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第 25 章 概率初步
25.1 随机事件与概率
学习要求
1、了解随机事件的意义，会判断必然事件、不可能事件和随机事件，知道不同随机事件发生的可能性．
2、理解概率的意义；对于大量重复试验，会用事件的频率来估计事件的概率．
知识点一：必然事件、不可能事件和随机事件
例1．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
【考点】X1：随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：水涨船高是必然事件，A不正确；
守株待兔是随机事件，B正确；
水中捞月是不可能事件，C不正确
缘木求鱼是不可能事件，D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事
件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能
发生也可能不发生的事件．
变式1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机正在播放广告
B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次
C．任意一个一元二次方程都有实数根
D．在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°
【考点】X1：随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【解答】解：打开电视机正在播放广告是随机事件，A不正确；
投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，B不正确；
任意一个一元二次方程都有实数根是随机事件，C不正确；
在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，D正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事
件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能
发生也可能不发生的事件．
变式2．下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）太阳从西边落山；
（2）某人的体温是100℃；
（3）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）；
（4）水往低处流；
（5）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
【考点】X1：随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：（1）太阳从西边落山是必然事件；
（2）某人的体温是100℃是不可能事件；
（3）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）是不可能事件；
（4）水往低处流是必然事件；
（5）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事
件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能
发生也可能不发生的事件．
知识点二：随机事件发生的可能性大小
例2．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是（ ）
A．抽10次奖必有一次抽到一等奖B．抽一次不可能抽到一等奖
C．抽10次也可能没有抽到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
【考点】X3：概率的意义．
【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．
【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为O.1”就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没
有抽到一等奖，
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．
变式1．下列说法中，正确的是（ ）
A．一个游戏中奖的概率是 ，则做10次这样的游戏一定会中奖
B．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式
C．一组数据8，7，7，10，6，7，9的众数和中位数都是7
D．若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小
【考点】X3：概率的意义；V2：全面调查与抽样调查；W4：中位数；W5：众数；W7：方差．
【分析】根据概率的意义，众数与中位数、方差的性质，可得答案．
【解答】解：A、一个游戏中奖的概率是 ，则做10次这样的游戏可能会中奖，故A不符合题意；
B、为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、一组数据8，7，7，10，6，7，9的众数和中位数都是7，故C符合题意；
D、若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动大，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了概率的意义，众数与中位数、方差的性质，方差越小波动越小，注意概率是事件发生
可能性的大小，随机事件不一定发生．
变式2．如果用A表示事件“若a＞b，则a+c＞b+c”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结
论中正确的是（ ）A．P（A）=1 B．P（A）=0 C．0＜P（A）＜1D．P（A）＞1
【考点】X3：概率的意义．
【分析】根据不等式的基本性质1知事件A是必然事件，由概率的意义可得答案．
【解答】解：若a＞b，根据不等式的基本性质知a+c＞b+c必然成立，
∴事件A是必然事件，
∴P（A）=1，
故选：A．
【点评】本题主要考查概率的意义及不等式的基本性质，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键．
变式3．下列说法中，正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
【考点】X3：概率的意义．
【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P（A）=0对A、
B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．
【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；
B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；
C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个
常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，
是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）
=0．
变式4．在三个不透明的布袋中分别放入一些除颜色不同外其他都相同的玻璃球，并搅匀，具体情况如下表：
布袋编号 1 2 3
袋中玻璃球色彩、数量及种类 2个绿球、2个黄 1个绿球、4个黄 6个绿球、3
球、5个红球 球、4个红球 个黄球
在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？
（1）随机从第一个布袋中摸出一个玻璃球，该球是黄色、绿色或红色的；
