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专题 07 一次函数易错必刷题型专训（72 题 24 个考点）
【易错必刷一 函数的概念】（共3小题）
1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列曲线中，能表示 是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数，根据函数的定义逐项判断即可求解，掌握函数的定义是解题的关键．
【详解】解： 、给定一个 的值， 有唯一一个值和它对应， 是 的函数，该选项符合题意；
、给定一个 的值， 不止一个值和它对应， 不是 的函数，该选项不合题意；
、给定一个 的值， 不止一个值和它对应， 不是 的函数，该选项不合题意；
、给定一个 的值， 不止一个值和它对应， 不是 的函数，该选项不合题意；
故选： ．
2．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）下列关于两个变量之间的关系的四种表述中， 是 的函数的有
（填写编号）
① ：三角形的面积， ：这个三角形一边的长；
②
③
6
1 2 3 4
④
【答案】 /
①②②①【分析】根据函数的定义：一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一值与之对
应，称y是x的函数，判断即可，本题考查了函数的定义，正确理解定义是解题的关键．
【详解】根据定义判断三角形面积公式为 ，对于每一个x，y都有唯一一个值与之对应，符合函数
的定义，
故①是函数，
对于每一个x，y都有唯一一个值与之对应，符合函数的定义，
故②是函数，
后面两个都是对于x的每一个值，y都有两个函数值对应，不符合题意，
故答案为：①②．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x
的函数的是（ ）
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
【答案】D
【分析】本题主要考查函数，熟练掌握函数的定义是解决本题的关键．根据函数的定义（在一个变化过程
中，如果有两个变量x和y，并且对于x的么一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函
数）解决此题．
【详解】解：A．若y为正方形的面积，x为正方形的周长，则 ，故y是x的函数，A不符合
题意．
B．y表示正方形的周长，x表示正方形的边长，则 ，故y是x的函数，B不符合题意．
C．y表示圆的面积，x表示圆的直径，则 ，故y是x的函数，C不符合题意．
D．y表示一个正数的平方根，x表示这个正数，那么 ，故y不是x的函数，D符合题意．
故选：D．【易错必刷二 求自变量的相关范围】（共3小题）
4．（24-25九年级上·云南昆明·期中）对于函数表达式 自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
∴ ，
故选A．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ．
故答案为： ．
6．（2025·陕西西安·模拟预测）某工厂利用传送带运送货物，为研究传送带运行情况，记录了不同货物质
量 （单位： ）与传送带电机输入功率 （单位： ）的相关数据，如表所示：
货物质量 ……
电机输送功率 ……
(1)求出电机输送功率 与货物质量 之间的函数表达式；
(2)已知物理中功率的计算公式 （ 为牵引力， 为传送带速度），传送带速度 保持不变．当
运输质量为 的货物时，根据（1）中所得函数表达式求出此时电机输送功率，再据此计算传送带对货
物的牵引力 的大小．
【答案】(1)
(2)电机输送功率为 ，牵引力
【分析】本题考查函数的表达式，函数的值，规律探索，熟练根据题意得出 关于 的规律是解题的关键．（1）先得出得出 关于 的规律，即可得出 与 之间的函数表达式；
（2）将 代入 即可求出 ，再利用 ， 即可求解．
【详解】（1）解：由当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∴电机输送功率 与货物质量 之间的函数表达式为 ；
（2）解：当 时， ，
∵ ， ，
∴ ，
答：电机输送功率为 ，传送带对货物的牵引力F为 ．
【易错必刷三 函数图象】（共3小题）
7．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠 是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发
挥重要作用．硫酸钠在 水中的溶解度 与温度 之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的
是（ ）
A．当温度为 时，硫酸钠在水中不溶解
B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C． 时，温度每升高 ，硫酸钠溶解度的增加量不相同D．要使硫酸钠的溶解度不低于 ，温度应控制在
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所
需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【详解】解： ．从图中可以看到，当温度为 时，溶解度曲线对应的y值不为0，说明硫酸钠在
时在水中是溶解的，故该选项不符合题意；
．观察溶解度曲线，在 时，硫酸钠的溶解度随着温度升高而增大，在 时，溶解度
随着温度升高而减小，并非一直增大，故该选项不符合题意；
．在 时，溶解度曲线不是一条直线，这表明温度每升高 ，硫酸钠溶解度的增加量不相同，
故该选项符合题意；
．从图中可知，当温度接近 时，硫酸钠的溶解度就达到了 ，并且在 之间溶解度
都不低于 ，而不是只控制在 ，故该选项不符合题意；
故选：C．
8．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）“美丽乡村建设”小组乘汽车赴 处的农村进行调研，前一段
路为国道，后一段路为乡村公路，汽车在国道和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程
与时间 间的关系如图所示，则该小组到达目的地的时间为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可知汽车在乡村公路上1小时行驶的路程为
，据此可得汽车在乡村公路上的行驶速度，进而可求出汽车在乡村公路上行驶的时间，据此可得答
案．
【详解】解；由函数图象可知，汽车在乡村公路上行驶的速度为 ，
∴该小组到达目的地的时间为 ，故答案为： ．
9．（24-25八年级下·福建厦门·期中）画出函数 的图象并研究其性质：
(1)函数 的自变量 的取值范围是______；
(2)用列表法画出该函数的图象：
(3)小蓬根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：①函数有最小值为0；②当 时，y随x的增大而
增大；③图象关于过点 且垂直于x轴的直线对称．以上结论中正确的是_______．（只填序号）
【答案】(1)x为任意实数
(2)见解析
(3)①②③
【分析】本题考查的是函数的自变量的取值范围，画函数的图像，根据函数的图像归纳函数的性质，掌握
以上知识是解题的关键．
（1）根据题目中的函数解析式，可知含有自变量的代数式是整式，从而可得x的取值范围；
（2）列表，然后根据表格中的数据描点，再连线，可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象可以判断该函数的性质．
【详解】（1）在函数 中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：x为任意实数；
（2）列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 …
画出函数的图象如下：（3）由函数图象可知，
①函数有最小值为0，正确；
②当 时，y随x的增大而增大，正确；
③图象关于过点 且垂直于x轴的直线对称，正确；
故答案为：①②③．
【易错必刷四 动点问题的函数图象】（共3小题）
10．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，在 中， ，D为斜边 的中点，动点
M从点B出发，沿B→A→C运动．设 ，点M运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所
示，则图2中的m的值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．15
【答案】D
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，勾股定理；由图可知，当 M 位于 A 处时， 面积最大，
且为 面积的一半，由图可知 ，根据面积公式计算即可．
【详解】解：由图可知，当 M 位于 A 处时， 面积最大．
又因为 是一条斜边 的中点D与顶点A连成的中线，
所以 面积是 面积的一半．
根据图2，可知 ，
s ，
则 的面积为 ，
故 的面积为 面积的一半，即15．
故选：D．
11．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图1，在矩形 中，动点P从点B出发，沿
运动至点A停止，设点P运动的路程为x， 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩
形 的周长是 ．
【答案】18
