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专题 01 三角形六大重难题型
实战训练
一．中线分周长（分类讨论）
1．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是
10 ．
试题分析：先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD＝CD，再根据三角形的周长公式即
可求出结果．
答案详解：解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，
∴AD＝CD．∵AB＝5，△ABD的周长为12，
∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．
解得BD+AD＝7．
∴BD+CD＝7．
则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．
所以答案是：10．
2．已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是17和15，△ABC的周长是22，则
AD的长为 5 ．
试题分析：根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
答案详解：解：∵△ABD与△ACD的周长分别是17和15，
∴AB+BC+AC+2AD＝17+15＝32，
∵△ABC的周长是22，
∴AB+BC+AC＝22，
∴2AD＝32﹣22＝10，
∴AD＝5．
所以答案是：5．
3．如图所示，AD是△ABC的中线．若AB＝7cm，AC＝5cm，则△ABD和△ADC的周长的差为
2 cm．
试题分析：根据三角形中线的定义得到 BD＝CD，求得△ABD 和△ACD 的周长差＝
（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，于是得到结论．
答案详解：解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵AB＝7cm，AC＝5cm，
∴△ABD和△ACD的周长差＝7﹣5＝2cm．
所以答案是：2．二．中线之等分面积
4．如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的
面积等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
试题分析：根据三角形的面积公式即可得到结论．
答案详解：解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，
1
∴S△ABD = S△ABC ＝4，
2
∵E是AB的中点，
1 1
∴S△BDE = S△ABD = ×4＝2，
2 2
所以选：A．
5．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC ＝4cm2，则
阴影部分的面积为 1 cm2．
试题分析：易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积
的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
答案详解：解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
1 1
∴S△ABD ＝S△ACD = S△ABC = ×4＝2（cm2），
2 2
1 1
同理S△BDE ＝S△CDE = S△BCE = ×2＝1（cm2），
2 2
∴S△BCE ＝2（cm2），
∵F为EC中点，1 1
∴S△BEF = S△BCE = ×2＝1（cm2）．
2 2
所以答案是1．
三．三角形的高的辨别
6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有 6 个．
试题分析：由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确
定以AD为高的三角形的个数．
答案详解：解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
所以答案是：6．
7．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 AD ．
试题分析：根据三角形的高的概念解答即可．
答案详解：解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，
所以答案是：AD
四．多边形的内角和与外角和
8．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 五 边形．
试题分析：根据多边形的内角和公式求出边数即可．
答案详解：解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，所以答案是：五．
9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240° B．360° C．540° D．720°
试题分析：根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．
答案详解：解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，
在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，
∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
所以选：B．
10．一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝1260°，然
后解方程即可．
答案详解：解：设这个多边形的边数为n，
∴（n﹣2）×180°＝1260°，
解得n＝9，
∴这个多边形为九边形；
从这个多边形的一个顶点出发共有：9﹣3＝6（条）．
所以选：B．
五．三角形的内角和
11．如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，BD，CE相交于点F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，则∠EFD的度数是（ ）
A．115° B．120° C．135° D．105°
试题分析：由△ABD 的内角和为 180°，可以求∠ADB，由△AEC 内角和为 180°，可以求
∠AEC，再根据四边形AEFD内角和为360°，可求∠EFD．
答案详解：解：在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°，
在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣20°＝100°，
在四边形AEFD中，∠A+∠AEC+∠ADB+2∠EFD＝360°，
∴∠EFD＝360°﹣∠A﹣∠AEC﹣∠ADB＝360°﹣60°﹣85°﹣100°＝115°，
所以选：A．
12．如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕PD
分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为（ ）
A．35°或20° B．20°或27.5°
C．35°或25°或32.5° D．35°或20°或27.5°
试题分析：分三种情况，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠APC的度数，
再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出∠B．
1
答案详解：解：由折叠的性质知：∠BPD＝∠APD= ∠BPA，
2
∠BDP＝∠ADP＝90°．当AP＝AC时，∠APC＝∠C＝70°，
1
∵∠BPD= （180°﹣∠APC）
2
＝55°，
∴∠B＝90°﹣55°
＝35°；
当AP＝PC时，∠PAC＝∠C＝70°，
则∠APC＝40°．
1
∵∠BPD= （180°﹣∠APC）
2
＝70°，
∴∠B＝90°﹣70°
＝20°；
当PC＝AC时，∠APC＝∠PAC，
则∠APC＝55°．
1
∵∠BPD= （180°﹣∠APC）
2
＝62.5°，
∴∠B＝90°﹣62.5°
＝27.5°．
所以选：D．
13．如图，∠ABD，∠ACD 的角平分线交于点 P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为
（ ）A．19° B．20° C．22° D．25°
试题分析：延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形
的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
1
的和表示出∠5，整理可得∠P= （∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．
2
答案详解：解：如图，延长PC交BD于E，
∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，
在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，
在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，
∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，
①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，
1
∴∠P= （∠A﹣∠D），
2
∵∠A＝48°，∠D＝10°，
1
∴∠P= （48°﹣10°）＝19°．
2
所以选：A．
14．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2
的度数是（ ）A．42° B．46° C．52° D．56°
试题分析：根据折叠得出∠D＝∠B＝28°，根据三角形的外角性质得出∠1＝∠B+∠BEF，
∠BEF＝∠2+∠D，求出∠1＝∠B+∠2+∠D即可．
答案详解：解：
∵∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴∠D＝∠B＝28°，
∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠B+∠2+∠D，
∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，
所以选：D．