（2）随机的从第二个布袋中摸出两个玻璃球，两个球中至少有一个不是绿色的；
（3）随机的从第三个布袋中摸出一个玻璃球，该球是红色的；
（4）随机的从第一个布袋中和第二个布袋中各摸出一个玻璃球，两个球的颜色一致．
【考点】X1：随机事件．
【专题】21 ：阅读型．
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
随机事是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．依据定义即可作出判断．
【解答】解：（1）一定会发生，是必然事件；
（2）一定会发生，是必然事件；
（3）一定不会发生，是不可能事件；
（4）可能发生，也可能不发生，是随机事件．
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．确定事件包括必然事件和不可
能事件．理解概念是解决这类基础题的主要方法．
变式5．甲．乙．丙三个事件发生的概率分别为0.5，0.1，0.9，它们各与下面的哪句话相配．
（A）发生的可能性很大，但不一定发生；
（B）发生的可能性很小；
（C）发生与不发生的可能性一样．
【考点】X3：概率的意义．
【分析】根据概率的意义分别相配即可．
【解答】解：（A）发生的可能性很大，但不一定发生，0.9；
（B）发生的可能性很小，0.1；
（C）发生与不发生的可能性一样，0.5．【点评】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
变式6．将下面事件的字母写在最能代表它的概率的点上．
A：投掷一枚硬币时，得到一个正面；B：在一小时内，你步行可以走80千米；
C：给你一个骰子中，你掷出一个3；D：明天太阳会升起来．
【考点】X3：概率的意义．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①、符合条件的情况数目；
②、全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：A、投掷一枚硬币时，得到一个正面的概率=0.5；
B、在一小时内，你步行可以走80千米是不可能事件，概率为0；
C、给你一个骰子中，你掷出一个3的概率是 ；
D、明天太阳会升起来是必然事件，概率为1．
所以将下面事件的字母写在最能代表它的概率的点上如图所示：
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．注意必然事件发生的概率为1，即P（必然事
件）=1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜
1．
知识点三：概率
例3．一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时是
绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．【考点】X4：概率公式．
【分析】由一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，直接利用概率公
式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴你抬头看信号灯时是绿灯的概率是： = ．
故选C．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式1．在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随
机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则黄球的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】X4：概率公式．
【分析】首先设黄球的个数为x个，然后根据题意得： = ，解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得： = ，
解得：x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解，
∴黄球的个数为4个．
故选C．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式2．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸
出一个小球，其标号是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．【分析】由在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，直接利
用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，
∴从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为： ．
故选C．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式3．从0，π， ， 这四个数中随机取出一个数，取出的数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵0，π， ， 这四个数中无理数有2个，
∴随机取出一个数，取出的数是无理数的概率= ．
故选D．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．
变式4．某产品出现次品的概率为0.05，任意抽取这种产品600件，那么大约有 3 0 件是次品．
【考点】X3：概率的意义．
【分析】利用总数×出现次品的概率=次品的数量，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：次品数量=600×0.05=30．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
变式5．小明抛掷一枚质地均匀的硬币9次，有6次正面向上，则第10次抛掷这个硬币，背面向上的概率为 ．
【考点】X3：概率的意义．
【分析】无论哪一次掷硬币，都有两种可能，则背面朝上的概率为 ．
【解答】解：无论哪一次掷硬币，都有两种可能，即正面朝上与反面朝上，故第10次背面朝上的概率为 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现
m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
变式6．一个袋中装有除颜色外都相同的红球和黄球共10个，其中红球6个．从袋中任意摸出一球，请问：
（1）“摸出的球是白球”是什么事件？它的概率是 0 ；
（2）“摸出的球是黄球”是什么事件？它的概率是 0. 4 ；
（3）“摸出的球是红球或黄球”是什么事件？它的概率是 1 ．
【考点】X3：概率的意义；X1：随机事件．
【分析】（1）“袋中没有白球，故摸出的球是白球”是不可能事件；
（2）“摸出的球是黄球”是不确定事件，根据概率公式即可求解；
（3）“摸出的球是红球或黄球”是必然事件，故它的概率为1．
【解答】解：（1）“摸出的球是白球”是不可能事件，它的概率为0；
（2）黄球数=10﹣6=4，“摸出的球是黄球”是不确定事件，它的概率=4÷10=0.4；
（3）“摸出的球是红球或黄球”是必然事件，它的概率为1．
【点评】本题考查三种事件的定义与概率：
必然事件，它的概率为1；
不可能事件，它的概率为0；
不确定事件，它的概率范围为0到1之间．变式7．动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.6，则现年
20岁的这种动物活到25岁的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.48
【考点】X3：概率的意义．
【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答
即可．
