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期中测试压轴题考点训练（21-24 章）
一、单选题
1．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、E、F
分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】D
【分析】利用菱形的性质以及圆的性质得出 与 重合时 的最小值，进而求出即
可．
【详解】解：如图，作 点关于直线 的对称点 ，连接 ，延长 交 于点 ，
连接 ， ，
四边形 是菱形， ，AB＝3，
， ，
、 是等边三角形 ，∴ ，
，
， ，
， ， 在一条直线上，
由题意可得出：当 与 重合， 点在 上， 在 上时， 最小，
∵ ，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
， ， 的最小值是3．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的
性质等相关知识，根据题意得出 点位置是解题关键．2．如图，在 中， 且 ，点 为 的内心，点 为 边中点，
将 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则 长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 、 ，根据三角形内心的性质，得出 ，得出点P在过A、B
的圆弧上运动，此时圆心为点E，半径为 ，连接 交 于点F，交 于点G，连接
， ， ，先求出 ，根据垂径定理得出 ，
，证明 ，得出 ，根据勾股定理求出
，得出 ，求出结果即可．
【详解】解：连接 、 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵点 为 的内心，
∴ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为定值，
∴点P在过A、B的圆弧上运动，此时圆心为点E，半径为 ，连接 交 于点F，交
于点G，连接 ， ， ，如图所示：当点P在点F时， 最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ， ，
根据旋转可知， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
即 的最小值为 ，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋
转的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键是
作出辅助线，找出点P的运动轨迹，使 取最小值时，点P的位置．3．如图是抛物线 的部分图像，其顶点坐标为 ，且与 轴的一个
交点在点 和 之间，则下列结论：① ；② ；③抛物线另一个交点
在 到 之间；④当 时， ；⑤一元二次方程
有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当 时， ，再利用对称轴公式即
可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二
次方程的判别式即可求解．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ，即抛物线的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，故结论①错误；
②当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故结论②正确；
③∵抛物线的顶点坐标为 ，即对称轴为 ，
又∵该抛物线与 轴的一个交点在点 和 之间，
∴抛物线另一个交点 在 到 之间，故结论③正确；
④将抛物线 图像向下平移 个单位后图像过原点，
即可得抛物线 的图像，
画出直线 ，如下图，根据图像可知，当 时， ，
即 ，故结论④正确；
⑤一元二次方程 ，
则
根据图像可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，故结论⑤正确．
综上所述，结论正确的有②③④⑤，共计4个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数间的关系，二次函数与不等式的关系，抛物线
的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
4．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系x +x =- ，x •x = ，由α、β是方
1 2 1 2
程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，可得α+β= ，αβ=﹣ ，再由式子求得（α﹣2）（β﹣2）
=αβ﹣2（α+β）+4=﹣ ﹣2× +4= ．
故选：A
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题时灵活运用一元二次方程根
与系数的关系求出x +x =- ，x •x = ，然后根据整式的乘法变形整体代入即可.
1 2 1 25．某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可
销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，
为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒
元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（
）
A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元
【答案】A
【分析】根据每天的销售利润＝每箱的销售利润×销售数量，即可列出关于x的一元二次
方程，解方程即可求出x的值，在结合销售利润不能超过50%，即可确定x的值．
【详解】解：根据题意得：（x﹣50）[80-2（x-60）]＝1200，
整理得：x2﹣150x+5600＝0．
解得：x＝70，x＝80．
1 2
当x＝70时，利润率＝ ×100%＝40%＜50%，符合题意；
当x＝80时，利润率＝ ×100%＝60%＞50%，不合题意，舍去．
所以要获得1200元利润，每盒口罩的售价应定为70元．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题关键是根据各数量之间的关
系，用含x的代数式表示出平均每天的销售量，找准等量关系正确列出一元二次方程．
6．如图所示，以正方形 的顶点 为圆心的弧恰好与对角线 相切，以顶点 为圆
心，正方形的边长为半径的弧，已知正方形的边长为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC交BD于O，由正方形的性质得出OA=OB= BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，
AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°，由勾股定理求出BD，得出OA=OB= ，求出 AOB的面积、
扇形AOE的面积、扇形ABF的面积，即可得出图中阴影部分的面积． △
【详解】连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB= BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°，
∴BD= = ，
∴OA=OB= ，
∴△AOB的面积= × × =1，
∵以正方形ABCD的顶点A为圆心的弧恰好与对角线BD相切，AC⊥BD，
∴O为切点，
∵扇形AOE的面积= ，扇形ABF的面积= ，
∴图中阴影部分的面积= .
