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第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形的最大面积
学习目标：1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
重点：能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
难点：能正确分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
自 主 学
习
一、知识链接
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
(1) y=x2－4x－5；(配方法) (2) y=－x2－3x+4.(公式法)
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：求二次函数的最大(或最小)值
引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是
h= 30t－5t 2(0≤t≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
问题1 二次函数 的最值由什么决定？
问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数 的最值是多少？
问题3 当自变量x有限制时，二次函数 的最值如何确定？
试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题：
典例精析
例1 求下列函数的最大值与最小值.
(1) (2)
方法归纳：当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小
值.然后根据x的值，求出函数的最值.
探究点2：二次函数与几何图形面积的最值
例2 用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l是多少
米时，场地的面积S最大？
第 1 页 共 6 页(1) 矩形面积公式是什么？
(2) 如何用l表示其邻边的长？
(3) 面积S的函数关系式是什么？
(4) 当l是多少米时，场地的面积S最大？
变式题
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.
(1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
分析：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为________m.
矩形菜园的面积S=____________.
想一想 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
解决问题：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
(2)当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1 与(1)有什么区别？
试一试 在(2)中，求自变量的取值范围.
问题2 当21≤ x ＜30时，S的值随x的增大，是如何变化的？当x取何值时，S取得最大值？
注意：实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值.
例3 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积
最大？最大透光面积是多少？(铝合金型材宽度不计)
第 2 页 共 6 页要点归纳：二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
三、课堂小结
一个关键 依据常见几何图形的面积公式建立函数关系式
几何面积最值问题
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确
一个注意
定
当堂检
测
1.二次函数y=（x+1）2-2的最小值是（ ）
A．-2 B．-1
C．1 D．2
2.二次函数y=-2x2-4x+3（x≤-2）的最大值为________.
3.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形的面积的最大值是________.
4.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长
为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym2．
(1) 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2) 当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
5.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为
x(m)，面积为S(m2).
(1) 写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
第 3 页 共 6 页能力提升
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动)不与
点B重合)，动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，那
么经过 秒，四边形APQC的面积最小.
参考答案
自主学习
第 4 页 共 6 页知识链接
解：（1）y=x2-4x-5=(x-2)2-9,开口方向：向上；对称轴：直线x=2； 顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；
(2)y=－x2－3x+4,开口方向：向上；对称轴：直线x= ;顶点坐标： ；
最大值为 .
课堂探究
二、要点探究
探究点1：求二次函数的最大(或最小)值
问题1 二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定.
问题2 当a＞0时，y = ，此时x= .当a＜0时，y = ，此时x= .
最小值 最大值
问题3 先判断x= 是否在限定范围内，若在，则二次函数在x= 时，取得最大（或小）值；若不在，则
根据二次函数的增减性确定二次函数的最值.
试一试 解： t= ∵0≤3≤6，∴h= 则小球运动的时间是 3s
时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
典例精析
例1 解：（1）y= ,即y= ∵ ，
所以当x= 时，y = 当x=1时，y =1+3-2=2.
最小值 最大值
（2）y= ∵ ，即x在对称轴的右侧.函数的值随着x的增大而减小.所以当x=-3时，y
最大
= 当x=1时，y =
值 最小值
探究点2：二次函数与几何图形面积的最值
例2 解：（1）矩形面积=长×宽；（2）邻边长为(30-l)米；（3）S=(30-l)l=-l2+30l.
（ 4 ） 解 ： 根 据 题 意 得 S=-l2+30l (0<l<30). 因 此 ， 当 l= 时 ， S 有 最 大 值
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
变式 （1）分析：(60-2x) x(60－2x)＝－2x2＋60x
想一想 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
解决问题 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(60-2x)m.∴矩形菜园的面积S＝x(60－2x)＝
－2x2＋60x.由题意得0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.∵S＝－2x2＋60x=-2(x2－30x)=-2(x－15)2+450，∴当x=15m
时，S取最大值，此时S=450m2.
第 5 页 共 6 页(2) 问题1 可利用的墙的长度不一样
试一试 21≤ x ＜30.
问题2 解：设垂直于墙的边长为x m，由（1）知S＝－2x2＋60x=-2(x2－30x)=-2(x－15)2+450，当21≤ x ＜30时，
S随x的增大而减小，当 x =21时，S取得最大值，此时S=-2×(21－15)2+450=378（m2）.
例3 解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 ，这里应有x＞0， 故0＜x＜2.矩形窗框的透光
面积y与x之间的函数关系式是 ，即 配方得 所以当x=1
时，函数取得最大值，最大值y=1.5.x=1满足0＜x＜2，这时 因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高
为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.
当堂检测
1.A 2.3 3.8
4.解：（1）∵BC=xm， .
（2） ∵0＜x≤25，∴当x=20时，绿化带的面积取得
最大值，最大值为200 m2.
5.解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为
9×1000=9000（元）.
能力提升 3
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