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出 的长度是解决问
题的关键，根据函数的图象、结合图形求出 的值，即可得出矩形 的周长．
【详解】解： 动点 从点 出发，沿 运动至点 停止，而当点 运动到点 之间时，
的面积不变，函数图象上横轴表示点 运动的路程， 时， 开始不变，说明 时，接
着变化，说明 ，
矩形 的周长 ．
故答案为：18．
12．（23-24七年级下·陕西西安·期中）动点H以每秒 的速度沿图1中的长方形 按从
的路径匀速运动，相应的三角形 的面积 与时间 的关系图象如图2，已知
，设点 的运动时间为 秒．(1) ______， ______， ______；
(2)当三角形 的面积为 时，求点 的运动时间 的值．
【答案】(1) ，14，10
(2)点 的运动时间为 或 ．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本
题的解题关键．
（1）根据图2函数分别分析出当点 运动到点 、 、 处的路程，求出 ，再求出当点 在 上时
的面积即可；
（2）当三角形 的面积为 时，点 在 或 上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可．
【详解】（1）解：由图2得，当 时， 随 的增大而增大，
当点 运动到点 时， ，
，
当 时， 的值不变，
当点 运动到点 时， ，此时三角形 的面积为长方形面积的一半，
，即 ，
当点 运动到点 处时， ，
，
故答案为： ，14，10；
（2）解：当点 在 上时，三角形 的面积 ，
当 时， ，
，
，当点 在 上时，三角形 的面积 ，
当 时， ，
， ，
，
综上，点 的运动时间为 或 ．
【易错必刷五 变量间的关系表示】（共3小题）
13．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）某牛奶公司要对一批牛奶进行罐装，每瓶容量（升）与需要的
瓶数（个）之间的关系如表所示：
每瓶容量（升） 0.2 0.25 0.4 0.5 …
需要的瓶数（个） 1000 800 500 400 …
(1)这批牛奶共有多少升？
(2)需要的瓶数是怎样随着每瓶容量的变化而变化的？
【答案】(1)200升
(2)需要的瓶数是随着每瓶容量的增大而减少的
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，用表格表示变量之间的关系，通过观察数据，确认每瓶容量与所
需瓶数之间的反比关系是解题的关键；
（1）根据需要的瓶数与每瓶容量的乘积一定，即可得出答案；
（2）根据（1）可知需要的瓶数随着每瓶容量的增加而减小．
【详解】（1） 根据表格中数据可知，每瓶容量与需要的瓶数的积是一定的，
这批牛奶共有： （升）．
（2）根据表格可得到，当每瓶的容量增大时，所需要的瓶数在减少．
14．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温
的变化存在如下的关系：
气温 0 10 20 30
声音在空气中的传播速度 34
319 325 331 337 349
3
阅读上述材料，回答下列问题：(1)在这个变化过程中，哪些量是变量？
(2)从表中数据可知，气温每升高 ，声音在空气中传播的速度提高了多少？
(3)用含t的代数式表示v；
(4)某日的气温为 ，小莹同学看到烟花燃放后 才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距
多远？
【答案】(1)气温和声音在空气中的传播速度
(2)气温每升高 ，声音在空气中传播的速度提高了 ，
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，变量的定义以及变量之间的关系等等，正确理解题意
是解题的关键．
（1）根据声音在空气中的传播速度随着气温的变化而变化即可得到答案；
（2）由表格中的数据可知，气温每升高 ，声音在空气中传播的速度提高了 ，据此可得答案；
（3）根据（2）所求列式计算即可；
（4）根据（3）所求求出此时声音在空气中传播的速度，再根据路程等于速度乘以时间列式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中气温和声音在空气中的传播速度是变量；
（2）解：由表格中的数据可知，气温每升高 ，声音在空气中传播的速度提高了 ，
∴气温每升高 ，声音在空气中传播的速度提高了 ；
（3）解：由题意得， ；
（4）解： ，
答：小莹同学与燃放烟花所在地大约相距 ．
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量有如下的
对应测量值．
所挂物体的质量/ 1 2 3 4 5 6 7
弹簧伸长的长度/ 0.5 1 1.45 2.2 2.6 3 3.4
(1)用趋势图描述所挂物体的质量和弹簧伸长的长度之间的关系；
(2)在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量之间有什么关系？
(3)估计一下，挂 的物体时，弹簧大约伸长多少厘米．
【答案】(1)见解析(2)弹簧伸长的长度大致呈现逐渐上升的趋势
(3)挂 的物体时，弹簧大约伸长 ．
【分析】本题考查用图象表示的变量之间的关系，解题的关键是画出函数的图象．
（1）描点，连线，画出图象即可；
（2）（3）根据函数图象回答即可．
【详解】（1）解：描点，连线，画出函数的图象如下，
；
（2）解：由函数图象知，弹簧伸长的长度大致呈现逐渐上升的趋势；
（3）解：由函数图象知，挂 的物体时，弹簧大约伸长 ．
【易错必刷六 正比例函数】（共3小题）
16．（24-25九年级下·陕西西安·期中）若正比例函数 的图象经过 两点，且 随 的
增大而增大，则该函数图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了正比例函数的性质．根据题意得到 ， ，求出 ，得到 ，分别进
行判断各个选项即可．
【详解】解：∵正比例函数 的图象经过 两点，
∴ ， ，
∴ ，解得： ，
∵ 随 的增大而增大，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴该函数图象必经过点 ，
故选：D．
17．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）关于正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象过点 B． 随 的增大而减小
C．图象经过第一、三象限 D．不论 取何值，总有
【答案】B
【分析】本题考查正比例函数的图象性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
根据正比例函数的性质依次判断即可求解．
【详解】解：正比例函数 ，
A、当 时， ，
图象过点 ，选项错误，不符合题意；
∴
B、 ，
y随∵x的增大而减小，符合题意；
∴C、 ，
图象∵ 经过二、四象限，选项错误，不符合题意；
∴
D、当 时，总有 ，选项错误，不符合题意；故选：B．
18．（24-25八年级上·河南郑州·期中）学完《一次函数》，我们积累了一定的研究经验． 在活动课上李
萍和张敏根据探究一次函数图象特点的方法，对函数 的特点进行探究．
列表：
x 0 1 2 3 4
y 8 6 4 2 0 2 4 6 8
解决下列问题：
(1)请你帮她们绘制出函数 的图象；
(2)观察函数 的图象，写出图象的两个特点；
(3)当 时， ．
【答案】(1)画图见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查的是画函数图象，函数的性质；
（1）根据表格信息，先描点，再画图即可；
（2）根据函数图象可得其性质与特点；
（3）由 可得 ，再解方程即可．【详解】（1）解：先描点，画图如下：
（2）解：①函数 的图象关于 轴对称；
②当 时， 随 的增大而增大；
（3）解：当 时， ，
解得： ．
【易错必刷七 根据一次函数的定义求参数】（共3小题）
19．（23-24八年级下·四川内江·期中）若 关于 的函数 是一次函数，则 的值为
（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如 ，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ 关于 的函数 是一次函数，
∴
∴
即
故选：C20．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若 是关于 的一次函数，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如 （ 为常数， ）的函数叫一次函数，根据一
次函数的定义得出 ， ，计算即可得解．
【详解】解：∵ 是关于 的一次函数，
∴ ， ，
解得： ，
故答案为： ．
21．（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知函数 ．
(1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？
(2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？
(3)若函数的图象经过点 和 ，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 的值分别为
【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义．
（1）根据y是x的一次函数，得到 ，求解即可；
