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专题 16.3 二次根式（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022上·安徽·九年级校联考阶段练习）若α≤0，1<β<4（β为整数），则下列式子中一定为最简二
次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√α+β ❑√β-2 ❑√α0 ❑√β
2．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）设 的整数部分是m，小数部分是n，则n的值
(2❑√21+❑√7)÷❑√7
是（ ）
A．2❑√3+1 B．2❑√3−1 C．2❑√3−2 D．2❑√3−3
3．（2023上·山西晋中·八年级校联考期中）已知 ， 均为有理数，若 ，则 的算术
a b (❑√3−1) 2=a+b❑√3 a−b
平方根是（ ）
A．❑√3 B．2 C．❑√5 D．❑√6
4．（2022下·北京海淀·八年级101中学校考期中）已知m、n是两个连续自然数(m<n)，且q＝mn，设
p=❑√q+n+❑√q−m，则下列对p的表述中正确的是（ ）
A．总是偶数 B．总是奇数
C．总是无理数 D．有时是有理数，有时是无理数
5．（2024上·江苏南通·八年级统考期末）已知正实数m，n满足2m+❑√2mn+n=2，则❑√mn的最大值为
（ ）
1 ❑√2 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
6．（2024·全国·八年级竞赛）已知正整数 满足 ．则这样的 的
a、m、n ❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n a、m、n
取值（ ）．A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
7．（2024·全国·八年级竞赛）若a、b、m满足如下关系式：
❑√3a+5b−m−3+❑√a+b−2013=3❑√2013−a−b−2❑√2a+3b−m，则m−2012的平方根为
（ ）．
A．1 B．2 C．±1 D．±2
1
8．（2023上·广东·九年级华南师大附中校考阶段练习）已知x= ，则
❑√2021−❑√2020
x6−2❑√2020x5−x4+x3−2❑√2021x2+2x−❑√2021的值为（ ）
A．0 B．1 C．❑√2020 D．❑√2021
9．（2023下·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期末）若a和b都是正整数且a<b，❑√a和❑√b是可以
合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（ ）
①只存在一组a和b使得❑√a+❑√b=❑√18；
②只存在两组a和b使得❑√a+❑√b=❑√75；
③不存在a和b使得❑√a+❑√b=❑√260；
c
④若只存在三组a和b使得❑√a+❑√b=❑√c，则 的值为49或64
a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024上·重庆北碚·九年级统考期末）已知两个二次根式：❑√x+1,❑√x(x≥0)，将这两个二次根式进
行如下操作：
第一次操作：将❑√x+1与❑√x的和记为M ，差记为N ；
1 1
第二次操作：将M 与N 的和记为M ，差记为N ；
1 1 2 2
第三次操作：将M 与N 的和记为M ，差记为N ;⋅⋅⋅；以此类推．
2 2 3 3
下列说法：①当 时， ；② ；
x=1 N +N +N +N =30 M =64❑√x+1
2 4 6 8 12
③ （ 为自然数）．
M ⋅N =22n n
2n+1 2n+1
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
评卷人 得 分
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）❑√t+1−❑√t ❑√t+1+❑√t
11．（2022上·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）设x= ，y= ，当t为
❑√t+1+❑√t ❑√t+1−❑√t
时，代数式20x2+62xy+20 y2=2022．
12．（2024·全国·八年级竞赛）设a是❑√3+❑√5−❑√3−❑√5的小数部分，b为❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3的小数
1 1
部分，则 − 的值为 ．
a b
13．（2023下·四川攀枝花·七年级攀枝花市第十五中学校校考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，
且满足下列等式：
，则 的值为 ．
❑√x3 (y−x) 3−❑√x3 (z−x) 3=❑√y−x−❑√x−z x3+ y3+z3−3xyz
14．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）若a，b，c是实数，且
a+b+c=2❑√a−1+4❑√b−1+6❑√c−2−10，则2b+c= ．
√ 1
15．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）若y=❑√1−x+❑ x− 的最大值为a，最小值为b，则
2
a2+b2的值为 .