【解答】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到25岁的只数为0.6x，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为 =0.75．
故选B．
【点评】考查了概率的意义，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意在本题中把20岁
时的动物只数看成单位1．
变式8．在一个不透明的盒子中装有涂颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．
（1）先从袋中取出m（m＞1）个红球，再从袋中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成
下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值 3 2
（2）先从袋中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率是 ，求m
的值．
【考点】X1：随机事件．
【分析】（1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答；
（2）利用概率公式计算即可．
【解答】解：（1）从袋中取出3个红球，再从袋中随机摸出1个球，“摸出黑球”是必然事件，
从袋中取出2个红球，再从袋中随机摸出1个球，“摸出黑球”是随机事件，
故答案为：3；2；
（2）由题意得， = ，
解得，m=1．【点评】本题考查的是随机事件的定义、概率的求法，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事
件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即
随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
拓展点一：认识事件类型
例4．下列事件中，必然事件是（ ）
A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上
B．打开电视正在播放甲型H1N1流感的相关知识
C．某射击运动员射击一次，命中靶心
D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球
【考点】X1：随机事件．
【分析】找到一定会发生的事件的选项即可．
【解答】解：A、任意掷一枚均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，是随机事件；
B、打开电视，可能正在播放甲型H1N1流感的相关知识，也可能正在播放其它内容，是随机事件；
C、某射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能脱靶，是随机事件；
D、在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球，是必然事件．
故选D．
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
①必然事件指在一定条件下一定发生的事件；
②不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；
③不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
变式1．下列事件，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚六个面分别标有1～6的数字的均匀正方体骰子，骰子停上转动后偶数点朝上
B．从一幅扑克牌中任意抽出一张，花色是红桃
C．在同一年出生的 367 名学生中，至少有两人的生日是同一天
D．任意选择在播放中电视的某一频道，正在播放新闻
【考点】X1：随机事件．【专题】12 ：应用题．
【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断．
【解答】解：A、不一定发生，是随机事件，故选项错误，
B、不一定发生，是随机事件，故选项错误，
C、是必然事件，故正确，
D、不一定发生，是随机事件，故选项错误，
故选C．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：确定事件包括必然事件
和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事
件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，比较简单．
变式2．下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）太阳从西边落山；
（2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）；
（3）水往低处流；
（4）三个人性别各不相同；
（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；
（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
【考点】X1：随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【解答】解：（1）太阳从西边落山、（3）水往低处流、（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解是必然事
件；
（2）a2+b2=﹣1、（4）三个人性别各不相同是不可能事件，
（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
变式3．从“不太可能”、“不可能”、“很有可能”和“必然”中选择适当的词描述下列事件．（1）在直线上任取一点作射线，得到两个和为180°的角；
（2）任画两条直线与另一条直线都相交，得到两个彼此相等的同位角；
（3）小强对数学很感兴趣，常钻研教材内容，在数学测验中取得好成绩；
（4）在电话上随机拨一串数字，刚好打通了好朋友的电话；
（5）互为倒数的两个有理数符号相同．
【考点】X1：随机事件．
【专题】32 ：分类讨论．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
据此对各选项依次进行判断即可解答．
【解答】解：（1）在直线上任取一点作射线，得到两个和为180°的角，是必然事件；
（2）任画两条直线与另一条直线都相交，得到两个彼此相等的同位角，是不太可能事件；
（3）小强对数学很感兴趣，常钻研教材内容，在数学测验中取得好成绩，是很有可能事件；
（4）在电话上随机拨一串数字，刚好打通了好朋友的电话，是不太可能事件；
（5）互为倒数的两个有理数符号相同，是必然事件．
【点评】本题主要考查“不太可能”、“不可能”、“很有可能”和“必然”的定义，熟练掌握定义并进
行判断是解答本题的关键．
变式4．在一个不透明的口袋中装有大小、外形等一模一样的5个红球，3个兰球和2个白球，它们已经在
口袋中搅匀了，请判断以下事件是“必然发生”、“随机发生”、还是“不可能发生”的？并说明理由．
（1）从口袋中任意取出5个球，只有兰球和白球，没有红球；
（2）从口袋中任意取出5个球，恰好兰球、白球、红球三种颜色都齐全了；
（3）从口袋中一次取出5个球，全是兰球．
【考点】X1：随机事件．
【分析】必然发生就是一定发生的；随机发生就是可能发生也可能不发生的；不可能发生就是一定不发生
的．
【解答】解：（1）随机发生．因为兰球和白球的和是5．
（2）随机发生．
因为取出的球大于3个，而袋子里三种球共10个．
（3）不可能发生．
因为兰球少于5个．
【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指
在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事
件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
拓展点二：随机事件的概率计算
