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第18章平行四边形2023中考真题演练（解析版）
考点一 平行四边形的性质和判定
1．（2023•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN．求证：
DM＝BN．
【思路引领】由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，再证BM＝DN，然后由平行四边形的判定即
可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AM＝CN，
∴AB﹣AM＝CD﹣CN，
即BM＝DN，
又∵BM∥DN，
∴四边形MBND是平行四边形，
∴DM＝BN．
【总结提升】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明 BM＝DN是解
题的关键．
2．（2023•杭州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且
BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
【思路引领】（1）由平行四边形的性质得AO＝CO，BO＝DO，再证OE＝OF，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵BE＝EF，
∴S△ABE ＝S△AEF ＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF ＝S△CEF ＝2，EO＝FO，
∴△CFO的面积＝1．
【总结提升】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题
的关键．
3．（2023•株洲）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接
BH，点G、F分别为BH、CH的中点．
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．
1 1
【思路引领】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，DE= BC，GF∥BC，GF= BC，则DE∥GF，
2 2
DE＝GF，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DG＝EF＝2，再由勾股定理求出BG的长即可．
【解答】（1）证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，点G、F分别为BH、CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，1 1
∴DE∥BC，DE= BC，GF∥BC，GF= BC，
2 2
∴DE∥GF，DE＝GF，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝2，
∵DG⊥BH，
∴∠DGB＝90°，
∴BG=❑√BD2−DG2=❑√32−22=❑√5，
即线段BG的长度为❑√5．
【总结提升】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四
边形的判定与性质是解题的关键．
4．（2023•贵州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作
AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知 小红：由题目的已知
条件，若连接BE， 条件，若连接CE，
则可 则可证明CE＝DE．
证明BE⊥CD．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
CB 2
（2）连接AD，若AD=5❑√2， = ，求AC的长．
AC 3
【思路引领】（1）小星：连接BE，根据平行四边的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形，根据平
行四边形的性质得到AE＝BD，推出四边形AEBC是平行四边形，根据矩形性质得到BE⊥CD；小红：
连接BE，CE，根据平行四边形的判定和性质以及矩形 的判定和性质定理即可得到论；
（2）连接AD，设CB＝2k，AC＝3k，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：小星：连接BE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝BC，
∴AE＝BC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴∠EBC＝90°，
∴BE⊥CD；
小红：连接CE，BE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∵BD＝BC，
∴AE＝BC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形AEBC是矩形，∴AB＝CE，
∴DE＝CE；
CB 2
（2）∵ = ，
AC 3
∴设CB＝2k，AC＝3k，
∴CD＝4k，
∵AC2+DC2＝AD2，
∴（3k）2+（4k）2＝（5❑√2）2，
∴k=❑√2，
∴AC＝3❑√2．
【总结提升】本题考查了平行四边形 的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的
性质是解题的关键．
5．（2023•扬州）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE相交于点
M，连接AG、CH相交于点N．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若 AMCN的面积为4，求 ABCD的面积．
▱ ▱
【思路引领】（1）依据四边形AFCH是平行四边形，可得AM∥CN，依据四边形AECG是平行四边形，
可得AN∥CM，进而得出四边形AMCN是平行四边形；
2
（2）连接AC，依据三角形重心的性质，即可得到S△ACN =
3
S△ACH ，再根据CH是△ACD的中线，即可
1 1
得出S△ACN =
3
S△ACD ，进而得到S平行四边形AMCN =
3
S平行四边形ABCD ，依据 AMCN的面积为4，即可得出结
▱
论．
【解答】解：（1）∵点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，
∴AH∥CF，AH＝CF，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AM∥CN，
同理可得，四边形AECG是平行四边形，∴AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）如图所示，连接AC，
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴点N是△ACD的重心，
∴CN＝2HN，
2
∴S△ACN =
3
S△ACH ，
又∵CH是△ACD的中线，
1
∴S△ACN =
3
S△ACD ，
又∵AC是平行四边形AMCN和平行四边形ABCD的对角线，
1
∴S平行四边形AMCN =
3
S平行四边形ABCD ，
又∵ AMCN的面积为4，
∴ A▱BCD的面积为12．
▱
【总结提升】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及三角形重心性质的运用，解决问题的关键是
掌握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质．
考点二 直角三角形斜边的中线
6．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝
90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
