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安徽省黄山市屯溪第一中学
2024 届高三第二次模拟考试
一、选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 ＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A,B，然后进行交集、补集的运算即可.
【详解】因为集合 ，集合 ，
所以 ， .
故选：B.
2. 复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简即可得出 ，即可得出答案.
【详解】因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，复数 的虚部是 .
故选：D.
3. 若直线 与 之间的距离为 ，则a的值为（ ）
A. 4 B. C. 4或 D. 8或
【答案】C
【解析】
【分析】将直线 化为 ，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线 化为 ，
则直线 与直线 之间的距离 ，
根据题意可得： ，即 ，解得 或 ，
所以a的值为 或 .
故选：C
4. 如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东 方向上的点D处，在A点测得塔顶C的仰角为 ，
在A的正东方向且距D点30m的B点测得塔底位于西偏北 方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的
高度CD约为（ ， ）（ ）
A. 17.32m B. 14.14m C. 10.98m D. 6.21m
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】
【分析】在 中，根据正弦定理可求出 .在 中，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，在 中，有 ， ， ，
根据正弦定理 可得，
.
在 中，有 ， ，
，所以 (m).
.
故选：B
5. 如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过
AC作平面 ，使 ，设 与SM交于点N，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 交 于点 ，连接 ，根据线面平行得性质证明 ，再根据
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，进而可得出答案.
【详解】连接 交 于点 ，连接 ，则平面 即为平面 ，
因为 ，平面 ， 平面 ，所以 ，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以 ， ，
所以 且 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：B.
6. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角
三角形演化而成的.已知 为
直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为 ，令 为数列 的前 项
和，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得 的边长，进而可得周长 及 ，进而可得 ，可得解.
【详解】由 ，
可得 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以前 项和 ，
所以 ，
.
故选：C
7. 已知函数 ， 分别与直线 交于点 ， ，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】依题意，表示出 两点坐标和 ，构造函数，利用导数研究单调区间和最值.
【详解】
由题意， ， ，其中 ，且 ，
所以 ，令 ， ，
则 时，解得 ，
所以 时， ； 时， ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
故选：B．
8. 已知点F为双曲线 的右焦点，A，B两点在双曲线上，且关于原点对称，M、N分
别为 的中点，当 时，直线AB的斜率为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. 4 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】记双曲线的左焦点为 ，由此可得四边形 为平行四边形，由条件证明四边形 为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】矩形，由此可得四边形 为矩形，再求 ，结合双曲线定义求离心率.
【详解】记双曲线的左焦点为 ，
因为 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
因为M、N分别为 的中点，点 为线段 的中点，
所以 ，又 ，
所以四边形 为矩形，故 ，
所以四边形 为矩形，故 为直角三角形，斜边为 ，
所以 ，
因为直线AB的斜率为 ，
所以 ，所以 ， ，
由双曲线定义可得 ，
所以曲线的离心率 .
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9. 如图，正三棱锥 和正三棱锥 的侧棱长均为 ， .若将正三棱锥 绕
旋转，使得点E，P分别旋转至点A， 处，且A，B，C，D四点共面，点A，C分别位于BD两侧，
则（ ）
A. B.
C. 多面体 的外接球的表面积为 D. 点P与点E旋转运动的轨迹长之比为
【答案】AD
【解析】
【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理结合正三棱锥的性质可判断A，B；由已知可得，正三棱锥侧
棱两两互相垂直，放到正方体中，借助正方体研究线面位置关系和外接球表面积可判断C；由题意 转动
的半径长为 ， 转动的半径长为 可判断D.
【详解】取 的中点为 ，连接 ，
由 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
将正三棱锥 绕 旋转，使得点E，P分别旋转至点A， 处，
所以 平面 ，所以 ，故A正确；
因为 平面 ，所以 ，故B不正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为A，B，C，D四点共面， ，
可得： ， ，
所以 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，由已知 为正方形，
所以可将多面体 放入边长为 的正方体，
则多面体 的外接球即棱长为 的正方体的外接球，外接球的半径为 ，
表面积为 ，选项C不正确；
由题意 转动的半径长为 ， 转动的半径长为 ，
所以点P与点E旋转运动的轨迹长之比为 ，故D正确.
