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专题6.6 立方根（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·全国·七年级专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
2．（2023下·河南商丘·七年级统考期中） 的平方根为 ， 的立方根为
2，则 的值为（ ）
A． B．3 C． D．不确定
3．（2024上·山东威海·七年级统考期末）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·浙江绍兴·七年级统考期末）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
5．（2019下·七年级课时练习）- ，则a的值为( )
A． B． C． D．
6．（2023下·四川绵阳·七年级统考期末）一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的
棱长变为原来的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
7．（2021上·山东烟台·七年级统考期末）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行
计算，其按键顺序如图，则输出结果应为（ ）
A．8 B．4 C． D．
8．（2021上·山东青岛·八年级统考期中）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，
从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置
的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
9．（2023下·河北邢台·七年级校考阶段练习）有这样一道题目：“已知 ，
求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（ ）
甲：x的值是1；
乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值
A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2
C．乙说的对，x的另一个值是 D．两人都不对，x应有3个不同值
10．（2023下·江苏南通·七年级校考阶段练习）某个数值转换器的原理如图所示：若
开始输入 的值是 ，第 次输出的结果是 ，第 次输出的结果是 ，依次继续下去，
则第 次输出的结果的算术平方根的立方根是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022下·七年级课前预习）若 是5的立方根，则b＝ ，若 ＝－2，
则a＝ ．
12．（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）已知一无盖正方体容器的表面积为
300dm2，则该容器的体积约为 ．（结果保留三位小数；提示： ，
， ， ）13．（2016上·八年级课时练习） 的立方根是 ．
14．（2019·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）已知 ﹣2x﹣1＝0，
则x＝ ．
15．（2021下·山东临沂·七年级统考期中）下面为一凡同学的小测卷，他的得分应是
分
姓名一凡得分______
判断对错（每小题20分，共100分）
（1）5是25的算术平方根（√）；
（2） 是 的平方根（×）；
（3）（﹣4）2的平方根是﹣4（×）；
（4）±4是64的立方根（×）；
（5）（﹣4）3的立方根是﹣4（√）．
16．（2023下·江苏南通·七年级统考期中）已知半径为 的球的体积是 ，现要生
产一种容积为 的球形容器，则这种容器的半径是 ．
17．（2022上·山西大同·八年级统考期中）若用该正方形纸片制作一个体积为
的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为 ．
18．（2022上·浙江温州·七年级温州市第十二中学校联考期中）底面积为 ，高
为19cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为 ，现将一个边长为6cm的立方体铁
块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm的立
方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．
此时水位高度为 ，若 ，则 cm．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）已知一个数的平方根分别为
和 ， 的立方根为2．
（1）求 ， 的值； （2）求 的算术平方根．
20．（8分）（2023上·全国·八年级专题练习）计算求下列各式中的x
(1) ； (2) ．
21．（10分）（2024下·全国·七年级假期作业）七年级数学兴趣小组在学校的“数学
长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
我们知道，当 时， 也成立．因为 是 的立方根， 是 的立方根，
所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断猜测的结论是否成立；
（2）根据以上结论，若 与 的值互为相反数，求 的值．
22．（10分）（2024上·河北承德·八年级统考期末）如图1，这是一个3阶魔方，由三
层完全相同的27个小立方体组成，体积为27．（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形 ，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）在图2的 方格中画一个面积为10的正方形．
23．（10分）
（2023下·湖北咸宁·七年级统考期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解
决下列问题：
，
（1）归纳：已知数 的小数点的移动与它的算术平方根 的小数点移动间有何规律？
(2)①已知 ，则 ______；
②已知 ，则 ______；
（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知 ，用含 的代数
式表示 ．
24．（12分）（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）根据已知条件求值：
（1）已知实数 、 、 在数轴上的位置如图所示，试化简：．
（2）已知， 、 互为倒数， 、 互为相反数，求 的值．
（3）若9的平方根是 ， 的绝对值是4，求 的值？
（4）已知 的平方根为 ， 的算术平方根为4，求 的平方根．
（5）若 、 、 满足 ，求代数式 的值．参考答案：
1．D
【分析】根据绝对值的含义，平方根和立方根的特点回答问题即可．
【详解】解：A、只有 时，有 ，故本选项错误；
B、若 均大于0，如果 ，那么 ，故本选项错误；
C、如果 ，那么 或 ，故本选项错误；
D、如果 ，那么 ，本选项正确，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了绝对值的含义，平方根和立方根的性质，要熟练掌握．
2．B
【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出a，b，代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵ 的平方根为 ， 的立方根为2，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故选B；
【点拨】本题考查平方根的定义，立方根的定义，解题的关键是根据定义列式求解．
3．C
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，正确根据定义计算是解题的关键．
【详解】A． ，正确，不符合题意；
B． ，正确，不符合题意；
C． ，错误，符合题意；
D． ，正确，不符合题意；
故选C．4．A
【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义，即可解答．
【详解】解：A、∵ ，∴ 与 互为相反数，符合题意；
B、∵ ，∴ 与 不互为相反数，不符合题意；
C、∵ ，∴ 与 不互为相反数，不符合题意；
D、∵ ， ，∴ 与 不互为相反数，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题主要考查相反数的定义，求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方和立
方根的定义，以及只有符号不同的数是相反数．
5．B
【分析】根据立方根的定义求解.