（2）根据y是x的正比例函数，得到 ，求解即可；
（3）将点 代入 求出 的值，再将 代入 即可求出 的值．
【详解】（1）解：由题意得 ，即 时，
函数 是一次函数；
（2）解：由题意得 ，且 ，即 时，函数 是正比例函数；
（3）解： 函数图象经过点
，即 ．
又 经过点 ，
，
解得 ，
故 的值分别为 ．
【易错必刷八 一次函数的解析式】（共3小题）
22．（24-25八年级下·湖南·期中）已知一次函数 的图象经过 和 两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)请你判断点 是否在这个一次函数图象上．
【答案】(1)
(2)点 不在这个一次函数图象上
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式和求一次函数的函数值，正确求出一次函数解析式是解题的关
键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当 时y的值即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过 和 两点，
∴ ，解得 ，
∴这个一次函数的解析式为 ；
（2）解：在 中，当 时， ，
∴点 不在这个一次函数图象上．
23．（24-25八年级上·安徽六安·期中）一次函数的图象经过点 和 两点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数解析式，直线与坐标轴的交点．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，直
线与坐标轴的交点是解题的关键．
（1）待定系数法求解即可；
（2）分别令 ，计算求出对应的 的值，然后作答即可．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为 ，
将 和 代入得 ，
解得 ，
一次函数解析式为 ．
（2）解：令 ，可得 ，解得 ，
一次函数与 轴的交点坐标为 ．
24．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）已知一次函数的图象平行于直线 ，且经过点 ，求此函数的表达式.
【答案】
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，平移的性质，根据一次函数的图象平行于直线 ，设该
一次函数的解析式为 ，再把 代入计算，即可作答．
【详解】解：∵一次函数的图象平行于直线 ，
∴设该一次函数的解析式为 ，
∵该一次函数经过点 ，
∴把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ．
【易错必刷九 一次函数的求值】（共3小题）
25．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知一次函数 与直线 都经过 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函
数关系式 ”是解题的关键．把 代入 ，可求出 的值，再把 代入 ，
可求出 的值，进而可求出 的值．
【详解】解：将 代入 ，
得： ，则一次函数 与直线 都经过点的坐标为 ，
将 代入 ，
得： ，
解得： ，
则 ，
故选：C．
26．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知函数 ，当 时， 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的增减性，求一次函数的函数值，正确理解一次函数的增减性，理解x与y的
变化关系是解此题的关键．分别求出 和 时的函数值，根据函数的增减性得到y的取值范围．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
∵一次函数 ，y随x的增大而减小，
∴当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ．
27．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）已知一次函数 的图象如图所示，
(1)求出这个函数关系式．(2)图象上有一点 ，求 的值．
(3)判断点 是否在此直线上．
【答案】(1)
(2)
(3)点 不在此直线上
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求
解析式是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）将点 代入解析式即可；
（3）把 代入解析式即可．
【详解】（1）解：由题意得，把 代入 ，
，
解得： ，
∴ ；
（2）解：由题意得，将 代入 ，
；
（3）解：由题意得，把 代入 得： ，
∴点 不在此直线上．
【易错必刷十 已知函数经过的象限求参数范围】（共3小题）28．（2025·甘肃·一模）已知一次函数 的图象不经过第二象限，但过点 ，则 的值可
能是（ ）
A． B．0 C．2 D．2025
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，对于一次函数 ，当 时，一次
函数 经过第一、二、三象限，当 时，一次函数 经过第一、三、四象限， 当
时，一次函数 经过第一、二、四象限，当 时，一次函数 经过第
二、三、四象限，根据题意可得一次函数图象经过第一，三，四象限，据此可得答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第二象限，但过点 ，
∴一次函数图象经过第一，三，四象限，
∴ ，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故选：A．
29．（24-25八年级上·安徽六安·期中）直线 恒过一定点，则该定点的坐标为 ，若该
直线不经过第二象限，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质，以及函数图象与系数的关系，对于 与y轴交于
，若函数图象不经过第二象限，则 ， ，根据相关性质求解即可．
【详解】解： ，
当 时， ，
该函数的图象一定过定点 ，
该函数图象不经过第二象限，，
，
故答案为： ； ．
30．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）已知一次函数 ．
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围；
(3)若函数图象与y轴的交点在x轴下方，且经过第二象限，求m的取值范围；
(4)若该函数的值y随自变量x的增大而减小，且该函数图象与y轴的交点在负半轴上，求m的取值范围；
(5)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式组，解一元一次方程，
（1）根据题意得， ，进行计算即可得；
（2）根据题意得， ，进行计算即可得；
（3）根据题意得， ，进行计算即可得；
（4）根据题意得， ，进行计算即可得；
（5）分布情况考虑：①当函数图象经过第一、三、四象限时，得 ，进行计算得不等式组的解集为： ；②当函数图象经过第一、三象限时，得 ，进行计算得 ，即可得；
掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得， ，
解得， ；
（2）解：根据题意得， ，
解得， ；
（3）解：根据题意得， ，
解得， ；
（4）解：根据题意得， ，
解得， ；
（5）解：分布情况考虑：
①当函数图象经过第一、三、四象限时，得
，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为： ；
②当函数图象经过第一、三象限时，得
，解不等式①，得 ，
解等式②，得 ，
解得， ，
综上，m的取值范围为： ．
【易错必刷十一 一次函数图象与坐标轴的交点问题】（共3小题）
31．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图是某一次函数的图像，根据图象填空：
(1)当 ，时， ______；
(2)这个函数的表达式是____________；
(3)写出这个函数的增减性：__________________
【答案】(1)
(2)
(3) 随 的增大而增大
【分析】此题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，关键是正确掌握待定系数
法求一次函数解析式的步骤以及一次函数的图象和性质．
（1）根据一次函数的图象即可得到结论；
（2）设这个函数的表达式是 ，把 ， 代入，解方程组即可得到结论；
（3）根据一次函数的性质即可得．
【详解】（1）解：由图象可得，当 时， ，
故答案为： ；
（2）解：设这个函数的表达式是 ，
把 ， 代入，得： ，
解得： ，
∴这个函数的表达式是 ，
故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
故答案为： 随 的增大而增大．
32．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）已知直线 经过点 ， 两点．
(1)试判断直线 是否经过点 ；
(2)求直线 与两坐标轴围成的三角形面积．
【答案】(1)直线 经过点
(2)2
【分析】此题考查了求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴围成的面积问题，解题关键是熟练掌握一
次函数的图象与性质．