例5．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为 ．
【考点】X3：概率的意义．
【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．
【解答】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率的意义，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关．
变式1．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信
号灯，他在路口遇到红灯的概率为 ，遇到黄灯的概率为 ，那么他遇到绿灯的概率为 ．
【考点】X3：概率的意义．
【分析】根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，再根据在路口遇到红灯的概率为 ，遇到黄
灯的概率为 ，即可求出他遇到绿灯的概率．
【解答】解：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，
∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，∵在路口遇到红灯的概率为 ，遇到黄灯的概率为 ，
∴遇到绿灯的概率为1﹣ = ；
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的
可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
变式2．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色外，形状、大小、质地等完全相同的球，如果口袋中
装有3个红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总数为 9 个．
【考点】X3：概率的意义．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发
生的概率．
【解答】解：由题意可得：3÷ =3×3=9，
即口袋中球的总数为9个．
故答案为：9．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现
m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
变式3．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3，
摸出白球的概率是0.4，那么摸出黑球的概率是 0. 3 ．
【考点】X3：概率的意义．
【分析】根据摸出三种球的概率的和是1列式计算即可得解．
【解答】解：∵摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.4，
∴摸出黑球的概率是1﹣0.3﹣0.4=0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查了概率的意义，理解总概率之和是1是解题的关键．变式4．事件A发生的概率为 ，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是 5 0 ．
【考点】X3：概率的意义．
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计
值，而不是一种必然的结果，可得答案．
【解答】解：事件A发生的概率为 ，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是50，
故答案为：50．
【点评】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1
之间．
变式5．某厂生产一批产品，合格的概率为 ，从他们生产的产品中，每小时任取5件，平均多长时间
会查到1件次品？
【考点】X3：概率的意义．
【分析】根据题意得出平均每100件中有一件次品，进而利用每小时任取5件，得出取100件需要的时间．
【解答】解：∵合格的概率为 ，即平均每100件中有一件次品，
而每小时任取5件，需要20小时才能取到100件，
∴平均20小时会查到1件次品．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
变式6．如图，当关闭开关K，K，K 中的两个，能够让灯泡发光的概率为（ ）
1 2 3
A． B． C． D．【考点】X4：概率公式．
【专题】29 ：跨学科．
【分析】列举出所有情况，看能够让灯泡发光的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：3个开关，关闭其中2个，一共有3种结果，其中关闭K、K 和K、K 灯泡都亮，所以让灯
1 3 2 3
泡发光的概率为 ．
故选B．
【点评】本题以物理知识为背景设置考题，考查了简单事件概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情
况数与总情况数之比．
拓展点三：游戏的公平性问题
例6．一则广告称：本次抽奖活动的中奖率为50%，其中一等奖的中奖率为10%，小明看到这则广告后，
想：“50%= ，那么我抽二张就会有一张中奖，抽10张就会有1张中一等奖”．你认为小明的想法对吗？
请说明理由．
【考点】X3：概率的意义．
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
【解答】解：小明的想法不对；因为小明将本次抽奖活动中奖率为50%，一等奖中奖率为10%，理解错了，
其中的50%、10%是针对所有的奖券而言，而不是任抽几张，这几张的10%为一等奖，50%都获奖，所抽
取的几张，可能都有奖，也可能都没有中奖．
【点评】正确理解概率的含义是解决本题的关键．
变式1．如图，某电视台的娱乐节目《周末打放送》有这样的翻奖牌游戏，数字的背面写有祝福语或奖金
数，游戏规则是：每翻动正面一个数字，看看反面对应的内容，就可知是得奖还是得到温馨祝福．
1 2 3
4 5 6
7 8 9
正面
祝你开心 万事如意 奖金800元
身体健康 心想事成 奖金500元
奖金200元 生活愉快 谢谢参与反面
计算：
（1）“翻到奖金800元”的概率；
（2）“翻到奖金”的概率；
（3）“翻不到奖金”的概率．
【考点】X4：概率公式．
【分析】根据概率的求法，找准两点：
1、全部情况的总数；
2、符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）根据题意分析可得：每次翻动正面一个数字共9种情况，其中有1种情况是“翻到奖金
800元”，故其“翻到奖金800元”的概率为 ；
（2）根据题意分析可得：每次翻动正面一个数字共9种情况，其中有3种情况是“翻到奖金”；“翻到奖
金“的概率为 = ；
（3）根据题意分析可得：每次翻动正面一个数字共9种情况，其中有6种情况是“翻不到奖金”“翻不到
奖金”的概率为 = ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现
m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
变式2．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾
客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿
色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如
果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．
（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；
（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？【考点】X4：概率公式．
【专题】27 ：图表型．
