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19.3 二次根式的加法与减法（第 1 课时）
知识点1：同类二次根式的概念
1．下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是（ ）
A．√6 B．√9 C．√12 D．√18
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此
判断即可．
【详解】解：A：√6被开方数为6，与√3不是同类二次根式，故此选项不合题意；
B：√9=3，与√3不是同类二次根式，故此选项不合题意；
C：√12=2√3，与√3是同类二次根式，故此选项符合题意；
D：√18=3√2，与√3不是同类二次根式，故此选项不合题意．
故选：C ．
2．下列二次根式，不能与√12合并的是（ ）
A．√48 B．√ 1 1 C．√18 D．√3
3
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式， 最简二次根式， 掌握知识点是解题的关键．
先将√12化简为2√3，然后检查各选项化简后是否含有√3，若不含则不能合并，即可解答．
【详解】解：∵√12=2√3，
∴与√12合并的二次根式必须化简后含有√3．
对于A∶√48=4√3，含有√3，可合并．
对于B∶ √ 1 1 = √4 = 2√3 ，含有√3，可合并．
3 3 3
对于C∶√18=3√2，含有√2，不含有√3，不可合并．
对于D∶√3，含有√3，可合并．
故选：C．
3．若最简二次根式√x−2y+10与最简二次根式√2x−y+6是同类二次根式，则x+y= ．
【答案】4【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到x+y的值即可．
【详解】解：∵最简二次根式√x−2y+10与√2x−y+6是同类二次根式，
∴被开方数相等，即x−2y+10=2x−y+6，
x+y=4．
故答案为4．
知识点2：二次根式的加减
4．（2024年山东济宁）下列运算正确的是（ ）
A．√2+√3=√5 B．√2×√5=√10
C．2÷√2=1 D．√(−5)2=−5
【答案】B
【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法
则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】A. √2与√3不能合并，所以A选项错误；
B. √2×√5=√10，所以B选项正确；
C. 2÷√2=√4÷2=√2，所以C选项错误；
D. √(−5)2=|−5|=5，所以D选项错误．
故选：B．
5．（2024年重庆）已知m=√27−√3，则实数m的范围是（ ）
A．20，1− √5<0．
∴原式 =(1+√5)+(√5−1)
=1+√5+√5−1
=2√5，
故答案为：2√5．
10．计算：
√5
(1)√45−√20+ ． (2)√98+√8−√32．
3
√5
【详解】（1）解：原式=3√5−2√5+
3
4√5
= ．
3
（2）解：原式=7√2+2√2−4√2=5√2．
11．计算下列各式：
( √1 )
(1)2√3−3√12+5√27； (2)√8+√0.5− √0.2− ．
32
【详解】（1）解：2√3−3√12+5√27
=2√3−3×2 √3+5×3√3
=2√3−6√3+15√3
=11√3；
( √1 )
（2）解： √8+√0.5− √0.2−
32
√2 (√5 √2)
=2√2+ − −
2 5 8
√2 √5 √2
=2√2+ − +
2 5 8
21√2 √5
= −
8 5
105√2−8√5
= ．
40
12．已知实数a，b，c满足(a−√8) 2+√b−5+|c−3√2|=0．
(1)求a，b，c的值．
(2)以a，b，c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三角形，
请说明理由．
【详解】（1）解：∵(a−√8) 2≥0，√b−5≥0，|c−3√2|≥0，
且(a−√8) 2+√b−5+|c−3√2|=0，
∴a−√8=0，b−5=0，c−3√2=0，
∴a=√8=2√2，b=5，c=3√2．
（2）解：∵a5，
即a+c>b，
∴能构成三角形．
周长为：2√2+3√2+5=5√2+5．13．规定：若a+b=2，则称a与b是关于1的“平衡数”．
(1)若3与x是关于1的“平衡数”，5− √2与y也是关于1的“平衡数”，求x，y的值．
(2)若m+2n−2√3−√3m=0，m，n至少有一个是有理数，判断m+√3与5n−√3是否是关于1的“平衡
数”，并说明理由．
【详解】（1）解：根据题意，知3+x=2，5− √2+y=2，
∴x=−1，y=−3+ √2．
（2）解：m+√3和5n−√3不是关于1的“平衡数”．
理由如下：①当m和n均为有理数时，
∵m+2n−2√3−√3m=0，即m+2n−(2+m)√3=0
∴m+2n=0，−(2+m)=0，
解得m=−2，n=1．
当m=−2，n=1时，m+√3+5n−√3=−2+ √3+5− √3=3≠2，
∴m+√3与5n−√3不是关于1的“平衡数”．
②假设m+√3与5n−√3是关于1的“平衡数”，则有m+5n=2，即m=2−5 n，
将m=2−5 n代入m+2n−(m+2)√3=0中，得：(2−3 n)− (4n−)5√3=0，
再根据“m，n至少有一个是有理数”的条件分类讨论： ①若n为有理数，则m=2−5 n也为有理数，
2 4
此时必有2−3n=0且4−5n=0，分别解得n= 和n= ，产生矛盾，
3 5
②若n为无理数，则m必为有理数，
但从m=2−5 n来看，一个有理数等于一个无理数，产生矛盾．
综上，假设不成立．
故m+√3与5n−√3不是关于1的“平衡数”．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