（1）利用待定系数法求出解析式，然后将 代入判断即可；
（2）求出直线 与 x轴的交点坐标为 ，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 经过点 ， 两点
∴
∴
∴将 代入 得， ，∴直线 经过点 ；
（2）解：∵直线
∴当 时，
解得
∴直线 与 x轴的交点坐标为
∵直线 经过点 ，
∴直线 与两坐标轴围成的三角形面积 ．
33．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)将（1）中的函数图象向上平移1个单位，则平移后图象与x轴交点坐标为__________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了成正比例的定义，待定系数法，一次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法和一次函
数图象的平移规律是解题的关键．
（1）根据正比例函数的定义设 ，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后直线表达式，然后令 求解即可．
【详解】（1）解：设 ，
把 ， 代入，得： ，
解得： ，
则y与x的函数关系式是 ，
即 ；
（2）解：由“上加下减”的原则可知，将函数 的图象沿y轴向上平移1个单位长度后所得函数的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得： ，
∴平移后的图象与x轴的交点的坐标为 ．
【易错必刷十二 一次函数图象平移问题】（共3小题）
34．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点
，且与x轴交于点A．
(1)求 的函数表达式；
(2)将 向下平移 个单位长度得到直线 ，若平移后的直线 经过点A关于y轴的对称点，求n的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形变化——轴对称，掌
握相关知识点是解题的关键．
（1）代入点 到 ，利用待定系数法即可求解；
（2）先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设出 的函数表达
式，再代入对称点的坐标即可求出n的值．【详解】（1）解：代入点 ，得 ，
解得： ，
的函数表达式为 ．
（2）解：令 ，则 ，
解得： ，
，
点A关于y轴的对称点为 ，
将 向下平移 个单位长度得到直线 ，
设 的函数表达式为 ，
代入 得， ，
解得： ，
n的值为2．
35．（24-25九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系 中，将函数 的图象向下平移1个单位，
与函数 的图象交于点 ．
(1)求k，n的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，且小于函数
的值，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】根据平移的性质求出平移后的函数解析式，把点 代入平移后的函数解析式求出n的值，再把点 代入 ，求出k的值即可．
（2）根据题意，当 时，分别求出 ， ，的值，再根据题意列不等式组求解即可．
本题考查了一此函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题
的关键．
【详解】（1）函数 的图象向下平移1个单位长度得到 ，
∵函数 的图象向下平移1个单位，与函数 的图象交于点
∴将点 代入 ，解得 ，
将点 代入 ，解得 ，
（2）把 代入 ，求得 ，
把 代入 ，求得 ，
∵当 时， 的值大于函数 的值，且小于函数 的值，
∴当 时， ，
解得 ．
36．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知两直线 ： ， ： ，
若 ，则有
若 ，则有 ，
若 ，则有
若 ，则有 ，
(1)应用：已知 与 平行，则 ______；
(2)应用：已知 与 垂直，则 ______；(3)直线经过 ，且与 平行，求该直线解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据 ，则有 求解即可；
（2）根据 ，则有 求解即可；
（3）根据题意设该直线解析式为 ，然后利用待定系数法求解即可．
本题考查了两直线垂直和平行问题，待定系数法求函数解析式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的
关键．
【详解】（1）∵ 与 平行，
∴ ；
（2）∵ 与 垂直，
∴
∴ ；
（3）∵直线经过 ，且与 平行，
设该直线解析式为
将 代入得，
解得
∴该直线解析式为 ．
【易错必刷十三 一次函数的增减性】（共3小题）37．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的一次函数 ，若y随x的增大而增大，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的性质，解答的关键是熟知一次函数 ，当 时，y随x的增
大而增大，当 时，y随x的增大而减小．据此得到 即可求解．
【详解】解：由题意， ，解得 ，
故选：B．
38．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知正比例函数 ．
(1)若点 和点 为函数图象上的两点，且 ，求a的取值范围；
(2)若函数的图象经过点 ．
①求此函数解析式；
②如果x的取值范围是 ，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数的性质以及正比例函数的图象上点的
坐标特征，解答该题时，充分利用了正比例函数图象上点的坐标特征．
（1）先根据 得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可
（2）①利用正比例函数图象上点的坐标特征，将点 代入该函数解析式，求得a值即可，②把
分别代入解析式求得函数值，即可求得y的取值范围
【详解】（1）解：由题意知正比例函数 得图象上两点点 和点 ，且，
y随x的增大而减小，
，
；
（2）① 正比例函数 的图象经过点 ，
，
解得 ，
则此函数关系式为 ；
②由①得 ，
画出函数图像：
当 时， ；当 时， ，
y的取值范围为 ．
39．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数 恒过定点 ．
(1)若一次函数 还经过 点，求 的表达式；
(2)若有另一个一次函数 ，
①点 和点 分别在一次函数 和 的图象上，求证： ；
②设函数 ，当 时，函数 有最大值6，求 的值．
【答案】(1)(2)①见解析；②1或
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）①把点 代入 可得 ，从而得到 ，即可求解；②先求出
，然后分两种情况，结合一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把点 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴ 的表达式为 ；
（2）解：①把点 代入 得：
，即 ，
∵点 和点 分别在一次函数 和 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②根据题意得： ，
∵当 时，函数 有最大值6，
若 ， 随 的增大而增大，
此时当 时，函数 有最大值6，
即 ，解得： ；
若 ，y随x的增大而减小，此时当 时，函数 有最大值6，
即 ，解得： ；
综上所述，a的值为1或 ．
【易错必刷十四 比较一次函数值的大小】（共3小题）
40．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数 图象上两点 ， ， 与 的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，得到y随x的增大而增大，比较自变量的大小即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的 ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
41．（24-25八年级上·浙江·期末）已知点 ， ， ，都在一次函数
（k，b为常数）的图象上，则 ， ， 的大小关系是 ．（用“ ”连接）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，解答关键是利用数形结合思想解答问题．先根据 ，得
到一次函数y随x的增大而增大，即可判断．
【详解】解：∵ ，
∴一次函数y随x的增大而增大，
∵点 ， ， ，都在一次函数 （k，b为常数）的图象上，且
，∴ ．
故答案为： ．
42．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）已知一次函数 的图象经过点 ．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)已知点 ， 在一次函数 的图象上，且 ，直接写出 ， 的大小关系
_____________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）根据一次函数的增减性，即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得：
，