【思路引领】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
【解答】解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，
1
∴CD= AB＝3cm，
2
故选：B．
【总结提升】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
7．（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把
线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形
CFDE的周长和面积分别是（ ）
A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
【思路引领】先论证四边形CFDE是平行四边形，再分别求出CF，CD，DF，继而用平行四边形的周
长公式和面积公式求出即可．
【解答】解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，
∴四边形CFDE是平行四边形，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√102−62=8，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，
1
∴CF= AB＝5，
2
∵DF∥CE，点F是AB的中点，AD AF 1
∴ = = ，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，
AC AB 2
∴点D是AC的中点，
1
∴CD= AC＝4，
2
∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，
∴DF是Rt△ABC的中位线，
1
∴DF= BC＝3，
2
∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，
四边形CFDE的面积为DF•CD＝3×4＝12．
故选：C．
【总结提升】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的
一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形 FDE是平行四边形和DF是
Rt△ABC的中位线是解决问题的关键．
8．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝
3 ．
【思路引领】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到 AB＝2CD＝10，根据勾股定理得到 BC
=❑√AB2−AC2=6，根据三角形中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴BC=❑√AB2−AC2=6，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= BC＝3，
2
故答案为：3．
【总结提升】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握直角三角
形的性质是解题的关键．
9．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝ 5
．
【思路引领】由勾股定理可求解AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解．
【解答】解：连接CM，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=❑√AC2+BC2=10，
∵点M是AB的中点，
1
∴CM= AB＝5．
2
故答案为：5．【总结提升】本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解AB的长是解题的关键．
考点三 中位线定理
10．（2023•云南）如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、
N．若MN＝3米，则AB＝（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【思路引领】根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，
∴AB＝2MN＝6（m），
故选：B．
【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
11．（2023•德阳）如图，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，点F是AB边的中
点，则DF＝（ ）
5 5
A． B． C．2 D．1
4 2
【思路引领】先在直角△CAD中利用勾股定理求出DC＝5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边5 1 5
的一半得出AE= ，最后利用三角形的中位线定理求出DF= AE= ．
2 2 4
【解答】解：∵∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，
∴DC=❑√AD2+AC2=❑√32+42=5，
∵DE＝EC，DE+EC＝DC＝5，
5
∴DE＝EC＝AE= ，
2
∵BD＝DE，点F是AB边的中点，
1 5
∴DF= AE= ．
2 4
故选：A．
【总结提升】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线定理，准确识图
并且熟记相关定理与性质是解题的关键．
12．（2023•盐城）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，则DE的长为 5 cm．
【思路引领】由三角形中位线定理可直接求解．
【解答】解：∵D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，
1
∴DE= BC＝5cm，
2
故答案为：5．
【总结提升】本题考查了三角形中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键．
13．（2023•金华）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若
CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 8 cm．
【思路引领】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB＝2CD，
∵CD＝4cm，∴AB＝2CD＝8（cm），
故答案为：8．
【总结提升】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
14．（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点
D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 1. 2 .若点N在边BC上，且CN＝AM，点
F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 3 ≤ S ≤ 4 ．
1 1
【思路引领】依据题意，根据三角形中位线定理可得DE= AM＝1.2；设AM＝x，从而DE= x，由
2 2
1 1
DE∥AM，且DE= AM，又FG∥AM，FG= AM，进而DE∥FG，DE＝FG，从而四边形DEFG是平
2 2
1 1
行四边形，结合题意可得DE边上的高为（4− x），故四边形DEFG面积S＝4x− x2，进而利用二次
2 4
函数的性质可得S的取值范围．
【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点，