故选D．
【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的性质、勾股定理、扇形面积的计算；熟练掌握
切线的性质和正方形的性质，求出扇形的面积是解决问题的关键．
7．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，点P在函数y＝ 的图象上，若△PAB为直角
三角形，则满足条件的点P的个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【答案】D
【详解】分析：先由二次函数与一元二次方程的关系求出A、B两点的坐标,然后分类讨论：
①当∠PAB=90°时，则P点的横坐标为-3，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点有
1个；②当∠APB=90°，设P（x， ），根据两点间的距离公式和勾股定理可得（x+3）2+
（ ）2+（x-3）2+（ ）2=36，此时P点有4个，③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为
3，此时P点有1个．
详解：解 得，
x=±3,∴A(-3,0)，B(3,0).
①当∠PAB=90°时，如图1，P点的横坐标为-3，把x=-3代入y= 得y=- ，所以此时P
点有1个；
②当∠APB=90°，如图2，设P（x， ），PA2=（x+3）2+（ ）2，PB2=（x-3）2+（
）2，AB2=（3+3）2=36，
∵PA2+PB2=AB2，
∴（x+3）2+（ ）2+（x-3）2+（ ）2=36，
整理得x4-9x2+4=0，所以x2= ，或x2= ，
所以此时P点有4个，
③当∠PBA=90°时，如图3，P点的横坐标为3，把x=3代入y= 得y= ，所以此时P点
有1个；
综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．
点睛：本题考查了二次函数与坐标轴的交点，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函
数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值
k，即xy=k．
8．如图， 是 的直径， 是 的切线， 与 交于点 为 上一点，若
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接BC，证明 ，即可解决问题．
【详解】
连接 ．
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及其推论，以及切线的性质．圆周角定理：圆周角的度
数等于它所对的圆心角度数的一半．
9．如图，等腰 的一个锐角顶点 是 上的一个动点， ，腰 与斜
边 分别交 于点 ，分别过点 作 的切线交于点 ，且点 恰好是腰 上的点，连接 ，若 的半径为4，则 的最大值为：（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【分析】先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形ODFE是正方形，
再得出点C在以EF为直径的半圆上运动，则当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，用勾
股定理计算出OG的长度，再加上CG的长度即可．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°，
∵分别过点D，E作⊙O的切线，
∴OD⊥DF，OE⊥EF，
∴四边形ODFE是矩形，
∵OD=OE=4，
∴四边形ODFE是正方形，∴EF=4，
∵点F恰好是腰BC上的点，∴∠ECF=90°
∴点C在以EF为直径的半圆上运动，
∴设EF的中点为G，则EG=FG=CG= EF=2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，此
时，在Rt△OEG中，OG= ，
∴OC=OG+CG= .
