文档内容
专题 3-4 平行四边形（考题猜想，特殊四边形的性质在折叠问题中的巧
用）
技巧1：巧用平行四边形的性质解决折叠问题
【例题1】（22-23八年级下·河南信阳·期中）如图，在 中， ，现将 沿 折
叠，使点 与点A重合，点 与点落在点 处，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及折叠变换，关键是找准折叠后些角是对应相等的
【变式1】（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，将平行四边形纸片 折叠，使顶点 恰好落在边
上的点 处，折痕为 ，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，将平行四边形纸片 按如图方式折叠，使点 落
到 处，交 于点 ，折痕为 ，若 ， ，则 的度数为 ．【变式3】（22-23八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在四边形纸片 中， ，将纸片沿
折叠，点A、D分别落在 ， 处，且 经过点B， 交BC于点G，连接 ，若 平分 ，
， ，则 的度数是 ．
【变式4】．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，将平行四边形 折叠，使得点 落在点 处，
点 落在点 处，折痕为 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求平行四边形 的面积．
【变式5】．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，把平行四边形纸片 沿 折叠，点 落在点
处， 与 相交于点 ，连接 .求证：(1) ；
(2) .
【变式6】．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分
内容．
如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片 ，将矩形纸片沿过点 的直线折叠，使点 落在边
上，点 的对应点为 ，折痕为 ，点 在 上．
求证：四边形 是正方形．（请完成以下填空）
证明： 四边形 是矩形，
，
折叠， ，
四边形 是矩形（）．
折叠， ，
四边形 是正方形（）
(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片 ，将平行四边形纸片沿过点 的直线折叠，
使点 落在边 上，点 的对应点为 ，折痕为 ，点 在边 上．
①求证：四边形 是菱形．
②连结 ，若 ， ，求菱形 的面积．【变式7】．（23-24八年级下·重庆铜梁·阶段练习）综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片
中，E为 边上任意一点，将 沿 折叠，点D的对应点为 ．
分析探究：
（1）如图1，当 ，当点 恰好落在 边上时，三角形 的形状为 ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为 边的三等分点时，连接 并延长，交 边于点G．试判断线段 与
的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当 ， 时，连接 并延长，交 边于点H．若 的面积为
24， ，请直接写出线段 的长．
【变式8】．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）【理解概念】
定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．
（1）下列四边形是三等角四边形的是_________．（填序号）
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
【巩固新知】
（2）如图 ，折叠平行四边形 DEBF，使得顶点 E、F 分别落在边 BE、BF上的点 A、C 处，折痕为
DG、DH．
求证：四边形 ABCD 为三等角四边形．【拓展提高】
（3）如图 ，在三等角四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C，若 AB＝5， ，DC＝7，则BC的长
度为_________．
技巧2：巧用菱形的性质解决折叠问题
【例题2】（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，菱形纸片 中， ，折叠菱形纸片 ，
使点 落在 （ 为 中点）所在的直线上，得到经过点 的折痕 ．则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，已知菱形 的边长为6，且 ，点
分别在 边上，将菱形沿 折叠，使点B正好落在 边上的点G处．若 ，则 的
长为 ．【变式2】．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形纸片 ，将该菱形
纸片折叠，使点 恰好落在 边的中点 处，折痕与边 、 分别交于点 ．则 的长为
．
【变式3】．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在菱形纸片 中， ， 是
边的中点，将菱形纸片沿过点 的直线折叠，使点 落在直线 上的点 处，折痕为 ， 与 交
于点 ．有如下结论：① ；② ；③ ；④ ．上述结论中，所
有正确结论的序号是 ．
【变式4】．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片 中， ．
（1） ．
（2）点E在 边上，将菱形纸片 沿 折叠，点C对应点为点 ，且 是 的垂直平分线，
则 的大小为 ．
【变式5】．（23-24八年级下·河北保定·期中）菱形 是矩形纸片 按如图所示的方式折叠而成，
若菱形 的面积为 ，则 长为 ．【变式6】（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，将菱形纸片 折叠，使点A恰好落在菱形对角线
的交点O处，折痕为 ，则点E、F分别为边 、 的中点．若 ， ，则
．
【变式7】．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形 中， ， 折叠该菱形，
使点 落在边 上的点 处，折痕分别与边 、 交于点 、 当点 与点 重合时， 的长为
；当点 的位置变化时， 长的最大值为 ．
【变式8】．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形 中， ， ，点 是 上
一点，将菱形沿着 折叠，使点 落在点 处， 与 交于点 ，点 是 的中点， ，
则 的长为 ．
技巧3：巧用矩形的性质解决折叠问题
【例题3】（22-23八年级下·四川南充·期末）如图，将矩形 沿对角线 所在直线折叠，点C落在
同一平面内，落点记为 ， 与 交于点E，若 ，则 的长为（ ）A．6.25 B．6.35 C．6.45 D．6.55
【变式1】（22-23八年级下·湖北黄冈·期末）如图，矩形纸片 中，E为 的中点，连接 ，将
沿 折叠得到 ，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
【变式2】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图1，将一张矩形纸片 沿着对角线 向上折叠，顶
点C落到点E处
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作 ，交 于点G，
①判断四边形 的形状，并说明理由；
②若 ，求 的长为 _________．
【变式3】（22-23八年级下·河南商丘·期中）如图所示，折叠长方形 的一边 ，使点D落在
边的点F处， ，求 的长．【变式4】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形 中， ， ，点E是 上一点.
