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专题 21.2 销售利润问题
【典例1】正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习
俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆
需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中
一种）．
（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤
圆？
（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手
工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店
按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格
全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
【思路点拨】
（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即
可；
（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
【解题过程】
（1）设总共生产了a袋手工汤圆，
0.3a 0.5a
依题意得， + =21
450 300
解得a=9000，
经检验a=9000是原方程的解，
答：总共生产了9000袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价x元，
当刚好10天全部卖完时，
( 75 )
依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x) 225+ x =40500
2
整理得：x2−6x+45=0Δ=62−4×45<0，
∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
[ ( 75 ))
(15−13) 9000−2×225−8 225+ x =12600−600x
2
( 75 )
∴依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x) 225+ x +12600−600x=40500
2
解得x =1,x =3
1 2
∵要促销
∴x=3
即促销时每袋应降价3元．
1．为庆祝即将到来的兔年新春，某小区物业计划购买“兔团团”和“兔圆圆”两种吉祥玩偶，免费发放
给业主．据调研“兔团团”玩偶每个30元，“兔圆圆”玩偶每个25元，经预算，两种吉祥玩偶共1500
个，此次购买两种玩偶一共需要42000元．
（1）计划购买“兔团团”、“兔圆圆”两种玩偶各多少个？
（2）在实际购买中，商家因受玩偶积压以及市场影响，为此降低了两种玩偶的售价，且降价相同，经统
计，两种玩偶均降低m元，物业在（1）的基础上多购买了20m个“兔团团”和30m个“兔圆圆”，结账
时比预算少付了2000元，则两种玩偶都降低多少元？
【思路点拨】
（1）设计划购买“兔团团”玩偶x个，则“兔圆圆”玩偶(1500−x)个，根据“兔团团”玩偶钱数加上
“兔圆圆”玩偶钱数等于总钱数42000元，列出关于x的一元一次方程，解出即可得出答案；
（2）根据两种玩偶均降低m元，得出“兔团团”和“兔圆圆”玩偶降价后的单价，再根据（1）的结论，
结合题意，得出“兔团团”玩偶现在有(900+20m)个，“兔圆圆”玩偶现在有(600+30m)个，再根据题
意，列出二元一次方程，解出即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：设计划购买“兔团团”玩偶x个，则“兔圆圆”玩偶(1500−x)个，
根据题意，可得：30x+25(1500−x)=42000，解得：x=900，
∴1500−x=1500−900=600（个），
∴计划购买“兔团团”玩偶900个，“兔圆圆”玩偶600个；
（2）解：∵两种玩偶均降低m元，
∴“兔团团”玩偶降价后每个(30−m)元，“兔圆圆”玩偶每个(25−m)元，
∵物业在（1）的基础上多购买了20m个“兔团团”和30m个“兔圆圆”，
∴“兔团团”玩偶现在有(900+20m)个，“兔圆圆”玩偶现在有(600+30m)个，
∴根据题意，可得：(30−m)(900+20m)+(25−m)(600+30m)=42000−2000，
整理，可得：m2+3m−40=0，
解得：m =−8（舍去），m =5，
1 2
∴两种玩偶均降低5元．
2．继2008年夏奥会之后，2022年冬奥会花落北京，北京成为世界上首座“双奥之城”．在2022年北京
冬奥会开幕式上，晶莹剔透的奥运五环，别具一格的“立春”字样烟花，独具创意的点火环节，超大LED
屏等高科技视觉呈现手段，给大家留下了深刻印象．在这场视觉盛宴中，灯光效果功不可没．此次灯光秀
计划购买LED照明灯和激光投射灯共花费90万元，其中LED照明灯计划花费60万元，已知LED照明灯
与激光投射灯的单价之和为50元，计划购买LED照明灯的数量是激光投射灯数量的3倍，请用方程的相
关知识解决下列问题．
（1）本次灯光秀计划使用的LED照明灯和激光投射灯的单价各是多少？（列分式方程解决）
（2）实际安装时，本着环保原则，重新设计了安装方案，这样LED照明灯比计划少装了m%，激光投射灯
3
比计划少装了 m%；同时由于原材料价格降低，LED照明灯单价在原有价格上下降了m%，激光投射灯单
5
4
价不变，最终灯光秀实际花费总价比原计划降低了 m%，请求出m的值．
3
【思路点拨】
（1）由题意可知LED照明灯的费用为60万，激光投射灯的费用为30万，再根据LED照明灯与激光投射
灯的单价之和为50元，LED照明灯的数量是激光投射灯数量的3倍，即可列出方程，解方程即可求出
LED照明灯和激光投射灯的单价；
（2）根据原计划的总费用和实际总费用之间的关系，列出方程即可求出m的值．
【解题过程】
（1）设LED照明灯的单价为x元，则激光投射灯的单价为(50−x)元，
由题意得：90−60 60
×3=
50−x x
解得：x=20
经检验：x=20是原方程的解，
∴50−x=50−20=30，