故答案为：A.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、正方形的判定、直角所对的弦是直
径及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.10．如图，矩形 中， ，E为 上一点（不含点A），O为 的中点，连
接 并延长，交 于点F，点G为 上一点， ，连接 ， ．甲、乙二
位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．
甲：存在点E，使 ；
乙： 的面积存在最小值．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确
【答案】D
【分析】先证明△EOD≌△FOB得到DE=BF，推出AE=CF，则CF=DG，假设存在点E使得
EG⊥FG，可证△EDG≌△GCF得到DE=CF，从而推出AD=CD，再由 ，推出CD＞
AD，与AD=CD矛盾，即可判断甲；可假设设AB=CD=4，BC=AD=3，AE=DG=CF=x，则
BF=DE=3-x，CG=4-x，然后根据 求出△EFG的面积关于x的
二次函数关系式，即可求出△EFG的面积的最小值，同理假设AB=CD=4时，只要满足BC
＜AB，都能求出△EFG的面积关于线段AE的长的二次函数关系式，即可求出△EFG的面
积有最小值，即可判断乙．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，∠ADC=∠C=90°，AB=CD，
∴∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB，
∵O是BD的中点，
∴OB=OD，
∴△EOD≌△FOB（AAS），
∴DE=BF，
∴AE=CF，
又∵AE=DG，
∴CF=DG，
假设存在点E使得EG⊥FG，
∴∠EGF=90°，
∴∠EGD+∠CGF=90°，又∵∠EGD+∠DEG=90°，
∴∠DEG=∠CGF，
又∵∠EDG=∠GCF=90°，
∴△EDG≌△GCF（AAS），
∴DE=CG，
∴AE+DE=DG+CG，即AD=CD，
∵ ，
∴CD＞AD，与AD=CD矛盾，
∴假设不成立，即不存在点E使得EG与GF垂直，故甲说法错误；
设AB=CD=4，BC=AD=3，AE=DG=CF=x，则BF=DE=3-x，CG=4-x，
∴
，
即当 时，△EFG的面积有最小值，
同理假设AB=CD=4时，只要满足BC＜AB，都能求出△EFG的面积关于线段AE的长的二
次函数关系式，即可求出△EFG的面积有最小值，故乙说法正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，二次函数的几何应用
等等，熟知正方形的性质和全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
二、填空题
11．如图，梯形ABCD中， ， ，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，
使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果 ，
且 ，那么梯形ABCD的中位线等于 ．
【答案】7【分析】由根据三角形的面积公式，由 得 ，进而求得DE=2，从而求得底
边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线．
【详解】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图，
∵ ， ，
∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴DE=2，
∵BM⊥CE，
∴∠BMD=90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=4，
∴EM=2+4=6，
∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处，
∴BE=BC，
∵BM⊥CE，
∴EC=2EM=12，
∴CD=12-2=10，
∴梯形ABCD的中位线为： ，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握
旋转的性质是解题的关键．
12．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是 的中点，连结AC交BD于点
E，连结AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为 ．【答案】4
【分析】如图，连接OC交BD于K．设DE＝k．BE＝4k，则DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，由
AD∥CK，推出AE：EC＝DE：EK，可得AE＝4，由△ECK∽△EBC，推出EC2＝EK•EB，求出k
即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OC交BD于K．
∵ ，
∴OC⊥BD，
∵BE＝4DE，
∴可以假设DE＝k．BE＝4k，则DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，
∵AB是直径，
∴∠ADK＝∠DKC＝∠ACB＝90°，
∴AD∥CK，
∴AE：EC＝DE：EK，
∴AE：6＝k：1.5k，
∴AE＝4，
∵△ECK∽△EBC，
∴EC2＝EK•EB，∴36＝1.5k×4k，
∵k＞0，∴k＝ ，
∴BC＝ ＝ ＝2 ，
∴AB＝ ＝ ＝4 ．
故答案为：4 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．如图， ， ，弧BC所对的圆心角为 ，且 弦 若点P在弧BC上，点E、F分别在AB、AC上 则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接AP，OP， 分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为
M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，所以
，设 ，易求得： ，所以
，即当AP最小时， 可取得最小值．
【详解】连接AP，O， 分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为
M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF．
，
， ，
，
，
、P、N在以A为圆心，AP为半径的圆上，
设 ，
易求得： ，
， ，
，
当AP最小时， 可取得最小值
，
，即点P在OA上时，AP可取得最小值，
在 中， ， ，
，
， ，是等边三角形，
，作 交AC的延长线于H．
在 中， ， ，
， ，
在 中， ，
此时 ，
的最小值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查圆的有关知识，涉及轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，等边三角形
的性质与判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．
14．如图，菱形AD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，BD=2，分别以AB、BC为
直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 －
【分析】设BC的中点为M，CD交半圆M于点N，连接OM，MN．易证 BCD是等边三角
形，进而得∠OMN=60°，即可求出 ；再证四边形OMND是菱形，∆连接ON，MD，求
出 ，利用 ，即可求解．
【详解】设BC的中点为M，CD交半圆M于点N，连接OM，MN．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∴两个半圆都经过点O，
∵BD=BC=CD=2，
∴ BCD是等边三角形，
∴ ∆∠BCD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴∠OMN=60°，
∴ ，∵OD=OM=MN=CN=DN=1，
∴四边形OMND是菱形，
连接ON，MD，则MD⊥BC， OMN是等边三角形，
∴MD= CM= ，ON=1， ∆
∴ MD ON= ，
×
∴ ．
故答是： －
【点睛】本题主要考查菱形的性质和扇形的面积公式，添加辅助线，构造等边三角形和扇
形，利用割补法求面积，是解题的关键．
15．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球
飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为 ，由此可知该生此
次实心球训练的成绩为 米．
【答案】10
【分析】根据铅球落地时，高度 ，把实际问题可理解为当 时，求x的值即可．
【详解】解：当 时， ，
解得， （舍去）， ．
故答案为10．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合
题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
16．如图，已知菱形 中， ， 为钝角， 于点 ， 为 的中点，
连接 ， .若 ，则过 、 、 三点的外接圆半径为 .【答案】
【分析】通过延长MN交DA延长线于点E，DF⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出
DE=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt△DMF和Rt△DCF中，利用勾股定理列方程求DM长，根据
圆的性质即可求解.
