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专题 7.10 平面直角坐标系（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】有序数对
把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序
数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，
190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间
定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表
示座位号.
【知识点二】平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：
特别提醒：
（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，
这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关
系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．
② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
② x轴上两点A(x，0)、B(x，0)的距离为AB=|x - x|；
1 2 1 2
y轴上两点C(0，y)、D(0，y)的距离为CD=|y - y|．
1 2 1 2
③ 平行于x轴的直线上两点A(x，y)、B(x，y)的距离为AB=|x - x|；
1 2 1 2
平行于y轴的直线上两点C(x，y)、D(x，y)的距离为CD=|y - y|．
1 2 1 2（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补
【知识点三】坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
特别提醒：
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以
得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)
(或(x，y-b))．
特别提醒：
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是
把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新
图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
特别提醒：
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的
坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上
加下减，横不变”．
【考点目录】
【考点1】有序数对； 【考点2】平面直角坐标系；
【考点3】坐标方法的简单应用（平移）； 【考点4】坐标系中的几何问题.
【考点1】有序数对；
【例1】（23·24七年级上·北京·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对
表示第m行、从左到右第n个数，如 表示实数5．（1）图中 位置上的数是 ；
（2）数据39对应的有序实数对可表示为 ；
（3）写出你发现的两条关于第 行的规律，其中n为自然数：
① ； ② ．
【答案】（1）22；；（2） ；（3）①该行上的数字是连续的奇数；②该行上的数字个数等于该
行数．
【分析】本题考查用有序数对表示位置，以及数字类规律探究．
（1）根据题意得到 表示第6行，第5个数，即可得出结论；
（2）先确定39所在的行数，以及所在行的第几个数，即可；
（3）由已知数据，可知，奇数行的数字为连续的奇数，个数与行数相同，即可．
（1）解：由题意， 表示第6行，第5个数，
由已知数据可知：奇数行的数字为连续的奇数，偶数行的数字为连续的偶数，且每一行数字的个
数与行数相同，
∴第6行的第一个数为14，第5个数为： ，
∴图中 位置上的数是22，
故答案为：22；
（2）∵第5行的最后一个数为17，
∴第7行的第一个数为19，最后一个数为 ，
∴第9行的第一个数为33，最后一个数为
∵ ，
∴ 是第9行的第4个数；
∴39对应的有序实数对可表示为 ，故答案为： ；
（3）∵ 为奇数，
∴该行上的数字为连续的奇数，该行上的数字的个数等于该行数．
故答案为：①该行上的数字是连续的奇数；②该行上的数字个数等于该行数．
【变式1】（21·22七年级下·河北邯郸·期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味
性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标
分别为 ， ，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据棋子“马”和“车”的点的坐标可得出原点的位置，建立起平面直角坐标系， 进而得
出答案．
解：∵表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为 ， ，
∴可得平面直角坐标系如图所示：
∴棋子“炮”的点的坐标为： ．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．【变式2】（23·24七年级上·江苏泰州·期末）如图，点 在射线 上， ．现将 绕点 按
逆时针方向旋转 到 ，那么点 的位置可以用 表示；再将 延长到 ，使 ，再将
按逆时针方向继续旋转 到 ，那么点 的位置可以用 表示．
【答案】
【分析】本题考查了坐标位置确定，直接利用已知点的意义，进而得出点 的位置表示方法，正确得
出坐标的意义是解此题的关键．
解：如图所示，由题意可得： ， ，
，
点 的位置可以用 表示，
故答案为： ．
【考点2】平面直角坐标系；
【例2】（23·24八年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 ．
（1）若点M在第四象限，且M到y轴的距离是3，求M点的坐标；
（2）若点M在第一、三象限的角平分线上，求M点的坐标．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的
点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征，解题的关键是掌握点的坐标特征．（1）根据题意得到 ， ，解答即可；
（2）根据题意得到点 横、纵坐标相等，进而即可求解.
（1）解：由题意得： ，
， ，
， ，
又∵点M在第四象限，
∴ ，
∴ ，则 ，
当 时， ，
（2）解;∵ 在第一、三象限的角平分线上,
∴ ，
∴ ，
∴ .