∴LED照明灯的单价为20元，激光投射灯的单价为30元．
（2）由（1）可知：LED照明灯的数量为：600000÷20=30000，
激光投射灯的数量为：300000÷30=10000，
3 4
∴30000(1−m%)⋅(1−m%)×20+10000(1− m%)×30=900000(1− m%)，
5 3
解得：m=30，
∴m的值为30．
3．2022年卡塔尔世界杯吉祥物la'eeb，中文名是拉伊卜，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进
行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，大拉伊卜售价是小拉伊卜售
价的2倍且1200元购买小拉伊卜玩偶的数量比购买大拉伊卜玩偶的数量多10个．
（1）求小、大拉伊卜玩偶售价分别为多少元？
（2）世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶400个，大拉伊卜玩偶300个，世界杯开赛第二周，该
经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价a元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界
杯开赛第一周多了10a个：大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销
售额为58000元，求a的值．
【思路点拨】
1200 1200
（1）设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是2x元，根据题意，得 − =10，解分式方程即
x 2x
可．
（2）根据题意，第二周大拉伊卜售价是(120−a)元，销售数量为300个；第二周小拉伊卜售价是(60−a)
元，销售数量为(10a+400)个，根据题意，得(10a+400)×(60−a)+300×(120−a)=58000，解方程即
可．
【解题过程】
（1）解：设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是2x元，
1200 1200
根据题意，得 − =10，
x 2x
解得x=60，经检验，x=60是原方程的根，
所以2x=120，
答：小拉伊卜玩偶售价为60元，大拉伊卜玩偶售价是120元．
（2）解：根据题意，第二周大拉伊卜售价是(120−a)元，销售数量为300个；第二周小拉伊卜售价是
(60−a)元，销售数量为(10a+400)个，
根据题意，得(10a+400)×(60−a)+300×(120−a)=58000，
解得a =10,a =−20（舍去）．
1 2
故a的值为10．
4．某经销商以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，
为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价10元．那么每月就可
以多售出50个．
（1）求销售量y（个）与售价x（元）的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；
（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机的售价应降
为多少元？
（3）如果采用降价的方式销售，该销售商每月的利润能否达到10600元．如果能，请求出相应的售价；如
果不能，请说明理由．
【思路点拨】
（1）直接根据题意列函数关系式即可；
（2）根据利润=单件利润×销售量列方程求解即可；
（3）根据利润=单件利润×销售量列方程，根据方程的解的情况即可得出结论．
【解题过程】
360−x
（1）解：根据题意得y=60+ ×50=−5x+1860，
10
即销售量y与售价x的函数表达式为y=−5x+1860；
（2）解：根据题意得(x−280)(−5x+1860)=7200，
整理得：x2−652x+105600=0，
解得：x =300，x =352，
1 2
∵尽可能让利于顾客，
∴每个学习机的售价应降为300元；
（3）解：该销售商每月的利润不能达到10600元．理由为：
由题意得(x−280)(−5x+1860)=10600，整理，得x2−652x+106280=0，
∵Δ=6522−4×1×106280=−16<0，
∴所列方程无解，
∴该销售商每月的利润不能达到10600元．
5．某超市经销一种商品，每件成本为55元．经市场调研发现，该商品平均每月的销售量y（件）与销售
单价x（元）满足一次函数关系，其部分对应值如下表所示：
销售单价x（元） 60 63 70 72 86
月销售量y（件） 300 288 260 252 196
（1）求y与x的关系式；
（2）物价部门规定该商品的销售单价不能超过95元，超市要想使这种商品的销售利润平均每月达到6300
元，商品的销售单价应为多少元？
（3）该商品平均每月的销售利润可能是6500元吗？请说明理由．
【思路点拨】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据总利润=单价利润×数量列出方程求解即可；
（3）同（2）列出方程，看方程是否有解即可．
【解题过程】
（1）解：设y与x的关系式为y=kx+b，
{60k+b=300)
由题意得： ，
63k+b=288
{k=−4)
∴ ，
b=540
∴y与x的关系式为y=−4x+540；
（2）解：由题意得(x−55)(−4x+540)=6300，
∴x2−190x+9000=0，
∴(x−90)(x−100)=0，
解得x=90或x=100，
又∵物价部门规定该商品的销售单价不能超过95元，
∴x=90，
∴商品的销售单价应为90元；
（3）解；假设该商品平均每月的销售利润可能是6500元，由题意得(x−55)(−4x+540)=6500，
∴x2−190x+9050=0，
∴Δ=(−190) 2−4×9050=−100<0，
∴原方程无解，
∴假设不成立，
∴该商品平均每月的销售利润不能是6500元．
6．忠县柑橘品种主要包括有爱媛、沃柑、金秋砂糖橘等．A网店仅将“爱媛”和“沃柑”装箱售卖，张老
师买了2箱“爱媛”，1箱“沃柑”，支付了110元；王老师买了1箱“爱媛”，2箱“沃柑”，支付了
130元．
（1）问A网店每箱“爱媛”和“沃柑”的售价是多少元？