故选：AD.
10. 在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平均传染的人数．初始感染者传染 个人为第一轮传染，第一轮被传染的 个人每人再传染 个人为第
二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（
）
A. 第三轮被传染人数为16人 B. 前三轮被传染人数累计为80人
C. 每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D. 被传染人数累计达到1000人大约需要35天
【答案】CD
【解析】
【分析】根据已知条件，可转化为等比数列问题，结合等比数列前 项和公式，即可求解．
【详解】由题意，设第 轮感染的人数为 ，则数列 是首项 ，公比 的等比数列，故C正
确；
所以 ，当 时， ，故A错误；
前三轮被传染人数累计为 ，故B错误；
当 时， ，当 时，由 ，故D正
确.
故选：CD
11. 已知定义在R上的函数 的图象连续不间断，若存在非零常数t，使得
对任意的实数x恒成立，则称函数 具有性质 ，则（ ）
A. 函数 具有性质
B. 若函数 具有性质 ，则
C. 若 具有性质 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D. 若函数 具有性质 ，且 ，则 ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据性质 的定义直接验证即可判断A；利用性质 迭代即可判断B；
取 验证性质 即可判断 C；根据性质 迭代可得 ，再结合
即可判断D.
【详解】因为 ，故A正确；
若函数 具有性质 ，则 ，即
所以 ，故B正确；
若 ，取 ，
易知 恒成立，所以C错误；
若函数 具有性质 ，则 ，即
所以
所以
又 ，所以 ，D正确.
故选：ABD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12. 点 是直线 上的一个动点， ， 是圆 上的两点．则（ ）
A. 存在 ， ， ，使得
B. 若 ， 均与圆 相切，则弦长 的最小值为
C. 若 ， 均与圆 相切，则直线 经过一个定点
D. 若存在 ， ，使得 ，则 点的横坐标的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据几何知识得到当直线 ， 与圆相切且 最小时 最大，然后求 的最大
值即可判断A选项；利用等面积的思路得到 ，然后求 的最小值即可得到弦长
的最小值，即可判断B选项；根据圆的定义得到 ， 是以 为直径的圆上的两点又是圆
上的两点，然后让两圆的方程相减得到直线 的方程即可得到直线 过定点，即可判断C选项；根据
存在 ， ，使得 得到 ，然后求 时点 的横坐标，即可
得到点 的横坐标的取值范围，即可判断D选项.
【详解】
由图可知，当直线 ， 与圆相切且点 在 轴上时 最大，
此时 ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 最大时是锐角，故A错；
，所以 ，
则当 最小时，弦长 最小， ，所以 ，故B正确；
设点 ， ， 是以 为直径的圆上的两点，圆的方程为 ，
即 ①，又 ， 是圆 ②上的两点，
所以直线 的方程为②-①： ，过定点 ，故C正确；
若存在 ， ，使得 ，则 ，
当直线 ， 与圆相切时， 最大，对应的余弦值最小，
当直线 ， 与圆相切，且 时， ， ，
因为 ，所以 ，则 ，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 ， ，则
___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系求得 ，利用两角和的正弦公式求得 ，再用正弦定理即可求
得答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】在 中， ，则 ，
故 ，
故由正弦定理得 ,
故答案为：
14. 南海中学环保小组共有6名成员，该环保小组计划前往佛山市4个不同的景区开展环保活动，要求每
个景区至少有1人，且每个人只能去一个景区，则不同的分配方案有__________.
【答案】1560
【解析】
【分析】将6名成员分4组，考虑每组的人数情况有1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方法，再将4组
成员分配到4个不同的景区开展环保活动，根据分步乘法计数原理可得答案．
【详解】第一步：将6名成员分成4组，按照1，1，1，3的方式来分，有 种分配方案；
按照1，1，2，2的方式来分，有 种分配方案；
第二步：将4组成员分配到4个不同的景区开展环保活动，共有 种分配方案，
故符合要求的分配方案有 种．
故答案为：1560．
15. 已知点 在线段 上， 是 的角平分线， 为 上一点，且满足
，设 则 在 上的投影向量为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】__________．（结果用 表示）．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由 可设 ，结合双曲线的定义可得点 的轨迹，再根据内心的向量性
质可得 为 的内心，进而根据双曲线焦点三角形内心的性质求解即可.
