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专题12.22 全等三角形几何模型（一线三垂直）
（分层练习）（综合练）
“一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂
直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图
形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。
“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐
标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之
中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。
其基本图形如下：
拓展：当一线三垂直模型中三垂直改成三等角时，同样成立
一、单选题
1．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，
如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则
DE的长为（ ）
A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm
2．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，
CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．如图， ， ， 于点E， 于点D， ， ，则
的长是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
5．如图， 中， BP平分∠ABC， AP⊥BP于P，连接PC，若 的面积为3.5cm2， 的面
积为4.5cm2，则 的面积为( ).
A．0.25cm2 B．0.5 cm2 C．1cm2 D．1.5cm2
6．如图， 中， ，点 在 的边 上， ，以
为直角边在 同侧作等腰直角三角形 ，使 ，连接 ，若 ，
则 与 的数量关系式是（ ）A． B． C． D．
7．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，
从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块
厚度的平方的是（ ）．
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
二、填空题
8．如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE
上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ．
9．如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则
点C离地面的距离是 cm．
10．如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．
11．如图，在四边形 中， ， ，点 是 上一点，连接 、 ，若 ，
，则 的长为 ．
12．如图，在 中， ，过点 作 ，且 ，连接 ，若 ，
则 的长为 ．
13．如图，在 中，以 为腰作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ．连接
为 边上的高线，延长 交 于点N，下列结论：（1） ；（2）
；（3） ；（4） ，其中正确的结论有 (填序号)．14．如图所示， 中， ．直线l经过点A，过点B作 于点E，过点C
作 于点F．若 ，则 ．
15．如图， ，且 ，且 ，请按照图中所标注的数据计算FH的长为
．
三、解答题
16．已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．17．王强同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好
可以放进一个等腰直角三角板（ ），点 在 上，点 和 分别与木墙的顶
端重合．
（1）求证： ；
（2）求两堵木墙之间的距离．
18．如图， ， 于点A，D是线段AB上的点， ， ．
(1) 判断 与 的数量关系为 ，位置关系为 ．
(2) 如图2，若点D在线段 的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论
是否成立，并说明理由．19．如图，已知：在 中， ， ，直线 经过点 ， ， ．
（1）当直线 绕点 旋转到图（1）的位置时，求证： ；
（2）当直线 绕点 旋转到图（2）的位置时，求证： ；
（3）当直线 绕点 旋转到图（3）的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请直接
写出这个等量关系：____________．
20．（1）如图1，已知 中， 90°， ，直线 经过点 直线 ， 直
线 ，垂足分别为点 ．求证： ．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， 三点都在直线 上，并且有
．请写出 三条线段的数量关系，并说明理由．21．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，
AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．
问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．
问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并说明理由．
22．如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A
向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时， ACP与 BPQ是否全等，请说明理由；
（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位△置关系，△并证明；
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．
设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得 ACP与 BPQ全等？若存在，求出相应的x、t
的值；若不存在，请说明理由． △ △23．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点D，E分别在AB，BC上，
且∠CDE＝90°．当BE＝2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？若存在，请找出并加以证明，
若不存在，说明理由．
小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将
解决问题．
请回答：
（1）小明发现的与CD相等的线段是 ．
（2）证明小明发现的结论．
24．过正方形 （四边都相等，四个角都是直角）的顶点 作一条直线 ．
（1）当 不与正方形任何一边相交时，过点 作 于点 ，过点 作 于点 如图
（1），请写出 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线 的位置，使 与 边相交如图（2），其它条件不变， ， ， 的关
系会发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线 的位置，使 与 边相交如图（3），其它条件不变， ， ，
的关系又会发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明．
参考答案
1．C
【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明 ACD和 CBE全
等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和． △ △
解：由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，
在 ACD和 CBE中，
△ △
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，
∵a＝8cm，
∴7a＝56cm，
∴DE＝56cm，故选C．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质
与判定条件．
2．B
【分析】根据题意证明 即可得出结论．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴ ，
∵∠ACE＝90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本
题的关键．
3．A
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得
到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．
解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3
故选：A．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．
4．C
【分析】根据已知条件，观察图形得 ， ，然后证
后求解．
解： ， ， 于 ， 于 ，
，
，
又 ， ，
．
， ，
．
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利
用 ， ，是解题的关键．
5．C
【分析】延长AP，交BC于点D，则可证△ABP≌△DBP，可得AP=DP，△ABP与△DBP的面积相等，则
△PCD与△ACP的面积相等，然后得到△PAC的面积.