（2）A网店经市场调查，按以上售价两种柑橘每天共能销售100箱，但若一箱“沃柑”的售价每降低2
元，则每天两种柑橘的销售总量将增加4箱．所以，该店决定对“沃柑”降价销售，“爱媛”价格不变．
降价销售后的第一天统计，销售总量中有60%是“爱媛”，且总销售金额为4080元，若降价后“沃柑”的
单价还是不低于“爱媛”的单价．求每箱“沃柑”的售价降低了多少元？
【思路点拨】
（1）设每箱“爱媛”x元，每箱“沃柑”y元，根据张老师买了2箱“爱媛”，1箱“沃柑”，支付了110
元；王老师买了1箱“爱媛”，2箱“沃柑”，支付了130元列出方程求解即可；
（2）设每箱“沃柑”的售价应降低a元，根据销售金额=销售单价×数量列出方程求出a的值，然后根据
降价后“沃柑”的单价还是不低于“爱媛”的单价即可求出答案．
【解题过程】
（1）解：设每箱“爱媛”x元，每箱“沃柑”y元，
由题意得，¿，
{x=30)
解得 ，
y=50
答：每箱“爱媛”30元，每箱“沃柑”50元；
（2）解：设每箱“沃柑”的售价应降低a元， 由题意得
3 ( a) 2( a)
30× × 100+4× + 100+4× (50−a)=4080，
5 2 5 2
整理得：a2−45a+350=0，即(a−10)(a−35)=0，
解得：a =10，a =35，
1 2由题意可知50−a≥30，
∴a≤20，
∴a=10，
答：每箱“沃柑”的售价降低了10元．
7．某批发商以每件50元的价格购进800件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出了200件，第二个月如
果单价不变，预计仍可销售200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降1
元，可多售出10件，但最低价应高于进价；第二个月结束后，批发商将对剩余的衬衫一次性清仓销售，清
仓单价是40元，设第二个月单价降低x元；
（1）填表（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
（2）如果批发商希望通过H销售这批衬衫获利9000元，那么第二个月的单价应是多少？
【思路点拨】
（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；
（2）利用“获利9000元”，即销售额－进价＝利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问
题中检验是否符合题意，进行值的取舍；
【解题过程】
解：（1）设第二个月降价x元，
则第二个月的单价为(80−x)元，销售量为(200+10x)件，
清仓时的销售量为800−200−(200+10x)=(400−10x)件，
填表如下：
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 80−x 40
销售量（件） 200 200+10x 400−10x
（2）第二个月单价降低x元，由题意可得，
(80−50)×200+(80−x−50)(200+10x)+(40−50)×(400−10x)=9000，
整理得：(x−10) 2=0，解得x=10，
即第二个月的单价为：80−x=70（元），
答：第二个月的单价应是70元．
8．近期随着疫情防控政策的调整，人们可以利用新冠病毒抗原检测试剂盒自行进行检测．某药店同时销
售甲、乙两种品牌的新冠病毒抗原检测试剂盒，其中甲品牌试剂盒每盒售价比乙品牌试剂盒每盒售价高10
元，购买2盒甲品牌试剂盒和3盒乙品牌试剂盒一共需要270元．
（1）求甲、乙两种品牌的新冠病毒抗原检测试剂盒的售价分别是每盒多少元？
（2）疫情防控政策调整后的第一周，该药店甲、乙两种品牌的新冠病毒抗原检测试剂盒分别售出了275盒
和300盒．随着生产厂家的生产成本降低及生产效率的提高，在货源充足的情况下，该药店决定第二周对
甲、乙两种品牌的新冠病毒抗原检测试剂盒进行降价销售，其中甲、乙两种品牌试剂盒每盒售价在第一周
1
售价基础上都降价 a元，甲品牌试剂盒销售量在第一周销售量基础上增加了4a盒，乙品牌试剂盒销售量
5
在第一周销售量基础上减少了a盒，结果该药店第二周的销售总额比第一周的销售总额增加了57a元，求a
的值．
【思路点拨】
（1）设甲种品牌的新冠病毒抗原检测试剂盒的售价为x元、乙为y元，根据题意列出方程组
{ x−y=10 )
计算即可．
2x+3 y=270
( 1 ) ( 1 )
（2）)根据题意，列方程： 60− a (275+4a)+ 50− a (300−a)=275×60+300×50+57a求解即
5 5
可．
【解题过程】
（1）设甲种品牌的新冠病毒抗原检测试剂盒的售价为x元、乙为y元，
{ x−y=10 )
根据题意列出方程组 ，
2x+3 y=270
{x=60)
解得 ，
y=50
故甲种品牌的新冠病毒抗原检测试剂盒的售价为60元、乙种品牌的新冠病毒抗原检测试剂盒的售价为50
元．
（2）根据题意，得
( 1 ) ( 1 )
60− a (275+4a)+ 50− a (300−a)=275×60+300×50+57a，
5 5整理，得3a2−90a=0，
解方程，得a =30,a =0（舍去），
1 2
故a的值为30．
9．2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温，11月，LH地产共推
出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180平方米，单价1．8万元/平方米，小三居
每套面积120平方米，单价1．5万元/平方米．
（1）LH地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？
（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”，重庆房市成功稳定并略有
回落．为年底清盘促销，LH地产调整营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单
m m
价在原有基础上每平方米下调 万元(m>0)，将小三居的单价在原有基础上每平方米下调 万元，这样大
10 20
平层的销量较(1)中11月的销量上涨了7m套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与(1)中