【详解】由 ，可设 ，由 ，
得点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）.
因为 是 的角平分线，且
故 也为 的角平分线， 为 的内心.
如图，设 ， ，
则由双曲线与内切圆的性质可得， ，
又 ，所以， ， 在 上的投影长为 ，
则 在 上的投影向量为 ．
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16. 对于数列 ，记 ， ， ，则称 是 的“下界数列”，
令 ， 是 的下界数列，则 _____________；
（参考公式： ）
【答案】
【解析】
【分析】首先分析 的单调性，结合所给“下界数列”的定义求出 的通项公式，再分 和
两种情况讨论，利用分组求和法计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
所以当 时 单调递增，当 时 单调递减，且 ，
又 ，所以当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，
即 ，所以 ，
所以当 时
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
当 时
，
所以 .
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.
17. 若数列 是等差数列，则称数列 为调和数列.若实数 依次成调和数列，则称 是 和
的调和中项.
（1）求 和 的调和中项；
（2）已知调和数列 ， ， ，求 的通项公式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到 、 、 成等差数列，从而得到方程，求出 ，得到答案；
（2）根据题意得到 是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，得到 的通项公式.
【小问1详解】
设 和 的调和中项为 ，依题意得： 、 、 成等差数列，
所以 ，解得： ，
故 和 的调和中项为 ；
【小问2详解】
依题意， 是等差数列，设其公差为 ，
则 ，
所以 ，
故 .
18. ， ， ，
（1）若 ，求 的值；
（2）若函数 的最小正周期为
①求 的值；
②当 时，对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围
【答案】（1）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
（2）① ；②见解析
【解析】
【分析】（1）首先代入向量数量积的坐标公式，利用三角恒等变形，化简函数，并代入求值；
（2）首先根据周期公式求 ，并利用三角函数的性质求 的最大值，最后转化为二次函数恒成立问题，
即可求解.
【小问1详解】
依题意，
，
当 时， ，
【小问2详解】
①由（1）知 ，
最小正周期 ，得 ，
②当 时， ，当 时，
，当 ，即 时， 的最大值为2，
不等式 恒成立，即 恒成立，
整理为 ， 恒成立，
当 时， 恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，得 ，
综上可得， ，
当 时， ，当 时，
，当 ，即 时， 的最大值为0
不等式 恒成立，即 恒成立，
整理为 ， 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时， ，得 ，
综上可得， ，
综上可知，当 时， ，当 时， .
19. 如图所示，在平行四边形ABCD中， ， ，E为边AB的中点，将
沿直线DE翻折为 ，若F为线段 的中点．在 翻折过程中，
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 ，求 与面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，通过证平面 平面 ，可得 面 .
（2）利用二面角 平的面角的定义先找出二面角 的平面角即为 ，再利用面面垂直的性
质定理找到平面 的垂线，从而作出 与面 所成的角，计算可得答案.
【小问1详解】
证明：取 的中点 ，连接 ，
为线段 的中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， ， 四边形 为平行四边形，则
平面 ， 平面 ，可得 平面 ，
又 ， ， 平面 ，
可得平面 平面 ， 平面 ，
则 面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【小问2详解】
取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，
由 ， ， 为边 的中点，
得 ，所以 为等边三角形，从而 ， ，
又 ， 为 的中点所以 ，又 是等边三角形，
所以 ，所以 为二面角 的平面角，所以 ，
过点 作 ，过 作 交于 ，连接 ，
是等边三角形，所以可求得 ， ，所以 ， ，
， ， ， ，
所以 ， ，又 ， ， 面 ，
所以 面 ，又 ，所以 面 ，
平面 ，所以面 面 ，
由 ，在 中易求得 ，又 ，
所以 ， ，
面 面 ， 面 ，
所以 面 ，所以 为 与平面 所成的角，
在 中可求得 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】与面 所成角的正弦值为
20. 现有一种不断分裂的细胞 ，每个时间周期 内分裂一次，一个 细胞每次分裂能生成一个或两个
新的 细胞，每次分裂后原 细胞消失，设每次分裂成一个新 细胞的概率为 ，分裂成两个新 细
胞的概率为 ；新细胞在下一个周期 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的 细胞，
在第一个周期 中开始分裂，其中 .