【详解】如图，延长MN交DA延长线于点E，过D作DF⊥BC交BC延长线于F,连接MD,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=4，AD∥BC,
∴∠E=∠EMB, ∠EAN=∠NBM,
∵AN=BN,
∴△EAN≌BMN,
∴AE=BM,EN=MN,
∵ ,
∴DN⊥EM,
∴DE=DM,
∵AM⊥BC,DF⊥BC,AB=DC,AM=DF
∴△ABM≌△DCF,
∴BM=CF,
设BM=x,则DE=DM=4+x,
在Rt△DMF中，由勾股定理得，DF2=DM2-MF2=(4+x)2-42,
在Rt△DCF中，由勾股定理得，DF2=DC2-CF2=4 2-x2,
∴(4+x)2-42=4 2-x2,
解得，x = ,x = （不符合题意，舍去）
1 2
∴DM= ，
∴
∴过 、 、 三点的外接圆的直径为线段DM,
∴其外接圆的半径长为 .故答案为： .
【点睛】本题考查菱形的性质，全等的判定与性质，勾股定理及圆的性质的综合题目，根
据已知条件结合图形找到对应的知识点，通过“倍长中线”构建“X字型”全等模型是解
答此题的突破口，也是解答此题的关键.
17．如图，已知正方形 的边长为2，点 是 边的中点， 为正方形内一动点，且
，点 是 边上另一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，点G在以点O为圆心，以1为半径的圆上，作点A关于直线 的对称点
E，连接 ,由对称知， ，可得 ．当
四点共线时， 最短，此时 最短；
过点O作 ，垂足为F，则， 中， ． 的最小值为 ；
【详解】解：如图，点G在以点O为圆心，以1为半径的圆上，作点A关于直线 的对
称点E，连接 ,由对称知， ,
∴ ,
．
当 四点共线时， 最短，此时 最短；
过点O作 ，垂足为F，则，
中， ．
∴ 四点共线时，
∴ 的最小值为 ；故答案为： ；
【点睛】本题考查两点之间线段最短，正方形的性质，轴对称的性质，圆的定义，勾股定
理；通过轴对称，作线段的等量转移是解题的关键．
18．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的
倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是 ．
（写出所有正确说法的序号）
①方程 是倍根方程；
②若方程 是倍根方程，则 ；
③若点 在反比例函数 的图象上，则关于 的方程 是倍根方程；
④若方程 是倍根方程，且相异两点 ， 都在抛物线
上，则方程 的一个根是 ．
【答案】①③
【详解】分析：①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②通
过解方程求得方程的两个解，结合“倍根方程”的定义来求m、n的数量关系；③根据
pq=2求出方程的两个根，从而得出答案；④由方程 是倍根方程，得 ，
由相异两点都在抛物线上，通过抛物线对称轴求得 的值．
详解：①、解方程可得： ，∵－2是－1的两倍， ∴①正确；
②、解方程可得： ，∵是倍根方程， ∴2= 或 ，
∴m=－n或m= ， ∴②错误；
③、∵pq=2， ∴方程的解为： ， ∴③正确；
④、∵方程 是倍根方程，∴设 ，
∵相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线 上，∴抛物线的对称轴x= ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴④错误；
∴正确的答案为①和③．
19．如图，点 在以 为直径的半圆上， ， ，点 在线段 上运动，
点 与点 关于 对称， 于点 ，并交 的延长线与点 ．下列结论：①
；② ；③线段 的最小值为 ；④当 时， 与半圆相切；⑤
当点 从点 运动到点 时，线段 扫过的面积是 ．其中正确的结论的序号为
．
【答案】②③④
【分析】①由对称证明出∠F＝∠CDF，得到只有当CD⊥AB时，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝
30°；
②由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF；
③根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD
的最小值就可求出EF的最小值；
④连接OC，易证 AOC是等边三角形，AD＝OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出
∠ACD，进而可求出∠ECO＝90°，从而得到EF与半圆相切；
△
⑤首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与 ABC的关系，就可求出
线段EF扫过的面积．
△
【详解】①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E＋∠F＝90°，∠CDE＋∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
只有当CD⊥AB时，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°，故①错误；
②又∵∠F＝∠CDF，
