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专题5 有理数及图形规律探究性问题（原卷版）
类型一 数的规律
1 1 1 1
1．（1）观察一列有规律的数： ， ， ， ，…，那么第n个数是 ；（用含n的式子表示）
2 6 12 20
2 4 8 16
（2）下面是按一定规律排列的一列数： ，− ， ，− ，…，那么第n个数是 ．（用含n的
3 5 7 9
式子表示）
2．观察一列有规律的数：﹣1，3，﹣7，15，﹣31，则它的第n个数是 ．
3．（张家界中考）观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（ ）
A．22007 B．22007﹣1 C．22008 D．22006
2 4 6 8
4．（2022秋•游仙区校级月考）下面是按一定规律排列的一列数： ，− ， ，− ，…那么第200个数
3 5 7 9
是 ．
5．观察下列式子：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，用你发现的
规律，写出22022的末位数字是 ．
6．（2022秋•新抚区校级月考）观察下列三行数，并按规律填空：
﹣1，2，﹣3，4，﹣5，_____，_____，……
1，4，9，16，25，_____，_____，……
0，3，8，15，24，_____，_____，……
（1）第一行数按什么规律排列？ ；
（2）第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？ ；
（3）取每行数的第10个数．计算这三个数的和 ．
7．（2020秋•岫岩县期中）观察下面三行数：
﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…；
﹣5，7，﹣29，79，﹣245，…；
1，﹣3，9，﹣27，81，…．
（1）第一行数按什么规律排列？
（2）第二、三行数与第一行数分别有什么关系？
（3）取每行第6个数计算他们的和．类型二 有理数运算规律
8．已知整数a ，a ，a ，a ，…，满足下列条件：a ＝0，a ＝﹣|a +1|，a ＝﹣|a +2|，a ＝﹣|a +3|，…，
1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3
依次类推，则a 的值为（ ）
2024
A．﹣2024 B．2024 C．﹣1012 D．1012
9．（2023•武安市二模）小明在计算有规律的算式1﹣2+3﹣4+5⋯+19﹣20时，不小心把一个运算符号写
错了（“+”错写成“﹣”或“﹣”错写成“+”），结果算成了﹣36，则原式从左到右数，写错的运
算符号是（ ）
A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个
10．（2023春•泗县期末）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝
3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2023，则m的值
是（ ）
A．46 B．45 C．44 D．43
11．（2023春•高邮市期中）观察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝ ．
12．（2023•上杭县校级开学）若2△3＝2+3+4＝9，5△4＝5+6+7+8＝26，按此规律4△3＝ ．
13．（2020秋•福田区期末）如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100①
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101②
②减去①，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．类型三 图形规律
14．（2021春•北碚区校级期末）如图1是由两个实心点组成，图2由五个实心点组成，图3由十个实心点
组成，依此类推，则前六个图形共有实心点的个数为（ ）
A．37 B．57 C．77 D．97
15．（2023春•碑林区校级期中）如图，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，
第 1 幅图形中“•”的个数为 a ，第 2 幅图形中“•”的个数为 a ，第 3 幅图形中“•”的个数为
1 2
a ，…，以此类推，则a ﹣a 的值为 ．
3 2023 2021
16．（2021春•石景山区期末）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形
镶嵌而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图
案有13个三角形，…，按照这样的规律，第 5个图案中有 个三角形，第n个图案中有
个三角形（用含有n的代数式表示）．
17．（2018秋•蓬江区校级期中）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层
有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，
图2中所有圆圈的个数为．
（1）这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝ ；
（2）如图1，我们自上往下堆11层时，图中共有 个圆圈．
（3）我们自上往下堆12层，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；
（4）我们自上往下堆 12层，在每个圆圈中都按图 4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣
21，…，求图4所有圆圈中各数的绝对值之和．
18．（2023•龙岩开学）用小棒按下面的规律拼摆八边形．
萌萌、亮亮、乐乐、欢欢通过观察图形，找出了拼摆成的八边形的数量n和需要小棒的数量a之间的关
系．下面说法正确的是（ ）
A．萌萌：a＝16+16n（n＞3） B．亮亮：a＝7n+1
C．乐乐：a＝8n﹣1 D．欢欢：a＝7n+n
19．（2023•东海县开学）观察如图，它的计算过程可以解释_____这一运算规律．（ ）
A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律
20．（2022 秋•松滋市期末）现规定一种新运算▲，满足“1▲1＝0”，“2▲1＝3”，“3▲1＝
8”，“4▲1＝15”，“5▲1＝24”，按照规律，则“9▲1＝ ”，“n▲1＝ ”．
21．（2023春•招远市期中）请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么
会有这样的规律？
（1）填写表格内的空格：
n输入 ﹣1 2 5 …
输出答案 …
（2）你发现的规律是： ．
（3）请用符号语言说明你发现的规律的理由．
