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1．(2023·广州模拟)为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良
好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次
答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对
则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为，
各次答题结果互不影响．
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
(2)记甲第i次答题所得分数X(i∈N*)的数学期望为E(X)．
i i
①写出E(X )与E(X)满足的等量关系式(直接写出结果，不必证明)；
i－1 i
②若E(X)>100，求i的最小值．
i
2．(2023·济宁模拟)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校
8 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩
(单位：分)，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，
σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得
三等奖；全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为
a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为P，求P
的最小值．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ
＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