∴CD＝CF，
∴CE＝CD＝CF．故②正确；
③当CD⊥AB时，如图2所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝ 2，BC＝ 2 ，
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CD＝ BC＝ ，
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为 ．
∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段EF的最小值为2 ．故③正确；
④当AD＝1时，连接OC，如图3所示，∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝2，AD＝1，
∴DO＝1．
∴AD＝DO，
∴∠ACD＝∠OCD＝30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA＝∠DCA，
∴∠ECA＝30°，
∴∠ECO＝90°，
∴OC⊥EF，
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切．故④正确；
⑤∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S阴影＝2S ABC＝2× •AC•BC＝4 ．
△
故⑤错误．故答案为②③④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定
与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理，垂线段最短等知
识，综合性强，有一定的难度，第五个问题解题的关键是通过特殊点探究EF的运动轨迹．
20．如图，点D，E是 ABC内的两点，且DE AB，连结AD，BE，CE．若AB＝9 ，
DE＝2 ，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为 ．
【答案】
【分析】过 点作 交 于 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，
过 作 交 延长线于 ，则 ， 都是等边三角形，可判断四边形
是平行四边形，由已知分别可求 ， ，则 ， ，
所以 ，则 ，当 、 、 、 共线时，
有最小值为 的长，再由 ， ，可得 ，
，在 中， ，在 △ 中，
，则 的最小值为 ．
【详解】解：过 点作 交 于 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到△
，过 作 交 延长线于 ，
， 都是等边三角形，
，四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
， ，
，
，
当 、 、 、 共线时， 有最小值为 的长，
， ，
， ，
在 中， ，
在 △ 中， ，
的最小值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，通过构造平行四边形、旋
转三角形，确定AD+BE+CE有最小值为CF'的长是解题的关键．
21．如图，在矩形 中，以A为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，再以B为
圆心， 的长为半径画弧，交 于点E．已知 ， ，则图中阴影部分的
面积为 ．【答案】
【分析】利用割补法将阴影部分分成三部分，即 ，
然后分别求每部分的面积即可．
【详解】解：由题意和题图可知， 与扇形 只有一个交点，则 与扇形 相切，
设这个切点为G，
连接 ， ，则 ．
过点E作 ，交 于点H．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ．
由题意可得， ，
∴在 中，由勾股定理，得 ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即扇形 的圆心角为 ．
∴在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，即扇形 的圆心角为 ．
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定
与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，要熟练运用扇形的面积公式和三角形的面
积公式．解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差．
22．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，边长分别为m、n（m＜n）．坐标原点O为
AD的中点，A、D、E在y轴上．若二次函数y＝ax2的图象过C、F两点，则 ＝ ．
【答案】
【分析】由正方形ABCD的边长为m，坐标原点O为AD的中点，得出C（m， m）．将C
点坐标代入y=ax2，求出a= ，则抛物线解析式为y= x2，再将F（-n，n+ m）代入y=
x2，整理得出方程m2-2mn-n2=0，把m看作常数，利用求根公式得出n=（1± ）m
（负值舍去），那么 .