∴DE是三角形ABM的中位线．
1
∴DE= AM＝1.2．
2
如图，
设AM＝x，
1 1
∴DE= AM= x．
2 2
1
由题意得，DE∥AM，且DE= AM，
2
1
又FG∥AM，FG= AM，
2∴DE∥FG，DE＝FG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
1
由题意，GF到AC的距离是 x，BC=❑√AB2−AC2=8，
2
1
∴DE边上的高为（4− x）．
2
1 1
∴四边形DEFG面积S＝2x− x2，=− （x﹣4）2+4．
4 4
∵2.4＜x≤6，
∴3≤S≤4．
故答案为：1.2；3≤S≤4．
【总结提升】本题主要考查了三角形的中位线定理，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
15．（2023•湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知
BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
1
【思路引领】根据等腰三角形的性质求出BD= BC，根据勾股定理求出AB＝13，
2
【解答】解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
1
∴BD= BC，
2
∵BC＝10，
∴BD＝5，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∵AD＝12，
∴AB=❑√AD2+BD2=❑√122+52=13，
∵E为AB的中点，D点为BC的中点，1 13
∴DE= AB= ．
2 2
【总结提升】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与
性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
考点四 矩形的性质和判定
16．（2023•苏州）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以
OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，
BC向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，AC•EF的值为（ ）
A．❑√10 B．9❑√10 C．15 D．30
【思路引领】利用点的坐标，分别计算AC和EF，再相乘即可．
【解答】解：连接AC、EF．
∵四边形OABC为矩形，
∴B（9，3）．
又∵OE＝BF＝4，
∴E（4，0），F（5，3）．
∴AC=❑√OC2+OA2=❑√32+92=3❑√10，
EF=❑√(5−4) 2+32=❑√10，
∴AC•EF＝3❑√10×❑√10=30．
故选：D．
【总结提升】本题主要考查矩形的性质及坐标，较为简单，直接计算即可．
17．如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆
弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【思路引领】先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得BF＝EF＝CF＝5，然后在Rt△ABG中利
用勾股定理即可求出AG的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
在Rt△BCE中，点F为斜边CE的中点，
1
∴BF= CE=5，
2
∴BG＝BF＝5，
在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，
由勾股定理得：AG=❑√BG2−AB2=3．
故选：C．
【总结提升】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，圆的概念，勾股定理等，解答此题的关
键是理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；同圆的半径相等．
18．（2023•雅安）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点
D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 3❑√2 ．
【思路引领】连接CP，由勾股定理求出AB的长，再证四边形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由等腰
直角三角形的性质求出CP的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接CP，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB=❑√AC2+BC2=❑√62+62=6❑√2，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PDC＝∠PEC＝90°，
∴四边形CDPE是矩形，
∴DE＝CP，
由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，
此时，AP＝BP，
1
∴CP= AB＝3❑√2，
2
∴DE的最小值为3❑√2，
故答案为：3❑√2．
【总结提升】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
19．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，
M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 2 或 1+❑√2 ．
【思路引领】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图 1，当∠MND＝90°时，
如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图1，当∠MND＝90°时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，
∴MN∥AB，
∵M为对角线BD的中点，
∴AN＝DN，
∵AN＝AB＝1，
∴AD＝2AN＝2；
如图2，当∠NMD＝90°时，
则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM＝DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN＝DN，
∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，
∴BN=❑√2AB=❑√2，
∴AD＝AN+DN＝1+❑√2，
综上所述，AD的长为2或1+❑√2．
故答案为：2或1+❑√2．
【总结提升】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
20．（2023•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交
于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．【思路引领】（1）证明△ADE≌△FCE（AAS），得AE＝FE，所以四边形ACFD是平行四边形，再根
据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
（2）根据矩形的性质和勾股定理求出DF的值，由△ADE≌△FCE，可得四边形ABCE的面积＝平行四
边形ABCD﹣△CEF的面积，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵∠ACF＝90°，
∴四边形ACFD是矩形；
（2）解：∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD＝90°，AC＝DF，