解：如图，延长AP，交BC于点D，∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵BP=BP，∠APB=∠DPB=90°，
∴△ABP≌△DBP，
∴AP=DP， ，
∵△PCD与△ACP底边相等，高相同，
∴
∵ ，
∴ ；
故选择：C.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面
积相等．
6．B
【分析】作EF⊥AC，垂足为F，根据全等的条件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m， S +
BDE
△
S + S ，可得出m+n=5．
BDC ADE
△ △
解：解：作EF⊥AC，垂足为F
∴∠EFD=
∴∠BDC+∠DBC=90°
∵三角形 是等腰直角三角形，
∴∠EDB=90°，
∴∠EDF+∠BDC=90°，
∴∠EDF=∠DBC
在△DBC和△EDF中
∴△DBC≌△EDF（AAS）
∴CD=EF=m,
∵AC=3,
∴AD=AC-CD=3-m
∵ S + S + S
BDE BDC ADE
△ △ △
∴
=
化简得：
，
∵n是 的斜边，m是直角边
∴n-m＞0
∴
故答案选：B
【点拨】本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三
角表示出面积．
7．A
【分析】设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，然后证明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．
解：设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，
由题意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
又∵AC=CB，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴CD=BE=2xcm，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三
角形的性质与判定条件．
8．13
【分析】先根据AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，则∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三
角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可证明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，
CD=BE=8，由此求解即可．
解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB
∴∠DAC=∠ECB，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴CE=AD=5，CD=BE=8，
∴DE=CD+CE=13，
故答案为：13．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
9．28
【分析】作CD⊥OB于点D，依据AAS证明 ,GMF，再根据全等三角形的性质即可得到
结论．
解：过点C作CD⊥OB于点D，如图，
∴
∵ 是等腰直角三角形
∴AB=CB，
∴
又
∴
在 和 中，
∴
∴
故答案为：28．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全
等三角形是解答本题的关键．
10．4cm.
【分析】过点E作EF⊥AN于F，先利用AAS证出△ABC≌△FCE，从而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利
用AAS证出△DCM≌△EFM,从而求出CM的长.
解：过点E作EF⊥AN于F，如图所示∵AN⊥AB，△BCE和△ACD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，
∴∠ABC =∠FCE，
在△ABC和△FCE中
∴△ABC≌△FCE
∴AB=FC=8cm，AC=FE
∴CD= FE
在△DCM和△EFM中
∴△DCM≌△EFM
∴CM=FM= FC=4cm.
故答案为：4cm.
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键.
11．10
【分析】先证明 ，再证明 ，即可作答．
解： ，
又 ，
，， ，
，
， ，
， ，
，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性
质是解答本题的关键．
12．3
【分析】过点 作 交 延长线于点 ，先证明 ，则 ，然
后根据 求 即可．
解：过点 作 交 延长线于点 ，
则∠DMC=90°=∠ABC，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
．
故填 ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得 成为解答本题的关键．
13．（1）（3）（4）
【分析】根据 ，利用同角的余角相等即可判断（1）；过E
作 于点H，过F作 ，交 的延长线于点G，利用K字型全等，易证 ，
从而判断（2）；同理可证 ，可得 ，再证 ，即可判断（4）；
最后根据 ，结合全等三角形即可判断（3）．
解：∵ 为 边上的高， ，
∴ ，
∴ ，
故(1)正确；
如图所示，过E作 于点H，过F作 ，交 的延长线于点G，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ 与 不全等，
故（2）错误；同理可证 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故（4）正确；
∵ ，
∴
．
故（3）正确；
综上：正确的有（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质，掌握K字型全
等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．7
【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；
解：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在 AEB和 CFA中
∵∠△AEB=∠C△FA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
∴EF=BE+CF．
∵ ，
∴ ；
故答案为：7．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正
确的证明三角形全等．
15．18
【分析】由 ，可以得到 ，而 ，由
此可以证明 ，进而得出 ，即可得出 ．
解：∵ 且 ， ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴
同理证得 得
故 ，
故答案为：18．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
16．见分析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．
解：证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）
∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）
∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）
∠ACE＝90°（已证）
∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）
∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）
∠B＝90°（已证）
∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）
∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
17．（1）证明见分析；（2）两堵木墙之间的距离为 ．