I1月的销售总额相等．求出m的值．
【思路点拨】
（1）设推出大平层x套，小三居y套，根据题意列出方程求解即可；
（2）由题意得，12月大平层推出(30+7m)套，单价为 ( 1.8− m ) /m2 ，12月小三居推出(50−7m)套，单
10
价为 ( 1.5− m ) /m2 ，根据题意列出方程求解即可．
20
【解题过程】
（1）解：设推出大平层x套，小三居y套，由题意得
{ x+ y=80① )
180×1.8x+120×1.5 y=18720②
②−18×①
14.4x=432
x=30
故11月要推出30套大平层房型；
（2）解：由题意得，12月大平层推出(30+7m)套，单价为 ( 1.8− m ) /m2 ，12月小三居推出(50−7m)
10
套，单价为 ( 1.5− m ) /m2
20( m ) ( m )
∴(30+7m)×180× 1.8− +(50−7m)×120× 1.5− =18720
10 20
21m2 7m2
162−9m+37.8m− +150−5m−21m+ =312
10 10
14m2
2.8m− =0
10
28m−14m2=0
14m(2−m)=0
解得m=0或m=2
∵m>0
∴m=2．
10．俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家
香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成
美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用
5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．
（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为
1
3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了 a%(a>0)
2
1
，每袋香肠的售价减少了 a元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了a%，香肠的销售量比上
5
1
半月香肠的销售量增加了 ，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
3
【思路点拨】
（1）设每袋腊肉的进价为x元，则每袋香肠的进价为(x+10)元，根据题意可列分式方程，求解即可．
（2）根据题意可求出上半月腊肉销售量和香肠销售量，再用a表示出下半月调整售价后，腊肉的售价和销
量、香肠的售价和销量．最后根据下半月利润，列出关于a的方程，解出a即可．
【解题过程】
解：（1）设每袋腊肉的进价为x元，则每袋香肠的进价为(x+10)元，
4000 5000
根据题意可列方程： = ，
x x+10
解得：x=40，经检验x=40是原方程的解．故每袋腊肉进价为40元，每袋香肠进价为40+10=50元．
3
（2）设上半月腊肉销售量为m袋，则上半月香肠销售量为 m袋．
4
3 3
根据题意可列方程：60m+80× m−40m−50× m=3400，
4 4
解出：m=80，
则上半月腊肉销售量为80袋，香肠销售量为60袋．
1 1
下半月调整售价后，腊肉的售价为60×(1+ a%)元，销量为80×(1+a%)袋；香肠的售价为80− a
2 5
1
元，销量为60×(1+ )=80袋．下半月的利润为3400+864=4264元．
3
[ 1 ) [ 1 )
即可列出方程 60×(1+ a%)−40 ×[80×(1+a%))+ 80− a−50 ×80=4264．
2 5
∴(a−10)(a+110)=0．
解得：a =10，a =−110（舍）．
1 2
故a的值为10．
11．新型冠状病毒爆发时期，医疗防护物资严重匮乏，民众急需护目镜和N95口罩．重庆某药店3月初购
进了一批护目镜和N95口罩，购进的N95口罩数量是护目镜数量的3倍．已知每个护目镜的售价比每个
N95口罩的售价多40元，3月底护目镜和N95口罩全部销售完，据统计，护目镜的销售额为10000元，
N95口罩的销售额为6000元．
（1）该药店3月初购进了多少个护目镜？
（2）4月份疫情得以缓和，该药店又购进以上两种医疗物资．该药店根据上月民众的需求和销售情况适当
调整了进货计划，购进的护目镜购进的数量与3月份相同，但在运输过程中损耗了2%，导致受损的护目镜
5
无法销售，而N95口罩数量比3月份增加了 a%．由于政府对医疗物资价格的调整，护目镜的售价比3月
2
2
份降低了a%，N95口罩的售价比3月份降低了 a%，4月底售完这两种医疗物资后该药店的销售额达到了
3
15800元，求a的值．
【思路点拨】
（1）设该药店3月初购进了x个护目镜，等量关系为：每个护目镜的销售价－每个N95口罩的销售价
=40，根据此等量关系列出分式方程，解方程即可；
（2）等量关系为：4月份护目镜的销售总额－4月份N95口罩的销售总额=15800，根据此等量关系列出关于a的方程，解方程即可求得a的值．
【解题过程】
解：（1）设该药店3月初购进了x个护目镜，
10000 6000
由题意，得： − =40
x 3x
解得：x=200
经检验x=200是原方程的解，且符合题意
故该药店3月初购进了200个护目镜．
（2）由（1）知，该药店3月初购进了200个护目镜，600个N95口罩，护目镜每个的售价为
10000÷200=50（元），N95口罩每个的售价为50-40=10（元），
( 5 ) ( 2 )
由题意，得：200×(1−2%)×50(1−a%)+600 1+ a% ×10 1− a% =15800
2 3
化简，得：12a−a2=0
解得：a=12或a=0（舍去）
∴a=12．
12．2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥
五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元．
（1）若8月份销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个，销售两种模型的总销售额
为56000元，求销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是多少？