15．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数
为（ ）
A．49° B．50° C．51° D．52°试题分析：先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，根据三角形内角
和为180°和周角360°求出结论．
答案详解：解：由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，
∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝131°，
∴∠2＝180°﹣131°＝49°，
所以选：A．
1
16．如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2= ∠3，BE平分∠ABC交AD于E，求∠4的
2
度数．
试题分析：首先根据三角形的外角的性质求得∠3，再根据已知条件求得∠2，进而根据三角形
的内角和定理求得∠ABD，再根据角平分线的定义求得∠ABE，最后根据三角形的外角的性质求
得∠4．
答案详解：解：∵∠1＝∠3+∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，
∴∠3＝20°，
1
∵∠2= ∠3，
2
∴∠2＝10°，
∴∠ABC＝180°﹣100°﹣10°＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝35°，
∵∠4＝∠2+∠ABE，
∴∠4＝45°．17．如果在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的 3倍，那么这个三角形中最小的一个角等于
22.5 度．
试题分析：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．由“直角
三角形的两个锐角互余”的性质知，x+3x＝90°．通过解方程即可求得x的值．
答案详解：解：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．则
x+3x＝90°，即4x＝90°，
解得，x＝22.5°，即这个直角三角形中最小的一个角等于22.5°．
所以答案是：22.5．
六．新定义类
18．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称
△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为
∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．
（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“ 2 倍角三角形”．
（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6
倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．
试题分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；
（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计
算，得到答案．
答案详解：解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，
则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，
∴∠D＝2∠E，
∴△DEF为“2倍角三角形”，
所以答案是：2；
（2）∵∠C＝36°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，
∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，1 1
∴∠DAB= ∠BAC，∠DBA= ∠ABC，
2 2
1
∴∠DAB+∠DBA= ×144°＝72°，
2
∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，
∵△ABD为“6倍角三角形”，
∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，
当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，
当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．
19．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称
△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝
3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．
（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为 2 倍角三角形；
（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为 ，请直接写出 的取值范围为 22.5 °
＜ ＜ 30 ° ． α α
（α3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重
合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角
平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO
的度数．
试题分析：（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答
案，
（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的
关系，分情况进行解答，
（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．答案详解：解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，
∴∠A＝2∠C，
∴△ABC为2倍角三角形，
所以答案是：2；
（2）∵最小内角为 ，
∴3倍角为3 ， α
由题意可得：α
3 ＜90°，且180°﹣4 ＜90°，
∴α最小内角的取值范围α 是22.5°＜ ＜30°．
所以答案是22.5°＜ ＜30°． α
（3）∵AE平分∠BαAO，AF平分∠AOG，
∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，
1
∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF= （∠BAO+∠OAG）＝90°，
2
∵△EAF是4倍角三角形，∠F显然大于∠E,
1 1
∴∠E= ×90°或 ×90°，
4 5
∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，
1
∴∠E= ∠ABO，
2
∴∠ABO＝2∠E，
∴∠ABO＝45°或36°．
20．在△ABC中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则
称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．
（1）在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝25°，则△ABC为 4 倍角三角形；
1
（2）若△DEF是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的 ，求
3
△DEF的最小内角；
（3）若△MNP是2倍角三角形，且∠M＜∠N＜∠P＜90°，请直接写出△MNP的最小内角的取
值范围．
试题分析：（1）由∠A＝55°，∠B＝25°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答
案，
（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的
关系，分情况进行解答，
（3）可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．
答案详解：解：（1）∵∠A＝55°，∠B＝25°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，
∴∠C＝4∠B，
所以答案是：4
（2）设最小的内角为x°，则3倍角为3x°
1
①当最小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的 时，
3
1
即：x= （90°﹣3x），解得：x＝15°
3
1
②3倍内角的度数是最小内角的余角的度数的 时，
3
1
即：3x= （90°﹣x），解得：x＝9°，
3
因此，△DEF的最小内角是9°或15°．
（3）设∠M的度数为x，则其它的两个角分别为2x，（180°﹣3x），由∠M＜∠N＜∠P＜90°可
得：
2x＜90°且180°﹣3x＜90°且2x≠180°﹣3x
∴30°＜x＜45°且x≠36°．
答：△MNP的最小内角的取值范围是30°＜x＜45°且x≠36°．
21．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（
）
A．45°或36° B．72°或36°
C．45°或72° D．45°或36°或72°
试题分析：分设三角形底角为 ，顶角为2 或设三角形的底角为2 ，顶角为 ，根据三角形的
内角和为180°，得出答案． α α α α
答案详解：解：①设三角形底角为 ，顶角为2 ，
则 + +2 ＝180°， α α
解得α：α ＝α45°，
②设三α角形的底角为2 ，顶角为 ，
则2 +2 + ＝180°， α α
解得α： α＝α36°，
∴2 ＝α72°，
∴三α角形的“可爱角”应该是45°或72°，
所以选：C．
22．若三角形满足一个角 是另一个角 的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中 称为
“智慧角”．在有一个角α 为60°的“智β慧三角形”中，“智慧角”是 6 0 或 9 0 度． α
试题分析：根据“智慧三角形”及“智慧角”的意义，列方程求解即可．
答案详解：解：在有一个角为60°的三角形中，
①当另两个角分别是100°、20°时，“智慧角”是60°；
② + ＝120°且 ＝3 ，
∴ α＝9β0°．， α β
即α“智慧角”是90°．
所以答案是：60或90．