将 沿 折叠后，得到 .点F在矩形 内部，延长 交 于点G.
(1)如图①，当点E是 中点时，求 的长；
(2)如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证： ；
(3)如图③，在矩形 中，当点F落在矩形对角线 上时， 的长是
【变式5】（22-23八年级下·海南海口·期末）【证明推断】（1）如图1，在矩形 中， ，点
P是 的中点，将 沿直线 折叠得到 ，点 落在矩形 的内部，延长 交 于点
E，连接 ．
求证：① ；② ；③若 ，求 的长；【类比探究】（2）如图2，将（1）中“矩形 ”改为“平行四边形 ”，其他条件不变，（1）
中的①②结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展运用】（3）如图3，在平行四边形 中， ，点P是 的中点，将 沿直线 折
叠得到 ，点 落在 的内部，延长 交 于点E，连接 ．连接 与 交于点M，
与 交于点N．
求证：四边形 是矩形．
【变式6】（22-23八年级下·江苏连云港·阶段练习）将一个矩形纸片 放置在平面直角坐标系中， ，
分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为 ．
(Ⅰ)如图①，将矩形纸片 折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段 ，求点D坐标；
(Ⅱ)如图②，点E，F分别在 ， 边上．将矩形纸片 沿线段 折叠，使得点B与点 重合，
若反比例函数 经过点C的对应点G，求k的值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若点P是坐标系内任意一点，点Q在y轴上，使以点D，F，P，Q为顶点的四边形是
菱形，请直接写出满足条件的点P的坐标．【变式7】（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系 中，
，将 沿直线 折叠，点A落在点D处， 交 边于点E．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)求 的长．
(3)点F在y轴上，在坐标平面内找一点G，使得以O、E、F、G为顶点的四边形是以OE为边的菱形?请直
接写出点G的坐标．
技巧4：巧用正方形的性质解决折叠问题
【例题4】（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，现有一张边长为4的正方形纸片 ，将正方形纸
片折叠，使得B点落在 边上点P处（P不与A，D重合）折痕为 ，C点落在G点处， 交 于
H，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 的周长为8；④若
，则 ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图，四边形 是边长为4的正方形，F为边 上一点且 ，E为边 上一点，把 沿着 折叠，得到 ，若 为直角三角形，则 的
长为 ．
【变式2】（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在正方形 中，E是 边上一点（不与B、C重
合），将正方形 沿 折叠，使点B落在点F处，延长 交 于点G，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ．
①求 的周长：
②若点E是 的中点， 是 的平分线，求 的长
【变式3】（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形 中， 是边 的中点，将 沿
折叠，得到 ，延长 交边 于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【变式4】．（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）【模型建立】
如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE⊥BF，AE与BF相交于点P．AE，BF有
什么数量关系?请说明理由．
【迁移应用】
如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明）
（1）以AB为边画正方形ABCD；
（2）取CD中点E，连接AE：
（3）在AD上找点G，连接BG，使BG=AE．
【拓展提升】
如图3，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，将正方形沿EF折叠，点A，D的对应点分别为
A'，D'，使得点A'始终落在边BC上，A'D与CD相交于点G．
（1）若AB=5，BA'=2，求DF的长度；（2）点E，F在边AB，CD上运动时，连接AG，则∠A' AG的大小是否发生改变，若不变，求出大小，
若改变，请说明理由．
【变式5】．（2023春·江苏南京·九年级校联考期中）点 E．F 分别为正方形 ABCD 边 AD．AB 上的点，
连接 CE，DF 交于点 P．
(1)如图 1，若 DE=AF，则线段 DF 与 CE 具有怎样的数量和位置关系？说明理由．
(2)如图 2，若 E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，求证 BP=BC．
(3)若将正方形 ABCD 折叠，使得 A 点的对应点 A'落在 BC 边上，折痕 MN 分别交 AB，CD 于 M，
N．若正方形的的边长为 6，线段 A'B=2，则 DN 的长为 ．【变式6】．（2023春·广东江门·九年级统考期末）综合与实践：
如图1，已知正方形纸片ABCD．
实践操作
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD
相交于点O．
第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交
于点G，然后展平，连接GE，EF．
问题解决
（1）∠AGD的度数是______；
（2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由；
探索发现
（3）如图3，若AB=1，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，
N．求M N2的值．