【详解】∵ =- ,
∴a=- .
故选B.
【点拨】考查了根式的化简，解题关键是运用了 .
6．A
【分析】根据正方体的体积计算公式和立方根的定义即可求解．
【详解】解：设原来的棱长为x，那么现在的体积为 ，
∵ ，
∴它的棱长变为原来的2倍，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了立方根与立方体的体积公式，解题关键是利用立方根的定义准确的求出新立方体
的棱长，从而求出棱长之间的关系．
7．D【分析】根据2ndf键是功能转换键列算式，然后解答即可．
【详解】解：依题意得： ．
故选：D．
【点拨】本题考查了利用计算器进行数的开方，是基础题，要注意2ndf键的功能．
8．D
【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长 ，再由三视图可知，最高处
有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．
【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3，
∴小立方体的棱长 ，
由三视图可知，最高处有四个小立方体，
∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，
故选D．
【点拨】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．
9．D
【分析】根据立方根的性质进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 或 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
即x有3个不同的值，故两人说法都不对；
故选：D．
【点拨】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．
10．D
【分析】根据题意和题目中的数值转换器可以写出前几次输出的结果，从而可以发现数字的变化规律，进
而求得第2020次输出的结果，再计算算术平方根的立方根即可．
【详解】解：由题意可得，
当 时，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，
第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，第六次输出的结果是1，
第七次输出的结果是4，第八次输出的结果是2，
……，
∵ ，
则第2020次输出的结果是4，
4的算术平方根是2，2的立方根是 ，
故选：D．
【点拨】本题考查数字的变化类，程序图，算术平方根和立方根，解答本题的关键是明确题意，发现题目
中数字的变化特点，求出相应的数字．
11． 1 -8
【解析】略
12．0.465
【分析】先由表面积求出正方体的边长，即可求出体积．
【详解】解：设正方体的边长为 ，由题意得
解得： ， ，
体积为
．
【点拨】本题考查了正方体的表面积和体积，掌握边长的求法是解题的关键．
13．
【详解】因为 =6，所以6的立方根是 .故答案为
14．0或﹣1或﹣
【分析】将原方程变形得到 ＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.
【详解】∵ ﹣2x﹣1＝0，
∴ ＝2x+1，
∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，
解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣ ．
故答案为：0或﹣1或﹣ ．
【点拨】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键.
