文档内容
九江市 2023 年第一次高考模拟统一考试
数 学 试 题（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，
答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合 ， ，则 (A)
A. B. C. D.
解： ， ，故选A.
2.复数 满足 ，则 的虚部为（A）
A. B. C. D.
解: ，虚部为 ，故选A.
3.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为(D)
A. B. C. D.
解：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.易知目标函数 的
最大值在 处取得， .故选D.
4.巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·
欧拉在1735年解决.欧拉通过推导得出： .某同学
为了验证欧拉的结论，设计了如右算法计算 的值来估算，
则判断框填入的是(D)
A. B.C. D.
解：由程序框图可知，最后一次进入判断框时， ，执行最后一次循环
体， ， ，输出sum，故选D.
5.设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（B）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解：若 ， ，则 为递减数列.若 为递增数列，则 ， ，
.所以“ ”是“ 为递增数列”的必要不充分条件.故选B.
6.已知 是边长为 的等边三角形，且其顶点都在球 的球面上.若球 的表面积为 ，则 到平
面 的距离为（B）
A. B. C. D.
解: ， 球 的半径 ，设 的外心为 ，从而 ，所求距离
，故选B.
7.已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数，且 ， ，则
(A)
A. B. C. D.
解：由 ，令 得 .令 ，得 ， ， .
因为 为偶函数， ，即 ， 曲线 关于直线 对称.
又 ， 图像关于点 中心对称， 的周期 .
， ， .故选A.
8.已知双曲线 ( )，过点 作 的一条渐近线 的垂线，垂足为 ，过点
作 轴的垂线交 于点 ，若 与 的面积相等( 为坐标原点)，则 的离心率为（C）A. B. C. D.
解: 与 的面积相等， 为 的中点，故 为等腰直角三角形，
, ， ，即 ， ， ，故选C.
9.在正方体 中，点 为棱 上的动点，则 与平面 所成角的取值范围
为（C）
A. B. C. D.
解：设 ，连接 ， 平面 ， 即为 与平面 所成
角 .设 ， ， ， ， ，故选
C.
10.已知 为单位向量，则向量 与 夹角的最大值为(A)
A. B. C. D.
解：设 ，则 ，
令 ， ， ，
当且仅当 时取等号，向量 与 夹角的最大值为 .故选A.
11.为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为
主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组
成绩的方差分别为 .记该班成绩的方差为 ，则下列判断正确的是（D）
A. B. C. D.
解:记男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为 ，则
， ，, ， ，
，故选D.
12.若对 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是(C)
A. B. C. D.
解：由已知得： ， ，
.
令 ，则 ，求导得 ， 在 上单调递增，在
上单调递减，且当 时 ；当 时， .
, ， ， 由 及 的 图 象 可 知 ，
恒成立，即 成立，而 ， ，故选C.
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 7 .
解：依题意得 ，解得 ， .
14.2022年11月8日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育场开幕，这是九江市举办的
规模最大、规格最高的综合性体育赛事.赛事期间，有3000多名志愿者参加了活动.现将4名志愿者分配
到跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，
则“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率为 .
解：
.
15.已知函数 ( )的最小正周期为 ， 的图像关于点 对称，.若 在 上存在最大值2，则实数 的最小值是 .
解： ， ， ，即 ，又 ，
， ， 时， ，画图可知：
，解得 ，即 .
16.已知点 分别是抛物线 和圆 上的动点，点 到直线
的距离为 ，则 的最小值为 .
解：圆 的标准方程为 ， ，抛物线 的焦点为 ，准线方程为
， ， ，即
的最小值为 .
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
中，内角 所对的边分别是 ，已知 ， .
(1)求角 的值；
(2)求 边上高的最大值.
解:(1)由 ，得 ………1分
由正弦定理 ，得 ………3分
又 ， ………4分
即 ………5分
， ………6分
(2)解法一：设 边上高为 ，由余弦定理 ,得 ………7分
即 ………8分
， ，即 ，当且仅当 时，等号成立………10分
………11分
又 ， ， 边上高的最大值为 ………12分
解法二：设 边上高为 ，
由正弦定理得， ， ………7分
………8分
因为 ， ，
………10分
， ， ， ………11分
又 ， ， 边上高的最大值为 ………12分
18.(本小题满分12分)
ABCD AD//BC
如图，直角梯形 中， ， ， ， ，将 沿
BD 翻折至 的位置，使得 ，F为 BC 的中点.(1)求证：平面 平面 ；
√3
(2)H 为线段 上一点，若二面角 C−DF−H 的余弦值为 3 ，求线段 的长.
