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专题12.11 全等三角形的判定（HL）（分层练习）
一、单选题
1．如图， ， ，要使得 ．若以“ ”为依据，需添加的条件是（
）
A． B． C． D．
2．如图， ， ， ，则判定 的依据是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
4．如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD
5．如图，在 中， ， 于点D， ．如果 ，那么 （
）A． B． C． D．
6．如图，在 的两边上，分别取 ，再分别过点 、 作 、 的垂线，交点为 ，
画射线 ．可判定 ，依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．HL
7．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，DB＝DC， ， ，垂足分别为E，
F，DE＝DF．
求证： ．以下是排乱的证明过程：
①∴∠BED＝∠CFD＝90°，
②∴ ．
③∵DE⊥AB，DF⊥AC，
④∵在 和 中， ，
证明步骤正确的顺序是（ ）A．③→②→①→④ B．③→①→④→②
C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
8．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D．两个面积相等的直角三角形全等
9．在 中， ， 是 上的一点，且 ，过 作 交 于 ，如
果 ，则 等于（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
10．如图，正方形 的顶点 在直线 上，将直线 向上平移线段 的长得到直线 ，直线 分
别交 ， 于点 ， ．若求 的周长，则只需知道( )
A． 的长 B． 的长 C． 的长 D．DF的长
11．如图，要使 ，下面给出的四组条件，错误的一组是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
12．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，
当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t有几种情况？（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
13．如图，在 和 中， ， ， ，过A作 ，垂足为F，过A
作 ，垂足为H， 交 的延长线于点G，连接 ．四边形 的面积为12， ，则
的长是( )
A．2 B．2.5 C．3 D．
14．如图，在 和 中， ， ， ，线段BC的延长线交
DE于点F，连接AF．若 ， ， ，则线段EF的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题15．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，请写出一个正确的结论________．
16．结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形
式：
在 和 中， ，
，_______
．
17．如图，已知 ， 是 的两条高线， ， ，则 ___________度．
18．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝
135°，则∠EDF＝______．
19．如图， ， 于点 ， 于点 ， ，若 ，则
=____．20．如图，点D，A，E在直线l上， 于点D， 于点E，且 ．若
，则 ________．
21．如图所示，在 中， ， 于点D，交 于点E．若 ， ，
， ，则 的周长是___．
22．如图，点D、A、E在直线m上 ， ， 于点D， 于点E，且
，若 ， ，则 ___________．
23．如图， 于点E， 于点D， ，则 的长是
________．
24．如图，在 中， ， ， ，有下列结论：① ；②；③连接DE，则 ．其中正确的结论有______．
25．如图， 为 内一点， ，连接 ，过点 作 于点 ，延长 交
于点F， ，若 ，则线段 的长是___________．
26．如图，在 中， ，点 在 边上，过点 作 ，垂足为点 ，如果
，且 ，那么 的度数是________．
27．如图，直线 过正方形 的顶点 ， 于点 ， 于点 ．若 ， ，则
的 长为______________．
28．如图，在 中， 是高， ， ，在 边上取点 ，连接 ， ，
若 ， ，则 的长为 ___________．29．如图，在 和 中， ， ， ，，线段 的延长线
交 于点 ，连接 ．若 ， ， ，，则线段EF的长度为_______．
30．如图，D是 内部一点， 于E， 于F，且 ，点B是射线 上
一点， ， ，在射线 上取一点C，使得 ，则 的长为__________．
三、解答题
31．如图， 中， ， ， 为 延长线上一点，点 在 上，且 ．
(1)求证： ；
(2)判断 和 的位置关系并证明．32．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于E，若AC=8，求
AD+DE的值． △
33．如图，四边形 中， ， ， ， ， 与 相交于
点F．
(1) 求证：
(2) 判断线段 与 的位置关系，并说明理由．34．如图，点A，D，B，E在同一直线上， ．
(1) 求证： ；
(2) ，求 的度数．
35．如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
(1) 求证：△ABH≌△DEG；
(2) 求证：CE＝FB．36．已知如图，AB=AD，AD⊥DE，AB⊥BC，AC=AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB．
(1) 求证：△ABC≌△ADE；
(2) 图中还有哪几对全等三角形，请你一一列举（无需证明）；
(3) 求证：CF=EF．
参考答案
1．A
【分析】根据“ ”判断三角形全等的方法进行解答即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 和 是直角三角形，
∵ 和 有公共直角边 ，
∴以“ ”为依据判断 ，需要使 ，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了用“ ”为依据判断三角形全等，解题的关键是熟练掌握一条直角边和一
条斜边对应相等的两个直角三角形全等．
2．C
【分析】由图可得公共边相等，所以全等的条件是两个直角三角形的斜边直角边相等．
解： ， ，
在 和 中，
，（HL）．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是找到全等的条件．
3．D
【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．
解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
4．B
【分析】由“HL” Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可．