（2）该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一号”模型的售
5
价与8月份相同，销量比8月份增加 a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销
4
3
量比8月份增加 a%．
2
①用含有a的代数式填表（不需化简）：
9月份的售价（元） 9月份销量
“天问一号”
90
模型
“嫦娥五号”
模型
13
②据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加 a%，求a的值．
14【思路点拨】
（1）首先设销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各x个，y个，根据销售“天问一号”模型
的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个可列出方程x= y+200，由销售两种模型的总销售额为56000元
可列出方程90x+100 y=56000，把这两个方程组成一个二元一次方程组，解这个方程组即可得到本题答
案；
5
（2）①由9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加 a%，可得9月份“天
4
5
问一号”模型的销量为400（1+ a%）个；“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，，销量比
4
3 3
8月份增加 a%，可得“嫦娥五号”模型的销量为200（1+ a%）个，可得“嫦娥五号”模型的售价为
2 2
13 5
100(1- a%)；②根据该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加 a%，可得90×400（1+ a%）
14 4
3 13
+100（1﹣a%）×200（1+ a%）＝（90×400+100×200）（1+ a%），计算即可得出a的值．
2 14
【解题过程】
（1）解：设销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各x个，y个，根据题得：
¿
解得：
¿
答：销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是400个与200个。
（2）解：①∵9月份，“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a% ,“天问一号”模型的销量比8
5 3
月份增加 a%，“嫦娥五号”模型的销量比8月份增加 a%，
4 2
5 3
∴9月份，“天问一号”模型的销量为400（1+ a%）个，“嫦娥五号”模型的销量为200（1+ a%）个．
4 2
5 3
故答案为：100(1- a%)；400（1+ a%）；200（1+ a%）．
4 2
5 3 13
②依题意得：90×400（1+ a%）+100（1﹣a%）×200（1+ a%）＝（90×400+100×200）（1+ a%），
4 2 14
整理得：3a2﹣30a＝0，解得：a＝10，a＝0（不合题意，舍去）．
1 2
答：a的值为10．13．2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚
酱、桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚
音，而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友．已知桑
4
葚酒是桑葚酱单价的 ，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000
5
元，桑葚酱销售额为125000元．
（1）求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价；
（2）今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经
2
济，减少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低 a%(a>0)销售，桑葚酒比
5
1
预计单价降低 a元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚
4
酱的销售总额比预计减少了3500a元．求a的值
【思路点拨】
4
（1）设预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为 x元/千克，根据销售桑菩酒和桑菩
5
酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元，列分式方程，解此分式方程即可
解答；
（2）根据题意分别计算出降价后，桑葚酱的销售单价、销售量，桑葚酒的销售单价、销售量，再由销售
总额比预计减少了3500a元列方程，解此方程即可解答．
【解题过程】
4
（1）解：设桑葚节预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为 x元/千克，
5
200000 125000
+ =7500
根据题意得： 4 x ，
x
5
解得：x=50
经检验，x=50是方程的解，
4
∴ x=40
5
答：预计销售桑葚酱的单价为50元/千克，则销售桑葚酒的单价为40元/千克．2 1
（2）桑葚酱降价后的单价为50(1− a%)(a>0)，桑葚酒降价后的单价为(40− a)元，
5 4
125000 200000
桑葚酱的销量为 =2500千克，桑葚酒的销量为 (1−a%)=5000(1−a%)千克，
50 40
2 1
∴50(1− a%)×2500+(40− a)⋅5000(1−a%)= 125000+200000−3500a
5 4
解得：a=20或a=0（舍去），
∴a=20
14．某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆
B型车贵10万元．
（1）求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少；
（2）据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的