A D
H
D
B C B C
F
解:(1) ， ， ， 平面 ，
平面 ………1分
又 平面 ， ………2分
ABCD AD//BC
由直角梯形 ， ， ， ， ，得 ………3
分
又 ， 平面 ， 平面 ………4分
又 平面 ， 平面 平面 ………5分
(2)取 BD 的中点E，连接 ， ，
， ，又平面 平面 ， 平面 ,
为 BD 的中点，F为 BC 的中点， ，又 ， z
………6分
故以 所在的直线分别为 轴，建立如图空间直角坐标
H
D
系，则 ， ， ， ， ， E
B C
F
设 ，则 ………7分 x
y
设平面 的一个法向量为 ，
， ，
， ， 令 ， 得 ， ， 即
………9分平面 的一个法向量为 ………10分
，解得 或 (舍)………11分
即 为 的中点，故线段 的长为 ………12分
19.(本小题满分12分)
飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数.为增加游戏乐趣，
往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，
玩家顺利通关.已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所示：
前进 后退
乙 甲 终点
1步 3步
(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；
(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束.设甲、乙两玩家
再投掷骰子的次数为 ，分别求出 的分布列和数学期望.
解:(1)甲第1次抛掷未到达终点，其点数应小于4………1分
若第1次掷出的点数为1，根据游戏规则，棋子前进1步后可再前进1步，到达距离终点差2步的格子，
第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为 ………2分
若第1次掷出的点数为2，棋子到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，
其概率为 …………3分
若第1次掷出的点数为3，根据游戏规则，棋子到达距离终点差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，
第2次掷出的点数大于3，可顺利通关，其概率为 ………4分
故甲抛掷2次骰子顺利通关的概率为 ………5分
(2)依题意得 ， ， ……7分
， ， ………10
分
1 2 3 1 2 3
， ………12分20.(本小题满分12分)
如图，已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ， ，点 为 上的一个动点(非左
y
N
M A
右顶点)，连接 并延长交 于点 ，且 的周长为 ，
P
面积的最大值为2.
(1)求椭圆 的标准方程； F 1 O F 2 x
B N N N
(2)若椭圆 的长轴端点为 ，且 与 的离心率相等， 为 与
异于 的交点，直线 交 于 两点，证明： 为定值.
解:(1) 的周长为 ，由椭圆的定义得 ，即 ………1分
又 面积的最大值为2， ，即 ………2分
， ， ，解得 ………3分
椭圆 的标准方程为 ………4分
(2)由(1)可知 ， ， ………5分
设 ， ， ， 点 在曲线 上， ………6分
依题意，可设直线 ， 的斜率分别为 ，
则 的方程分别为 ， ，
于是 ………7分
联立方程组 ，消去 整理，得 ，
， ………8分………9分
同理可得： ………10分
， ………11分
为定值………12分
21.(本小题满分12分)
已知函数 ( ).
(1)求证：曲线 在 处的切线斜率恒大于0；
(2)讨论 极值点的个数.
解:(1) ( ), ………1分
令 ( )，则 ， ，
易知 在 上单调递增，且 ………2分
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
， 在 上单调递增………3分
， ，即曲线 在 处的切线斜率恒大于0………4分
(2)令 ( ),则 ，
显然 在 上单调递增，由 ，得 ………5分
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
………6分①当 时， ， ， ， 在 上单调递增， 无极值
点………7分
②当 时， ，
， ，所以存在唯一的 ，使得 ，即
………8分
当 时， ，即 ， 单调递增；
当 时， ，即 ， 单调递减.
是 的极大值点………9分
又 ， 由 (1) 知 ， 且 当 时 ， ， ， ，
，即 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ………10分
当 时， ，即 ， 单调递减；
当 时， ，即 ， 单调递曾，
是 的极小值点………11分
综上所述，当 时， 无极值点；当 时， 有一个极大值点和一个极小值点.
………12分
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以 为极点， 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ( 为直线 的倾斜角).
(1)求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
(2)设 ，直线 与曲线 相交于 两点，求 的最大值.解:(1)由 ，得 ………1分
由 ， ，得直线 的直角坐标方程为 ………2分
由 ( 为参数)，两式相除得 ………3分
，整理得曲线 的普通方程为 ( )………4分
(2)解法一：直线 经过点 ， 的参数方程为 ( 为参数)，
代入 中，得 ………5分
由 ，得 ………6分
， ………7分
………8分
, ， ， ，
当且仅当 时，等号成立………9分
故 的最大值为 ………10分
解法二：直线 经过点 ， ………5分
由切割线定理得 ………7分
，当且仅当 为圆 的直径时，等号成立………9分
故 的最大值为 ………10分
23.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知 均为正实数，且 .
(1)求 的最大值；
(2)求 的最小值.
(1) ，
解:
， ， ………1分
又
………2分，当且仅当 时，等式成立………3分
的最大值为 ………4分
即
令 ， ， ，则
(2)
分
………5
， ， ， ，
当且仅当 ，即 时，等式成立………6分
由(1)知 ， ………7分
， ………8分
，当且仅当 时，等式成立………9分
即
的最小值为 ………10分
故