解：如图，连接AE，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
∵AE=AE，AC=AD，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴DE=CE．
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．C
【分析】通过HL判定定理可证Rt∆BDE≅Rt∆BCE，得到ED=EC，即可求解．
解：在 和 中， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，
SSS，HL，全等三角形的对应边相等.
6．D
【分析】由垂线的定义可知 和 都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相
等，因此依据HL判定 ．
解：由题意可知， 和 都是直角三角形，
在 和 中，
，
满足斜边相等和一组直角边相等，
因此 ，
故选D．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是能够依据HL判定两个直角三角形全等．
7．B
【分析】根据垂直定义得出∠BED=∠CFD=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt DEB和Rt DFC中，
△ △
，
∴Rt DEB≌Rt DFC（HL），
即选△项B正确△；选项A、选项C、选项D都错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，
AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
8．D
【分析】此题需用排除法对每一个选项进行分析从而确定最终答案．解：A、利用AAS来判定全等，不符合题意；
B、利用SAS来判定全等，不符合题意；
C、利用HL来判定全等，不符合题意；
D、面积相等不一定能推出两直角三角形全等，没有相关判定方法对应，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查对全等三角形的判定方法，常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、HL等．
9．A
【分析】利用“ ”得到 ，利用全等三角形对应边相等得到 ，最后根据
，等量代换即可确定出 的长．
解：∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键．
10．A
【分析】过 作 于 ，连接 ， ，然后利用已知条件可以证明 )，
)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题．
解：过 作 于 ，连接 ， ，
直线 向上平移线段 的长得到直线 ，
，
而 ， ，
)，
，
同理 )，，
的周长为： ．
求 的周长，则只需知道 的长．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，
掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
11．D
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判定即可．
解：A、∵ ， ，AB=AB，∴ (AAS)，正确，故此选项不符合题
意；
B、∵ ， ，AB=AB，∴ (SSS)，正确，故此选项不符合题意；
C、∵ ， ，AB=AB，∴ (ASA)，正确，故此选项不符合
题意；
D、 ， ，AB=AB，两边以及一边对角对应相等，不能判定 ，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查全靠等三角形的判定，熟练掌握全靠三角形判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS，HL
是解题的关键．
12．D
【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝
EB，分别进行计算，即可得出结果．
解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12﹣6＝6米，
∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12+6＝18米，
∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB＝12米，
∴BE＝12米，
∴AE＝12+12＝24米，
∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），
综上所述t的值为：0，3，9，12．共4中情况．
故选D．
【点拨】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．
13．C
【分析】先证明 得到 ，再证明 ，
，得到 ，设 ，则
根据四边形 的面积为12得到 即可得到答案．
解：解；∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵四边形 的面积为12，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
14．B
【分析】证明 ， ，根据全等三角形对应边相等，得到
， ，由 解得 ，继而解得 ，最后由 解答．
解： ， ， ，
， ，
，
故选：B．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题
关键．
15．BC＝BD
【分析】根据HL证明△ACB和△ADB全等解答即可．
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中， ，
∴△ACB≌△ADB（HL），
∴BC＝BD，
故答案为：BC＝BD（答案不唯一）．
【点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明△ACB和△ADB全等解答．
16．
【分析】根据判断两个直角三角形全等的条件“HL”即可填空．
解：AC和DF为直角边．再利用“HL”，可知两个直角三角形的斜边相等即可证明这两个三角形全等．
∴填AB=DE．
故答案为：AB=DE．
【点拨】本题考查直角三角形全等的判定条件“HL”，掌握判定直角三角形全等的判定定理是解答本
题的关键．
17．40
【分析】由 ， 是 的两条高线，得 ，证明 ，
得 ，则 ， ．
解：∵ ， 是 的两条高线，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故答案为：40．
【点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全
等三角形的对应边和对应角并且证明 是解题的关键．
18．45°
【分析】根据HL证明 ，得 ，根据 得 ，则
，即可得．
解：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （HL），
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握并灵活运用这
些知识点．
19． .