车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月
的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当
每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？
【思路点拨】
（1）设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据“用650万元资金购进A、B两种型
号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元．”列出方程组，即可求解；
( m−4000 )
（2）设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出 20− ×1 辆，根据题意，列出方程，即可求
300
解
【解题过程】
（1）解：设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，
{ x+ y=30 )
根据题意得： ，
25x+(25−10)y=650
{x=20)
解得： ，
y=10
答：该公司购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆；
( m−4000 )
（2）解：设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出 20− ×1 辆，
300
根据题意得：
m−4000 m−4000 m−4000
m(20− ×1)+3000×10−500(20− ×1)−500×10−100× ×1=99500
300 300 300，
整理得：m2−10400m+26950000=0，
解得：m =4900,m =5500，
1 2
∵规定每辆车月租金不能超过5000元，
∴m=4900，
答：当每辆A型车的月租金定为4900元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万
元．
15．健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出A,B两种健康食品套餐，到年底共卖出m万
份，其中A套餐卖出a万份，两种套餐共获利润1500万元、已知销售一份A套餐可获利润20元，销售一份
B套餐可获利润45元．
（1）用含a的代数式表示m；
（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份B套餐的利润增加到100元，
每份A套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中A套餐的销售量增加
1
，两种套餐的总利润增加760万元．
3
①求2017年每种套餐的销售量；
②由于B套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份B套餐的利润在2017年
的基础上增加x%，2019年在2018年的基础上又增加2x%、若B套餐在近三年销售量不变的情况下，仅
2019年一年就获利2856万元，求x的值．
【思路点拨】
（1）根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）①根据题意，先确定A和B套餐的销售量，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；
②分别求出B套餐2017年、2018年、2019年的盈利，然后列出方程，解方程即可．
【解题过程】
解：（1）根据题意，B套餐卖出(m−a)份，则
45(m−a)=1500−20a，
300+5a 100 5
∴m= （或 + a）；
9 3 9
( 1) 4a
（2）①依题意得，2017年A项套餐销售量为： 1+ a= 万份，
3 3
( 1) ( 4 )
B项套餐销售量为：m− 1+ a= m− a 万份，
3 3{
20a+45(m−a)=1500
)
根据题意得： 1 4
20×(1+ a)+100(m− a)=2260
3 3
{a=21)
解得：
m=45
4a
所以2017年A项套餐销售量为 =28（万份）
3
( 4 )
2017年B项套餐销售量为 m− a =17(万份）
3
②依题意可知，
2017年B项套餐每份盈利100元，
2018年B项套餐每份盈利100(1+x%)元，
2019年B项套餐每份盈利100(1+x%)(1+2x%)元，
所以根据题意得：
100(1+x%)(1+2x%)×17=2856
设x%= y，则100(1+ y)(1+2y)×17=2856
解得：y =0.2
1
y =−1.7(不符合题意，舍去）
2
∴x=20．
16．葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍品”，它既可鲜食又可加工成各种
产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍
珠”、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在6月购进
“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的3倍．
（1）那么原计划今年6月至少购进“仙粉黛”多少千克？
（2）今年6月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是
原计划的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为1∶3购进两种葡萄一共160千克，
按照单价4∶3售出，共得销售额1040元．通过7月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，
同时降价促销；8月商店购进“黑珍珠”、“仙粉黛”的质量在6月的基础上分别增加了2a%、a%，同时
5 5
为了尽快全部售出，每千克售价在今年7月份的基础上分别降价 a%、 a%（降价幅度不超过
24 9
50%），最终8月的销售额比7月的销售额增加了535元．求a的值．【思路点拨】
（1）设原计划今年6月购进“仙粉黛”x千克，则：x≥3（200-x）．