【变式1】（23·24七年级上·山东泰安·期末）已知点 的坐标为 ，线段 平行于 轴且
，则点 的坐标为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据平行于 轴的直线上的点的纵坐标相等，分点 在点
的左边与右边两种情况讨论求解，掌握平行于 轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键．
解：∵点 的坐标为 ，线段 平行于 轴，
∴点 的纵坐标为 ，
当点 在点 的右侧时，∵ ，
∴点 的横坐标为 ，此时点 的坐标为 ；
当点 在点 的左侧时，
∵ ，
∴点 的横坐标为 ，此时点 的坐标为 ；
∴点 的坐标为 或 ，
故选： ．
【变式2】（23·24八年级上·江西吉安·期末）已知点 在第二象限，且 ， ，求点
的坐标．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值、平方根、点所在的象限特征等知识点，掌握第二象限内的点的横坐
标小于零、纵坐标大于零是解题的关键．
先根据绝对值、平方根确定a、b的可能取值，然后根据点再第二象限确定a、b的值即可．
解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵点 在第二象限，
∴ ， ．
∴ ， ，即点 的坐标为 ．
故答案为 ．
【例3】（23·24八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知：四边形 是长方形，点 ， 分别在边
和 上， ， ， ，
（1） __________， __________．（2）设 的面积为 ，用含 的式子表示 ．当 时，求 点坐标．
【答案】（1） ， ；（2） ；
【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形；
（1）根据算术平方根和绝对值的非负性即可求解；
（2）根据面积公式即可求得 ，进而根据 ，得出 的坐标．
（1）解：∵
∴ ， ，
解得 ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴
，
∴ ；
由 得 ，
∴ ．
【变式1】（20·21七年级下·福建福州·期中）平面直角坐标系中，点 ，经过点A的直
线 轴，点C是直线l上的一个动点，则线段 的长度最小时，点C的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂线段最短可知， 时，线段 的长度最小，据此解答即可．
解：如图，根据垂线段最短可知， 时，线段 的长度最小，
∵ ， 轴，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握垂线段最短，属于中考常考题型．
【变式2】（21·22七年级下·湖北武汉·期中）如图，点 ，若 ，则m
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形．过点 作 轴，过点 作 轴，分点 在 点的左侧，
之间和 点右侧，三种情况进行讨论求解即可．掌握分割法求图形的面积是解题的关键．
解：如图，过点 作 轴，过点 作 轴，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
①当 时，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时， ，满足题意；
③当 时，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上： ．
故答案为： ．
【考点 3】坐标方法的简单应用（平移）；
【例4】（21·22七年级下·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，
，将线段 先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，使得点 平移到点 ，点 平
移到点 ．
（1）直接写出点A和点 的坐标，并证明 ；
（2）连接 ，求三角形 的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点 ，使三角形 的面积等于三角形 的面积的一半？若存在，求出
点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点 ，点 ，证明见分析；（2） ；（3）存在， 或 或
或
【分析】本题主要考查了平移的性质、平行线的性质、三角形的面积、坐标与图形等知识，熟练掌握平移的性质是解此题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
（1）本题主要考查利用平移的性质证明两条直线平行，再利用平行线的性质证明 ，对
于点A和点 的坐标，
直接利用平移性质求解即可．
（2）本题主要考查利用坐标来求三角形的面积，由于A，B，C都是定点，直接利用三角形的面积定
义法求解即可．
（3）本题考查面积存在性问题，利用方程思想解决，由于点 在坐标轴上，长度转化成坐标时，坐标
有正负，注意分类讨论的思想求解，做到不重不漏．
（1）解：点 ，点 ，
由平移的性质可得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴三角形 的面积为
（3）∵三角形 的面积为10，
∴三角形 的面积为5，
①若点 在 轴上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 或②若点 在 轴上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 或 ，
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【变式1】（22·23七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，将线段 平移后得到线段 ，已知点
A和D是对应点，点A、B、C、D的坐标分别为 ， ， ， ，则 的值为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．11
【答案】C
【分析】根据点A、 D横坐标判定出 向右平移了5个单位，从而可由点B、C坐标求出b；根据点
B、C纵坐标判定出 向上平移了1个单位，从而可由点A、 D纵坐标求出a；然后代入计算即可．
解：∵将线段 平移后得到线段 ， ， ， ， ，
∴将线段 向右平移了5个单位，向上平移了1个单位后得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查根据平移后点的坐标，判定平移方式，再根据平移方式确定平移后点的坐标，熟练
掌握平移坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．
【变式2】（22·23八年级上·安徽滁州·期中）平面直角坐标系中，将点 先向左平移
个单位长，再向上平移 个单位长，得到点 ，若点 位于第二象限，则 的取值范围是 ．【答案】
【分析】根据点的平移规律可得向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到 ，再
根据第二象限内点的坐标符号可得．
解：点 先向左平移 个单位长，再向上平移 个单位长得到点 ，
点 位于第二象限，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，
下移减．
【考点 5】平面直角坐标系中的几何问题.