解得 ，
∴该一次函数的解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ．
【易错必刷十五 一次函数的规律探究问题】（共3小题）43．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，已知直线 ： ，直线 ： ，点 的坐标为 ，
过点 作x轴的平行线交直线 于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，过点 作x轴的平行线
交直线 于点 ，按此法一直依次进行下去，点 的坐标为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的求出规律是解题的关键．
轴， ，求得 的纵坐标 的纵坐标 ，得到 ，即 的横坐标为 ，同理，
的横坐标为 ，得到 ，同理， ； ，即 ； ，求得
，于是得到结论．
【详解】解： 轴， ，
的纵坐标 的纵坐标 ，
在直线 上，
，
，，即 的横坐标为 ，
的横坐标为 ，
在直线 上，
，
，
同理， ；
，即 ；
；
，
，
，
的横坐标为 ， 和 的纵坐标为 ，
在直线 上，
故选：B．
44．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在直角坐标系中，直线 为 ，过点 作
轴，与直线 交于点 ，以原点 为圆心， 长为半径画弧交 轴于点 ，再作 轴，交直线 于
点 ，以原点 为圆心， 长为半径画弧交 轴于点 …按照这样的作法进行下去，则点 的坐标是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的解析式得到 ，再根据勾股定理可知 进而即可解答．本题考查了
一次函数的性质，直角三角形的勾股定理，点在直线上的坐标关系，根据题意计算线段长度，找出点坐标
的规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线 为 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： ，
依次类推可得： ，
观察点 ，可发现规律： ，
∴ ，即 ，
故选 ．
45．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，正方形 ，正方形 ，正方形 的顶点
A， ， 和O，C， ， 分别在一次函数 的图象和x轴上，则 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平面直角坐标与图形的规律计算，掌握一次函数与几何图形的综合运用，找出规律
是解题的关键．
根据题意得到 ， ，同理， ， ，则点
的横坐标的规律是： ，纵坐标的规律是： ，由此即可求解．
【详解】解：一次函数 ，令 ，则 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ 是正方形，
∴ ，∴ ，
同理， ， ，
∴点 的横坐标的规律是： ，纵坐标的规律是： ，
∴ ，
故答案为： ．
【易错必刷十六 一次函数与二元一次方程】（共3小题）
46．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，直线 与直线 相交于点 ，
则方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解
题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题．
【详解】解∶将 代入 得， ．
解得 ．
点P的坐标为 ．方程组 的解可看成函数 与函数 图象的交点坐标，
此方程组的解为
47．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知函数 和 图象交于点A，点A的横
坐标为 ，则关于x，y的方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数交点的横纵坐标是二者函数
解析式联立得到的方程组的解，据此求出A的坐标即可打得到答案．
【详解】解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∵函数 和 图象交于点A，
∴关于x，y的方程组 的解是 ，
故答案为： ．
48．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数 与 的图象的交点坐标为．
(1)关于x，y的方程组 的解为_________；
(2)求a，b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
（1）根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可；
（2）将 代入方程组，求解即可；
【详解】（1）∵一次函数 与 的图象的交点坐标为 ，
∴方程组 的解是 ；
（2）将 代入方程组，得 ，
解得 ．
【易错必刷十七 求直线围成的图形面积】（共3小题）
49．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)求点A和点B的坐标；(2)求 的面积；
(3)若点P在y轴上，且满足 的面积为 面积的2倍，求点P坐标．
【答案】(1) ，
(2)6
(3) 或
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、面积的计算等．
（1）对于 ，令 ，即 ，解得 ，令 ，则 ，即可求解；
（2）由点A、B的坐标得 ， ，再根据 求解即可；
（3）设点P的坐标为 ，则 ，根据 的面积为 面积的2倍，列方程得 ，
解方程即可求解．
【详解】（1）解：令 ，即 ，
解得 ，
令 ，则 ，
故点A、B的坐标分别为 、 ；
（2）解：∵点A、B的坐标分别为 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
即 的面积为6；
（3）解：设点P的坐标为 ，则 ，
∵ 的面积为 面积的2倍，
∴ ，即 ，
解得 ，
点P的坐标为 或 ．50．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C
与点A关于y轴对称．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)设点M是x轴上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线 于点P，交直线 于点Q．若 的
面积为2，求满足题意的所有点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，三角形面积计算，求一次函数解析式，解题的关键是熟练
掌握待定系数法．
（1）先求出点B、C的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）设 ，分两种情况：当点M在x轴的负半轴时，当点M在x轴的正半轴时，分别列出关于m
的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
解得： ，
所以 ，
因为点C与点A关于y轴对称，
所以 ，
设直线 的表达式为 ，则：，
解得 ，
所以直线 的解析式为： ．
（2）解：设 ，
因为 轴，所以 ，
①当点M在x轴的负半轴时， ，
所以 ，
解得： ；
②当点M在x轴的正半轴时，
，
所以 ，
解得 ，
所以 或 ．
51．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知一次函数 的图象与y轴交于点 ，且过点
．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点P为该一次函数上的一点，且点C为该函数图象与x轴的交点，若 ，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 或【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，进而求得点P的坐标．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：令 ，
则 ，
∴ ，
∴一次函数图象与x轴的交点C的坐标是 ，
∴ ，
设点P的坐标是 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
∴点P的坐标为 或 ．
【易错必十八 由直线与坐标轴的交点不等式的解集】（共3小题）
52．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）一次函数 的图象经过点 、 ，与 轴相交于点 ，且和一次函数 的图象交于点 ，如图所示．
(1)填空：不等式 的解集是________．
(2)若点 的横坐标是1，请完成下面的问题：
①填空：不等式 的解集是________．
②求 的值．
【答案】(1)
(2)① ②
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．
（1）结合函数图象找到一次函数 的图象在x轴上方时，自变量的取值范围即可得到答案；
（2）①由函数图象可知，找到一次函数 的图象在一次函数 的图象下方时，自变量的
取值范围即可得到答案；
②利用待定系数法求出直线 的解析式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，当一次函数 的图象在x轴上方时，自变量的取值范围为
，
∴不等式 的解集是 ，
故答案为： ；