∵CD＝13，CF＝5，
∴DF=❑√CD2−CF2=❑√132−52=12，
∵△ADE≌△FCE，
1 1 1
∵△CEF的面积= △ACF的面积= × ×5×12＝15，
2 2 2
平行四边形ABCD的面积＝BC•AC＝5×12＝60，
∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45．【总结提升】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解
决本题的关键是掌握矩形的性质．
21．（2023•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过
点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．
（1）求证：四边形ECFD是矩形；
（2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．
【思路引领】（1）先证四边形ECFD为平行四边形，即可求解；
（2）由勾股定理可求EF的长，由面积法可求解．
【解答】（1）证明：∵FD∥CA，BC∥DE，
∴四边形ECFD为平行四边形，
又∵∠C＝90°，
∴四边形ECFD为矩形；
（2）解：过点C作CH⊥EF于H，
在Rt△ECF中，CF＝2，CE＝4，
∴EF=❑√CE❑ 2+CF❑ 2=❑√4+16=2❑√5，
1 1
∵S△ECF =
2
×CF•CE =
2
×EF•CH，
CF⋅CE 4❑√5
∴CH= = ，
EF 54
∴点C到EF的距离为 ❑√5．
5
【总结提升】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，面积法等知识，灵活运用这些性质解决问题是
解题的关键．
考点五 菱形的性质和判定
22．（2023•湘潭）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．60° C．70° D．80°
【思路引领】根据菱形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠DCA＝∠1＝20°，
∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°，
故选：C．
【总结提升】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
23．（2023•德阳）如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作
BD，AC的平行线相交于▱点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值
是（ ）
❑√3 3
A．1 B． C． D．3
2 2【思路引领】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过
D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥OD，利用平行四边形的面积求解DM的长，再
利用三角形的中位线定理可求解PG的长，进而可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵DF∥AC，OD∥CF，
∴四边形OCFD为菱形，
∵点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．
过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥MD，
∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6，
1
∴2× AC•DM＝12，
2
1
即2× ×6•DM＝12，
2
解得DM＝2，
∵G为CD的中点，
∴GP为△DMC的中位线，
1
∴GP= DM＝1，
2
故PG的最小值为1．
故选：A．
【总结提升】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，
找准PG有最小值时的P点位置是解题的关键．
24．（2023•临沂）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 2 4 ．
1 1
【思路引领】由菱形的性质得到AC⊥BD，由△DAC的面积= AC•OD，△BAC的面积= AC•OB，得
2 2
1 1
到菱形ABCD的面积= AC•（OD+OB）= AC•BD，即可求出菱形的面积．
2 2【解答】解：如图：菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
1 1
∴△DAC的面积= AC•OD，△BAC的面积= AC•OB，
2 2
1 1 1
∴菱形ABCD的面积＝△DAC的面积+△BAC的面积= AC•（OD+OB）= AC•BD= ×8×6＝24．
2 2 2
故答案为：24．
【总结提升】本题考查菱形的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式，得到菱形ABCD的面积
1
= AC•BD．
2
25．（2023•金昌）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝
6cm，则EF＝ 2❑√3 cm．
【思路引领】连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD 根据菱形的性质得到AD＝AB，∠DAC＝
∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，求得 BD＝AB＝6cm，根据勾股定理得到 AC＝2AO＝2
×❑√AB2−BO2=6❑√3（cm），求得AE＝CF，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：连接BD交AC于O，
则AO＝CO，BO＝OD
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°，
∴BD＝AB＝6cm，
∴AO=❑√AB2−BO2=3❑√3（cm），
∴AC＝2AO＝6❑√3（cm），
∵BE⊥AB，DF⊥CD，
∴∠CDF＝∠ABE＝90°，
∴△CDF≌△ABE（ASA），
∴AE＝CF，
6
∵BE＝DF = =2❑√3
❑√3
∴AE＝CF＝2BE=4❑√3（cm），
∴EF＝AE+CF﹣AC＝2❑√3（cm），
故答案为：2❑√3．
【总结提升】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助
线是解题的关键．
26．（2023•云南）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别
在边BC、AD上，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于4❑√3，求平行线AB与DC间的距离．【思路引领】（1）根据平行四边形对角相等得到∠BAD＝∠BCD，再根据AE、CF分别是∠BAD、
∠BCD的平分线，可得到∠DAE＝∠BCF，再根据平行四边形对边平行得到∠DAE＝∠AEB，于是有
∠BCF＝∠AEB，得出AE∥FC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形 AECF是
平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（2）连接AC，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得AB＝EB，结合已知∠ABC＝60°得到
△ABE是等边三角形，从而求出AB＝AE＝EB＝EC＝4，∠BAE＝60°，再证得∠EAC＝30°，即可得到
∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC的长，从而得出平行线AB与DC间的距离．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
1 1
∴∠BAE=∠DAE= ∠BAD，∠BCF=∠DCF= ∠BCD，
2 2
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BCF＝∠AEB，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，∵△ABE的面积等于4❑√3，
❑√3
∴
AB2=4❑√3，
4
∴AB＝4，
即AB＝AE＝EB＝4，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB是△AEC的一个外角，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AC⊥AB，
由勾股定理得AC=❑√BC2−AB2=❑√(4+4) 2−42=4❑√3，
即平行线AB与DC间的距离是4❑√3．
【总结提升】本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理
解平行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定．
27．（2023•哈尔滨）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，
EF，DE＝BF，BE＝BC．
（1）如图①，求证△AED≌△EFB；
（2）如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
【思路引领】（1）由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC，得到∠ADE＝∠EBF，又BC＝BE，
得到AD＝BE，即可证明△AED≌△EFB（SAS）；
（2）由平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠EBF，
∵BC＝BE，
∴AD＝BE，
在△AED和△EFB中，
{
AD=BE
)
∠ADE=∠FBE ，
DE=BF
∴△AED≌△EFB（SAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵CH∥AE，
∴∠DHC＝∠BEA，
∵AB∥CD，
∴∠CDH＝∠ABE，
∴∠DCH＝∠BAE，
∵△AED≌△EFB（SAS），
∴∠AED＝∠EFB，
∴∠EFC＝∠AEB，
∴与∠BAE相等角是∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH．
【总结提升】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性
质，熟练运用以上知识点是解题的关键．考点六 正方形的性质和判定
28．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝
45°．若∠BAE＝ ，则∠FEC一定等于（ ）
α
A．2 B．90°﹣2 C．45°﹣ D．90°﹣
【思路α引领】根据正方形的性质α可得AD＝AB，∠BADα＝∠ABC＝∠ADC＝α90°，将△ADF绕点A顺时
针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌△FAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠AEG，进
一步根据∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB求解即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B、E三点共线，如图所示：
则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
{
AF=AG
)
∠FAE=∠GAE ，
AE=AE
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AEG，
∵∠BAE＝ ，
∴∠AEB＝α90°﹣ ，
∴∠AEF＝∠AEBα＝90°﹣ ，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣α∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣ ）＝2 ，
故选：A． α α【总结提升】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助
线是解题的关键．
29．（2023•常德）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的
一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（ ）
A．80° B．90° C．105° D．115°
【思路引领】先根据正方形的性质及EF∥BC得∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，进而得
∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，然后证△AEF和△DFE全等得∠CAE＝∠FDE＝15°，从而得∠ADE
＝30°，最后利用三角形的内角和定理可求出∠AED的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，
∵OA＝OD，
∴AE＝DF，
在△AEF和△DFE中，
AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，
∴△AEF≌△DFE（SAS），
∴∠CAF＝∠FDE＝15°，
∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故选：C．
【总结提升】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，解答此
题的关键是依据正方形的性质得出判定△AEF和△DFE全等的条件．
30．（2023•绍兴）如图，在正方形 ABCD 中，G 是对角线 BD 上的一点（与点 B，D 不重合），
GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．
（1）求证：∠DAG＝∠EGH；
（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
【思路引领】（1）直接由平行公理的推理即可解答．
（2）先连接CG，然后根据正方形的性质得出△ADG≌△CDG，从而得到∠DAG＝∠DCG．再证明
∠EGH＝∠DCG＝∠OEC即可．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，
∴∠ADE＝∠GEC＝90°，
∴AD∥GE，
∴∠DAG＝∠EGH．
（2）解：AH⊥EF，理由如下．
连结GC交EF于点O，如图：
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°，又∵DG＝DG，AD＝CD，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG．
在正方形ABCD中，∠ECF＝90°，
又∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠DAG＝∠OEC，
由（1）得∠DAG＝∠EGH，
∴∠EGH＝∠OEC，
∴∠EGH+∠GEH＝∠OEC+∠GEH＝∠GEC＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴AH⊥EF．
【总结提升】本题考查正方形的性质与全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．