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为m，坐标原点O为AD的中点，
∴C（m， m）．
∵抛物线y＝ax2过C点，∴ m＝am2，解得a＝ ，
∴抛物线解析式为y＝ x2，
将F（-n，n+ m）代入y＝ x2，
得n+ m＝ ×（﹣n）2，
整理得m2﹣2mn﹣n2＝0，
解得n＝（1± ）m（负值舍去），
∴ ＝1+ .
故答案为1+ ．
【点睛】二次函数的综合题型，其中涉及到正方形的性质，待定系数法求二次函数、一元
二次方程的求根公式．正确求出抛物线的解析式是解题的关键．
23．有一个两位数，个位数字比十位数字大 ，且个位数字与十位数字的平方和等于 ，
这个两位数是 ．
【答案】
【分析】由个位上的数字与十位上的数字的平方和等于20，设未知数代入求得整数解即可．
【详解】解：设十位上的数字为 ，的个位上的数字为 ，可列方程为
，
解得 ， （舍去），
，
，
故答案为24．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握题中的等量关系列出方程是本题的解题
关键．
24．如图，已知线段 ， 于点 ，且 ， 是射线 上一动点，
、 分别是 ， 的中点，过点 ， ， 的圆与 的另一交点 （点 在线段上），连结 ， ．
（ ）当 时，则 的度数为 ．
（ ）在点 的运动过程中，当 时，取四边形 一边的两端点和线段 上一
点 ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，当 时，则 的值为
．
【答案】
【详解】试题解析：(1)∵MN⊥AB，AM=BM，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
如图1，连接MD，
∵MD为△PAB的中位线，
如图2，记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，
如图3,当 时，
在 中
故答案为
25．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，
DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ．【答案】2 ﹣2
【分析】根据正方形的性质得到AD=CD=BC=4，∠ADC=∠BCD=90°，求得CE=DF，根据全等
三角形的性质得到∠DAF=∠CDE，推出∠APD=90°，得到点P在以AD为直径的圆上，设AD
的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：根据勾
股定理即可得到结论．
【详解】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵CE+CF＝4，CF+DF＝4，
∴CE＝DF，
在 ADF和 DCE中，
△ △
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠DAP+∠FDP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，
设AD的中点为G，
由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：
∵CD＝4，DG＝2，
∴CG＝ ＝2
∴CP＝CG﹣PG＝2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，确定出CG最小时点G的位置是解题关键，也是本题的难点．
三、解答题
26．荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售
旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：
,日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系
如图所示：
（1）求日销售量 与时间t的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元
给村里的特困户.在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 的增大而增大，求
m的取值范围.
【答案】（1）y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）（2）第30天的日销售利润最大，最大利
润为2450元（3）21（4）5≤m＜7
【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；
（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售
量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；
（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；
（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间
t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设解析式为y=kt+b，
将（1，198）、（80，40）代入，得：
，
解得： ，
∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，
①当1≤t≤40时，w=（ t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣ （t﹣30）2+2450，
∴当t=30时，w =2450；
最大
②当41≤t≤80时，w=（﹣ t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，
∴当t=41时，w =2301，
最大
∵2450＞2301，
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．
（3）由（2）得：当1≤t≤40时，