（2）解：①由函数图象可知，当一次函数 的图象在一次函数 的图象下方时，自变量
的取值范围为 ，
∴不等式 的解集是 ，
故答案为： ；②∵一次函数 的图象经过点 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数 的解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
53．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系 中，函数 与 的图象交于点
．
(1)求k，b的值；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数
的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本
题的关键．
（1）将 代入 先求出k，再将 和k的值代入 即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当 时，对于 的每一个值，直线 的图象
在直线 和 的上方，画出临界状态图象分析即可．【详解】（1）解：由题意，将 代入 得： ，
解得： ，
将 ， ，代入函数 中，
得： ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴两个一次函数的解析式分别为 ，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数
的值，
即当 时，对于 的每一个值，直线 的图象在直线 和直线 的上方，则
画出图象为：
由图象得：当直线 与直线 平行时符合题意，
或者，当 与x轴的夹角大于直线 与x轴的夹角也符合题意，
∴当 时，对于 的每一个值，直线 的图象在直线 和直线 的上方时，，
∴m的取值范围为 ．
【易错必刷十九 根据两条直线的交点求不等式的解集】（共3小题）
54．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数 （
是常数， ）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
(1)当 ， 时，即 ．当 时， ；当 时， __________．
(2)当 ， ， 时，即 ．
①该函数自变量 和函数值 的若干组对应值如下表：
… 0 1 4 …
… 3 2 …
其中 __________．
②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数 ，结合图像写出该函数的一条性质__________．
③已知函数 的图像是一条经过点 的直线，则关于 的不等式
的解集是__________．
【答案】(1)(2)
①
②作图见详解，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最
大值是
③ 或
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，根据图象交点求不等式的解，掌握一次函数图象的性质是解
题的关键．
（1）根据绝对值的性质即可求解；
（2）①把 代入计算即可；
②运用描点、连线即可作图；
③在函数 中，当 或 时， ，当 时， ，在函数
中，函数 的图像是一条经过点 ，当 时， ，当 时，
，由题意可得 与 异号，由此即可求解．
【详解】（1）解：当 时， ，
故答案为： ；
（2）解：①当 ， ， 时，即 ，
∴当 时， ，
故答案为： ；
②作图如下：∴当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值是 ；
③根据图示可得，在函数 中，当 或 时， ，当 时， ，
在函数 中，函数 的图像是一条经过点 ，
∴当 时， ，当 时， ，
∵不等式 ，
∴ 与 异号，
∴不等式的解集为 或 ．
55．（24-25八年级下·陕西西安·期中）在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象．
小勇在研究某一次函数 的图象时，列出如下表格：
… 0 1 …
… 1 3 …
请根据表格中的数据解答下列问题：(1)关于x的不等式 的解集是_______；
(2)已知一次函数 与 的图象交于点 ．当 时，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，求不等式的解集，掌握一次函数图象的性质，待定系数法求
解析式，求不等式的解集的方法是关键．
（1）根据表格信息得到 随 的增大而增大，由此即可求解；
（2）把 代入 得 ，根据题意列式得 ，由此即可求解．
【详解】（1）解：由表格信息得到，当 逐渐增大时， 也随之增大，且一次函数 中 ，
∴一次函数 经过第一、二、三象限， 时， ，
∴当 时， ，
故答案为： ；
（2）解：把 代入 得， ，
∴ ，
当 时，即 ，
解得 ，
∴当 时， ，
∴当 时，x的取值范围为 ．
56．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数 的图象与 轴分别交于 两点，与
正比例函数 交于点 ．(1)关于 的方程 的解是________；
(2)关于 的二元一次方程组 的解为_______，关于 的不等式 的解集为_______；
(3)关于 的不等式 的解集为_______，不等式 的解集为_______．
【答案】(1)
(2) ；
(3) ；
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合
思想解决问题是解题的关键．
（1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可；
（2）根据两条直线的交点坐标求出方程组 的解即可；根据图象求出不等式 的解集即
可；
（3）根据一次函数 与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解： 一次函数 的图象与x轴交于点 ，
方程 的解是 ；
（2）解： 两直线的交点坐标为 ，
关于x，y的方程组 的解是 ；
根据函数图象可知：当 时，一次函数的图象 的图象在一次函数 的上面，
∴于 的不等式 的解集为 ；（3）解：根据函数图象可知：当 时，一次函数的图象在x轴的上面，
∴关于 的不等式 的解集为 ；
根据函数图象可知：当 时，一次函数 的函数值小于4，
∴不等式 的解集为 ．
57．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线
交于点 ，直线 交 轴于点 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)直接写出当 时， 的取值范围；
(3)若点 在 轴上，当 的面积为9时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线的交点问题，一次函数与不等式的解集，三角形的面积，熟
练掌握待定系数法，数形结合思想是解题的关键．
（1）把 代入 确定点 ，把A，D坐标分别代入 计算即可．
（2）根据 ，利用数形结合思想计算即可．
（3）设 ，结合点 ， ，计算即可．
【详解】（1）解：∵直线 与直线 交于点 ，直线 交 轴于点．
∴ ， ，
∴ ,
∴ ，
解得 ，
故直线 的解析式为 ．
（2）解：根据函数图象可知，当 时，直线 的图象在直线 的上面，
∴当 时， ．
（3）解：设 ，
把 代入 的解析式得： ，
解得： ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
故点 或 ．
【易错必刷二十 一次函数的最值问题】（共3小题）1．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点 的坐标分别为 和 ，点
是 轴上一个动点，当 的周长最小时点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最短路径问题、一次函数的应用、关于坐标轴对称的点的坐标特征等知识，解题
关键是运用数形结合的思想分析问题．作点 关于 轴的对称点 ，作直线 ，交 轴于点 ，此时
的周长最小，设直线 的解析式为y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法解得直线 的解析式，然
后确定点 的坐标即可．
【详解】解：如下图，作点 关于 轴的对称点 ，作直线 ，交 轴于点 ，此时 的周长最小，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将点 ， 代入，可得 ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，可有， ，
解得 ，
∴ ．
故选：B．
2．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D
分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合点C、D分别为线段AB、OB的
中点，可得出点C，D的坐标，取点D关于x轴对称的点E，连接CE交x轴于点P，此时PC+PD取最小值，
由点D的坐标可得出点E的坐标，由点C，E的坐标，利用待定系数法可求出直线CE的解析式，再利用
一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标．
【详解】解：当x=0时，
∴点B的坐标为 ；
当y=0时， ，
解得： ，∴点A的坐标为 ．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．