【例5】（22·23七年级下·辽宁鞍山·期中）如图在直角坐标系中，已知 ， ， 三
点，若 ， ， 满足关系式： ．一动点 从 点出发，以每秒 个单位长度的
速度沿 轴负半轴运动，同时一动点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴正方向运动．
（1）直接写出 、 、 三点坐标： ， ， ．
（2）在运动过程中是否存在点 ，使 的面积等于 的面积?若存在，求出点 的坐标，若
不存在，请说明理由．
（3）在点 点 运动的过程中，当 时，请直接写出 与 之间的数量关系．
【答案】（1） ， ， ；；（2）存在， 当 在 上时， ； 当 在的延长线上时， ；（3） 或 ．
【分析】（ ）利用几个非负数之和为零，每一项都为两，即可求出 ， ， ，则可求
解 ， ， ；
（ ）分情况讨论， 当 在 上时，设 ，则 ， ，当 的面积等于
的面积时，即 ，则有 ，故 ； 当 在 延长线上时，设
，则 ， ，当 的面积等于 的面积时，即 ，则有
，故 ；
（ ）分情况讨论， 当 在 上时，过 作 ，由（ ）得 ，则 ，再根
据平行线的性质和角度和差即可求解， 当 在 延长线上时，过 作 ，由（ ）得 ，
则 ，再根据平行线的性质和角度和差即可求解，
解：（1）∵ ，
∴ ， ， ，
解得： ， ， ，
∴ ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（2）存在，如图，
当 在 上时，
由（ ）得： ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设 ，
∴ ， ，当 的面积等于 的面积时，即 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
当 在 得延长线上时，
由（ ）得： ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设 ，
∴ ， ，
当 的面积等于 的面积时，即 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
（3） 当 在 上时，如图，
过 作 ，由（ ）得 ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
当 在 得延长线上时，如图
过 作 ，由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
【点拨】此题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握
以上知识的应用和添加辅助线进行分类讨论．
【变式1】（22·23七年级下·山东滨州·期末）如图， 的边 在x轴的正半轴上，点B的坐标
为 ，把 沿x轴向右平移4个单位长度，得到 ，连接 ，若 的面积为6，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．【答案】A
【分析】设 ，利用三角形面积公式求出n的值，再求出BC，最后运用三角形的面积公式即可
解答．
解：设 ，
∵点B的坐标为 ，
∴ ，
由平移的性质可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化-平移、坐标与图形、三角形的面积等知识点，灵活运用平移
的性质是解题的关键．
【变式2】（21·22七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，
（1）已知点 在 轴上，则点 的坐标为 ．
（2）已知两点 ， ，若 轴，点 在第一象限，且线段 的长度是 ，则以点 、
、 为顶点的三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为 列方程求出 的值，再求解即可；
（2）根据第一象限内点的横坐标是正数，平行于 轴的直线上的点的纵坐标相等，先确定出点 到
的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：（1） 点 在 轴上，
，解得 ，
所以， ，
故答案为： ；
（2） 轴，
，
点 在第一象限，
，
， ；
， 的纵坐标都为 ，
点 到 的距离为 ，
以 、 、 为顶点的三角形的面积
故答案为： ．
【点拨】本题考查了点的坐标，两点间的距离，三角形的面积，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解
题的关键.在图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这
类问题的基本方法和规律．
