数学-2023年高考押题预测卷03（北京专用）（参考答案）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_42023年高考数学押题预测卷_数学-2023年高考押题预测卷03（北京专用）

2023年高考押题预测卷03【北京专用】 数学·参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A C C B D B D D 11．2（5分） 12．100（5分） 13． （5分） 14． 2（5分） 15. ①②③（5分） 16．（13分）（1）选条件①：由 及正弦定理得 ， 即 ，（2分） 所以 ， 因为C为锐角，所以 ；（2分） 选条件②：由 及正弦定理得 ， 即 ，∴ .（2分） ∵ ，∴ ，可得 ，∵ ，∴ ；（2分） 选条件③：由 及正弦定理得 ， 即 ，由余弦定理得 ，（2分） ∵ ，∴ .（2分） （2）∵ 是锐角三角形，∴ 解得 ，（2分） 由正弦定理得 ，（2分） ∴ ，（2分） ∵ ，∴ ，∴ ，（1分） ∴ .（2分） 17．（14分）（1）∵ 分别是 的中点，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，（2分） ∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，（2分） ∴ ，又∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，（2分） 又∵ ， 平面 ，∴平面 平面 .（2分）（2） 连接 交 于 ，连接 ， 由平面 平面 ， 且平面 平面 ，平面 平面 ，（2分） ∴ ，同理可得 ，（2分） 所以 ，即 为线段 的中点， 所以 为线段 的中点，即 .（2分） 18．（13分） （1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：（2分） Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 记事件A：第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务（1分） ①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟； ②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟； ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟 所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22；（2分） （2）X所有可能的取值为：0，1，2 X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；（2分） X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或 第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；（2分） X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01； 所以X的分布列为：（2分） X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 期望：EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. （2分） 即 的数学期望为0.51.. 19．（15分）（1）当 时， , ， ∴ （2分） ，又 ∴ 在 处的切线方程 . （2分） （2）（ⅰ）令 ，则 ∴ （2分） 令 ， 则 . 令 ,则 ，（2分） ，∴ 在 上是减函数 又 ， ∴当 时， ，当 时， ， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， ，∴当函数 有且只有一个零点时， .（2分） （ⅱ）当 ， ，若 时， 恒成立，只需 .令 得 或 ，（1分） ， 函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. （2分） 又∵ ， ，即 . ∴ ， .（2分） 20．（15分） 设椭圆的方程为 由题设条件得： （2分） （2分） 解得 ， （2分） 所以 ， （2分） 所以椭圆的方程为 （2分） 历时21小时23分，得飞船巡天飞行的时间是 （秒 ，（1分） 所以总飞行距离为： ，（2分） 平均速度是 （千米 秒）（2分） 所以飞船巡天飞行的平均速度是 ． 21．（15分） （1）若 ，则 ， ， ， ，（2分）故 中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2. 故 .（2分） （2）设 ， 若 ，则 ，因 互质，故 为3的倍数； 若 ，则 即 ，因 互质，（2分） 故 为3的倍数， 依次类推，有 均为3的倍数. （2分） 当 时，我们用数学归纳法证明： 也是3的倍数. 当 时，若 ，则 ，故 为3的倍数； 若 ，则 ，故 为3的倍数， 设当 时， 是3的倍数即 为3的倍数， 若 ，则 ，故 为3的倍数； 若 ，则 ，因 为3的倍数，故 为3的倍数，（2分） 故当 时， 是3的倍数也成立， 由数学归纳法可得 是3的倍数成立， 综上， 的所有元素都是3的倍数. （3）当 ，则 ， ， ， ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为4； 当 ，则 ，故 的元素个数为5；当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为4； 当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为4； 当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为4； 当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为1； 当 时， 的元素个数不超过为5， 综上， 的元素个数的最大值为5. （5分）