取点D关于x轴对称的点E，连接CE交x轴于点P，此时PC+PD取最小值，
如图所示．
∵点D的坐标为 ，
∴点E的坐标为 ．
设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），
将C（-2，1），E（0，-1）代入y=kx+b，
得： ，
解得： ，
∴直线CE的解析式为 ．
当y=0时， ，
解得： ，
∴点P的坐标为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称-最短路线问
题，利用两点之间线段最短，找出点P的位置是解题的关键．
3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中 点的坐标是， 点的坐标是 ， 点的坐标是(−2,3)．
(1)作 关于 轴对称的图形， 、 、 的对应点分别为 、 、 ；
(2)在 轴上存在一点 ，使 的值最小，请在图中画出点 ，并求出点 的坐标．
【答案】(1) 即为所求
(2)
【分析】本题考查轴对称的知识，解题的关键是掌握点关于 轴对称的点的性质，轴对称最短路径，即可．
（1）点关于 轴对称的点的性质：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可；
（2）根据轴对称最短路径确定点 的位置，设直线 的解析式为：y=kx+b(k≠0)，把点 ，点 的坐
标代入解析式中，求出 ， ；再根据点 在直线 上，即可．
【详解】（1）∵ 点的坐标是 ， 点的坐标是 ， 点的坐标是(−2,3)，
∴ 关于 轴对称的图形 中， ， ， ，
∴连接点 、 、 ，
∴ 即为所求．
（2）∵点 关于 轴对称的点为 ，连接 交 轴于点 ，
∴ 有最小值，
∵ ， ，
∴直线 的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵点 在 轴上，
∴ ，
∴点 ．
【易错必刷二十一 一次函数的应用之分配方案问题】（共3小题）
1．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号
电脑每台报价均为 元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
商 场 优惠条件
甲商
第一台按原价收费，其余每台优惠
场
乙商
每台优
场
(1)分别写出甲、乙两商场的收费 元与所买电脑台数 之间的关系式；
(2)什么情况下到甲商场购买更优惠？
【答案】(1) ，
(2)当购买电脑大于 台时，在甲商场购买比较优惠．
【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是理解题意，根据题意，利用函数的思想解决问题，即可．（1）根据题意，列出相应的函数关系式，即可；
（2）根据（1）中的函数关系式，列出相应的不等式，即可．
【详解】（1）甲商场的收费 元与所买电脑台数 之间的关系式是：
；
乙商场的收费 元与所买电脑台数 之间的关系式是： ．
（2）当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
答：当购买电脑大于 台时，在甲商场购买比较优惠．
2．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车
共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、
乙两地的运费如表：
运往地车
甲地（元/辆） 乙地（元/辆）
型
大货车 720 800
小货车 500 650
(1)求这两种货车各用多少辆？
(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运
费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并
求出最少总运费．
【答案】(1)大货车用8辆，小货车用10辆
(2) （ 且为整数）
(3)8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式和一元一次方程的应用和最佳方案问题，综
合性较强，列出函数关系式与不等式是解决问题的关键，应注意最佳方案的选择．（1）设大货车用x辆，则小货车用 辆，根据运输228吨物资，列方程求解．
（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为 辆，前往甲地的小货车为 辆，前往
乙地的小货车为 辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式即可；
（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用 辆，根据题意得
，
解得 ，
∴ ．
答：大货车用8辆，小货车用10辆．
（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为 辆，前往甲地的小货车为 辆，前往
乙地的小货车为 辆，
，
∴ （ 且为整数）．
（3）∵运往甲地的大货车不多于6辆
∴
∵ ， ，
∴w随a的增大而增大，
∵
∴当 时，w最小，最小值为 ．
答：使总运费最少的调配方案是：8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为
11550元．
3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，
并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件
甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价；(2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用
最少？并求出最少费用．
【答案】(1)甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件
(2)当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出
二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出 关于 的一次函数关系式．
（1）设甲种奖品的单价为 元/件，乙种奖品的单价为 元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品
共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于 的二元一次方程组，解之即
可得出结论；
（2）设购买甲种奖品 件，则购买乙种奖品 件，设购买两种奖品的总费用为 ，由甲种奖品不少
于20件，可得出关于 的取值范围，再由总价 单价 数量，可得出 关于 的函数关系式，利用一次函
数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为 元/件，乙种奖品的单价为 元/件，
依题意，得： ，
解得： ，
答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．
（2）解：设购买甲种奖品 件，则购买乙种奖品 件，设购买两种奖品的总费用为 元，
甲种奖品不少于20件，
．
依题意，得： ，
，
随 值的增大而增大，
当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．
【易错必刷二十二 一次函数的应用之最大利润问题】（共3小题）
1．（23-24七年级下·全国·期末）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔 支，乙种钢笔50支，需要1000元． 若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔 支，需要 元．
(1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？
(2)若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少
于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？
(3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进
货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进甲种笔需5元/支，乙种笔需10元/支
(2)文具店共有3种进货方案
(3)当购甲种笔 支，乙种笔 支时，利润最大为 元
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意
是解题关键．
（1）设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支，依题意得： ，据此即可求解；
（2）设购进甲种笔a支，则购进乙种笔 支，依题意得：
，据此即可求解；
（3）根据获利 即可求解；
【详解】（1）解：设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支，
依题意，得： ，
解得 .
答：购进甲种笔需5元/支，乙种笔需10元/支.
（2）解：设购进甲种笔a支，则购进乙种笔 支，
依题意得： ，
解得： .
∵ 为整数，∴a可被2整除，
∴
∴文具店共有3种进货方案.
（3）解：获利 ，
∵ 随着 的增大而增大，
∴当 时，W取得最大值为 元.