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）（2023下·天津·八年级校考阶段练习）计算
（1）
(❑√5−2) 2+(❑√5+1)(❑√5+3)
√1
（2）❑√12−❑√18−❑√0.5+❑ ；
3
17．（4分）（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算
√ n ab n √m √ n
（1）(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )÷a2b2❑ ；
m m m n m
b−❑√ab a b a+b
（2）(❑√a+ )÷( + − )（a≠b）．
❑√a+❑√b ❑√ab+b ❑√ab−a ❑√ab18．（4分）（2024上·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期末）已知x，y，z为△ABC的三边长，且有
．试判断 的形状并加以证明．
(❑√x+❑√y+❑√z) 2=3(❑√xy+❑√xz+❑√yz) △ABC
19．（6分）（2022上·湖南长沙·八年级校考期末）已知 三条边的长度分别是 ， ，
△ABC ❑√x+1 ❑√(5−x) 2
，记 的周长为 ．
4−(❑√4−x) 2 △ABC C
△ABC
（1）当x=2时，△ABC的周长C =__________（请直接写出答案）．
△ABC
（2）请用含x的代数式表示△ABC的周长C （结果要求化简），并求出x的取值范围．如果一个三角
△ABC
形的三边长分别为 a ， b ， c ，三角形的面积为 S ，则 S=❑ √ 1[ a2b2− (a2+b2−c2 ) 2 )．
4 2
若x为整数，当C 取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
△ABC
20．（6分）（2024上·河北保定·八年级统考期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无
理数T：m<T<n，（其中m、n为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为(m,n)，如1<❑√2<2，所
以❑√2的“美好区间”为(1,2)．
（1）无理数−❑√13的“美好区间”是______；
{ x=m )
（2）若一个无理数的“美好区间”为(m,n)，且满足10<m+❑√n<20，其中 是关于x，y的二元
y=❑√n
一次方程mx−ny=C的一组正整数解，求C的值．
（3）实数x，y，m满足如下关系式：
，求 的算术平方根的“美好区间”．
(2x+3 y+m) 2+(3x+2y−3m) 2=❑√x+ y−2024+❑√2024−x−y m21．（6分）（2023下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）阅读材料：
把根式❑√x±2❑√y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=❑√y，则把x±2❑√y变成
开方，从而使得 化简．
m2+n2±2mm=(m±n) 2 ❑√x±2❑√y
如：
❑√3+2❑√2=❑√1+2❑√2+2=❑√(❑√1) 2+2×1×❑√2+(❑√2) 2=❑√(1+❑√2) 2=|1+❑√2)=1+❑√2
解答问题：
（1）填空：❑√5+2❑√6=______．
（2）化简：❑√7−4❑√3（请写出计算过程）
1 1 1 1
（3） + + +
❑√3+2❑√2 ❑√5+2❑√6 ❑√7+2❑√12 ❑√9+4❑√5
22．（8分）（2024上·湖南郴州·八年级统考期末）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：
当 ， 时，有 ， ，当且仅当 时取等号．
a>0 b>0 (❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0 ∴a+b≥2❑√ab a=b
1 2
（1）当x>0时，x+ 的最小值为______；当x<0时，−x− 的最小值为______．
x x
x2+2x+6
（2）当x<0时，求 的最大值；
x
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为8和18，设
△BOC的面积为x，求四边形ABCD的最小面积．23．（8分）（2023上·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考阶段练习）若三个实数x，y，z满足
，且 ，则有：√ 1 1 1 |1 1 1)（结论不需要证明）
xyz≠0 x+ y+z=0 ❑ + + = + +
x2 y2 z2 x y z
例如：√ 1 1 1 √ 1 1 1 |1 1 1 ) 19
❑ + + =❑ + + = + + =
22 32 52 22 32 (−5) 2 2 3 (−5) 30
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
（1）求√ 1 1 1 的值；
❑ + +
12 22 32
【能力提升】
（2）设 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ，求S的整数部分．
S=❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ +
12 22 22 32 20192 20202
【拓展升华】
（3）已知 ，其中，且 ．当√ 1 1 1 |1 1 1)取得最小值
x+ y+z=0(xyz≠0,x>0) y+z=3 yz ❑ + + + − −
x2 y2 z2 x y z
时，求x的取值范围．24．（9分）（2023上·吉林长春·九年级东北师大附中校联考期中）定义：我们将 与
(❑√a+❑√b) (❑√a−❑√b)
称为一对“对偶式”．因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2 −(❑√b) 2=a−b
些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知❑√18−x−❑√11−x=1，求❑√18−x+❑√11−x的值，可以这样解答：
因为 ，所以
(❑√18−x−❑√11−x)×(❑√18−x+❑√11−x)=(❑√18−x) 2 −(❑√11−x) 2=18−x−11+x=7
❑√18−x+❑√11−x=7．
（1）已知：❑√20−x+❑√4−x=8，求：
①❑√20−x−❑√4−x= ；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：❑√20−x+❑√4−x=8；
（2）代数式❑√10−x+❑√x−2中x的取值范围是 ；
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋯+ = ．
3❑√1+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 2023❑√2021+2021❑√2023