15．
【分析】根据平方根和立方根的有关性质，对一凡试卷的每个题进行判断即可．
【详解】解：（1）5是25的算术平方根（√），回答正确；
（2） 是 的平方根（√），回答错误；
（3）（﹣4）2的平方根是﹣4（×）， ，平方根是 ，回答正确；
（4）±4是64的立方根（×），64的立方根为4，回答正确；
（5）（﹣4）3的立方根是﹣4（√）， ，立方根是﹣4，回答正确；
所以小凡得 分
故答案为80．
【点拨】此题主要考查了平方根、立方根的计算，熟练掌握平方根和立方根的求解是解题的关键．
16．3
【分析】设这种容器的半径为 ，根据题目所给体积公式，列出方程求解即可．
【详解】解：设这种容器的半径为 ，
，
，
，
，
故答案为：3．【点拨】本题主要考查了立方根的应用，解题的关键是根据题意列出方程，熟练掌握立方根的定义，根据
立方根的定义解该方程．
17．
【分析】根据体积求得正方体的边长，然后求出所用面积即五个正方形的面积．
【详解】解：因为无盖正方体的体积是 ，所以边长为 ，
所用面积为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是正方体的边长与面积的关系，求一个数的立方根、面积的求法，解题的关键是要了
解它们之间的关系．
18．4
【分析】根据 是两个立方体放入水中后水位上升的高度，利用水位上升的高度等于浸没在水中部分
的立方体的体积÷圆柱体的底面积，列式进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得： ；
故答案为：4．
【点拨】本题考查立方根的应用．解题的关键是明确水位上升的高度等于水位上升的高度等于浸没在水中
部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积．
19．(1) ，
(2)3
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，平方根的概念，根据一个数的立方根求这个数等等，解题的
关键在于熟知平方根和立方根的定义：对于两个实数a、b，若满足 ，那么a就叫做b的平方根，若
满足 ，那么a就叫做b的立方根；
（1）根据一个数的两个平方根互为相反数得到 ，解方程求出a，再根据立方根的定义得到，解方程求出b即可；
（2）根据（1）所求求出 的值，再根据算术平方根的定义求出答案即可．
【详解】（1）解：∵一个数的平方根分别为 和 ，
∴ ，
∴ ；
∵ 的立方根为2，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的算术平方根是 ．
20．(1) ，
(2)
【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点拨】本题主要考查平方根和立方根的定义，掌握相关知识是解题的关键．
21．(1)成立，见解析
(2)【详解】解：（1）如 ，则 ，结论成立．
（2）由题意，得 ，
，
22．(1)3
(2)5，
(3)见解析
【分析】本题考查了立方根的计算，勾股定理，网格作图．
(1)设魔方的棱长为x，根据题意，得 ，解答即可．
(2)根据分割法求面积，根据正方形的性质求边长即可．
(3)设正方形的边长为m，根据题意，得 ，求得边长，再仿照阴影图形的结构，画图解答即可．
【详解】（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得 ，
解得 ．
故魔方的棱长为3．
（2）∵魔方的棱长为3，
∴阴影面积为： ，
设正方形的边长为y，
则 ，
解得 （舍去），
故正方形的面积是5，边长为 ．
（3）设正方形的边长为m，根据题意，得 ，
解得 （舍去），画图如下：
23．(1)数 的小数点每移动两位它的算术平方根 的小数点相应移动一位；
(2)①0.447；②36800；
(3) ．
【分析】（1）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律；
（2）根据规律即可得出答案；
（3）先探讨被开方数与其立方根小数点移动规律，再根据规律解决此题．
【详解】（1）∵ ，
∴规律是：数a的小数点每每向右移两位，它的算术平方根 的小数点相应向右移一位；
（2）①∵ ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ ．
故答案为：①0.447；②36800；
（3）∵ ，
∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查算术平方根、立方根，规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规
律是解决本题的关键．24．(1)
(2)0
(3) 的值为 或1或 或7
(4)
(5)
【分析】（1）根据实数 、 、 在数轴上的位置得出 ， ， ， ，然后进行
化简即可；
（2）根据倒数，相反数的定义得出 ， ，然后代入求值即可；
（3）根据平方根定义和绝对值意义求出a、b的值，然后代入求值即可；
（4） 的平方根为 ， 的算术平方根为4求出a、b的值，然后代入求值即可；
（5）根据非负数的性质求出 、 、 的值，然后再代入求值即可．
【详解】（1）解：根据实数 、 、 在数轴上的位置可知， ， ， ， ，
∴
；
（2）解：∵ 、 互为倒数， 、 互为相反数，
∴ ， ，
∴
；
（3）解：∵9的平方根是 ， 的绝对值是4，
∴ ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；当 ， 时， ；
综上分析可知， 的值为 或1或 或7．
（4）解：∵ 的平方根为 ， 的算术平方根为4，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ；
（5）解：∵ ，
∴ ， ， ，
解得： ， ， ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根定义，非负数的性质，绝对值的意义，解题的关键
是理解相关的定义和性质，准确计算．
