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专题17.12 勾股定理（全章分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，4，6 B．6，8， C．3，4，5 D．
2．（2024·全国·九年级竞赛）如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线 绕点A顺
时针旋转，使得点 落在数轴上的点 处，则点 表示的数是（ ）
A． B． C． D．2
3．（2024上·山西运城·八年级校联考期末）如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，
其中阴影部分的面积是（ ）
A．169 B．144 C．30 D．25
4．（2021下·云南昆明·八年级统考期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，下面四
幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C ． D．
5．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图， ，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ）
A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70°
6．（2023上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为
， ， ， ，则这块菜地的面积为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
7．（2024上·山东淄博·七年级统考期末）如图，有一张直角三角形的纸片 ，两直角边 ，
，现将 折叠，使点 与点 重合，得到折痕 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2024·辽宁抚顺·统考一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中
记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳
人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将
它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索
有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
9．（2024上·山东淄博·七年级统考期末）如图，四边形 是长方形地面，长 ，宽
，中间竖有一堵砖墙高 ，一只蚂蚱从点 爬到点 ，它必须翻过中间那堵墙，则它至少
要走（ ）
A． B． C． D．
10．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在 中，
于点 是 的中点，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以
原点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ．
12．（2024上·四川眉山·八年级统考期末） 的三边长分别为 ， 和 ，则其最大边上
的高为 ．13．（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一
棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
14．（2024上·福建漳州·八年级统考期末）如图， ，点 在线段 上， ，
，则 的长为 ．
15．（2024上·四川成都·八年级统考期末）已知关于x，y的方程组 的解中的x，y的值
分别为等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，则 ．
16．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在 中， ， ， ．以点
为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ， 于点 ， ；再分别以点 ， 为圆心，大于 的长
为半径画弧，两弧交于点 ；作射线 交 于点 ，则 的长为 ．
17．（2024上·江苏常州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，
点 在斜边 上，将 沿 折叠，使点 恰好落在 边上的点 处，则 的周长为
．18．（2024上·四川成都·八年级统考期末）如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个
月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S，S，直角三角形两直角边长分别为6和8，则 ．
1 2
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024上·福建漳州·八年级统考期末）如图， 中， ， ．
（1）在 上找一点 ，连接 ，使得 为等边三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作
图痕迹）；
（2）求 的长．
20．（8分）（2024上·四川成都·八年级统考期末）如图，已知 ， ，（1）求证∶ ；
（2）若 平分 ， ，求 的长度
21．（10分）（2024上·福建泉州·八年级校考期末）如图为某工厂批量生产的一零件的简化结构示意
图，在三角形零件的内部， 边上的垂直平分线 与 分别交于点D、E，根据安全标准该零件
需满足 ，现已知 ．
（1）该零件是否符合安全标准，请说明理由；
（2）若测量出 ， ，请求 的长度．
22．（10分）（2024下·全国·八年级假期作业）已知：在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，CD＝13．
（1）求AC的长．
（2） ACD是直角三角形吗？如果是，请说明理由．
（3）求这块空地的面积．
23．（10分）（2024上·江苏泰州·八年级统考期末）在 中， ，进行如下操作：
（1）如图1，将 沿某条直线折叠，使斜边的两个端点 与 重合，折痕为 ，若 ，
，求 的长；
（2）如图2，将直角边 沿直线 折叠，使它落在斜边 上，且与 重合，若 ， ，
求 的长．24．（12分）（2024上·四川内江·八年级统考期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形
较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为 ，也可以
表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为
c，则 ．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B， ，由于
某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在
同一条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原
路 少多少千米？
（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第
（2）问中若 时， ， ， ， ，设 ，可以求 的值，请帮
小明写出求 的过程．参考答案：
1．C
【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握满足 的三个正整数是勾股数是解题的关键．
根据勾股数的定义进行判断作答即可．
解：A中 ，不是勾股数，故不符合要求；
B中 ，不是勾股数，故不符合要求；
C中 ，是勾股数，故符合要求；
D中 不是正整数，不是勾股数，故不符合要求；
故选：C．
2．B【分析】本题考查实数与数轴、正六边形的性质、直角三角形的相关性质、勾股定理，熟知相关定理、
正确做出辅助线是正确解决本题的关键．
作 数轴于点D，利用“ 锐角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理求出 ，进而求出
即可．
解：解∶作 数轴于点D，
正六边形的外角和为 ，
， ，
， ，
，
，
．
即点C表示的数为 ．
故答案为：B．
3．D
【分析】本题主要考查了勾股定理，在 由勾股定理得到 ，由题意得， ，
则 ，在 中，根据勾股定理得出： ，则阴影部分面积
．
解：如图所示：
在 中，根据勾股定理得出： ，
由题意得， ，，
在 中，根据勾股定理得出： ，
阴影部分面积 ．
故选：D．
4．D
【分析】勾股定理有两条直角边，一条斜边，共三个量，根据勾股定理的概念即可判断．
解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得 ，故A选项可以证明勾股定理，
在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得 ，故B选项可以证明勾股定理，
在C选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得 ，故C选项可以说明勾股定理，
在D选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
【点拨】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条
直角边的平方和等于斜边的平方．
5．B
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，求出 ，然后再求出40°的余
角即可解答．
解：∵ ，
∴ ，∴ 是直角三角形，
∴ ，