（1）设 结束后， 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）设 结束后， 细胞数量为 的概率为 .
（i）求 ；
（ii）证明： .
【答案】（1）分布列见解析，
（2）（i） ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出 的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望；
（2）（i）求出第 时分裂为 个 细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解；
（ii）求出第 时分裂为 个 细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出 ，再利用导数法确定函
数的单调性，从而确定最值，即可得证.
【小问1详解】
个 结束后， 的取值可能为 ,其中 ,
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
所以 分布列为
.
【小问2详解】
（i） 表示分裂 结束后共有 个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成 个 细胞. 不妨
设在第 时分裂为 个 细胞，之后一直有 个 细胞，
此事件概率 ，
所以
.
（ii） 代表分裂 后有 个细胞的概率，设细胞 在 后分裂为 个新的 细胞，这两个 细
胞在剩下的 中，其中一个分裂为 个 细胞，一个保持一直分裂为 个 细胞，此事件的概率
，
得 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其中 ， .
令 , ，
记 ， ,令 ，得 .
当 , , 递增；
当 ， , 递减.
故 ，
也就是 .
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解 时，利用等比数列的知识求解；二是求解
的最值时，根据解析式的特点，利用导数来求解.
21. 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆C交
于A，B两点，且 的周长最大值为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线 与 的斜率之积为 （O为坐标原点），D为射线
上一点，且 ，线段 与椭圆C交于点E， ，求四边形 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，当 过右焦点 时， 的周长取最大值 ，求得 ，通过离
心率可求得 ，即可求得标准方程；
（2）设 ，由题目条件可得 ，由 可得四
边形 面积为 ，当直线PQ斜率为0时，易得 ；当直线斜率不为0时，将直线
PQ 方程与椭圆方程联立后，利用韦达定理，结合 ，可得 ，后可得
，即可求解
【小问1详解】
设 与 轴的交点为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意可知 ，
则 ，
当 过右焦点 时， 的周长取最大值 ，所以 ，
因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，
所以椭圆C的标准方程
【小问2详解】
设 ，因P，Q均在椭圆上，则 .
又 ，则 .
由 可得 ，
则四边形 面积为 .
当直线PQ斜率为0时，易知 ，又 ，则 .
根据对称性不妨取 ， ，由 得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，得此时 ；
当直线斜率不为0时，设 的方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立有：
，消去x得： .
，
由韦达定理，有 .
所以
， ，
代入 可得 ，解得 ，
，
又原点到直线PQ距离为 ，则此时 .
综上可得， ，四边形 面积为 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22. 已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若方程 有两个不相等的实数根 ， ，证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）变形得到 ，设 ， ，则 ，求导得到其单
调性，得到 ，从而解不等式，求出答案；
（2）换元后化为 ，构造 ，求导后得到其单调性，只需证明 ，变形得到
，令 ， ， ，则只需证 即可，
求导得到单调性，证明出结论.
【小问1详解】
由 ，得 .
所以 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 .又因为 ，
所以可设 ， ，则 .
当 时， ，可得函数 在 上单调递增，
所以 ，即 .
故不等式 的解集为 .
【小问2详解】
等价于 ，
令 ，其中 ，则 ，显然 .所以 .
令 ，则 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增.
所以 极的小值为 .
因为方程 有两个不相等的实数根 ， ，
所以关于t的方程 有两个不相等的实数根 ， ，且 ， .
要证 ，即证 ，
即证 ，只需证 .
因为 ，所以 ，
整理可得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不妨设 ，则只需证 ，
即证 .
令 ， ， ，则只需证 即可.
因为 ，所以 在 上单调递增.
所以 .
故 .
【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变
量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用 进行变形，可构造关于 的函数，
利用导函数再进行求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
