文档内容
19.1(第 2 课时)二次根式的性质（原卷版）
目 录
类型一、二次根式的化简运算..................................................................................................................................1
类型二、将因式移出/进根式....................................................................................................................................2
类型三、利用二次根式的性质化简..........................................................................................................................4
类型四、复合二次根式的化简..................................................................................................................................5
类型一、二次根式的化简运算
1．下列运算结果等于 的是（ ）
A． B． C． D．
2．化简 的结果是（ ）
A． B．2 C． D．
3．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则 （）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．9．化简 的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
10．下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知 ，化简： ．
12．化简：当 时， ．
13． ．
14．计算： ．
15．计算： ．
16．化简： ．
17．计算： ．
18．计算： ．
19． ．
20．化简： ．
类型二、将因式移出/进根式
21．把 根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）
A． B． C． D．
22．将 根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）.
A． B． C． D．
23．把 根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．24．化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
25．将 中的 移到根号内，结果是（ ）
A． B． C． D．
26．化简二次根式 正确的是（ ）
A． B． C． D．
27．把 根号外的因式移到根号内，所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
28．若 ，化简二次根式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
29．已知 ， 为实数， ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
30．将 中根号外的数移到根号内，所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
31．把式子 中根号外的 移到根号内，结果是（ ）
A． B． C． D．
32．将 根号外的数移到根号内，所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
33．如果 ，把式子 中根号外的因式移到根号内后得（ ）
A． B． C． D．
34．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．35．把 根号外的因式移到根号内的结果是 ．
36．把 根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是 ．
37．把 根号外的因式移入根号内，其结果为 ．
38．把 根号外的因式移入根号内，化简后的结果是 ．
39．将 根号外的因式移到根号内得 ．
40．把 根号外面的因式移到根号内的结果是 ．
类型三、利用二次根式的性质化简
41．已知 ，化简 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
42．已知 ，则化简 的结果是()
A． B．1 C． D．
43．实数 ， 在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
44．若3，4，n为三角形的三边长，则化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
45．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
46．已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
47．当 时，化简 的结果是（ ）A． B． C． D．
48．已知实数 满足 ，那么 的值为（ ）
A．2025 B． C．2026 D．
49．已知 在数轴上的位置如图：化简 的结果为（ ）
A．c B． C． D．
50．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简： （ ）
A．2a B．0 C． D．2b
51．若 ，化简 ．
52．已知 ，化简： ．
53．已知 ，化简： ．
54．已知实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
55．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简 的结果是 ．
56．（1）实数 、 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（2）已知 ，求 的立方根．
类型四、复合二次根式的化简
57．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．2a
58．设 为 的小数部分，则 （ ）
A． B． C． D．59．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
60．已知a、b为有理数，且满足 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．4
61． ．
1．计算：
（1） ；
（2） ．
2．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，即 ， ，
∴ ．
仿照上例化简 = ．
3．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：
，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
，则
请你仿照小明的方法解决下列问题：
若 则 ， ．
4．化简： ．
5．设 ，a为正整数，b在0和1之间，则 的值为 ．
6．像 ， ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平
方式进行化简．如： ；
．
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ．
7．观察下列等式：
；
；
；
根据以上的等式回答问题：
(1)填空： _______；
(2)化简 ，并写出化简过程．
8．先阅读下列的解答过程，然后再解答．
形如 的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如
；
(1)填空 ____________；
(2)化简 ，并写出化简过程．
1．综合与探究：
【观察发现】：
．
；
，
．
【初步探索】：（1）化简： __________________．
【深入探究】：
（2）形如 可以化简为 ，即 ，且 ， ， ， 均为正整数，用含 ，
的式子分别表示 ， ，得 _________， _________．
（3）若 ，且 ， 均为正整数，求 的值．
2．像 ， ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平
方式进行化简，如：
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ；
(3)计算： ．
3．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：
，那么 ，那么如何将双重二次根式 （ ， ，
）化简呢？如能找到两个数 ， （ ， ），使得 即 ，且使
即 ，那么 ，双重二次根式得以化简；
例如：化简 ；
且 ，
，
，
由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到 ， （ ， ）使
得 ，且 ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
【方法运用】
（1）填空：① __________；② __________；
【方法应用】
（2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为 平方米，形成新正方形花圃 ，求出新正方形花圃 的边长；
【迁移运用】
（3）已知 为常数（ ），满足 ，求 的值．
4．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】
(1)请你仿照上面的方法将 化成另一个式子的平方；
(2)请你仿照上面的方法化简： ；
【类比归纳】
(3)若 ，其中 ，且 ， ， 均为正整数，求 的值．
5．阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于
思考的小颖进行了以下探索：
设 （其中x，y，m，n均为正整数），则有 ，
∴ ， ．这样小颖就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：
(1)当x，y，m，n均为正整数且 时，请用含m，n的式子分别表示x，y：
______， ______；
(2)若 ，且x，m，n均为正整数，求x的值；
(3)①填空： ______；
②化简： ．
6．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，
，
【类比归纳】
(1)仿照小明的方法将 化成另一个式子的平方： ________；
(2)请运用小明的方法化简： ．
(3)将式子化成平方的形式： ________．
(4)已知a，b为非负实数， ， ，当且
仅当“ ”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值
时， 有最小值？求出该最小值．
7．双重二次根式为形如 的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如 的形式，
再开根号即可完成化简．请完成下列题目：
(1)若 ，试化简代数式 ；
(2)解方程： ；
(3)直接写出代数式 的化简结果．
8．化简： ．
9．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如 ，如果你能找到两个数 、 ，使
，且 ，则 可变形为 ．从而达到化去一层根
号的目的．例如化简 ：
且 ， ．
(1)填上适当的数： ｜__________｜ __________；
(2)当 时，化简 ．