由题意得： ，
∴点B在点O的北偏东50°方向，
故选：B．
【点拨】本题考查勾股定理逆定理，与方向角有关的计算．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到
．
6．D
【分析】连接 ，利用勾股定理求解 ，再利用勾股定理的逆定理证明 为直角三角形，据
此即可求解．
解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴这块菜地的面积为 ，
故选：D
【点拨】本题考查了勾股定理与逆定理的实际应用，熟练掌握定理及灵活运用是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确翻折前后对应边相等，利用勾股定理列方程求
解即可．设 ，由翻折易得 ，利用直角三角形 ，勾股定理列出方程即可求得 长，
进而可求出 的面积．
解：由题意得 ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴在 中，根据勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
解得 即 ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故选A
8．C
【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 、 的长，掌
握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，
利用勾股定理可得方程．
解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为： ．
故选：C
9．A
【分析】本题考查了几何体平面展开最短路线问题，勾股定理的应用；把中间墙在平面内展开，则原
长方形的长增加 ，宽不变，连接 ，由勾股定理即可求得 长，从而问题求解．
解：如图，将墙展开，长方形长度增加 ，则 ，连接 ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
，
∴蚂蚱从点 爬到点 ，它必须翻过中间那堵墙，它至少要走 ．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了用勾股定理解三角形，先根据勾股定理求出 ，再根据三角形面积相等求出 ，再利用勾股定理求出 ，再由已知条件求出 ，进而可求出答案．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
11．
【分析】本题考查了实数与数轴的有关问题．先求出单位正方形的对角线的长，据此求解即可．
解：由题意可知：正方形的对角线的长为 ，
则点 表示的数为 ，
故答案为： ．
12． /
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理得出这个三角形为直角三角形是解本题的
关键．根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可．
解：∵ ，
∴以 ， 和 为三边的三角形为直角三角形，设这个三角形最长边上的高为 ，
则 ，
解得： ，
故答案为： ．
13．10
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，
运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图所示， 为树，且 米， 米， 为两树距离8米，
过 作 于E，则 ，
在直角三角形 中， ．
答：小鸟至少要飞10米．
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的的实际运用和两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握其性质是
解决此题的关键．
14．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是
解题的关键．
运用“ ”判定 ，可证 ，再根据勾股定理即可求解．
解：∵ ，
∴在 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
15． /
【分析】本题考查勾股定理、解二元一次方程组等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．求出方程组的解，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：由 ，
解得 ，
∵ ，
∴n为直角边长， 为斜边长，
由题意： ，
解得： ，或 （舍去）
故答案为： ．
16． /
【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的性质及勾股定理．根据全等三角形的性质及勾股定理列方程求解．
解：过 作 于 ，
由作图得： 平分 ，
， ， ．
， ，
，
，
，
，
设 ．
则 ，即： ，
解得： ，
故答案为： ．
17．
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理．由折叠可得， ， ，则 ，
，再由 的周长 ，即可求解．
解：由折叠可得， ， ，
， ，
，
，
，
，的周长 ．
故答案为： ．
18．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，确定各部分图形的面积关系是解题关键．
解：由题意得：直角三角形的斜边长为： ，
由图可知：
故答案为：
19．（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线，三角形内角和、线段垂直平分线的性质、勾股定理，
等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形性质是解题的关键．
（1）作边 的垂直平分线交 于 即可．
（2）先证明 是直角三角形，通过勾股定理得出 的长即可．
（1）解：如图，点 即为所求作．
（2）解：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ．20．（1）见详解；（2）
【分析】（1）由 ， 得出 ，则 ，又
，从而 ，则可证明 ．
（2）由角平分线的性质得 ，结合平行线性质可得 ，则有 ，
再结合同角的余角相等得 ，则有 ，利用勾股定理即可求得答案．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，解
题的关键是角度的代换．
21．（1）符合，理由见分析；（2）
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
（1）连接 ，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）设 ，则 ，在 中，根据 列出方程计算即可求解．
（1）解：如图，连接BE，∵ 边上的垂直平分线为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 即 ；
∴该零件符合安全标准．
（2）解：设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的长为 ．
22．（1）12；（2）是，理由见分析；（3）84
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）直接利用勾股定理的逆定理验证即可；
（3）计算△ACD和△ABC的面积之和即可．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，
∴AC= =12；
（2）是，理由是：
∵AC=12，AD＝5，CD＝13，
满足 ，即 ，∴△ACD是直角三角形；
（3）空地的面积为：
= =84．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解题的关键是掌握利用勾股定理求直角三
角形的边以及利用勾股定理的逆定理验证直角三角形．
23．（1） ；（2）
【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用．
（1）由折叠的性质可得 ，然后设 ， ，然后根据勾股定理即可求出 ．
（2）由勾股定理求出 ，由折叠的性质可得： ，进而求出 ，设 ，则 ，
，然后根据勾股定理即可求出 ．
（1）解：由折叠的性质可得： ，
∴在 中，
设 ，则 ，
即
解得： ，
即 ．
（2）在 ，
∵ ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得： ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
则 ，
解
解得： ，即 ．
24．（1）见分析；（2） ；（3） ，过程见分析．
【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关
键．
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积
相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设 ，则 ，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在 和 中，由勾股定理得求出 ，列出方程求解即可
得到结果．
（1）解：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，
∴ ，
即 ；
（2）解：设 ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
即 ，
（千米），
答：新路 比原路 少 千米；
（3）设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，∴ ，
即 ，
解得： ．
．
