
∴CD＝1.6，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为：2.4
17．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD ＝ ．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE＝DH＝1，
∴S△ACD ＝ ×2×1＝1．
故答案为：1．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·北京海淀·八年级校考开学考试）若三角形内一点到三角形三条边的距离相等，则这点一定是
三角形（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条内角平分线的交点
【答案】D
【分析】根据角平分线的判定定理得出即可．
【详解】解：根据角平分线性质可知：三角形内一点到三边的距离相等的点是角平分线的交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，能熟记角平分线的判定定理的内容是解此题的关键，注意：在角的
内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上．
2．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）下列说法不正确的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等． B．全等三角形的对应角的平分线相等C．角平分线相等的三角形一定全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】C
【分析】由全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，即可判断．
【详解】解：A、B、D中的说法正确，故A、B、D不符合题意；
C、角平分线相等的三角形不一定全等，
反例：如图 是等边三角形， 平分 ， 是 和 的平分线，
但 和 不全等，
故C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
3．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试）如图，在 中，
， 的平分线 交 于点D， ，则点D到 的距离是（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】如图，过 作 于 ，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，
可得 即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，∵ ， 的平分线 交 于点D， ，
∴ ，
∴点D到 的距离是3；
故选C．
【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到 的距离即为 长是解决的关键．
4．（2023秋·全国·八年级课堂例题）到 的三条边距离相等的点是 的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．以上均不对
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【详解】在同一平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形的三条角平分线的交点．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图所示， 是 的平分线上的一点， ，垂
足分别是 ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线性质和垂直得出 ， ， ，再由全等三
角形的判定和性质求解即可．【详解】∵ 是 的平分线上的一点， ，
∴ ， ， ，
∵
∴
∴ ， ，
∴选项A、B、D不符合题意；
根据已知不能推出 ，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的判定和性质，能熟记知识点是解答此题的关键，注意：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
6．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形
D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】根据三角形的高，外角的性质，中线的性质以及角平分线的性质分别判断即可．
【详解】解：A、钝角三角形较短边的高在三角形外，故错误，不合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故错误，不合题意；
C、三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形，故正确，符合题意；
D、三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点，故错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的高，外角的性质，中线的性质以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相
应几何基础知识，属于中考常考题型．
7．（2023春·贵州铜仁·八年级统考阶段练习）如图， 平分 ， 于点 ，点 是射线
上的一个动点，若 ，则 的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据垂线段最短得出当 时， 的值最小，根据角平分线性质得出 ，求出即可．
【详解】解：当 时， 的值最小，
平分 ， ， ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，解题的关键是能得出使 最小时 的位置．
8．（2023秋·八年级课时练习）已知 ，求作射线 ，使 平分 ，作法的合理顺序是
（ ）
①作射线 ；②在 和 上分别截取 ， ，使 ；
③分别以D，E为圆心，大于 的长为半径作弧，在 内，两弧交于C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
【答案】C
【分析】根据作角平分线的方法解答即可．
【详解】解：角平分线的作法是：②在 和 上分别截取 ， ，使 ；③分别以D，E为
圆心，大于 的长为半径作弧，在 内，两弧交于C；①作射线 ；②在 和 上分别截取
， ，使 ．
故选C．
【点睛】本题考查了作角的平分线，熟练掌握画图步骤是解答本题的关键．
9．（2022秋·河南濮阳·八年级统考阶段练习）如图．射线 是 的平分线， 是射线 上一点，
于点 ，点 是射线 上一点，若 ，且 的面积是6，则 长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】过点 作 于点 ，根据三角形的面积公式，求出 ，再利用角平分线的性质定理，
即可得到 长．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
的面积是6，
，
，
，
点 是 的平分线 上一点，且 ， ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形面积公式，角平分线的性质定理，解题关键是掌握角平分线上的点到角两边的
距离相等．
10．（2023春·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在 中， 是高， 是角平分线， 是中
线 与 相交于 ， 以下结论正确的有（ ）① ；② ；
③ ；④ ；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】解：由高的定义，得 ，①正确；由中线得 ，两三角形
等底同高，于是 ,②正确；根据直角三角形两锐角互余及外角知识，得
，结合角平分线定义可判断③正确；如图，过点E作 ，
垂足为H，I，根据角平分线性质，得 ，可证得 ．
④正确．
【详解】解：∵ 是高，
∴ ．
∴ ，①正确；
∵ 是中线，
∴ ．
令 中 边上的高为h，
∴ ,②正确；
∵
∴ .