w=﹣ （t﹣30）2+2450，
令w=2400，即﹣ （t﹣30）2+2450=2400，
解得：t =20、t =40，
1 2
由函数w=﹣ （t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，
而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，
∴t的取值范围是20≤t≤40，
∴共有21天符合条件．
（4）设日销售利润为w，根据题意，得：
w=（ t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣ t2+（30+2m）t+2000﹣200m，
其函数图象的对称轴为t=2m+30，
∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，
解得：m≥5，
又m＜7，
∴5≤m＜7．
考点：二次函数的应用27．如图，过原点的抛物线 为常数 与 轴交于另一点 ， 是线
段 的中点， ，点 在抛物线 上
(1)点 的坐标为______；
(2) 为 轴正半轴上一点，且 ．
①求线段 的长；
②线段 与抛物线 相交于另一点 ，求点 的坐标；
(3)将抛物线 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到抛物线 ， ，
是抛物线 上两点， 是抛物线 的顶点 对于每一个确定的 值，求证：矩形 的
对角线 必过一定点 ，并求出此时线段 的长．
【答案】(1)
(2)① ；②
(3)证明见解析，
【分析】（1）根据中点公式求 点坐标即可；
（2） 设 ，根据 ，建立方程 ，求出 点坐标即可求
； 求出直线 的解析式为 ，将 代入 ，求出
，将 点代入 ，求出 ，从而求出抛物线 ，
直线 与抛物线的交点即为点 ；
（3）根据平移的性质可求 ，则 ，设直线 的解析式为 ，
， 当 时，整理得
，由根与系数的关系可得 ， ，过点作 轴交于 点，过 点作 轴交于 点，证明 ∽ ，则 ，
即 ，整理得， ，求出 ，所以直线 的解
析式为 ，对于每一个确定的 值，直线 必经过定点 ，
．
【详解】（1） 是线段 的中点， ，
，
，
故答案为： ；
（2） 设 ，
，
，
解得 ，
；
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
将 代入 ，
，
，
，
解得 ，
，
将 点代入 ，
，解得 ，
抛物线 ，
当 时，解得 或 ，
；
（3）证明： ，
，
，
设直线 的解析式为 ， ， ，
当 时，整理得 ，
， ，
过点 作 轴交于 点，过 点作 轴交于 点，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
∽ ，
，即 ，整理得， ，
，
，即 ，
直线 的解析式为 ，
对于每一个确定的 值，直线 必经过定点 ，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似
的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，
28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，
0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P
点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2+2x-3；（2） ADE的面积最大值为 ．（3）点P的坐标为（-1，
△
）或（-1，- ）或（-1，-1）或（-1，-2）或（-1，4）．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）先求出直线AE的解析式为y= x+1，作DG⊥x轴，延长DG交AE于点F，设D（m，
m2+2m-3），则F（m， m+1），DF=-m2- m+4，根据S ADE=S ADF+S DEF可得函数解
△ △ △
析式，利用二次函数性质求解可得答案；
（3）先根据抛物线解析式得出对称轴为直线x=-1，据此设P（-1，n），由A（-3，0），E
（0，1）知AP2=4+n2，AE2=10，PE2=（n-1）2+1，再分AP=AE，AP=PE及AE=PE三种情况
分别求解可得．【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c经过点A（-3，0）、B（1，0），
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为y=x2+2x-3；
（2）设直线AE的解析式为y=kx+b，
∵过点A（-3，0），E（0，1），
∴ ，
解得： ，
∴直线AE解析式为y= x+1，
如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，
设D（m，m2+2m-3），则F（m， m+1），
∴DF=-m2-2m+3+ m+1=-m2- m+4，
∴S ADE=S ADF+S DEF
△ △ △
= ×DF×AG+ DF×OG
= ×DF×（AG+OG）
= ×3×DF= （-m2- m+4）
=- m2- m+6
= ，
∴当m=- 时， ADE的面积取得最大值为 ．
△
（3）∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴抛物线对称轴为直线x=-1，
设P（-1，n），
∵A（-3，0），E（0，1），
∴AP2=（-1+3）2+（n-0）2=4+n2，AE2=（0+3）2+（1-0）2=10，PE2=（0+1）2+（1-n）2=
（n-1）2+1，
①若AP=AE，则AP2=AE2，即4+n2=10，解得n=± ，
∴点P（-1， ）或（-1，- ）；
②若AP=PE，则AP2=PE2，即4+n2=（n-1）2+1，解得n=-1，
∴P（-1，-1）；
③若AE=PE，则AE2=PE2，即10=（n-1）2+1，解得n=-2或n=4，
∴P（-1，-2）或（-1，4）；