【分析】（1）由转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，直接利用概率公式即可
求得答案；
（2）首先求得指针正好对准红色、黄色、绿色区域的概率，继而可求得转转盘的情况，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，
∴P（转动一次转盘获得购物券）= = ．
（2）∵P（红色）= ，
P（黄色）= ，
P（绿色）= = ，
∴ （元）
∵40元＞30元，
∴选择转转盘对顾客更合算．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
拓展点四：方案设计问题
例7．九年级（1）班的郑明珠和朱晓洋同学在学习了概率后准备设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒
子中放入了4个红球和5个白球，这些球除颜色外其余特征均相同，请你帮他们设计一下游戏规则，使得
摸到白球和摸到红球的概率相同．【考点】X4：概率公式．
【分析】可以使得不透明的盒子中放入白球和红球的数量相等，即可设计一个游戏规则，使得摸到白球和
摸到红球的概率相同．
【解答】解：在一个不透明的盒子中再放入了1个红球或减去1个白球，使得不透明的盒子中放入白球和
红球的数量相等，
则使得摸到白球和摸到红球的概率相同．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．
易错点：放回与不放回对实验结果的影响
例8．一个口袋中装有4个白球、6个红球，这些球除颜色外完全相同，重复搅匀后随机摸出一球，发现是
白球．
（1）如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是多少？
（2）如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是多少．
【考点】X4：概率公式．
【分析】（1）摸出一个白球放回对第二次摸到白球没有影响，直接利用概率公式求解即可；
（2）确定摸出一个白球不放回的白球和红球的个数，直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）如果将白球放回，再摸出一球P = = ；
（摸到的球是白球）
（2）如果先摸出一白球，这个白球不放回，那么第二次摸球时，有3个白球和6个红球，再摸出一球P
（摸
= = ．
到的球是白球）
【点评】本题考查了概率的公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式1．袋中共有5个红球、5个黄球，这些球只有颜色上的不同，小王第一次摸到一个红球并放回袋中，
那么他第二次从袋中摸到一个红球的概率是多少？他第十次摸出的是红球的概率又是多少？
【考点】X3：概率的意义．
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计
值，而不是一种必然的结果，
【解答】解：第二次从袋中摸到一个红球的概率是 = ，他第十次摸出的是红球的概率 = ，
答：他第二次从袋中摸到一个红球的概率是 ，他第十次摸出的是红球的概率又是 ．
【点评】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1
之间．
变式2．一个不透明的袋中装有3个黄球13个黑球和20个红球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个是黄球的概率；
（2）现在从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个是黄球的概
率不小于 ，至少取出了多少个黑球？
【考点】X4：概率公式．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）根据概率公式用黄球的个数除以总球数即可；
（2）设取出了x个黑球，由于取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，则总球数仍然为36个，而黄球
为（3+x）个，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）从袋中摸出一个是黄球的概率= = ；
（2）设取出了x个黑球，根据题意得 ≥ ，
解得x≥6，
所有至少取出了6个黑球．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的
结果数．P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0．
变式3．袋中装有11个黑球，2个红球，3个白球，4个绿球，它们除颜色外都相同，现从袋中任意摸出一
个球，下列事件发生的概率分别是多少？
（1）摸出黑球；
（2）摸出黄球；
（3）摸出绿球；（4）摸出黑球或白球；
（5）摸出黑球、红球或白球；
（6）摸出黑球、红球、白球或绿球．
【考点】X4：概率公式．
【分析】利用概率公式直接求解即可．
【解答】解：∵袋中装有11个黑球，2个红球，3个白球，4个绿球，
∴（1）摸出黑球的概率为： ；
（2）∵没有黄球，
∴摸出黄球的概率为0；
（3）∵有四个绿球，共20个球，
∴摸出绿球的概率为： ；
（4）∵20个球中共有黑球和白球共14个，
∴摸出黑球或白球的概率为 = ；
（5）∵20个球中共有黑球和白球和红球共16个，
∴摸出黑球、红球或白球的概率为： ；
（6）∵20个球中共有黑球和白球和红球、绿球共20个，
∴摸出黑球、红球、白球或绿球的概率为1；
【点评】考查了概率的公式，牢记公式是解答本题的关键，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．
变式4．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，7个黑球，8个红球．
（1）求从袋中摸出的一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个红球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是红球的概率是 ，求从袋中取出红球的
个数．
【考点】X4：概率公式．【分析】（1）由一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，直
接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先设从袋中取出x个黑球，根据题意得： ，继而求得答案．
【解答】解：（1）从袋中摸出一个球是黄球的概率为： ；
（2）设从袋中取出x个红球，
根据题意得： ，
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，∴从袋中取出红球的个数为2个．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式5．一个不透明的布袋里装有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个球是白球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求摸出红球的概率；
（3）现再将n个白球放入布袋中，搅匀后，若摸出1个球是白球的概率为 ，求n的值．
【考点】X4：概率公式．
【分析】（1）根据布袋里装有5个球，其中有3个白球，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据共有5个球，其中有2个红球，再根据概率公式即可得出答案；
（3）根据题意和概率公式列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵布袋里装有5个球，其中有3个白球，
∴P（摸出1个球是白球）= ；
（2）∵共有5个球，其中有2个红球，
∴P（摸出红球）= ；（3）∵布袋里装有5个球，其中有3个白球，再将n个白球放入布袋中，
∴ = ，
解得 n=2．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