∵ 是角平分线，∴ ．
∴ ，③正确；
如图，过点E作 ，垂足为H，I，
∵ 是角平分线，
∴ ．
．④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形角平分线，中线，高的定义，直角三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性
质；熟练掌握相关定义是解题的关键．
二、填空题
11．（2023春·湖南郴州·八年级统考开学考试）如图，在 中， 是角平分线， 于点E，
的面积为7， ， ，则 ．
【答案】3
【分析】过点D作 于点F，根据角平分线的性质得出 ，求出，得出 ，根据三角形面积公式得出
，求出结果即可．
【详解】解：过点D作 于点F，如图所示：
∵ 是角平分线， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积为7，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到
角的两边距离相等．
12．（2023秋·北京海淀·八年级北京市师达中学校考开学考试）点 在 内，且到三边的距离相等，
若 ，则 ．
【答案】 /118度
【分析】根据到三边的距离相等得到点 是角平分线的交点，即可得到
，再利用三角形内角和进行角度计算即可．
【详解】 ，，
点 到三边的距离相等，
点 是角平分线的交点，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查角平分线的判定以及角平分线性质的运用；得到点 是三角形角平分线的交点是解题关
键．
13．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，已知 分别是 的外角 的平分线，
， ，垂足分别为 ，那么 （填“>”“<”或“=”）．
【答案】
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断关系．
【详解】证明：如图，过点P作 于F，
是 的平分线， ，
，
是 的平分线， ， ，
，
．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，作出辅助线是正确解答本题的关键．
14．（2023秋·八年级课时练习）如图， 的外角的平分线 与 相交于点P，若点P到 的距离
为3，则点P到 的距离为 ．
【答案】3
【分析】如图，过 作 于 ， 于 ， 于 ，则 ，由 的外角的平
分线 与 相交于点P，可得 ，然后作答即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ， 于 ， 于 ，则 ，
∵ 的外角的平分线 与 相交于点P，
∴ ，
∴点P到 的距离为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15．（2022春·四川成都·八年级校考期中）直角三角形 中， ，两条角平分线 与 交
于点O，若 ，则 的度数是 ．
【答案】 / 度
【分析】过点O分别作 于点M、N，连接 ，由角平分线的性质得到 ，再
证明 得到 ，进而利用三角形外角的性质推出 ，
从而求出 ，则 ．
【详解】解：过点O分别作 于点M、N，连接 ，∵ 的两条角平分线 与 交于点O，
∴ 平分 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和
定理，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
16．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图， ，以点 为圆心，小于 长为半径作圆
弧，分别交 ， 于 ， 两点，再分别以 ， 为圆心，大于 长为半径作圆弧，两弧交于点 ，
作射线 ，交 于点 ．若 ，则 的度数为 ．【答案】
【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出 ，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得： 平分 ，
∵ ，
，
，
，
平分 ，
．
∵ ，
．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，由作图步骤得到 平分 ，是解题关键．
17．（2023春·河南周口·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ，以顶点A为圆心，适当
长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两
弧交于点P，作射线 交边 于点D．若 ， ，点E为线段 上的一个动点，当 最短
时， 的面积是 ．
【答案】18
【分析】根据“垂线段最短”可得 ，根据角平分线的性质得到 ，证明
，求出 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：∵点E为线段 上的一个动点， 最短，
∴ ，
由基本尺规作图可知， 是 的角平分线，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的
点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18．（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，在 的边 , 上取点M，N，连接 ， 平
分 ， 平分 ，若 ， 的面积是2， 的面积是8，则 的长是
．
【答案】10
【分析】过点P作 ，垂足为E，过点P作 ，垂足为F，过点P作 ，垂足为G，连接 ，利用角平分线的性质可得 ，然后根据三角形的面积求出 ，再利
用 的面积 的面积 的面积 ，进行计算即可解答．
【详解】解：过点P作 ，垂足为E，过点P作 ，垂足为F，过点P作 ，垂足为
G，连接 ，
∵P是 外角平分线的交点，
∴ ，
∵ ， 的面积是2，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积是8，
∴ 的面积 的面积 的面积 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题
19．（2023秋·全国·八年级课堂例题）感知：如图①， 平分 ．易知：
．探究：如图②， 平分 ．求证： ．【答案】见解析
【分析】过点 作 于点 交 的延长线于点 ，证明 ，即可
证明 ．
【详解】证明：如图，过点 作 于点 交 的延长线于点 ．
平分 ， ，
．
，
．
在 和 中， ，
．
．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，
属于中考常考题型．
20．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在 中， 平分 交 于点 于点
于点 ， 的面积是 ， ，求 的长．【答案】
【分析】根据角的平分线的性质，得到 ，根据 ，等量代换计算即可．