（2）由题可得：6月购进“黑珍珠”50千克，“仙粉黛”150千克；7月购进“黑珍珠”40千克，“仙粉
黛”120千克．设7月“黑珍珠”单价为4m，“仙粉黛”单价为3m，则有：40×4m+120×3m=1040，易得7
月“黑珍珠”单价为8元/千克，“仙粉黛”单价为6元/千克．根据题意列出方程并利用换元法解方程．
【解题过程】
解：（1）设原计划今年6月购进“仙粉黛”x千克，则：x≥3（200-x）．
解得：x≥150，
答：原计划今年6月至少购进“仙粉黛”150千克；
（2）由题可得：6月购进“黑珍珠”50千克，“仙粉黛”150千克；7月购进“黑珍珠”40千克，“仙粉
黛”120千克．
设7月“黑珍珠”单价为4m，“仙粉黛”单价为3m，则有：40×4m+120×3m=1040，
∴m=2．
则7月“黑珍珠”单价为8元/千克，“仙粉黛”单价为6元/千克．
5 5
列方程为：50(1+2a%)×8(1− a%)+150(1+a%)×6(1− a%)=1040+535．
24 9
令a%=t，则：80t2-134t+33=0，
11 3
∴t= ，t= ．
1 8 2 10
11
又∵当t= 时，
8
5 55 1
a%= ＞ ，舍去．
9 72 2
3
∴t= ．
10
∴a=30．
答：a的值是30．
17．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，
4月8日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产
品.已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售18万份，其中周黑鸭的销量是热干面的3.5倍．
（1）求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
（2）为刺激消费，直播中推出了优惠活动.疫情前，疫情期间售价均为100元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以6折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为60元一份的热干面（一
份里面有6包热干面），以5折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少2a%，疫情期
间的日销售额比疫情前的日销售额减少了680万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少
10
a%，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了8a%；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比
3
直播当天的总销售额少5a%，求a的值．
【思路点拨】
（1）设当天的直播活动中销售了x万份热干面，则销售了3.5x万份周黑鸭，由题意得：x+3.5x=18，求
解x的值，进而可得3.5x的值；
（2）由题意得：
10
[100×14×(1−2a%)−680]+60×4×(1− a%)×(1−8a%)=(100×0.6×14+60×0.5×4)×(1−5a%)
3
，计算求出满足要求的解即可．
【解题过程】
（1）解：设当天的直播活动中销售了x万份热干面，则销售了3.5x万份周黑鸭，由题意得：x+3.5x=18
，
解得：x=4，
∴3.5x=14．
答：当天的直播活动中销售了14万份周黑鸭；
（2）解：由题意得：
10
[100×14×(1−2a%)−680]+60×4×(1− a%)×(1−8a%)=(100×0.6×14+60×0.5×4)×(1−5a%)
3
，
整理得：4a2−45a=0，
45
解得：a = ，a =0(不合题意，舍去)．
1 4 2
45
∴a的值为 ．
4
18．国庆节期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价
﹣进货价）
类别 A款保温杯 B款保温杯价格
进货价（元/个） 35 28
销售价（元/个） 50 40
（1）网店第一次用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数；
（2）第一次购进的保温杯售完后，该网店计划再次购进A，B两款保温杯共110个（进货价和销售价都不
变），且进货总价不高于3360元，则全部售完购进的保温杯，该网店可获得的最大利润是 元；
（3）国庆节过后，网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4个，经调查发
现，每降价1元，平均每天可多售2个，那么将销售价定为每件多少元时，才能使B款保温杯平均每天销
售利润为96元？
【思路点拨】
（1）设购进A款保温杯x个，B款保温杯y个，由题意：网店第一次用1540元购进A，B两款保温杯共50
个，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进m个A款保温杯，则购进(110−m)个B款保温杯，由题意：进货总价不高于3360元，列出一
元一次不等式，解得m≤40．设再次购进的A、B两款保温杯全部售出后获得的总利润为w元，则
w=(50−35)m+(40−28)(110−m)=3m+1320，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设B款保温杯的售价定为a元，则每个的销售利润为(a−28)元，平均每天可售出(84−2a)个，使B
款保温杯平均每天销售利润为96元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解题过程】
（1）解：设购进A款保温杯x个，B款保温杯y个，
{ x+ y=50 )
依题意得： ，
35x+28 y=1540
{x=20)
解得： ，
y=30
答：购进A款保温杯20个，B款保温杯30个．
（2）解：设购进m个A款保温杯，则购进(110−m)个B款保温杯，
依题意得：35m+28(110−m)≤3360，
解得：m≤40．
设再次购进的A、B两款保温杯全部售出后获得的总利润为w元，则
w=(50−35)m+(40−28)(110−m)=3m+1320．
∵3>0，
