文档内容
§4.10 解三角形应用举例
课标要求 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的
实际问题．
知识梳理
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同
一铅垂平面内)所成的角中，目标
仰角与俯角 视线在水平视线上方的叫做仰
角，目标视线在水平视线下方的
叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针
方向到目标方向线之间的夹角叫
方位角
做方位角，方位角θ的范围是
0°≤θ<360°
例：
正北或正南方向线与目标方向线
方向角 所成的锐角，通常表达为北(南)偏
东(西)α
坡面与水平面所成的锐二面角叫
坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度
坡角与坡比
与水平长度之比叫坡比(坡度)，即
i＝＝tan θ
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)西南方向与南偏西45°方向相同．( )
(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.( )
(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．( )
(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(
)
2．(必修第二册P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B( )
A．北偏东10°方向 B．北偏西10°方向
C．南偏东80°方向 D．南偏西80°方向
3．(必修第二册P50例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取 A，B两点，
从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的
高度为( )
A．(30＋30)m B．(15＋30)m
C．(30＋15)m D．(15＋15)m
4．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C
和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是______海里．
题型一 测量距离问题
例1 (1)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离
为10 km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，
∠ADB＝75°，则基站A，B之间的距离为( )
A．10 km B．30(－1)km
C．30(－1)km D．10 km
(2)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航
行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，
在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
思维升华 距离问题的解题思路：这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开
正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为
三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰
当．跟踪训练1 (1)(2023·绥化模拟)安邦河，在黑龙江省内有两条．一条属于松花江二级支流，
位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑
龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川3个市县，在桦
川县新城乡境内注入松花江．安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行
的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点 A，B并测得
AB＝a，选取对岸一目标点C并测得∠ABC＝α，∠BAC＝β，则该段河流的宽度为( )
A. B.
C. D.
(2)如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝
5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，据以上条件可求得两景点B
与 C 之间的距离为________ km(精确到 0.1 km，参考数据：sin 40°≈0.643，sin
117°≈0.891)．
题型二 测量高度问题
例2 (1)(2023·济宁统考)首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接
结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研
究性学习小组为了估算赛道造型最高点A(如图2)距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛
道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A点的仰角为30°；
在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点，P点的仰角分别为75°和30°(其中
B，M，Q三点共线)，该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约
为(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)( )
A．58 米 B．60 米 C．66 米 D．68 米
(2)矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，
也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．如图 2，某中学研究性学习小组
为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处
的仰角分别为，，，且AB＝BC＝20 m，则四门通天的高度为( )A．15 m B．10 m
C．6 m D．5 m
跟踪训练2 (1)如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为37°，沿坡角为23°的斜坡向上走28 m
到达B处，在B处测得山顶P的仰角为53°，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度
约为(参考数据：sin 37°≈0.6)( )
A．30 m B．32 m C．34 m D．36 m
(2)“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，
该摩天轮的半径为6(单位：10 m)，游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与
建筑之间的距离AB为12(单位：10 m)，游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为θ.当乘坐舱P
在伦敦眼的最高点D时，视角θ＝30°，则建筑BC的高度为________________．(单位：10
m)
题型三 测量角度问题
例3 已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘救援艇．岛A处的一艘故障船
正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问救援艇朝何方向以多大速度行驶，
恰好用0.5小时追赶上该故障船？
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跟踪训练3 (1)(2023·南京模拟)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD
的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )
A. B.－2
C.－1 D.－1
(2)甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行
驶，若甲船速度是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东 θ方向前进，则θ＝
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