【分析】根据“HL”证明 ，可得∠BDE＝∠CFD＝40°，由∠EDF＝90°−∠BDE即可得．
解：∵FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BED＝∠FDC＝90°，
∵BE＝CD，BD＝CF，
∴ （HL），
∴∠BDE＝∠CFD，
∵∠AFD＝140°，
∴∠DFC＝40°，
∴∠BDE＝40°，∴∠EDF＝90°−40°＝50°，
故答案为50°．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，
20．8
【分析】用 证明 得到 ，则 ．
解：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知直角三角形全等的判定条件是解题的关键．
21． / 厘米
【分析】如图，连接 ．证明 ，可得 ，再利用三角形的周长公式可
得答案．
解：如图，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 与 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ 的周长
．
故答案是：6cm．
【点拨】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形的周长公式的应用，熟练的证明
是解本题的关键．
22．8
【分析】根据垂直得到直角三角形，利用 判定证明 ，即可得到答案．
解：∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：8．
【点拨】本题考查直角三角形判定：一条直角边与斜边对应相等三角形全等．
23．5
【分析】先证明 ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵ 于点E， 于点D，
∴ ，
在 与 中， ，
∴ ，∴
∴ ，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明 ．
24．①②③
【分析】①根据 证明 ；②由 ，得到角相等，从而推出 ；③
连接 ，过点D作 ，过点D作 ，根据角平分线的性质，即可判断．
解：∵在 与 中， ， ，
∴ 故①正确；
∴ ，
∵ ，
∴， ，
∴ ，
∴ 故②正确；
如图，连接 ，过点D作 ，过点D作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ 是 的角平分线，
∵ ，
∴ ，∴ 故③正确；
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用
所学知识是关键．
25．
【分析】作 于点 ，证明 ，进而证明 ，得出
，根据已知条件设 ，则 ，根据 建立方程，解方程即可求解．
解：如图所示，作 于点 ，
∴
在 中，
∴
∴ ，
在 中，
，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
设 ，则
∴ ，∵
即
解得： ，
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，与三角形高相关的计算，正确的添加辅助线是解题的
关键．
26． /36度
【分析】根据 证明 ，可得 ， ，根据
求出 ，进而可求出 的度数．
解： ，
∴ ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，证明 是解答本
题的关键．
27．
【分析】利用同角的余角相等，证得 ，根据垂直定义，得 ，结合
已知，证得 ，进而证得 ， ，据此可求出 ，
问题得解．
解：∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
在 和 中
∵
∴
∴ ，
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，正确寻找全等三角形，学会利
用同角的余角相等是解本题的关键．
28．
【分析】过点 作 ，交 的延长线于 ，首先证明 ，再
，得 ， ，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比
解决问题．
解：如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形面积等知识．正确作出辅助线
构造全等三角形是解题的关键．
29．
【分析】证明 ， ，根据全等三角形对应边相等，得到
， ，由 解得 ，继而解得 ，最后由 解答．
解： ， ， ，
， ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
30．6或10/10或6
【分析】分两种情况：①当点C在线段 上，证明 ，可得 ，证
明 ，可得 ，则 ，②当点C在线段 的延长线
上时，同理可得 ．
解： ①如图1，当点C在线段 上时，连接 ，