∴w随m的增大而增大，∴当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40+1320=1440，此时110−m=110−40=70．
即网店可获得的最大利润是1440元．
（3）解：设B款保温杯的售价定为a元，则每个的销售利润为(a−28)元，平均每天可售出
4+2(40−a)=(84−2a)个，
依题意得：(a−28)(84−2a)=96，
整理得：a2−70a+1224=0，
解得：a =34，a =36．
1 2
答：将销售价定为每件34元或36元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元．
19．为奠基孩子深厚的人文底蕴，某中学初一年级各班家委会准备去书店购买《乐山乐水》、《艾青诗
选》和《朝花夕拾》这三本书．书店老板从图书批发市场分别以10元/本、20元/本、12元/本的价格购进
《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书共4500本，已知《乐山乐水》的数量是《朝花夕
拾》的数量的3倍，共花费52000元．
（1）求书店老板分别购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书各多少本？
（2）该书店老板一开始分别以25元/本、60元/本、30元/本的价格售卖《乐山乐水》、《艾青诗选》和
《朝花夕拾》这三本书，每天能售卖《乐山乐水》120本，《艾青诗选》50本，《朝花夕拾》20本，后面
经调查发现，不少学生早已购买《朝花夕拾》，于是他准备在原来售价的基础上，《乐山乐水》的售价不
a a
变，《艾青诗选》的每本售价提升原来的 ，《朝花夕拾》每本降价 元，调整售价后，《乐山乐水》每
15 5
a a
天多售卖 本，《艾青诗选》每天多售卖 本，《朝花夕拾》的售卖量每天保持不变，这样一天能获利
3 4
6836元，求a的值．
【思路点拨】
（1）设书店老板分别购进《艾青诗选》x本和《朝花夕拾》y本，则《乐山乐水》的数量是3y本，根据三
本书共4500本，共花费52000元．即可列出方程组求解；
（2）根据每天总利润=三种书每天利润和列方程即可解答．
【解题过程】
（1）解：设书店老板分别购进《艾青诗选》x本和《朝花夕拾》y本，则《乐山乐水》的数量是3y本，根
据三本书共4500本，共花费52000元．可得：
{ 3 y+x+ y=4500 )
，
30 y+20x+12y=52000{ x=500 )
解得： ，
y=1000
《乐山乐水》的的数量是3 y=3000本．
答：书店老板购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》的数量分别是3000本、500本、1000本．
（2）依题意可知：调整售价后，
1
《乐山乐水》的售价为25元，每本利润为（25-10）=15元，每天售卖(120+ a)本；
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《艾青诗选》的每本售价为(60+60× a)=(60+4a)元，每本利润为(60+4a−20)=(40+4a)元，每
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天售卖(50+ a)本；
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《朝花夕拾》每本售价为(30− a)元，每本利润为(30− a−12)=(18− a)元，每天售卖20本；
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依题意得：15(120+ a)+(40+4a)(50+ a)+20(18− a)=6836，
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整理得：a2+211a−2676=0，
(a−12)(a+223)=0
解得：a =12，a =−223（不合题意舍去），
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答：a的值为12．
20．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出
200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所
示的函数关系．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定
价；若不能，请说明理由．【思路点拨】
（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
【解题过程】
（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)，
由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300），
将其代入y=kx+b 得¿¿
解得¿¿
∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200；
（2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910，
整理得 x2－20x＋91＝0，
解得：x＝7, x＝13；
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当x＝7时，售价为100－7＝93（元），
当x＝13时，售价为100－13＝87（元），
∵优惠力度最大，
∴取x＝13，
答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；
（3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，
∴100－60－x ≥ 60×50%,
解得：x≤10；
依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000，
整理得 x2－20x＋100＝0，
解得：x＝x＝10；
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