【分析】（1）根据同角的余角相等可证 ，然后利用AAS即可证出 ；
（2）根据题意即可求出AD和BE的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC和CE，从而求出DE
的长．
解：（1）证明：由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
在 和 中
，
∴ ；（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
答：两堵木墙之间的距离为 ．
【点拨】此题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
18．(1) ， ；(2)成立，见分析
【分析】（1）根据题意可直接证明 ，即可得出结论；
（2）仿照（1）的证明过程推出 ，即可得出结论．
（1）解：由题意， ，
在 与 中，
，
， ，
在 中， ，
，
，
，
综上可知 ， ；
（2）解：成立，理由如下：
，
，
在 和 中，
，，
， ，
，
，即 ，
；
（1）中结论仍然成立．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的
判定定理是解题关键．
19．（1）见分析；（2）见分析；（3）DE=BE-AD
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出
∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
（2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到
AD=CE，CD=BE，即可得到答案．
（3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似．
解：（1）证明：如图1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
（3）DE=BE-AD；
如图3，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
【点拨】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明
△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
20．（1）证明见分析；（2） ，证明见分析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出
DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出
△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
解：（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥ ，CE⊥ ，∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在 ABD和 CAE中，
△ △
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2） ，理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在 ADB和 CEA中，
△ △
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法
有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
21．问题1，AD＝EC，证明见分析；问题2：DE+BE＝AD；问题3：DE＝AD+BE，证明见分析．
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出
∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到
DE、AD、BE之间的等量关系．解：（1）AD＝EC；
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC；
（2）DE+BE＝AD；
由（1）已证△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD
∴CE=CD+DE=BE+DE=AD
即DE+BE＝AD；
（3）DE＝AD+BE．
证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵CD+CE＝DC，
∴DE＝AD+BE．【点拨】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全
等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
22．（1）△ACP与△BPQ全等，理由见分析；（2）PC⊥PQ，证明见分析；（3）存在，当t＝1s，x
＝2cm/s或t＝ s，x＝ cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【分析】（1）利用 定理证明 ；
（2）根据全等三角形的性质判断线段 和线段 的位置关系；
（3）分 ， 两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
解：（1）△ACP与△BPQ全等，
理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，
则BP＝9﹣2＝7，
∴BP＝AC，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
（2）PC⊥PQ，
证明：∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直；
（3）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
∴9﹣2t＝7，
解得，t＝1（s），则x＝2（cm/s）；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则2t＝ ×9，
解得，t＝ （s），则x＝7÷ ＝ （cm/s），
故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝ s，x＝ cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分
类讨论思想的灵活运用是解题的关键．
23．（1）DE；（2）见分析.
【分析】（1）、（2）：如图2，作EF⊥AB，垂足为F．由题意可证得 ACD≌△DFE，由此可得
CD=DE，故小明分析的与CD相等的线段是线段DE. △
解：（1）DE；
故答案为DE；
（2）证明：作EF⊥AB，垂足为F．
则∠BFE＝∠DFE＝90°═∠A═∠CDE．
∵∠ADC+∠CDE＝∠ADE＝∠DFE+∠FED，
∴∠ADC＝∠FED．
∵∠BFE＝90°，∠B＝30°，
∴BE＝2FE．
∵BE＝2AD，∴FE＝AD．
在△FED和△ADC中，
∴△FED≌△ADC（ASA）．
∴DE＝CD
【点拨】本题考查了30°的直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握灵活
运用30°的直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质.
24．(1) ，证明见分析；(2) ；(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等可证 ，再证 ，根据全等三角形的对
应边相等进行代换即可；
（2）根据同角的余角相等可证 ，再证 ，根据全等三角形的对应边相等
进行代换即可；
（3）根据同角的余角相等可证 ，再证 ，根据全等三角形的对应边相等
进行代换即可．
解：（1） ，证明：
四边形 是正方形
，
又 ，
∴
在 和 中
，
（2） ，理由是：四边形 是正方形
，
又 ，
∴
在 和 中
，
∴EF=AF-AE=BE-DF
（3） ，理由是：
四边形 是正方形
，
又 ，
∴
在 和 中
，
EF=AE-AF=DF-BE
【点拨】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等证
明是关键．