综上，点P的坐标为（-1， ）或（-1，- ）或（-1，-1）或（-1，-2）或（-1，4）．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，
割补法求三角形的面积，二次函数的性质及等腰三角形的判定和分类讨论思想的运用等知
识点．
29．二次函数 图象与x轴交于A、C两点，点 ，与y轴交于点 ．
（1） __________， __________；
（2）如图①，P是x轴上一动点，点 在y轴上，连接 ，求 的最小值．（3）如图②，点M在抛物线上，若 ，求点M的坐标．
【答案】（1）1，－3；（2） 的最小值为 ；（3）满足条件的点
的坐标为： ， ， ， ．
【分析】(1) 将 、分别 代入 得到二元一次方程组，解方程求
得a和c即可．
（2）如图1中，作 于 .先说明 ,然后在 中,有
，由垂线段最短可知，当D、P、H共线时，
最小，最后求得最小值即可；
（3）如图2中，取点 ，作 于 ，易知 ．由 ，
过点E作BC的平行线交抛物线于M 、M ，则则 ， ，再求出直线M M
1 2 1 2
的解析式，然后联立解方程组即；利用平移可求出M 、M 的坐标．
3 4
【详解】解：（1）把 ， 代入 ，
得到， ，
解得 ，
故答案为1，－3．
（2）如图1中，作 于 ．
∵ ， ，
∴ ，在 中， ．
∵ ，
根据垂线段最短可知，当 、 、 共线时 最小，最小值为 ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
（3）如图2中，取点 ，作 于 ，易知
∵ ，
∴过点 作 的平行线交抛物线于 ， ，则 ， ，
∵直线 的解析式为 ，
∴直线 的解析式为 ，
由 ，
解得 或 ，
∴ ， ，根据对称性可知，直线 关于直线 的对称的直线与抛物线的交点 、 也满足
条件，
直线 ，与y轴交于（0，-3），直线 的解析式为 ，与y轴交于
（0，-1），两直线在y轴交点间距离为2，将直线 向下平移2个单位，
则直线 的解析式为 ，
由 ，
解得 或 ，
∴ ， ，
综上所述，满足条件的点 的坐标为： ， ，
， ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法、垂线段最短、平行线的性质、
轴对称、平移性质，一次函数的应用、二元一次方程组等知识，掌握垂线段最短和利用方
程组确定两个函数的交点坐标是解答本题的坐标．
30．如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C，且A点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，连接直线BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D为第一象限内抛物线上一动点，连接AD，交直线BC于点E，连接BD，如图2
所示，记△BDE的面积为 ，△ABE的面积为 ，求 的最大值．
(3)若点M为对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以M，N，B，C为顶点的四边形为
矩形，若存在，直接写出满足条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)（1， ）；（1， ）；（1， ）；（1， ）；
【分析】（1）根据A点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，可得B（3，0），利
用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）由图可知，△BDE与△ABE面积之间的关系为：同高，故面积之比等于底之比，即
，作 轴，交直线BC于点G，作 轴，交直线BC于点H，由平行线分
线段成比例可知， ，结合二次函数与直线BC的解析式，即可求解；
（3）根据以M，N，B，C为顶点的四边形为矩形，可知需要分类讨论，结合点的坐标与
平移、矩形的性质即可求解．
【详解】（1）解： ∵ A（－1，0），抛物线的对称轴 ，
∴B（3，0），
将 A（－1，0）， B（3，0）代入 ，
得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：设直线BC的解析式为： ，将 B（3，0），C（0， )代入解析式，得 ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为： ，
作 轴，交直线BC于点G，
设D点的横坐标为 ，
则 ， ，
∴ ，
作 轴，交直线BC于点H，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴ 的最大值为 ．
（3）解：设M点坐标为（1，n），
①当MN为矩形BMCN的对角线时，如图BMCN ，BMCN ，
2 2 3 3
∵四边形BMCN为矩形，
∴ ， ， ，即点C平移到点M的方向与距离与点N平移到点B
的方向与距离是一致的，
∵B（3，0），C（0， )，∴N（2， ），
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴M（1， ）， M（1， ）；
2 3
②当MN为矩形BCNM的边时，如图BCN M，
1 1
∵四边形BCNM为矩形，
∴ ， ， ，即点C平移到点B的方向与距离与点N平移到点M
的方向与距离是一致的，
∵B（3，0），C（0， )，
∴N（-2， ），
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴M（1， ）；
1
③当MN为矩形BCMN的边时，如图BCM N ，
4 4
∵四边形BCMN为矩形，
∴ ， ， ，即点C平移到点B的方向与距离与点M平移到点N
的方向与距离是一致的，
∵B（3，0），C（0， )，
∴N（4， ），
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴M（1， ）；
4
综上，M点坐标为：（1， ）；（1， ）；（1， ）；（1，
）．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与三角形面积的综
合题、二次函数的图象与性质、点的坐标与平移、矩形的性质．