∵ 于E， 于F，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
又∵在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图2，当点C在线段 的延长线上时，同理可得 ， ，
∴ ．
故答案为：6或10．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握 证明全等三角形是关键，分类讨论
是解答的关键．
31．(1)证明过程见详解；(2) 和 的位置关系是垂直，证明过程见详解
【分析】（1）根据直角三角形的全等的条件：斜边直角边即可求证；
（2）延长 与线段 相交，根据全等，可找出线段与角的关系，由此即可求解．
（1）解：在 ， 中，
∵
∴
（2）解：根据题意，画图如下，
延长 交 于点 ，由（1）可知， ， ，
∴在 中， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，∴ 是直角三角形，即 ，
∵点 、 、 在同一条线段上，
∴ ，
故 和 的位置关系是垂直．
【点拨】本题主要考查直角三角形的全等及线段的关系，理解三角形全等的条件，合理构造线段关系
是解题的关键．
32．AD+DE的值为8．
【分析】连接BD，先根据HL定理得出 BCD≌△BED，故可得出DE=DC，由此可得出结论．
解：连接BD． △
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴△BCD与 BED均是直角三角形．
△
在Rt BCD与Rt BED中， ，
△ △
∴△BCD≌△BED（HL），
∴CD=DE，
∴AD+DE=AD+CD=AC=8．
故AD+DE的值为8．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，熟知根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的
关键．
33．(1)见分析；(2) ，理由见分析
【分析】（1）根据 即可证明 ．
（2）根据 得到 ，结合 得到 ，即可得结
论．
（1）解：在 和 中 ，∴ ．
（2）解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有： 、 、 、 、 等，
熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
34．(1)见分析；(2)
【分析】（1）先说明 ，再根据 即可证明结论；
（2）由（1）可知 ，再利用平角的性质即可解答．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判
断与性质是解题的关键．
35．(1)见分析；(2)见分析．
【分析】（1）由 可证明 ；
（2）证明 ．得出 ，则可得出结论．
解：（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵ ，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）；
（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL），
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∵ ，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴CE＝FB．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解
题的关键．
36．(1)见分析；(2) ADC≌△ABE， DFC≌△BFE；(3)见分析
【分析】（1）利用△“HL”直接证明即△可；
（2）求出∠DAC＝∠BAE，利用SAS可证 ADC≌△ABE，得到CD＝BE，∠ACD＝∠AEB，再求出
∠DCF＝∠BEF，利用AAS可证 DFC≌△BFE；△
（3）根据全等三角形的性质△可直接得出结论．
解：（1）证明：在Rt ABC和Rt ADE中， ，
△ △
∴Rt ABC≌Rt ADE（HL）；
（2）△图中还有△两对全等三角形： ADC≌△ABE， DFC≌△BFE；
证明：∵ ABC≌ ADE， △ △
∴∠BAC＝△∠DAE△，
∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAE，
又∵AD＝AB，AC＝AE，
∴ ADC≌△ABE（SAS）；
△∴CD＝BE，∠ACD＝∠AEB，
∵ ABC≌ ADE，
∴∠△ACB＝△∠AED，
∴∠ACB−∠ACD＝∠AED−∠AEB，
∴∠DCF＝∠BEF，
又∵∠DFC＝∠BFE，
∴△DFC≌△BFE（AAS）；
（3）由（2）可得： DFC≌△BFE，
∴CF＝EF． △
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和对应边相等、对应角
相等的性质是解题的关键．