此时
∴当购甲种笔 支，乙种笔 支时，利润最大为 元
2．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）奥运会期间，某网店直接从工厂购进 、 两款纪念币，进货
价和销售价如表：
（注：利润=销售价−进货价）
款纪念
类别价格 款纪念币
币
进货价（元/枚）
销售价（元/枚）
(1)网店第一次用 元购进 、 两款纪念币共 枚，求两款纪念币分别购进的件数；
(2)第一次购进的 、 两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共 枚（进货价和销售价都
不变），且进货总价不高于 元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
【答案】(1)购进 款纪念币 枚，购进 款纪念币 枚
(2)再次购进 款纪念币 枚，购进 款纪念币 枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为 元
【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设分别购进 款纪念币、 款纪念币 枚，由题意得： ，据此即可求解；
（2）设再次购进 款纪念币 枚，则购进 款纪念币 枚，利润为 ，
；结合 即可求解；
【详解】（1）解：设分别购进 款纪念币、 款纪念币 枚，
由题意得：解得：
∴购进 款纪念币 枚，购进 款纪念币 枚
（2）解：设再次购进 款纪念币 枚，则购进 款纪念币 枚，利润为 ，
则
∵
解得：
又∵ 随 的增大而减小
∴当 时， 取最大值，且
此时：
故再次购进 款纪念币 枚，购进 款纪念币 枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为 元
3．（2024·云南文山·模拟预测）某商店购进和销售甲、乙两种商品的信息表如下：
商品种
进价（元/千克） 售价（元/千克）
类
甲种商
20 45
品
销售总价y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示：
乙种商
40
品
(1)求乙种商品的销售总价y（元）与销售量x（千克）的函数解析式；
(2)该商店购进甲、乙两种商品共200千克，并全部销售完．当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍
时，求该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润．
【答案】(1)
(2)5600元
【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数表达式及一次函数的应用，
（1）用待定系数法求一次函数表达式即可；（2）先求出x的取值范围，再列出总利润为w关于销售量x的函数，最后求最值即可．
【详解】（1）解：当 时，设 （k为常数，且 ）．
将 代入得 ，
解得， ，
∴ ．
当 时，设 （a、b为常数， ）．
将 代入得，
，
解得， ，
∴ ．
（2）由题意知，购进x千克乙商品，则购进 千克甲商品．
∴ ，
解得， ．
设甲、乙两种商品全部销售完的总利润为w元．
由题意得， ．
∵ ，
∴w随x的增大而减小．
∴当 时，w取得最大值，为 ．
∴当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润为5600
元．
【易错必刷二十三 一次函数的应用之行程问题】（共3小题）
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）某人从A地出发，前往 外的B地，他离A地的距离 与他行走所用时间 (h)之间的函数关系如图所示，回答问题．
(1)开始行走时，他距离A地 ；
(2) 小时后距离A地 ；
(3)距离A地 时，他行走了 h，他行走的速度是 ；
(4)写出 的取值范围是 ．
【答案】(1)10；
(2) ；
(3) ；10；
(4) ．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获得相关信息；
（1）根据函数图象回答即可．
（2）根据函数图象回答即可．
（3）根据函数图象可得出距离A地 时，他行走了 ，然后用总的路程除以总的时间即可得出答案．
（4）根据函数图象回答即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
开始行走时，他距离A地 ，
∴故答案为：10．
（2）当 时， ，
小时后距离A地 ，
∴故答案为：30．
（3）当 时， ，
距离A地 时，他行走了 ，
∴
他行走的速度是：
故答案为： ；10；
（4）从函数图像可知： 的取值范围是 ．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）近几年，网约车逐步成为人们日常出行的主要方式之一，它大幅度的提高了人们的出行效率，节省了出行时间和金钱成本．图中反映某网约车平台收费 （元）与所行驶的路程
（千米）的函数关系，根据图中的信息解答下面问题：
(1)求直线 的表达式；
(2)小张乘坐网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、
堵车等），小张从家到机场需要多长时间？
【答案】(1)直线 的表达式为 ；
(2)小张从家到机场需要30分钟．
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）把 代入函数关系式求出 的值，然后根据网约车的速度可得答案．
【详解】（1）解：设直线 为 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
直线 的表达式为 ；
（2）解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米，
把 代入 得， ，
解得 ，
（分钟）．
故小张从家到机场需要30分钟．
3．（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）甲车从 地去 地，同时乙车从 地去 地，两车都匀速行驶，
甲车到达 地后停留1小时，然后按原路原速返回 地，乙车经过10小时到达 地，两车距 地的路程
与甲车所用的时间 的关系如下图所示．(1)A、B两地的路程为________ ，甲车返回 地时 的值是________；
(2)求直线 、 的解析式；
(3)甲车到达 地之前，直接写出乙车出发多长时间两车相距 ？
【答案】(1)600；11
(2) 所在直线的解析式为 ， 所在直线的解析式为
(3)乙车出发 或 小时，两车相距
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，理解题意，从函数图像中获取信息是解题的
关键．
（1）根据图像可知，两地的路程，根据速度 路程 时间可得乙车的速度；
（2）根据图像信息，待定系数法求得 , 的直线解析式即可；
（3）分两种情况进行讨论：①甲车与乙车相遇前，②甲车与乙车相遇后；根据函数解析式的函数值之差
为150，即可求得时间．
【详解】（1）解：由图像可知，两地相距 ，
∵甲车从 地去 地，甲车到达 地后停留1小时，
∴甲车从 地去 地的时间为： ，
∵甲车按原路原速返回 地，
∴甲车返回A地所用时间为 ，
∴甲车返回 地时 的值是：
．
（2）解：设 所在直线的解析式为： ，
由题意可知，点 ，
∴
∴ ，
∴ 所在直线的解析式为： ，∵乙车经过10小时到达 地，
∴ ，
设 所在直线的解析式为： ，把点 ， 代入得：
∴ ，
解得 ，
∴ 所在直线的解析式为： ；
（3）①甲车与乙车相遇之前时，
有 ，
解得 ；
②甲车与乙车相遇之后时，
，
解得： ，
答：乙车出发 或 小时，两车相距 ．
【易错必刷二十四 一次函数的应用之几何问题】（共3小题）
1．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于
两点，与正比例函数 交于点 ．(1)求一次函数的表达式；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法，三角形面积，
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出交点C的坐标，再根据面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：将 和 代入 ，得 ，
解方程组得
∴一次函数的解析式为： ；
（2）解：如下图所示，过点C作 轴于点D，
立方程组解，得
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
2．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直线 与x轴、y轴分别交于E、F．点E坐标为
，点A的坐标为 ．
(1)求k的值；
(2)若点 是直线 上的一个点，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形等知识．
（1）把 代入 得到， ，即可求出答案；
（2）根据（1）得到 ，求出 ，利用三角形面积公式并结合点的坐标即可求出答案．
【详解】（1）解：把 代入 得到，
，
解得 ；
（2）由（1）得到 ，把点 代入 得到，
，
∴
∵点A的坐标为 ．
∴
∴ 的面积为 ．
3．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ： 的图象
分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图象 ： 与 交于点 ．
(1)填空： ______， ______
(2)若点M是直线 上的一个动点，连接 ，当 的面积是 面积的2倍时，求出
符合条件的点M的坐标；
(3)若一次函数 的图象为 ，且 ， ， 不能围成三角形，直接写出k的值．
【答案】(1) ，
(2)点M的坐标为 或 ；
(3) 或2或1
【分析】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函
数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）先求出点A的坐标，再求出m的值即可．（2）由（1）得一次函数 ： ，先求出 的面积，进而求出 的面积，最后求出符
合条件的点M的坐标；
（3）根据题意，当 或 时， ， ， 不能围成三角形，一次函数的图象 过点 ，进而即
可求得三种k的值．
【详解】（1）解：将点 代入 得： ，
然后将 代入 得： ，
解得： ．
（2）由（1）得：一次函数 ： ，
点M在直线 ，
∵
把 代入 ，得 ，
C点坐标为 ，
∴ ，
∴
A点坐标 ，
∵
，
∴
把 代入 ，得 ，
B点坐标为 ，
∴
，
∴
，
∴
解得： 边上的高为： ，
当 时， ，当 时，
点M的坐标为 或 ；
∴
（3）当 或 时， ， ， 不能围成三角形，即 或 ，当 过点 时，将点A坐标代入 并解得： ；
故当 的表达式为： 或 或 ．
故 或2或1．