【详解】∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
根据题意，得 ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了角的平分线的性质，分割法计算三角形的面积，熟练掌握性质是解题的关键．
21．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点P在 内，点D，E分别在边 ， 上．若
，且 ，问：点P是否在 的平分线上？试证明你的结论．
【答案】点P在 的平分线上，证明见解析
【分析】过点P作 于F，作 于G，根据题意及各角的等量代换得出 ，再
由全等三角形的判定和性质得出 ，利用角平分线的性质即可证明．
【详解】答：点P在 的平分线上．
证明：如图，过点P作 于F，作 于G，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴点P在 的平分线上．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用
这些知识点是解题关键．
22．（2022秋·广西钦州·八年级统考期中）如图，在 中， ， 于点 ，点 在
上， ， ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，且 的面积等于 ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据题意先证明的 ，再根据角平分线的性质即可证明的 平分 ；
（2）利用 可求得 的长．
【详解】（1）证明：
，且 ，
又 ， ，
，
，且 ， ，
平分
（2）解： ， ， ，
由（1）知 ，
∴
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关
键是熟练掌握角平分线的判定定理．
23．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在 中， 和 的平分线 相交于点 ，
，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： 平分 ．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质得， ， ，根据角之间的关系得
，即可得；
（2）过点 作 ， ，垂足分别为 ，根据角平分线的性质得 ，
，根据 即可得．
【详解】（1）解：∵ 分别平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，过点 作 ， ，垂足分别为 ．
平分 ，
，
同理得 ．
．
又 ，
平分 ．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．
24．（2023春·湖南郴州·八年级统考开学考试）如图， ，点E是 的中点． 平分 ．(1)求证： 是 的平分线；
(2)已知 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据角平分线的性质得出 ，根据中点定义得出 ，从而得出 ，证
明 ，得出 ，即可证明结论；
（2）证明 ，得出 ， ，根据 ，得出
， ，求出 ，根据
，得出 即可．
【详解】（1）证明：过点E作 于点F，如图所示：
∵ ，∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的平分线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理，三角形面积的计算，解题的关
键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，证明 ， ．
25．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在 中， 为 边上的高， 是 的角平分线，
点F为 上一点，连接 ， ．(1)求证： 平分 ；
(2)连接 交 于点G，若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，当 ， 时，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7.5
【分析】（1）根据 是 的角平分线和 得 ，再结合 为 边
上的高得出 即可证明；
（2）过点F作 于点M， 于点N，证明 ，得出 ，再根据
，解出 即可证明；
（3）根据 及 为 边上的高证明 ，得出 ，再根据 ，
解得 ，结合 即可求出 ；
【详解】（1）证明： 是 的角平分线，
.
，
.
.
为 边上的高，
.
.
平分 .
（2）过点F作 于点M， 于点N，
平分 ，且 ， ，.
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
（3） ，
， ，
，
为 边上的高，
，
，
.
在 和 中，
.，
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等
三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
26．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）已知 和 ，其中 ，
．
(1)将 和 按如图1所示位置摆放，点 落在 上， 的延长线交 于点 ，连接 ，且
平分 ．
①求证 ；
②猜想 ， 与 之间的数量关系是__________；
(2)若将图1中的 按如图2所示位置摆放， 交 于点 ， 的延长线交 于点 ，
，连接 ，且 平分 ．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由；
(3)若将图1中的 按如图3所示位置摆放， ， 分别交 的延长线于点 ， ，连接 ，且
平分 ．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出
， 与 之间的数量关系．
【答案】(1)①证明见解析，② ，证明见解析；
(2)结论成立，证明见解析
(3)②的结论不成立，结论为： ，证明见解析
【分析】（1）①由角平分线的性质可得结论；②先证明 ，证明 ，可得 ，
从而可得结论；（2）证明 ，再证明 ，可得 ．证明 ，可得 ，从
而可得结论；
（3）证明 ， ，可得 ，证明 ，可得 ．再
证明 ，可得 ，结合 ，而 ，从而可得结论．
【详解】（1）证明：①∵ 平分 ， ，
∴ ， ．
②∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，而 ，
∴ ；
（2）∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，而 ，
∴ ；
（3）②的结论不成立，结论为： ，理由如下：
∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，而 ，
∴ ；
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质，全等三角形的
判定方法是解本题的关键．
